MODELAGEM DA DETERMINAÇÃO DO TEMPO ÓTIMO DE APLICAÇÃO DE
ÁGUA EM IRRIGAÇÃO POR SULCOS: CRITÉRIO ECONÔMICO
Euro Roberto Detomini
Departamento de Engenharia Rural
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”
Av. Pádua Dias, 11 / Piracicaba-SP
[email protected]
Margarida Garcia de Figueiredo
Departamento de Economia, Administração e Sociologia
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”
Av. Pádua Dias, 11 / Piracicaba-SP
[email protected]
Wagner de Oliveira
Departamento de Engenharia Rural
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”
Av. Pádua Dias, 11 / Piracicaba-SP
[email protected]
Cleomar Ferreira de Oliveira
Departamento de Engenharia Rural
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”
Av. Pádua Dias, 11 / Piracicaba-SP
[email protected]
José Antonio Frizzone
Departamento de Engenharia Rural
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”
Av. Pádua Dias, 11 / Piracicaba-SP
[email protected]
11 – Ciência, Inovação Tecnológica e Pesquisa Agrícola
Apresentação em sessão sem debatedor
Modelagem da determinação do tempo ótimo de aplicação de água em irrigação por sulcos:
critério econômico
Resumo
O uso de critérios econômicos na tomada de decisão em sistemas agrícolas tem sido
assunto de vários trabalhos científicos, o que vêm a fornecer mais segurança na adoção de
práticas de gerenciamento desses sistemas no sentido de maximizar o retorno do investimento.
Este trabalho tem por objetivo apresentar uma metodologia capaz de quantificar o tempo ótimo
de aplicação de lâmina d’água em irrigação por sulcos de tamanho definido e com drenagem livre
na extremidade final. A metodologia proposta pode ser aplicada a qualquer cultura que
usualmente opera nesse sistema de irrigação; estando basicamente alicerçada em: a) função de
produção (lâmina total versus produção) na principal estação de desenvolvimento; b) duração de
cada fase fenológica, com o respectivo coeficiente de cultura (Kc); c) parâmetros inerentes à
equação de avanço e às infiltrações em cada trecho; e d) informações sobre os preços do produto
comercializável e da água (quando esta é cobrada) e sobre os custos envolvidos nos processos de
produção. Por se tratar de um modelo conceitual, os valores específicos dos parâmetros e dos
atributos apresentados deverão ser sugeridos pelo usuário. O resultado deverá apresentar um
tempo de aplicação referente ao máximo lucro médio, o qual é obtido dos diferentes cenários de
défice provocados, que por sua vez correspondem a diferentes frações da lâmina requerida sendo
infiltrada na extremidade final do sulco.
PALAVRAS-CHAVE: Modelagem, Econômica, Irrigação por sulcos
2
Modelagem da determinação do tempo ótimo de aplicação de água em irrigação por sulcos:
critério econômico
1. INTRODUÇÃO
Por ser a água um dos principais insumos da agricultura e, muitas vezes, por apresentarse como um fator limitante em função de sua eventual escassez, a irrigação deve ser considerada
como uma atividade economicamente justificável (Frizzone, 2005). Desta forma, dependendo da
região e da cultura a ser administrada (bem como da fase fenológica da mesma), a adoção de um
sistema de irrigação torna-se fundamental para o bom desempenho da atividade. Contudo, é
importante que os projetos deste sistema sejam adequadamente analisados do ponto de vista
técnico e econômico, uma vez que a análise econômica verifica se os bens e os serviços
resultantes justificam os investimentos.
Na literatura, diversos estudos abrangendo atributos técnicos e econômicos são
encontrados, em análise de decisão de implementação de um sistema de irrigação. Rezende et al
(1992a), desenvolveram um modelo de programação geométrica posinomial, possibilitando a
otimização de sistemas de irrigação por sulcos através da análise de sensibilidade da função
custo. Posteriormente, Rezende et al (1992b) aplicaram o referido modelo no estudo da
sensibilidade da função custo de um projeto de irrigação por sulcos, em relação às variações dos
custos da água, da mão-de-obra e das estruturas hidráulicas. Também, é possível mencionar os
trabalhos de Bernuth (1983), Gohring & Wallender (1987), Frizzone (1995), Franke e Dorfman
(1998), Frizzone (2001) e Blanco et al (2004) estudando paralelamente as relações técnicas e
econômicas em projetos de irrigação.
