Biologia Estrutural
Espaço Recíproco e a Esfera de Ewald
Prof. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr.
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© 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.
Resumo
Índices de Miller
Índices de Direções
Espaço Recíproco
Esfera de Ewald
Esfera Limite
Número de reflexões
Referências
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Índices de Miller
Consideremos uma cela unitária, como
mostrada na figura ao lado, as conclusões
referentes à esta cela unitária, no que tange
às propriedades dos índices de Miller, valem
para os outros sistemas cristalinos, com
exceção do sistema hexagonal, que não
discutiremos aqui. Na análise do fenômeno
de difração de raios X, uma atenção especial
é dada para o conjunto de planos paralelos
que difratam. Tal conjunto de planos
paralelos, num retículo cristalino, pode ser
representado por um conjunto de inteiros,
relacionados aos interceptos com os eixos x,
y e z. Para simplificar a explicação
consideremos os seguintes exemplos.
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z
y
x
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Índices de Miller
O plano ilustrado ao lado intercepta o eixo x
na posição 1, e é paralelo aos eixos y e z.
Os índices de Miller desse plano obtém-se
com o inverso dos interceptos aos eixos x, y
e z. Os interceptos são 1, ∞, ∞; e o inverso é
1, 0, 0, assim o índice de Miller do plano em
cinza mostrado ao lado é (100). Na verdade
estes índices indicam a família de planos
paralelos a ele e que interceptam o eixo x
em a, 2, 3, 4, ....
z
(100)
y
1
x
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Índices de Miller
O plano ao lado intercepta o eixo x em 1, o
eixo y em 1 e é paralelo ao eixo z. O índice
de Miller é (110).
z
(110)
1
y
1
x
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Índices de Miller
O plano ao lado intercepta o eixo x em 1, o
eixo y em 1 e o eixo z em 1. O índice de
Miller é (111).
z
1
(111)
1
y
1
x
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Índices de Miller
O plano ao lado intercepta o eixo x em 1, o
eixo z em 1 e é paralelo ao eixo y. O índice
de Miller é (101).
z
1
(101)
1
y
1
x
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Índices de Miller
O plano ao lado intercepta o eixo y em 1, o
eixo z em 1 e é paralelo ao eixo x. O índice
de Miller é (011).
z
1
(011)
1
y
1
x
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Índices de Miller
O plano ao lado intercepta o eixo x em 1/2, o
eixo y em 1 e é paralelo ao eixo x. O índice
de Miller é (210).
z
(210)
½
1
y
x
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Índices de Miller
O plano ao lado intercepta o eixo x em 1/4, o
eixo y em 1 e é paralelo ao eixo x. O índice
de Miller é (410).
z
(410)
¼
1
y
x
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Índices de Miller
Ao lado temos a indicação dos planos (100),
paralelo ao plano yz, (010) paralelo ao plano
xz e (001) paralelo ao plano xy.
z
(001)
(100)
(010)
y
x
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Índices de Miller
Na figura ao lado temos um plano
interceptando o eixo y em ½ e paralelo ao
plano xy, determinamos os índices de Miller
invertendo-se o intercepto em y, assim
temos (020).
z
(020)
½
y
x
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Índices de Miller
Na figura ao lado temos um plano
interceptando o eixo y em 1/4 e paralelo ao
plano xy, determinamos os índices de Miller
invertendo-se o intercepto em y, assim
temos (040).
z
(040)
1/4
y
x
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Índices de Miller
Toda vez que o plano corta a origem,
coordenadas 0,0,0; temos que lembrar que
esta representação refere-se a um cristal,
onde temos repetição da cela unitária em
três dimensões, como mostrado ao lado.
z
1
y
O plano equivalente corta o eixo x em 1 e o
eixo y em -1, sendo paralelo à z, os índice
de Miller são (1 -1 0), a notação
cristalográfica usa uma barra sobre
números negativos: (110)
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x
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Índices de Miller
A cela unitária ao lado tem parâmetros de
cela unitária a = 4 Å, b = 8 Å e c = 3 Å,
consideremos um plano que intercepta a
cela unitária em x = 1 Å, y = 4 Å e z = 3
Å. Determinaremos o índices de Miller do
plano seguindo-se o seguinte algoritmo.
