3. Função Polinomial de 2º grau
A função dada
dada por
ou função quadrática.
Exemplos:
, com
, ,
reais e
, denomina-se função do 2º grau
O gráfico da função de 1º grau é uma curva aberta chamada parábola. Se o gráfico da função tem a parábola
com concavidade voltada para cima,
.
Se o gráfico da função tem a parábola com concavidade voltada para baixo,
3.1 Zero (raiz) da Função de 2º Grau
Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de
tornam
.
Assim, x1 e x2 são as abscissas nas quais a parábola corta o eixo
intersecção da parábola com o eixo .
•
•
•
.
que anulam a função, ou seja, que
, ou seja,
e
são os pontos de
Quando
,
e a parábola intercepta o eixo em dois pontos diferentes.
,
e a parábola intercepta o eixo em um único ponto.
, não existem raízes reais e a parábola não intercepta o eixo .
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1
3.2 Gráfico Parabólico
No gráfico abaixo, da função
da parábola. As coordenadas de
, marcamos um ponto
são dadas por:
. Esse ponto tem o nome de vértice
Se traçarmos uma reta paralela ao eixo y que passe pelo vértice, estaremos determinando o eixo de simetria
da parábola.
3.3 Intersecção com o Eixo y
Para determinar as coordenadas desse ponto, basta substituir x por 0 (zero) na função:
Exemplo
1. Para
Então, encontramos
as coordenadas para o ponto de intersecção com o eixo y:
.
3.4 Mínimo ou Máximo da Parábola
Quando y assume o menor valor da função, ele é a ordenada do ponto mínimo da função (yv):
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2
Quando assume o maior valor da função, ele é a ordenada do ponto máximo da função (yv):
3.5 Fatoração do Trinômio de 2º Grau
Exemplos:
1. Fatore o trinômio do 2º grau x2 – 6x + 8.
Isto é,
Então,
2. Fatore o trinômio do 2º grau 3x2 – 6x + 3.
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3
Isto é,
Então,
Exercícios
1. Determine, se existirem, os zeros ou raízes reais das funções seguintes:
a) f(x)= 3x² - 7x + 2
b) f(x)= -x² + 3x - 4
c) f(x)= -x² + 3/2x + 1
d) f(x)= x² -4
e) f(x)= 3x²
2. As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma dessas funções, ache as coordenadas
do vértice que a representa:
a) f(x)= x² - 4x + 5
b) f(x)= x² +4x - 6
c) f(x)= 2x² +5x - 4
d) f(x)= -x² + 6x - 2
e) f(x)= -x² - 4x +1
3. Construa o gráfico das seguintes funções:
4. Fatore, quando for possível:
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4
5. Simplifique a expressão:
6. Qual é o valor da expressão
para x=98?
7. Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0).
a) Determine a equação da reta r.
b) Determine a equação dessa parábola.
8. A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
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5
A equação da reta r é:
a) y = -2x + 2
b) y = x + 2.
c) y = 2x + 1
9. Considere a função
, definida por
a) o vértice do gráfico de é o ponto ( ).
b) possui dois zeros reais distintos.
c) atinge um máximo para
.
d) O gráfico de é tangente ao eixo das abscissas.
d)y = 2x + 2.
e) y = -2x – 2
. Pode-se afirmar corretamente que:
10. O lucro mensal de uma empresa é dado por
, onde é quantidade mensal vendida.
a) Qual é o lucro mensal máximo possível?
b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?
11. Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em metros,
num tempo t, em segundos, de acordo com a relação h(t) = -t2 + 8t.
a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima? [Nota]: observem o vértice
b) b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola?
c) c) Esboce o gráfico que represente esta situação.
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