Particularmente no caso de irrigação por gravidade (não pressurizada, como em
irrigação por gotejamento e por aspersão), o conceito clássico sobre o tempo de aplicação de água
menciona que este tempo deve contemplar uma fase de reposição que dure o suficiente para que a
lâmina de irrigação requerida seja infiltrada no final do sulco ou da parcela (Criddle et al, 1956).
Porém, o conceito econômico enfatiza que a aplicação de água deve continuar enquanto o
acréscimo nos benefícios superar os custos, por unidade de volume de água (quando a água é
restrita) ou por unidade de área (quando há restrição de área); em outras palavras, pelo princípio
econômico, visando à maximização do lucro no curto prazo, a aplicação de água deve continuar
até o momento em que a receita marginal se iguale ao custo marginal (Varian, 1999).
Conforme Scaloppi (2003), o tempo de aplicação de água deveria, a rigor, ser
estabelecido em função de critérios econômicos, embora estes sejam reconhecidamente mais
complexos de serem atribuídos. Utilizando uma função de produção, é possível verificar qual
lâmina se refere àquela que maximiza a produção por unidade de área. Como em irrigação por
superfície a variação do perfil de infiltração é, normalmente, caracterizada pela distribuição
potência (Frizzone, 2000), haverá uma produção específica em cada trecho do sulco, resultando
em receitas brutas e custos diferenciados ao longo desse sulco. Se diferentes cenários de défice
infiltração no final do sulco forem criados, diferentes receitas brutas, custos e lucros serão
também gerados em cada cenário e em cada trecho do sulco, implicando que haverá um lucro
médio máximo correspondente a algum desses cenários.
Desta forma, faz-se necessário a elaboração de estratégias que permitam a determinação
do lucro médio máximo, em função dos diferentes cenários de lâmina que infiltram na
3
extremidade final do sulco. O objetivo deste trabalho é propor, para sistemas de irrigação por
gravidade em sulcos com drenagem livre em suas extremidades finais, um modelo conceitual
capaz de determinar o tempo ótimo de aplicação de água, utilizando-se para tanto um critério
econômico, embora o modelo contemple também diversos atributos técnicos.
2. METODOLOGIA
2.1 Desenvolvimento do Modelo
A estimativa de produção da cultura é realizada a partir de uma função de resposta da
cultura à água, a qual pode ser expressa apenas em função da lâmina de água aplicada, contanto
que os demais fatores permaneçam fixos, em níveis ótimos. Genericamente, a função pode
assumir uma forma funcional quadrática, pois excesso e escassez de água resultam em perdas de
rendimento, estando o ponto de máxima produção em um nível intermediário. A diferencial total
desta função igualada a zero fornece a lâmina de água a ser aplicada para máxima produção, a
qual possibilita o cálculo da produção máxima possível de ser obtida durante todo o ciclo da
cultura.
Entretanto, em solos de textura mais arenosa, verifica-se que o défice de água prejudica
mais do que o excesso, resultando na seguinte forma funcional:
Y = a ⋅ W 0 ,5 + b ⋅ W + c
(1)
em que a, b e c se referem aos parâmetros empíricos (a serem determinados através de análise de
regressão); Y ao rendimento (kg produto.ha-1) em função da lâmina d’água (W, mm) necessária a
todo o ciclo da cultura.
A derivada primeira da Equação 1 em relação ao suprimento hídrico pode ser obtida
pela seguinte expressão:
1
dY
= ⋅ a ⋅W
dW 2
Ao igualar esta diferencial à zero,
−
1
2
+b
(2)
dY
= 0 , o ponto de máximo da função de produção,
dW
ou a lâmina d’água necessária para que o rendimento da produção seja máximo, é encontrado.