2) Tomemos os interceptos nos eixo x, y e
z:
x = 1 Å, y = 4 Å e z = 3
4) Calculemos a fração do eixo de cada
intercepto:
¼, 4/8 e 3/3 ou seja, ¼, ½, 1
3) Invertemos essas frações, como segue:
4, 2, 1. Os índices de Miller desse plano são
(421)
z
3Å
c=3Å
4Å
1Å
b=8Å
y
a=4Å
x
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Índices de Direções
Vetores
perpendiculares
a
planos
cristalinos de índice de Miller (hkl)
recebem índices da direção [hkl], em
notação cristalográfica, qualquer direção,
indicada por [hkl] representa a direção de
um vetor perpendicular ao plano (hkl). Na
cela unitária ao lado temos as direções
[100], [010] e [001] indicadas, essas
direções são perpendiculares aos planos
(100), (010) e (001), respectivamente.
z
[001]
(001)
(100)
[100]
(010)
[010]
y
x
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Espaço Recíproco
Ponto do espaço recíproco
O espaço recíproco pode ser definido
como um conjunto de pontos, onde
cada ponto é determinado como segue:
considere normais a todos os planos do
espaço (hkl), saindo de um ponto O,
considerado como origem. Cada normal
aos plano (hkl) finaliza em um ponto, a
uma distância dhkl* = 1/dhkl, onde dhkl é a
distância interplanar dos planos (hkl),
O
este conjunto de pontos (terminações
das normais) é que formam o espaço
recíproco. Vamos ilustrar em duas y
dimensões.
x
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♦
Ponto do espaço direto
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦♦♦
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
(110)
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Espaço Recíproco
Ponto do espaço recíproco
Consideremos
o
espaço
direto,
representado abaixo, vamos determinar
alguns pontos do espaço recíproco.
Seja o plano (100), representado pela
linha vermelha, consideremos uma
origem arbitrária, indicada por O.
Vamos traçar um vetor de O,
perpendicular ao plano (110), o
tamanho deste vetor é d110*, assim
temos um ponto do espaço recíproco no
final deste vetor.
♦
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦♦♦
O
dhkl*
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
y
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
x
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Ponto do espaço direto
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
(110)
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Espaço Recíproco
Ponto do espaço recíproco
Para os planos (120) e (130) temos os
pontos
indicados.
Resumindo,
aplicando-se
sucessivamente
este
processo, teremos um conjunto de
pontos dos espaço recíproco, para cada
plano do espaço direto, ou seja, temos
uma
correspondência
entre
os
potenciais planos refletores e pontos do
espaço recíproco.
♦
Ponto do espaço direto
130
O
120
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦♦♦
110
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
y
x
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♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
(130)
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
(120)
(110)
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Espaço Recíproco
As propriedades geométricas de um
retículo recíproco são as inversas do
retículo cristalino. Consideremos uma
cela
unitária
com
parâmetros
relativamente grandes (a, b, c), como o
parâmetros de cela unitária de cristais
de proteínas. A cela recíproca (a*, b*, c*)
é pequena (propriedade recíproca).
z
c
c*
b*
a*
b
y
a
x
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Espaço Recíproco
Agora temos uma cela unitária direta
relativamente pequena (a,b,c) a cela
recíproca é grande (a*, b*, c*).
z
c
*
c
b
a
a
*
b*
y
x
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Espaço Recíproco
O espaço recíproco é um artefato matemático criado para auxiliar na interpretação do
processo de difração de raios X. O espaço recíproco, determinado pelos eixos
recíprocos a*, b*, c* e ângulos α*, β* e γ* está relacionado com o espaço direto,
representado pelos eixos a, b, c e ângulos α, β e γ. A dimensão do espaço recíproco é
o inverso do comprimento, consequentemente suas unidades são inversas das
unidades de comprimento(m-1, cm-1, Å-1 e outras). As equações abaixo relacionam os
eixos diretos com os recíprocos.
a* = bc sen α
V
b* = ac sen β
V
c* = ab sen γ
V
V = 1/V* = abc(1 – cos2α - cos2β - cos2γ + 2 cos α.cos β.cos γ )1/2
V* = 1/V = abc(1 – cos2α* - cos2β* - cos2γ* + 2 cos α*.cos β*.cos γ* )1/2
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Espaço Recíproco
Os ângulos α*, β*, γ* e α, β, γ são dados pelas seguintes equações.
