Pré-vestibular – Matemática
Caderno 1 – Unidade I – Série 17
Resoluções
Segmento: Pré-vestibular
Coleção: Alfa, Beta e Gama
Disciplina: Matemática
Volume: 1
Unidade 1: Série 17
Conjuntos
1. A = {1, 2}
O Conjunto A possui dois elementos: 1 e 2.
O total de subconjuntos conjunto A é dado por 2² = 4. Assim, temos:
- Subconjunto de A com 0 elementos: 
- Subconjuntos de A com 1 elemento: {1} e {2}
- Subconjunto de A com 2 elementos: {1, 2}
Logo:
1 A e 2  A
  A, 1  A, 2  A e A  A
2.
a) A = {1, 2, 3}
O Conjunto A possui três elementos: 1, 2 e 3.
O total de subconjuntos conjunto A é dado por 2³ = 8. Assim, temos:
- Subconjunto de A com 0 elementos: 
- Subconjuntos de A com 1 elemento: {1}, {2} e {3}
- Subconjuntos de A com 2 elementos: {1, 2}, {1, 3} e {2, 3}
- Subconjunto de A com 3 elementos: {1, 2, 3}
Logo:
1 A, 2  A e 3  A
  A, 1  A, 2  A, 3  A, 1,2  A, 1,3  A, 2,3  A e A  A
1
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b) A = {1, 2, {3}}
O Conjunto A possui três elementos: 1, 2 e {3}.
O total de subconjuntos conjunto A é dado por 2³ = 8. Assim, temos:
- Subconjunto de A com 0 elementos: 
- Subconjuntos de A com 1 elemento: {1}, {2} e {{3}}
- Subconjuntos de A com 2 elementos: {1, 2}, {1, {3}} e {2, {3}}
- Subconjunto de A com 3 elementos: {1, 2, {3}}
Logo:
1 A, 2  A e 3  A
 




  A, 1  A, 2  A, 3  A, 1,2  A, 1,3  A, 2,3  A e A  A
c) A = {1, {2, 3}}
O Conjunto A possui dois elementos: 1 e {2, 3}.
O total de subconjuntos conjunto A é dado por 2² = 4. Assim, temos:
- Subconjunto de A com 0 elementos: 
- Subconjuntos de A com 1 elemento: {1} e {{2,3}}
- Subconjuntos de A com 2 elementos: {1, {3}}
- Subconjunto de A com 3 elementos: {1, 2, {3}}
Logo:
1 A e 2,3  A


  A, 1  A, 2,3  A e A  A
3. D
Se A  B e A   , temos duas possibilidades:
Assim, se x  B , então x  A .
4. Sabemos que A = {1, 2} e que B = {1, 2, 3, 4}. Como A  X  B , então todo
elemento de A é um elemento de X e todo elemento de X é elemento de B.
Assim, temos as seguintes possibilidades:
- X = {1, 2}
- X = {1, 2, 3}
- X = {1, 2, 4}
- X = {1, 2, 3, 4}
2
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5. E
A notação A  1, 2, 3,4 significa que A é um subconjunto do conjunto {1, 2,
3, 4} e, portanto, há 24  16 subconjuntos possíveis.
6. A  3,4,5,6
B  5,6,7
A
B  3,4,5,6,7
A
B  5,6
A  B  3,4
B  A  7
7. A tabela fica da seguinte maneira:
A
B

