FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES
Prof. Esp. Thiago Magalhães
Plano Cartesiano
O plano cartesiano, também denominado de eixo de coordenadas cartesianas,
em homenagem a René Descartes, filósofo e matemático, é formado pela
intersecção perpendicular entre duas retas enumeradas. O ponto de encontro
entre as duas retas forma a origem do plano cartesiano, isto é, o ponto de
coordenadas
A intenção de criar o eixo de coordenadas teve como
objetivo principal, a localização de pontos no espaço. Os eixos são nomeados
da seguinte maneira: a reta horizontal é chamada de abscissa (x) e a reta
vertical é denominada ordenada (y), portanto, todo ponto localizado no sistema
possui abscissa e ordenada obedecendo à seguinte condição de apresentação
que denominamos de par ordenado.
Veja como localizar pontos no plano cartesiano:

Localizar o valor correspondente na abscissa (horizontal) traçando uma reta
auxiliar paralela ao eixo vertical.

Localizar o valor correspondente na ordenada (vertical) traçando uma reta
auxiliar paralela ao eixo horizontal.

A intersecção das retas auxiliares é a coordenada de localização do ponto.
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Exemplo:
Localizar plano cartesiano os pontos
Produto cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano denotado por AxB (lê-se A
cartesiano B) é o conjunto de todos os pares ordenados cujos primeiros
elementos (primeiras coordenadas) pertencem a A e cujos segundos
elementos (segundas coordenadas) pertencem a B.
Exemplos:
Funções
O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. Toda
vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles que faça
corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do
segundo, ocorre uma função.
Em nosso dia-a-dia temos muitos exemplos de funções:
•
O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da distância percorrida.
•
A altura de uma criança é função de sua idade;
•
O consumo de combustível é função, entre outras coisas, da velocidade.
•
Perímetro de um triângulo é função da medida de seus lados.
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A função é um modo especial de relacionar grandezas.
Duas grandezas x e y se relacionam de tal forma que:
– x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado.
– a cada valor de x corresponde um único valor y em um dado conjunto B.
– os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x.
Definição de função
Uma função (ou aplicação) f é uma lei segundo a qual cada elemento x em um
conjunto A está associado a exatamente um elemento, chamado f(x), em um
conjunto B.
Não é função de A em B.
É função de A em B.
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Domínio, Contra Domínio e Imagem
Uma função é dada por uma relação entre dois conjuntos, definida por uma lei
de formação. Ao estudarmos uma função determinamos o domínio, o
contradomínio e a imagem. Vamos através de diagramas de flechas
demonstrar esses três elementos pertencentes ao estudo das funções.
Os elementos do conjunto A serão relacionados com os elementos do conjunto
B através de uma lei de formação. Observe:
O conjunto A é formado pelos elementos {–1, 0, 2, 3, 4} e o conjunto B pelos
elementos {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}. Observe que os elementos do conjunto A se
relacionam com os elementos de B segundo a função de A → B (função de A
em B) pela lei de formação
. Observe:
Nessa relação, temos que o domínio é dado pelo conjunto A, o contradomínio
representado pelo conjunto B e a imagem pelos elementos de B que possuem
relação com os elementos do conjunto A.
Domínio: {–1, 0, 2, 3, 4}
Contradomínio: {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}
Imagem: {–1, 1, 5, 7, 9}
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Determinação do domínio de uma função.
O domínio de uma função é o conjunto de valores que podemos atribuir a x,
para que exista um único y.
Neste exemplo temos só uma restrição: não existe divisão por zero. Então, o
denominador deve ser diferente de zero, ou seja:
Logo, o domínio da nossa função será composto de todos os reais, menos o
número
, e isso se escreve:
.
Função de 1º grau
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f
de IR em IR dada por uma lei da forma
, onde a e b são números
reais dados e
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,
, com
, é uma
reta oblíqua aos eixos
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o
auxílio de uma régua:
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x
y
0
-1
0
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como
veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos
. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que
a reta corta o eixo Oy.
Zero da Função do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau
número real x tal que
,o
.
Vejamos alguns exemplos:
1. Obtenção do zero da função
2. Cálculo da raiz da função
3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de
corta o
eixo das abscissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que
;
então:
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Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau
. Vamos atribuir valores cada
vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-10
-7
-4
-1
2
5
8
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y
também aumentam. Dizemos, então que a função
é crescente.
Observamos novamente seu gráfico:
Regra geral:
A função do 1º grau
positivo
;
A função do 1º grau
negativo
é crescente quando o coeficiente de x é
é decrescente quando o coeficiente de x é
;
Justificativa:

para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem
f(x1) < f(x2).

para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem
f(x1) > f(x2).
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Sinal de uma Função de 1º grau
Estudar o sinal de uma função qualquer
é determinar os valor de x
para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores
de x para os quais y é negativo.
Consideremos uma função afim
vamos estudar seu sinal.
Há dois casos possíveis:
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para
valores de x menores que a raiz
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Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo
para valores de x maiores que a raiz.
Sistemas de Equações Lineares: Solução Geométrica.
Como cada equação do primeiro grau representa uma reta no plano, vamos
verificar o que acontece quando temos um sistema de equações.
Resolvendo
este
sistema
de
equações
encontramos
como
solução
Construindo o gráfico que representa cada reta em um mesmo plano
cartesiano, vemos que as retas se interceptam no ponto de coordenada:
A solução de um sistema de equações do primeiro grau é a coordenada x e y
do ponto de intersecção das retas das equações do sistema.
y