cos α* = cos β cos γ - cos α
sen β sen γ
cos α= cos β* cos γ * - cos α*
sen β* sen γ*
cos β* = cos α cos γ - cos β
sen α sen γ
cos β* = cos α* cos γ* - cos β*
sen α* sen γ*
cos γ* = cos α cos β - cos γ
sen α sen β
cos γ* = cos α* cos β* - cos γ*
sen α* sen β*
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Esfera de Ewald
Podemos interpretar o fenômeno
da difração de raios X por um
cristal
considerando-se
uma
esfera centrada no cristal, de raio
1/λ, como mostra a figura, essa
esfera é chamada esfera de
Ewald.
Feixe difratado
P’
P
Retículo recíproco
S (vetor do espaço recíproco)
Feixe de
raios X
θ
θ
θ
C Cristal
O
Feixe direto
1/λ
Esfera de Ewald
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Esfera de Ewald
Toda vez que um ponto do
retículo recíproco cruza a esfera
de Ewald, temos a produção de
um ponto de difração. Na figura
abaixo um ponto do retículo
recíproco é representado por
intesecção das linhas.
Feixe difratado
P’
P
Retículo recíproco
S (vetor do espaço recíproco)
Feixe de
raios X
θ
θ
θ
C Cristal
O
Feixe direto
1/λ
Esfera de Ewald
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Esfera de Ewald
O ponto
difração,
giramos
trazendo
condição
ponto P’.
P produz um ponto de
ao girarmos o cristal
o retículo recíproco,
novos pontos em
de difração, como o
Feixe difratado
P’
P
Retículo recíproco
S (vetor do espaço recíproco)
Feixe de
raios X
θ
θ
θ
C Cristal
O
Feixe direto
1/λ
Esfera de Ewald
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Esfera de Ewald
O resultado líquido de girarmos o
cristal é que podemos registra
diversos pontos de difração.
Normalmente, em coleta de
dados, que usa a geometria da
câmara de oscilação, este recurso
é usado para obtenção de
diversos pontos por cada imagem
medida.
Feixe de
raios X
Feixe difratado
P’
P
Retículo recíproco
S (vetor do espaço recíproco)
θ
θ
θ
C Cristal
O
Feixe direto
1/λ
Esfera de Ewald
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Esfera de Ewald
O
módulo
de
vetor
de
espalhamento é d (espaçamento
interplanar), a partir da análise da
figura podemos determinar a
relação entre o ângulo θ, d e o
comprimento de onda (λ), como
segue.
Feixe difratado
P’
P
Retículo recíproco
S (vetor do espaço recíproco)
Feixe de
raios X
θ
θ
θ
C Cristal
O
Feixe direto
1/λ
Esfera de Ewald
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Esfera de Ewald
Considere o triângulo APO, pela
geometria da figura temos que o
ângulo PÂO é θ, assim temos:
Feixe difratado
P’
sen θ = S
2/λ
P
Retículo recíproco
S (vetor do espaço recíproco)
Feixe de
raios X
A
θ
θ
θ
θ
C Cristal
O
Feixe direto
1/λ
Esfera de Ewald
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Esfera de Ewald
P é um ponto do espaço
recíproco, assim seu comprimento
é 1/dhkl, onde hkl são os índices
dos planos relacionados com P.
Assim temos:
sen θ = S = 1/dhkl
2/λ
2/λ
Feixe difratado
P’
P
Retículo recíproco
S (vetor do espaço recíproco)
Feixe de
raios X
A
θ
θ
θ
θ
C Cristal
O
Feixe direto
1/λ
Esfera de Ewald
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Esfera de Ewald
Ou seja: 2.d sen θ = λ
Feixe difratado
P’
P
Retículo recíproco
S (vetor do espaço recíproco)
Feixe de
raios X
A
θ
θ
θ
θ
C Cristal
O
Feixe direto
1/λ
Esfera de Ewald
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Esfera de Ewald
Experimentalmente observamos que os
pontos do retículo recíproco apresentam
volume, ou seja, eles ficam em condição de
difração um certo tempo, durante a rotação
do retículo recíproco. Isto deve-se a fatores
como a mosaicidade do cristal, ou seja, há
uma leve desordem, o que não traz todas as
celas unitárias em condição de difração, para
um dado ponto do retículo, ao mesmo tempo.