Então:
−1
2
1
⋅ a ⋅ WTdisp
+b = 0
2
(3)
Logo, tem-se que:
− 2⋅b⎤
WTdisp = ⎡⎢
⎣ a ⎥⎦
2
(4)
4
em que WTdisp se refere à lâmina (mm) total disponível a todo o ciclo da cultura, e que é
correspondente. Essa lâmina deve ser subdividida em lâminas menores, de acordo com cada fase
fenológica da cultura.
Um subsídio teórico que pode estimar a lâmina disponível para cada fase fenológica
( WFFk , m) pode ser expresso da seguinte maneira:
WFFk = 0 ,001 ⋅
Kc k D FF k
⋅
Kc máx DTc
⎛
⋅ ⎜⎜WTdisp +
⎝
5
∑W
l =1
Rl
⎞
⎟⎟
⎠
(5)
em que Kc k se refere ao coeficiente de cultura da k-ésima fase fenológica; Kcmáx ao valor
máximo de coeficiente de cultura (normalmente observado na fase de florescimento); D FF k à
duração (dias) da k-ésima fase fenológica; DTc à duração total (dias) do ciclo da cultura; e WR l à
lâmina (mm) restante disponível no l-ésimo resto de cálculo da soma das lâminas que foram
distribuídas em todas as fases fenológicas.
Para aferir a equação 5, pode-se utilizar os valores de lâmina e de Kc sugeridos em
Machado et al (2002), que exemplificaram sua metodologia na cultura do tomateiro industrial.
Contudo, embora os valores de Kc sejam aceitáveis conforme a experiência prática ou conforme a
informação de pesquisa gerada no âmbito regional, na ausência de dados, pode-se recorrer aos
valores genéricos gerados pela FAO (Doorembos & Kassam, 1994).
Inicialmente, quando WTdisp é fragmentada em lâminas menores para atender as
lâminas requeridas pelas diferentes fases, observar-se-á que a somatória dessas lâminas
requeridas não totaliza WTdisp , ou seja, haverá uma lâmina restante ( WR l ) que deverá ser
novamente distribuída às mesmas fases, procedimento o qual irá ser repetido até o momento em
que praticamente não exista sobra de lâmina a ser redistribuída. A primeira lâmina a ser
fragmentada é a própria lâmina total disponível ( WTdisp ), ou seja:
WTdisp = W R0
(6)
Cada sobra de lâmina (a partir de l = 1) será então conferida pela expressão:
WRl = WR
em que
n
∑W
k =1
pk l
l −1
−
n
∑W
k =1
pk l
(7)
se refere à somatória das lâminas (mm) parciais de todas as fase fenológicas, no
l-ésimo evento de redistribuição.
Como se observa pela notação matemática da equação 5, conforme os critérios do Kc e
da duração de cada fase, cinco lâminas restantes disponíveis sendo redistribuídas entre as fases
fenológicas serão suficientes, independente do valor de WTdisp , para que o desvio entre a
5
somatória das lâminas finais referentes às diferentes fases e a lâmina correspondente à máxima
produção ( WTdisp ) seja inferior a 0,1%, ou seja:
⎛
⎜
⎜1000 ⋅
⎜
100 ⋅ ⎝
n
⎞
⎟
WFFk ⎟ − WTdisp
⎟
⎠
k =1
< 0,1
WTdisp
∑
(8)
O critério da inequação 8 torna a lâmina total disponível equivalente à somatória das
n
lâminas disponíveis para cada fase ( ∑WFFk ).