{0}
{0, 1}
{0, 1, 2}
{0, 1, 2, 3}
CBA
{0, 1, 2}
{1, 2}
{2}


{0, 1, 2}
{0, 1, 2}
{0, 1, 2}
{0, 1, 2}
{0, 1, 2}
B–A
{0, 1, 2}
{1, 2}
{2}


8. A
A  (B C)  x | x  A e x  (B C)
Assim, podemos representar A  (B C) do seguinte modo:
B C
A  (B C)
A
9. E
Como P  a,b,a, b, a  P, b  P e a, b  P.
Observe que a
b  a, b , logo a b  P .
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10. A = {2, 3, 5, 6, 7, 8}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {1, 4, 6, 8}
A B  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
(A
B)  C  2, 3, 5, 7
11. B
Temos que:
n(A B)  n(A)  n(B)  n(A
30  20  n(B)  12
n(B)  30  20  12
n(B)  22
B)
12.
a) Como B possui menos elementos que A, para que x seja máximo, basta
que B  A , ou seja, x máximo = 12.
Para que x seja mínimo, basta que A e B sejam disjuntos, ou seja,
A B   . Assim, x mínimo = 0.
b) Para que y seja máximo, basta que A e B sejam disjuntos, ou seja,
A B   . Assim, x máximo = 20 + 12 = 32.
Como B possui menos elementos que A, para que y seja mínimo, basta
que B  A , ou seja, y mínimo = 20 elementos.
13. B
Sabemos que n(A B)  n(A)  n(B  A) . Assim:
12  8  n(B  A)  n(B  A)  4
n(P(B  A) P())  n(P(B  A))  24  16
Observação: P(X) é o conjunto de todos os subconjuntos de X, logo,
n(P(X)) = 2k, onde k é o número de elementos de P(X).
14. D
Lembre que:
(I) : n(A B C)  n(A)  n(B)  n(C)  n(A B)  n(A
Do enunciado, sabemos que:
n(A B)  8

n(A B)  n(A)  n(B)  n(A B)
Assim, temos:
(II) : 8  n(A)  n(B)  n(A B)
Analogamente:
(III) : 9  n(A)  n(C)  n(A C)
(IV) : 10  n(B)  n(C)  n(B C)
4
C)  n(B C)  n(A
B C)
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Somando as equações (II), (III) e (IV), concluímos que:
27  2n(A)  2n(B)  2n(C)  n(A B)  n(A C)  n(B C)
(V) : n(A B)  n(A C)  n(B C)  27  2n(A)  2n(B)  2n(C)
Das equações (I) e (VI) e do enunciado, segue que:
11  n(A)  n(B)  n(C)  27  2n(A)  2n(B)  2n(C)  2n(A)  n(B)  n(C)  18
15. C
Vamos definir os seguintes conjuntos:
- A: conjuntos das mulheres que acreditam que os homens odeiam ir ao
shopping.
- B: conjunto das mulheres que acreditam que os homens preferem
mulheres que façam todas as tarefas de casa.
Assim, segue que:
- A B : todas as mulheres pesquisadas.
- A B : mulheres que acreditam que os homens odeiam ir ao shopping e
acreditam que os homens preferem mulheres que façam todas as
tarefas de casa.
Portanto,
72
65
300 
 300 
 300  n(A B)
100
100
n(A B)  111
16. C
Com as informações do enunciado temos o seguinte diagrama:
70 + 130 + 170 + x = 800
x = 430
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17. C
Vamos analisar um a um os intervalos em que o escritor pode ter nascido.
I. Antes de 1800:
A única alternativa que considera esse período é a C.
II. Entre 1801 e 1900:
As alternativas que englobam este período são: A, C e D.
III. Entre 1901 e 2000:
As alternativas que englobam este período são: B e D.
Além disso, devemos desconsiderar a alternativa E, pois caso ela fosse
verdadeira o inventor nem teria nascido (obrigatoriamente ele nasceu antes
de 1860 ou depois de 1830).
Deste modo, temos que alternativa C é a correta.
Observação: é possível pensarmos no intervalo que vai além do ano
2000. Neste caso, teríamos a alternativa D como correta. Entretanto, é de
se pensar que ainda não temos nenhum escritor famoso que nasceu
depois desta data.
18. D
Do enunciado, temos o diagrama abaixo:
40 – x + x + 36 – x = 67
76 – x = 67
x = 9 cm
Podemos afirmar que 9 cm de B está em A e, como B mede 36 cm, a
parcela de B que está em A, em porcentagem, é dada por:
9
 100%  25%
36
6
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19. Do enunciado, temos o diagrama abaixo:
x pessoas têm sangue tipo O.
90 + 30 + 70 + x = 250
x = 60
20. Do enunciado,
Meninos
Meninos
Meninas
Meninas
ruivos
não ruivos
ruivas
não ruivas
2
10
x
12
x = números de meninas ruivas.
2 + 10 + x + 12 = 28  x = 4
Da tabela, o total de crianças ruivas era 2 + 4 = 6.
21. Com as informações do enunciado, podemos considerar o seguinte
diagrama:
Temos que:
 x  160  300  x  140