Retículo
recíproco
-201 -101 001
Feixe de
Raios X
Esfera de
Ewald
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101
201
-200 -100
000 100
200
-20-1 -10-1
00-1 10-1
20-1
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Esfera de Ewald
Podemos pensar no ponto do retículo
recíproco como um nódulo, que durante a
rotação do retículo recíproco entra em
condição de difração (cruza a esfera de
Ewald), fica um certo tempo nesta situação,
durante a rotação e depois sai de condição de
difração. Na animação ao lado temos um
nódulo do retículo recíproco que entra em
condição de difração, fica um certa tempo, e
depois cessa a difração. O detector indica o
registro da intensidade difratada por meio da
coloração azul.
Fonte: http://www.science.uva.nl/research/cmp/goedkoop/group/docs/fluctuations/scans.html
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Esfera de Ewald
A câmara de oscilação, ou rotação, é o principal instrumento usado para o registro do
padrão de difração de raios X de cristais de macromoléculas biológicas. O diagrama
esquemático abaixo ilustra as principais características da câmara de oscilação.
Retículo recíproco
Fonte de raios X
Cristal
Cabeça goniométrica
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Placa de imagem
Padrão registrado
na placa de imagem
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Esfera Limite
Ao
girarmos
o
cristal,
e
consequentemente
o
retículo
recíproco, podemos varrer uma
ampla região do espaço recíproco.
O número total de pontos do
retículo recíproco, que podem
cruzar a esfera de Ewald, pode ser
determinado a partir da esfera
limite. Girar o retículo recíproco é
equivalente a girarmos a esfera de
Ewald, que gera então uma esfera
limite de raio 2/λ.
Retículo
recíproco
-201 -101 001
101
201
000 100
200
1/λ
Feixe de
Raios X
-200 -100
2/λ
Esfera de
Ewald
-20-1 -10-1
00-1 10-1
20-1
Esfera limite
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Esfera Limite
Os pontos do retículo reciproco
dentro do volume da esfera limite
podem ser trazidos em condição
de difração. A determinação do
número total de pontos que
podem gerar padrões de difração
de raios X é determinado
dividindo-se o volume da esfera
limite pelo volume da cela
unitária recíproca, considerandose que a cela unitária é primitiva.
Retículo
recíproco
-201 -101 001
101
201
000 100
200
1/λ
Feixe de
Raios X
-200 -100
2/λ
Esfera de
Ewald
-20-1 -10-1
00-1 10-1
20-1
Esfera limite
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Esfera Limite
Seja N o número de reflexões
potencialmente gerados para
uma esfera limite de raios 2/λ.
Retículo
recíproco
N = Vesfera limite
V*
-201 -101 001
101
201
000 100
200
1/λ
N = 4/3 π (2/λ)
V*
Feixe de
Raios X
3
Sabemos que: V =1/Vcell , onde Vcell é o
volume da cela unitária, assim temos:
-200 -100
2/λ
*
N = 32 π Vcell
3 λ3
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Esfera de
Ewald
-20-1 -10-1
00-1 10-1
20-1
Esfera limite
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Número de Reflexões
Consideremos uma cela unitária ortorrômbica de dimensões 40 x 60 x 80 Å, que difrata
a 2,5 Å de resolução, o volume da cela unitária é Vcell = 40 . 60 . 80 = 192.000 Å3.
Usando-se a equação do número de reflexões temos:
N = 32 π V
3 λ3
= 32 π 192.000 / 3.(2,5)3 = 411.775 reflexões
Felizmente, por razões de simetria não é necessário coletar todas essas reflexões, 1/8
dos dados de difração de raios X, ou próximo disso normalmente é suficiente para o
grupo espacial ortorrômbico primitivo ou aproximadamente 51.472 reflexões.
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Referências
Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: SpringerVerlag.
Rhodes, G. (2000). Crystallography Made Crystal Clear. 2nd ed.San Diego: Academic
Press.
Stout, G. H. & Jensen, L. H. (1989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide.
2nd ed. New York: John Wiley & Sons.
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