k =1
Feito o cálculo da lâmina disponível para cada fase fenológica k, cada WFFk deverá ser
ainda fragmentada em porções menores visando atender um número de irrigações em cada fase;
ou então ser pré-determinada como valor limite de disponibilidade de água para que, a partir de
um balanço hídrico (dentro de cada fase), possam ser quantificadas as aplicações de lâmina
d’água em cada evento de irrigação. Portanto, assumindo o critério prático dentro de cada fase
fenológica (o qual não contempla o balanço hídrico), a lâmina a ser aplicada ( Wk , m) em cada
irrigação (correspondente à máxima produção) é dada pela seguinte equação:
Wk =
W FFk
N irrk
; N irrk ∈ Ι
(9)
em que Wk se refere à lâmina d’água (m) requerida, e que deverá ser infiltrada na extremidade
final do sulco na k-ésima fase fenológica; e Nirrk ao número de eventos de irrigação (valor
inteiro) na k-ésima fase fenológica. Como a cultura apresenta um sistema radicular menos
profundo nos estádios iniciais de desenvolvimento, menores serão as capacidades de
armazenamento disponível (CAD) nestes estádios, implicando em freqüências de irrigação
maiores. Como critério prático de manejo, as seguintes condições podem ser estabelecidas:
SE k = 1; Wk ≤ 0 ,010
SE k = 2; 0 ,010 ≤ Wk ≤ 0 ,020
(10)
SE k ≥ 3; 0 ,030 ≤ Wk ≤ 0,050
Dentro das condições acima, cabe salientar que Wk deve ser no máximo 0,050 m, pois
aplicações de lâminas maiores resultam em altos índices de perda por percolação e por
escoamento (Frizzone, 2000), além de apresentarem maior potencial de erosão no sulco.
De forma conveniente, pode-se inferir também que a lâmina requerida ( Wk ) é
equivalente à lâmina Wn 0 k (m), ou seja, àquela que infiltra no trecho i = n do cenário inicial j = 0
(sem défice), na k-ésima fase fenológica, ou seja:
Wk = Wn 0 k
(11)
6
Os intervalo de tempo (min) que a água leva para atingir a extremidade final de um
trecho qualquer do sulco, caracteriza tanto o tempo de avanço ( t av ), quanto o tempo necessário
para a água atingir o i-ésimo trecho ( t X i ), os quais são calculados da seguinte maneira:
t av = u ⋅ X v
(12)
t Xi = u ⋅ X i v
(13)
em que X se refere ao comprimento do sulco (m); X i à distância (m) do ponto de derivação ao iésimo trecho percorrido pela água; e u e v aos parâmetros empíricos da equação.
A velocidade de infiltração de água é normalmente expressa da seguinte maneira:
VI = f ⋅ t g + Vib
(14)
em que VI se refere à velocidade de infiltração (m.min-1); t ao tempo (min) que a água leva para
percorrer um determinado trecho do sulco; Vib à velocidade de infiltração básica (m.min-1); e f e
g aos parâmetros empíricos determinados por análise de regressão.
O valor do parâmetro Vib (referente à velocidade de infiltração básica) pode ser obtido a
partir de um ensaio de campo (método de entrada e saída) posicionando-se calhas (Wflume A, por
exemplo) nas duas extremidades do sulco. Quando o valor correspondente à diferença entre as
duas vazões se tornar constante (após cinco observações, por exemplo), assume-se então este
valor à Vib .
O tempo de oportunidade para a infiltração da lâmina requerida é calculado a partir da
equação de infiltração acumulada de água no solo, e o tempo de avanço da água no sulco pela
equação de avanço, até o ponto onde se deseja infiltrar a lâmina requerida.
Em função do tempo de oportunidade ( Tn 0 k , min) para infiltrar a lâmina requerida no
último trecho, sem que haja défice, a equação que expressa a infiltração dessa lâmina é obtida a
partir da integração da equação 14, e geralmente é caracterizada pela equação de “Kostiakov
modificada”:
α
Wn0 k = β ⋅ Tn 0 k + Vib ⋅ Tn 0k
(15)
em que α e β são os parâmetros da equação.
