Teoremas de Kolmogorov e o Movimento Browniano
José Lucas P. Luiz
Bruno F. C. da Silva
Fábio S. de Souza
Departamento de Ciências Exatas, DCEX-UFVJM,
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri,
39803-371, Teófilo Otoni, MG
E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
Palavras-chave: Teoremas de Kolmogorov, Movimento Browniano, Processos Estocásticos.
Resumo: Este trabalho tem como objetivo fazer uma abordagem de dois Teoremas de Kolmogorov e sua importância na construção do Processo de Wiener, processo estocástico que descreve
matematicamente o Movimento Browniano.
Introdução
O Movimento Browniano foi introduzido em meados de 1828 por Robert Brown na descrição do movimento aleatório desempenhado por partı́culas de pólen suspensas sobre a água e
atualmente é altamente empregado na teoria matemática que fundamenta a teoria moderna de
finanças.
A observação de Brown foi formalizada matematicamente por Norbert Wiener (1923), onde
foi utilizado por ele as ideias de processos estocásticos1 , em decorrência disso o Movimento
Browniano é também conhecido como Processo de Wiener [1].
A formalização dada por Wiener teve grande influência de um matemático soviético chamado Andrey Nicolayevich Kolmogorov. Kolmogorov foi muito influente na criação da teoria
da probabilidade moderna, e entre suas contribuições deixadas para a matemática existem dois
teoremas de grande interesse no estudo da probabilidade avançada ligados ao estudo de processos estocásticos e que tem uma grande importância para a construção do Processo de Wiener.
Com isso, neste trabalho pretende-se abordar esses teoremas de Kolmogorov e elencar sua importância para o Movimento Browniano, finalizando com um exemplo de aplicação do movimento
browniano na precificação de derivativos2 .
Movimento Browniano
O Movimento Browniano é descrito matematicamente como um processo estocástico, chamado
de processo de Wiener.
No processo de Wiener o movimento é interpretado como a posição do grão de pólen em
relação ao tempo, onde a posição não é totalmente previsı́vel, mas estão associadas a distribuições
de probabilidade. Enunciaremos a seguir o processo estocástico que descreve matematicamente
o movimento browniano.
Definição:
O Processo de Wiener padrão [3] é um processo estocástico {Bt }t∈[0,T ] tal que:
1
Processo Estocástico é uma famı́lia de variáveis aleatórias ({Xt }t∈T ) definidas em um espaço de probabilidade
(Ω, ζ, P ), assumindo valores em Rn .
2
Derivativos são instrumentos financeiros cujo preço de mercado deriva do preço de mercado de um ativo(bem
ou outro instrumento financeiro que lhe serve de referência).
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i) P ({ω : B0 (ω) = 0}) = 1;
ii) para quaisquer 0 ≤ s ≤ t, Bt − Bs segue uma distribuição normal com média zero e
variância t − s(ou seja, possui distribuição gaussiana);
iii) Bt2 − Bt1 e Bt4 − Bt3 são independentes desde que 0 ≤ t1 < t2 ≤ t3 < t4 (incrementos
independentes);
iv) as trajetórias (t −→ Bt )são contı́nuas.
A construção do Processo de Wiener como descrito acima demanda um certo trabalho, porém
com o auxilio de dois importantes teoremas de Kolmogorov podemos garantir que esse processo
existe e satisfaz aos quatro itens enunciados.
Teoremas de Kolmogorov
O Movimento Browniano (Processo de Wiener) como descrito acima, tem sua existência
garantida graças aos seguintes teoremas de Kolmogorov.
Teorema I:
3
Seja
{F(t1 ,t2 ,...,tn) , t1 < t2 < ... < tn , tj ∈ T, j = 1, 2, ..., n}
(1)
uma famı́lia de funções de distribuição finito-dimensionais satisfazendo as seguintes condições
de consistência de Kolmogorov [3]:
1) F(t1 ,...,tn,tn+1 ) (x1 , ..., xn , xn+1 ) −→ F(t1 ,...,tn) (x1 , ..., xn ), com xn+1 −→ +∞.
2) Se π é uma permutação de (1, 2, ..., n) e πy denotado por πy = (yπ(1), ..., yπ(n)) para todo
n-vetor, tem-se Fπt (πx) = F(tx) para todo x, t, π, e n.