160  y  210  y  50
Assim,
x + 100 + 160 + y = 140 + 100 + 160 + 50 = 450
7
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22. Do enunciado, temos:
Meninos
Meninos
Meninas
loiros
não loiros
loiras
x
16 – x
8–x
x + 16 – x + 8 – x + 12 = 33
36 – x = 33
x=3
Assim, o total de meninas é dado por:
8 – x + 12 = 8 – 3 + 12 = 17
Meninas
não loiras
12
23. D
Do enunciado, temos o seguinte diagrama:
16 – x + x + 20 –x + y = 30
36 – x + y = 30
y=x–6
Como y ≥ 0, podemos afirmar que x – 6 ≥ 0 e que, portanto, x ≥ 6. Isso
significa que o número de alunos que gostam de matemática e história é,
no mínimo, 6.
24. Do enunciado, temos o diagrama abaixo:
y
20  10  5  15  25  20  30  x  130
x5
Assim, cinco alunos não gostam de nenhum desses esportes.
8
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25. D
Com as informações do enunciado é possível construir o seguinte
diagrama:
100  20  10  30  40  50  10  x  300
x  40
26.
111
 0,111
1000
1
b)  0,111...111...
9
1
c)  0,142857142857...142857...
7
a)
27.
888
1000
b) 0,888...  x
(I)
8,888...  10x (II)
Subtraindo a equação (I) da (II), temos:
9x  8
8
x
9
Assim,
8
0,888... 
9
a) 0,888 
9
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c) 8,888...  x
(I)
88,888...  10x (II)
Subtraindo a equação (I) da (II), temos:
9x  80
80
9
Assim,
x
80
9
d) 2,3454545...  x
(I)
234,5454545...  10x (II)
Subtraindo a equação (I) da (II), nessa ordem, temos:
99x  232,2
990x  2322
2322
x
990
8,888... 
28. A
7x = 21 063 042, em que x é o valor que cada um dos amigos recebeu.
Assim, temos:
21063042
x
 30090006
7
29. E
Vamos verificar a validade das alternativas, utilizando contraexemplos.
- Alternativa a:
Tomemos x = 0 e y  2
xy  0  2  0 , ou seja, racional (falso).
- Alternativa b:
Tomemos x = 1 e y  2
xy  1 2  2 , ou seja, irracional (falso).
- Alternativa c:
Tomemos y  2
2
y2  2  2 , ou seja, racional (falsa).
- Alternativa d:
Tomemos x = 0 e y  2
x  y  0  2  2 , ou seja, irracional (falsa).
10
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30.
a) a  b  3  2  3  2  2 3 (irracional).
b) b  c  2  3  2  3  4 (racional).
c) a  b  3  (2  3)  2 3  3 (irracional).
2
d) b  c  (2  3)  (2  3)  22  3  4  3  1 (racional).
2
e) a2  3  3 (racional).
2
f) b2  (2  3)2  22  2  2 3  3  4  4 3  3  7  4 3 (irracional)
31. E
Vamos analisar uma a uma, as alternativas.
- Alternativa a:
2
x  0,222... 
9
2
4
2
x   
81
9
2
Como 0,444... 
4 4
, a afirmativa é falsa.

9 81
- Alternativa b:
9
1
9
Como 1 < 1 é falso, a afirmativa é falsa.
- Alternativa c
x  y  0  x  0 e y  0 ou x  0 e y  0 , portanto a afirmativa é falsa.
- Alternativa d:
Se x  0,
x  0,999... 
x  x  x 0
x2  0
Logo, não podemos dizer que x² > x, o que invalida a afirmativa.
Observação: é possível mostrar que a desigualdade x² > x é equivalente a
x < 0 ou x > 1.
- Alternativa e:
Um número par é da forma 2n, com n pertencente ao conjunto dos
números inteiros. Assim, um número ímpar pode ser escrito como 2n + 1
ou 2n – 1.
Portanto, a soma de dois números ímpares pode ser escrita da seguinte
maneira:
(par)
(2n  1)  (2n  1)  4n

(par)
(2n  1)  (2n  1)  4n  2  2  (2n  1)
(2n  1)  (2n  1)  4n  2  2  (2n  1)
(par)