Utilizando o método prático de “entrada e saída” para a estimativa dos parâmetros β e
α , pode-se utilizar os parâmetros f e g da equação 14 (Frizzone, 2000):
f
g +1
α = g +1
β=
(16)
(17)
Para encontrar um valor de Tn 0 k na equação 15, faz-se necessário um método numérico
de resolução. Visando a convergência de Tn 0 k e evitando o uso de equações derivativas (como
7
ocorre no método de Newton-Raphson), sugere-se o uso de um método finitesimal, conforme o
utilizado por Detomini (2004). Em função de uma lâmina de referência Wk e de uma lâmina
estimada por um valor de Tn 0 k de uma h-ésima iteração qualquer ( Westh ), pode-se descrever a
equação do erro:
⎛ Westh − Wk
ε = ⎜⎜
⎝ Wk
⎞
⎟⎟ ⋅100
⎠
(18)
Caso o valor inicial atribuído para Tn 0 k seja correspondente a uma Westh que satisfaça a
condição ε < 1% , termina-se o procedimento iterativo, implicando que esse Tn 0 k atribuído é
suficiente para encontrar um tempo de oportunidade ( Tn 0 k ) necessário.
Caso o valor inicial atribuído para Tn 0 k seja correspondente a uma Westh que satisfaça a
condição ε ≥ 1% , continua-se o procedimento iterativo no sentido de recalcular um valor de Tn 0 k
(denominado Tnh0 k , a partir de então) que seja suficiente para encontrar um tempo de
oportunidade necessário, o que é feito conforme os seguintes raciocínios:
Tnh0+k1 = Tnh0 k + 0 ,001 ⋅ Tnh0 k
(19a)
caso haja sub-estimação de Wk (ou seja, ε h < 0 ), sendo necessário encontrar um outro valor para
Tnh0 k (ou seja, um Tnh0+k1 - maior que o valor anterior), ou ainda:
Tnh0+k1 = Tnh0 k − 0,001⋅ Tnh0k
(19b)
caso haja super-estimação de Wk (ou seja, ε h > 0 ), sendo necessário encontrar um outro valor
para Tnh0k (ou seja, um Tnh0+k1 - menor que o valor anterior).
Adiante, desprezaremos o valor do atributo Vib para melhor visualizarmos o
desenvolvimento do modelo; visto que, do contrário, ter-se-ia que desenvolver o método
numérico repetidas vezes para encontrar os diversos tempos de oportunidade. Portanto, de
maneira simplificada, em uma fase k qualquer, o tempo de oportunidade para repor a lâmina
requerida no último trecho passa a ser expresso da seguinte maneira:
Tn 0 k
⎛W ⎞
= ⎜ n0k ⎟
⎝ β ⎠
1
α
(20)
O tempo de recesso deve ser determinado em ensaio de campo, até que a água se infiltre
totalmente no final do sulco. Os tempos de recesso nos diferentes pontos do sulco podem ser
estimados assumindo-se o recesso linear. Com isto, a análise pode ser realizada para diferentes
níveis de défice ao longo do sulco, devendo-se considerar o tempo de avanço no ponto até o qual
se pretende infiltrar a lâmina requerida. Quanto mais próximo do início do sulco for este ponto,
maior será o comprimento de sulco que estará recebendo uma lâmina menor que a lâmina
8
requerida e, conseqüentemente, maior será a porcentagem da área na qual as plantas estarão sob
condições de déficit hídrico (Machado et al, 2002).
A receita bruta ( RBij , R$.ha-1) de um i-ésimo trecho qualquer, em um j-ésimo cenário de
défice, pode ser assim calculada:
RBij = Yij ⋅ Pr p
(21)
d
em que Yij se refere ao rendimento (kg.ha-1) da cultura correspondente a um i-ésimo trecho
qualquer, em um j-ésimo cenário de défice; e Prp d ao preço de venda do produto (R$.kg-1).