x













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Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e
retas coincidentes.
Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um
par ordenado localizado na interseção das duas retas;
Retas paralelas: quando o sistema não admite solução, pois um ponto não
pode estar localizado em duas retas paralelas;
Retas coincidentes: quando o sistema admite uma infinidade de soluções pois
as retas estão sobrepostas.
Função do 2º grau
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela
expressão do tipo
, onde a, b e c são constantes
reais e
Exemplos:
Gráfico de uma função do 2º grau:
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Sua representação gráfica
é dada em torno de eixos:
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Representação gráfica
Exemplo: Construa o gráfico da função
.
Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus
valores correspondentes para y.
x
y = x²
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma
distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a
partir dele que determinamos todos os outros pontos.
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Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor
da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
,
devemos substituir o valor de x por 2.
Logo, as coordenadas do vértice serão
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola,
achamos o valor da coordenada x e substituindo este valor na função, achamos
a coordenada y.
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela
se anula.
Exemplo: Na função
, que acima acabamos de determinar as
coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão
Vejamos o gráfico:
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Notem que quando
, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.
Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?
Exemplo: Determine a raiz da função
Fazendo
, temos
Agora basta resolver a equação do 2º grau, onde acharemos que:
Concavidade da parábola
Quando
, a concavidade da parábola está voltada para cima e quando
, a parábola está voltada para baixo.
Exemplos:
Quando a concavidade está voltada para cima
, o vértice representa o
valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo
, o vértice representa o valor máximo.
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Quando o discriminante é igual a zero
Quando o valor de
, o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A
coordenada y será igual a zero.
Exemplo:
As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)
Gráfico:
Quando o discriminante é maior que zero
Quando o valor de
, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São
as raízes ou zeros reais da função vistos anteriormente).
Exemplo:
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Gráfico:
Quando o discriminante é menor que zero
Quando o valor de
, a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou
zeros reais da função.
Exemplo:
Gráfico:
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Resumindo:
Anotações
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Exercícios de Aplicação
1. Seja f uma função do primeiro grau tal que
valor de
, calcule o
.
2. Se
, qual o valor de x para que
3. A função
?
definida por
tem o gráfico
esboçado. Determine o coeficiente linear e o zero da função.
4. O gráfico da função
corta o eixo y no ponto de ordenada 3.
Determine o valor de m.
5. O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q 0 fixo, mais
um valor que varia proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida.
Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6 km, a quantia
cobrada foi de R$ 8,25 e que em outra corrida, de 2,8 km a quantia cobrada foi
de R$ 7,25.
a) Calcule o valor inicial de Q0
b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$ 75,00 em 10 corridas,
quantos quilômetros seu carro percorreu naquele dia?
6. Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra
aumenta, aproximadamente, 3ºC a cada 100 m de profundidade. Num certo
local, a 100 m de profundidade, a temperatura é de 25ºC. Nessas condições,
determine a temperatura relacionada a 1500 m de profundidade.
7. A poluição atmosférica em metrópoles aumenta ao longo do dia. Em certo
dia, a concentração de poluentes no ar, às 8h, era de 20 partículas, em cada
milhão de partículas, e, às 12h, era de 80 partículas, em cada milhão de
partículas. Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia é uma
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função do 1º grau (função afim) no tempo, qual o número de partículas
poluentes no ar em cada milhão de partículas, às 10h20min?
8. Se f e uma função do primeiro grau tal que
então calcule
,
.
9. Na figura mostrada tem-se o gráfico da função do 1º grau definida por
Calcule o valor de
.
10. O gráfico da função
Determine o valor da expressão:
passa pelos pontos
é:
11. Sabendo que os pontos
definida por
pertencem ao gráfico da função
, determine o valor de
12. Calcular os zeros das seguintes funções:
13. Calcular m para que:
a) a função
b) a função
c) a função
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seja côncava para cima.
seja côncava para baixo.
seja quadrática.
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14. Nas funções abaixo, calcule as coordenadas do vértice, dizendo se este é
ponto de máximo ou mínimo.
15. Em cada função mostrada, calcule a concavidade, os zeros, as
coordenadas do vértice, crescimento e decaimento, esboço do gráfico, o foco e
as equações do eixo e diretriz das parábolas.
16. Determine a lei da função afim cuja reta que a representa tem coeficiente
angular igual a 2 e passa pelo vértice da parábola de equação
.
17. Responda as questões:
a) Entre todos os pares de números reais x e y cuja soma é
20 ,
3
determine
aqueles para os quais o produto seja máximo.
b) Entre todos os pares de números reais x e y, tais que
determine
aqueles para os quais a soma de seus quadrados seja mínima.
18. Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro
retangular. Para os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo
a produzir uma área máxima. Qual o quociente do lado menor pelo maior?
19. Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de
futebol, teve sua trajetória descrita pela equação
onde t é o tempo medido em segundos e
,
é a altura em metros da bola no
instante t. Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
b) a altura máxima atingida pela bola.
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20. De um cartão retangular de base 14 cm e altura 12 cm, deseja-se recortar
um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a
parte hachurada será retirada. Calcule o valor de x, em centímetros, para que a
área total removida seja mínima.
21. Uma empresa trabalha com placas de publicidade retangulares, de lados
iguais a
metros.
a) Determine os valores de x, para que a área da placa varie de 12m2 a 28m2.
b) Determine as medidas dos lados da placa de 28m2.
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