Isso torna a afirmativa verdadeira.
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32.
a) Os números inteiros que pertencem ao intervalo [1, 18] são: 1, 2, 3, 4, ...,
18, ou seja, 18 – 1 + 1 = 18 números. Observe que os números 1 e 18
fazem parte do intervalo.
b) Os números inteiros que pertencem ao intervalo ]1, 18[ são: 2, 3, 4, ...,
17, ou seja, 17 – 2 + 1 = 16 números. Observe que os números 1 e 18
não fazem parte do intervalo.
c) Os números inteiros que pertencem ao intervalo [1, 18[ são: 1, 2, 3, ...,
17, ou seja, 17 – 1 + 1 = 17 números. Observe que o número 1 faz parte
do intervalo, mas o número 18 não.
d) Os números inteiros que pertencem ao intervalo [–9, 9] são: –9, –8, –7,
..., 7, 8, 9, ou seja, 9 – (–9) + 1 = 19 números. Observe que os números
–9 e 9 fazem parte do intervalo.
e) Repare que 10 2  14,14 e que 10 3  17,32 . Assim, podemos
considerar o seguinte intervalo [10,14, 17,32]. Os números inteiros que
pertencem a este intervalo são: 15, 16 e 17, ou seja, 17 – 15 + 1 = 3
números.
33.
a) [3, 9[
b) ]4, 7]
c) [3, 4]
d) ]7, 9[
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e) [3, 4]  ]7, 9[
34.
a) Existem infinitos racionais entre r e s.
b) Existem infinitos irracionais entre r e s.
c) Tome, sem perda de generalidade, r e s ambos positivos.
Com efeito, podemos representa-los na reta real abaixo:
(I): p – r = a
(II): s – p = a
Das equações (I) e (II), temos que:
p–r=s–p
2p = r + s
rs
p
2
2p = r + s
Como r e s são racionais, p é racional.
rs
Assim, o racional
está entre os racionais r e s.
2
d) Analogamente ao item e, podemos fazer a seguinte construção:
r  (s  r)
2
2
(s  r)
r  (s  r)
2 é irracional e r é racional,
2 é irracional e
Como
2
2
está entre r e s.
q
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35. O número 3,145 é racional e 3,14 < 3,145 < 3,15. Logo, o número 3,145 é
um exemplo de número racional, compreendido entre 3,14 e 3,15.
36. A
Podemos fazer as seguintes transformações para comparar os valores
apresentados:
a  2,01  2,012  4,0401
b  4,2
2
7
49
7
   
 5,44...
3
9
3
Como 4,0401 < 4,2 < 5,44..., temos que
c
4,0401  4,2  5,44... , ou
ainda, a < b < c.
37. A
De 0 < x < y < 1, temos:
x  0  x  x  x  y  x 1
0  x 2  xy  x
Ou,ainda :
x 2  xy  x
38. C
Repare que a pode ser escrito da seguinte maneira:
2
a  (3  2)2  32  2  3  2  2  9  6 2  2  11  6 2
Analogamente b, pode ser escrito da seguinte maneira:
b  11  6 2  (3  2)2  3  2
Ou seja, a = b.
39. É possível mostrar a veracidade das proposições a, e e g.
A proposição b é falsa e, para mostrar isso, basta encontrar para cada uma
das afirmativas um contraexemplo, como mostrado abaixo:
2  ( 2)  0 , que é racional.
2  2  2 , que também é racional.
A proposição c é verdadeira. Exemplos:
(   2)  (   2)  4
2 2  2
A proposição d é verdadeira. Exemplos:
2  2  2 2 , que é irracional.
2  3  6 , que também é irracional.
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A proposição f é falsa e, para mostrar isso, basta encontrar um
contraexemplo:
0  2  0 , que é racional.
40.
a)  2

2



2
 2
b) Do item a,  2

2 2
2



2
 2 2
2
 2 (racional). Daí, temos:
2
(I) Se 2 for irracional, então, podemos ter   2
nos leva a   2 , ou seja, um número racional.
2
2
e   2 , o que
(II) Se 2 for irracional, então, podemos ter   2 e   2 , o que
nos leva a  representando um número racional.
De (I) e (II),  é um número racional.
(c. q. d.)
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