Quando se dispõe de uma série histórica de preços de venda do produto (superior a 20
anos, por exemplo), pode-se gerar uma curva de distribuição de probabilidade normal para esses
preços; embora se faça necessário, primeiramente, deflacionar cada valor de preço da série
histórica, trazendo-os para uma mesma base, para que se possa compará-los desconsiderando o
efeito das diferentes taxas de inflação incorridas nos diferentes períodos. Isso pode ser calculado
utilizando-se um deflator qualquer; entretanto, neste caso específico, uma sugestão seria o IGP –
DI (disponibilizado pela Fundação Getúlio Vargas), o qual reflete as variações de preços de todo
o mês de referência, sendo formado pelo IPA (Índice de Preços por Atacado), IPC (Índice de
Preços ao Consumidor) e INCC (Índice Nacional do Custo da Construção); e apura as tanto as
variações de preços de matérias-primas agrícolas e industriais no atacado quanto de bens e
serviços finais no consumo.
O cálculo pode ser feito conforme o seguinte raciocínio:
Prp d = Prpsh ⋅
em que
Pr p
Da
DPrp
(22)
sh
se refere ao preço real (deflacionado) do produto (em R$); Prpsh ao preço corrente
d
ou nominal do produto (em R$); Da ao deflator atual (referente ao mês tomado como base); e
Prpsh ao deflator do mês corrente. Amostrar-se-á o valor de preço com maior freqüência. Cabe
ressaltar que, quando não se dispõe do histórico, pode-se recorrer a uma curva de distribuição de
probabilidade triangular assimétrica.
Reescrevendo a equação 21 de maneira conveniente, tem-se:
0 ,5
⎡ ⎛ n
⎞
⎛ n
⎞ ⎤
RBij = ⎢a ⋅ ⎜⎜ Wijk ⎟⎟ + b ⋅ ⎜⎜ Wijk ⎟⎟ + c ⎥ ⋅ Prp d
⎠
⎝ k =1
⎠ ⎦⎥
⎣⎢ ⎝ k =1
∑
em que
n
∑W
ijk
∑
(23)
se refere à somatória das lâminas (mm) das n fases “k”, as quais infiltram em um
k =1
i-ésimo trecho qualquer, em um j-ésimo cenário de défice. Essa somatória é assim calculada:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
n
∑
k =1
⎞
⎟
Wijk ⎟ = 1000 ⋅ (N irr1 ⋅ Wij1 + N irr2 ⋅ Wij 2 + ... + N irrn ⋅ Wijn )
⎟
⎠
(24)
9
em que
Nirr1 , N irr2
e
N irrn
se referem ao número de eventos de irrigação na primeira, na segunda e
na n-ésima fase fenológica, respectivamente; e Wij1 , Wij 2 e Wijn às lâminas d’água (mm) que
infiltram no i-ésimo trecho, no j-ésimo cenário de défice, nas fases 1, 2 e n, respectivamente. Para
uma fase fenológica qualquer, essas lâminas podem ser assim calculadas:
⋅ Wijk
⎡
⎛ δ j ⋅ W n 0k
= β ⋅ ⎢t av − t X i + ⎜⎜
⎢
β
⎝
⎣
1
⎞ α ⎤⎥
⎟⎟
⎠ ⎥⎦
α
(25)
em que δ j se refere ao j-ésimo cenário de défice, o qual se refere à fração da lâmina requerida
que irá infiltrar no final do sulco; Wn 0 k à lâmina d’água (mm) que infiltra no último trecho do
cenário inicial (cenário zero – sem défice), na k-ésima fase.
δj =
X−j
X
(26)
em que j se refere à variável discreta do número de ordem de um cenário.
A lâmina d’água que deverá ser computada no custo, de cada trecho de cada cenário,
deverá ser aquela que infiltra no trecho mais a lâmina que escoa no final do sulco, a qual é dada
pelo produto da lâmina média pelo volume adimensional escoado. Logo, o custo total ( CTij ,
R$.ha-1) de um i-ésimo trecho qualquer, em um j-ésimo cenário de défice, será calculado pela
equação:
⎡⎛
⎢⎜
CTij = 10 ⋅ PrW ⋅ ⎢⎜
⎢⎜⎝
⎣
n
∑Wijk
k =1
⋅ ∀e jk
⎞ Wa
jk
⎟
⎟+
⎟
n
⎠
⎤
⎥ CW jk CO
+
⎥+
n
n
⎥
⎦
(27)
em que PrW se refere ao preço da água (R$.m-3); W a jk à lâmina média (mm) aplicada no j-ésimo
cenário da k-ésima fase; ∀ e jk ao volume adimensional escoado no j-ésimo cenário da k-ésima
fase; n ao número de trechos discretizados; CW jk ao custo de produção (R$.ha-1) referente aos
fatores envolvidos com a irrigação (inclui a bomba selecionada, energia elétrica, mão-de-obra,
manejo da irrigação, etc.); e CO aos custos de produção (R$.ha-1) independentes da água.