Então existem um espaço de probabilidade (Ω, ζ, P ) e um processo estocástico {Bt } tais que
F(t1 ,t2 ,...,tn) (x1 , x2 , ..., xn ) = P ({ω : Bt1 (ω) ≤ x1 , ..., Btn (ω) ≤ xn })
Teorema II:
(2)
4
Seja o Espaço de Probabilidade (Ω, ζ, P ). Consideremos o processo estocástico {Xt }t∈[0,T ]
satisfazendo a propriedade,
E(| Xt − Xs |α ) ≤ D | t − s |1+β ;
∀t ∈ [0, T ]
(3)
onde α, β, D são constante reais não negativas. Então, existe um processo estocástico {Bt }t∈[0,T ] ,
tal que {Bt }t∈[0,T ] é uma modificação5 contı́nua de {Xt }t∈[0,T ] , [4].
3
Também conhecido como Extensão do Teorema de Kolmogorov e Teorema de Consistência de Kolmogorov.
A demostração desse teorema pode ser encontrada em: A. N. Shiryayev, Probability: v. 95 (Graduate Texts in
Mathematics), Springer Verlag, 1996.
4
Também conhecido como Critério de Kolomogorov ou Teorema da Continuidade de Kolmogorov. Uma demonstração desse teorema pode ser encontrada em [1].
5
Um processo estocástico {Xt′ }t∈[0,T ] é dito uma modificação de {Xt }t∈[0,T ] se P (Xt = Xt′ ) = 1, onde Xt e Xt′
pertencem ao espaço de probabilidade (Ω, ζ, P ).
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Existência e Continuidade do Movimento Browniano
A partir desse momento já pode ser observado que os teoremas de Kolmogorov descritos
anteriormente garantem tanto a existência (Teorema I), quanto a continuidade (Teorema II) do
Movimento Browniano.
O teorema I nos garante a existência do processo estocástico Bt (ω), desde que suas funções
de distribuição finito-dimensionais satisfaçam a condição de consistência de Kolmogorov. Dessa
forma é possı́vel estipular as funções candidatas à funções de distribuição, onde elas satisfaçam
além da condição de Kolmogorov os itens i) e iii) do Processo de Wiener.
Por fim, só resta a questão da continuidade desse processo estocástico. A continuidade do
processo Bt (ω) é garantida pelo teorema II. Para isso basta fazermos: α = 4, D = n(n + 2) e
β = 1, com isso é possı́vel observar que Bt (ω) fatisfaz a condição:E(| Bt − Bs |4 ) ≤ n(n + 2) |
t − s |2 , assim como sugerido em [4].
Atualmente esses resultados fazem parte da teoria matemática conhecida como Teoria da
Probabilidade Moderna que teve sua construção graças aos esforços de Kolmogorov que foi
o criador da base axiomática dessa nova teoria. Esses resultados são de grande importância
devido a aplicabilidade atribuida ao Movimento Browniano na atualidade, que varia desde suas
aplicações em finanças até sua utilização em modelagem na fı́sica.
Aplicação
Em Economia uma das mais notáveis aplicações do Movimento Browniano é na precificação
de derivativos no decorrer do tempo, sendo um ı́tem indispensável na importante Equação de
Black-Scholes, que foi ganhadora do Nobel de Economia em 1997.
A equação de Black-Scholes é uma equação diferencial parcial do tipo parabólico, que toma
a forma do seguinte problema de valor inicial [5].
(
∂t V +
σ2 S 2 2
2 ∂S V
+ r(S∂S V − V ) = 0, 0 < S < ∞, t < T
V (T, S) = F (S)
(4)
onde V (t, S) é o preço em um instante t < T dado que o ativo adjacente tem um valor St = S.
Esta equação foi deduzida para um modelo de mercado em tempo contı́nuo na qual a dinâmica
do ativo com risco toma a forma:
dSt = rStdt + σSt dWtQ
com relação à medida neutra ao risco. Onde
WtQ
St0 = S
(5)
é o nosso Movimento Browniano [5].
Conclusão
Neste trabalho pudemos observar o importante papel desempenhado pelos teoremas de
Kolmogorov para a formalização matemática do Movimento Browniano, possibilitando assim o
uso dessa ferramenta matemática em vários ramos de ciência como economia, biologia e fı́sica.
Referências
[1] C. Matteo, Stochastic Processes -lecture notes- 2011-2012.
[2] G. Geoffrey, S. David,Probability and Random Process, 3a ed. Oxford, 2001.
[3] M. Aniura,Uma introdução ao cálculo estocástico e às equações diferenciais estocásticas. Relatório
Técnico, RTE-03/2004- Série Ensino.
[4] O. Bernt, Stochastic Differential Equations, Springer Verlag, 1998.
[5] S.Max de, Z. Jorge, Modelagem matemática em finanças quantitativas em tempo discreto em: Notas
de matemática aplicada SBMAC, vol.29, 2012.
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