Em cada fase k, a lâmina média aplicada em cada cenário é dada por:
W a jk =
60 ⋅ q ⋅ ta jk
X ⋅E
(28)
em que q se refere à vazão (l.s-1) unitária em cada sulco; E ao espaçamento (m) entre sulcos; e
ta jk ao tempo (min) total de aplicação da lâmina W a jk .
Por sua vez, ta jk é encontrado através da seguinte equação:
10
ta jk = t av
⎛ δ j ⋅ Wn 0 k
+ ⎜⎜
β
⎝
1
⎞ α
⎟⎟
⎠
(29)
O volume adimensional total de água aplicado ( ∀a jk ) em cada cenário, para cada fase,
será a soma do volume adimensional total infiltrado ao longo do sulco ( ∀ I jk ) mais o volume total
adimensional escoado ( ∀e jk ). Portanto:
∀ a jk = ∀ I jk + ∀ e jk
(30)
Desenvolvendo a equação 30, tem-se a integração das lâminas infiltradas nos n trechos
do cenário, lâminas as quais estão dispostas, ao longo do perfil, em uma distribuição potencial.
Fe jk
1
∀ a jk =
∫(
μ jk + ϕ jk ⋅ F jk
d jk
0
)⋅ dF jk + ∫ (μ jk + ϕ jk ⋅ F jk d )⋅ dF jk
jk
(31)
1
Desenvolvendo a equação 31, tem-se a solução da soma das integrais definidas:
⎡⎛
ϕ ⋅ Fe d +1 ⎞ ⎛
ϕ ⎞⎤
⎟⎟ − ⎜ μ +
∀a = 1 + ⎢⎜⎜ μ ⋅ Fe +
⎟
d +1 ⎠ ⎝
d + 1 ⎠⎥⎦
⎣⎝
(32)
em que μ jk , ϕ jk e d jk são os parâmetros empíricos; e Fe jk o atributo referente à fração do sulco
onde infiltra no mínimo a lâmina escoada. Os parâmetros e o atributo podem ser assim estimados:
μ jk =
W0 jk
(33)
W ij
⎛ W0 jk W njk
ϕ jk = −⎜⎜
⎝ W ij W ij
⎛ W njk ⎞
⎟
1− ⎜
⎜W ⎟
⎝ ij ⎠
d jk =
⎛ W 0 jk ⎞
⎜
⎟ −1
⎜ W ⎟
⎝ ij ⎠
Fe jk
⎛ μ jk
=⎜
⎜ϕ
⎝ jk
⎞
⎟
⎟
⎠
1
⎞
⎟
⎟
⎠
(34)
(35)
d jk
(36)
Sendo que:
W0 jk
1
⎡
⎛W ⎞ α ⎤
= β ⋅ ⎢tav + ⎜ n0k ⎟ ⎥
⎢
⎝ β ⎠ ⎥⎦
⎣
W jk =
β n
⋅ ∑ Tijk α
n i =1
α
(37)
(38)
11
em que W jk se refere à lâmina média (m) de todos os trechos do j-ésimo cenário, em cada fase
fenológica; n se refere ao número de trechos em que o sulco foi discretizado; e Tijk ao tempo de
oportunidade (min) de infiltração de lâmina d’água no i-ésimo trecho, no j-ésimo cenário, na késima fase fenológica.
Diante dos cálculos da receita bruta e do custo total em cada trecho i de cada cenário j,
têm-se os lucros ( πij , R$.ha-1) correspondentes:
π ij = RBij − CTij
(39)
Em cada cenário j, o lucro médio ( π j , R$.ha-1) dos trechos é então calculado:
πj =
1
⋅
n
n
∑π
(40)
ij
i =1
em que n se refere ao número de trechos discretizados.
Através de análise de regressão múltipla, pode-se obter uma equação de caracterização
do lucro médio em função do cenário. Sugere-se a seguinte forma funcional:
π j = ξ ⋅ δ j 0 ,5 + ζ ⋅ δ j
(41)
em que ξ e ζ são os parâmetros empíricos da equação.
Derivando-se a equação 41, tem-se:
dπ j
dδ j
1
= ⋅ξ ⋅δ j
2
−
1
2
+ζ
Igualando-se a Equação 42 igual a zero (
dπ j
dδ j
(42)
= 0 ), obtém-se a variável δ π
máx
, ou seja, o
cenário referente ao máximo lucro médio, valor o qual deverá ser aproximado para um valor
inteiro, conforme conveniente. Portanto:
δπ
2
máx
⎡ − 2 ⋅ζ ⎤
≈⎢
⎥ ; δπ máx ∈ I
⎣ ξ ⎦
(43)
Finalizando, para cada fase, tem-se o tempo ótimo de aplicação ( takπ
ta k
π máx
= t av
⋅ Wn 0 k
⎛δ
+ ⎜⎜ π máx
β
⎝
máx
, min):
1
⎞ α
⎟
⎟
⎠
(44)
12
O tempo de aplicação será, portanto, a soma do tempo de avanço com o tempo de
oportunidade de uma fração da lâmina que infiltra no último trecho (i = n) do cenário inicial (j =
0) da k-ésima fase fenológica, fração essa representada pelo fator δ π máx .
2.2 Alguns índices de desempenho
A eficiência de aplicação, em uma fase k qualquer, será o quociente entre a lâmina
requerida nesta fase k e a lâmina média aplicada em função do tempo ótimo de aplicação:
Ef k =
Wk
60 ⋅ q ⋅ ta k
π máx
(45)
X ⋅E
em que q se refere à vazão (l.s-1) de entrada em cada sulco; e E ao espaçamento entre sulcos (m).
A uniformidade de distribuição ( UDk ) de água, em uma fase k qualquer, é dada por:
UDk =
em que Wijδ
πmáx
k
Wnj
δ πmáx
k
⎞
1 ⎛
⋅ ⎜⎜ Wij k ⎟⎟
n ⎝ i =1 δ πmáx ⎠
n
∑
(46)
se refere à lâmina (m) que infiltra no i-ésimo trecho do cenário de máximo lucro
médio, na k-ésima fase fenológica.
Para se obter a estimativa das perdas por escoamento ( Pek , %), basta dividir o volume
adimensional escoado pelo volume adimensional aplicado:
Pe k =
∀e
⋅ 100
∀a
(47)
3. CONSIDERAÇÕES FINAIS
É fundamental a “proporcionalização” da lâmina correspondente à máxima produção,
pois isso vem a adicionar propostas de manejo ao planejamento da irrigação. Diferentes frações
de lâmina referente à máxima produção implicam em diferentes défices, os quais sugerem
diferentes lucros unitários para cada trecho específico. Existirá, entretanto, alguma fração da
lâmina referente à máxima produção que corresponderá a um lucro médio máximo;
acrescentando que diferentes vazões fornecerão diferentes situações de velocidade de infiltração,
vindo a alterar os parâmetros da equação de avanço e os da de infiltração acumulada.
Conseqüentemente, todos os perfis de infiltração e todos os cenários também sofrerão
modificações. Por se tratar de um modelo conceitual, essa ferramenta pode ser utilizada para
qualquer situação de irrigação por sulcos de tamanho definido e com drenagem livre na
extremidade final, sendo que os valores específicos (de cada parâmetro ou atributo) deverão ser
sugeridos ou provenientes de cada usuário.
13
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