Questão 19
Qualquer automóvel com velocidade v no instante em que seus freios são acionados ainda
percorre uma distância d até parar completamente. A distância d é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade v. Para
certo automóvel em certo tipo de pista, a
1
constante de proporcionalidade é
, com d
200
dada em metros e v em quilômetros por hora.
Nessas condições, para d = 50 m tem-se v
igual a
a) 60 km/h
b) 75 km/h
c) 80 km/h
d) 100 km/h
e) 120 km/h
alternativa D
Como a distância percorrida d, em metros, pelo
automóvel até parar é diretamente proporcional
ao quadrado da velocidade v, em km/h, com
1
, teconstante de proporcionalidade igual a
200
1
mos d =
⋅v 2 .
200
1
Assim, para d = 50, temos 50 =
⋅v 2 ⇔
200
⇔ v = 100 km/h.
Questão 20
Na figura abaixo tem-se um trecho do gráfico
de uma função de variável real dada por
f(x) = ax2 + bx + c.
Usando as informações do gráfico, é possível
determinar os coeficientes a, b, c.
O valor de b é
a) 0
b) −1
c) −2
d) −3
e) −4
alternativa A
Pelo gráfico, f(0) = 2 ⇔ a ⋅ 0 2 + b ⋅ 0 + c = 2 ⇔
⇔ c = 2.
Assim,
⇔
f(1) = 3
a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + 2 = 3
⇔
⇔
f(2) = 6
a ⋅ 22 + b ⋅ 2 + 2 = 6
a =1
.
b =0
Questão 21
A circunferência de centro (2, 1) e raio 3 intercepta o eixo das abcissas nos pontos de
abcissas
a) −2 + 2 2 e −2 − 2 2
b) 2 + 2 2 e 2 − 2 2
c) 2 +
d) −1 −
e) 1 +
2 e2 −
2
5 e −1 +
5 e1 −
5
5
alternativa B
A circunferência de centro (2; 1) e raio 3 tem
equação (x − 2) 2 + (y − 1) 2 = 3 2 . Esta circunferência intercepta o eixo das abscissas para
y = 0 e, portanto, (x − 2) 2 + (0 − 1) 2 = 3 2 ⇔
⇔ (x − 2) 2 = 8 ⇔
x −2 = 8
ou
⇔
x −2 =− 8
x =2 +2 2
.
ou
⇔
x =2 −2 2
Questão 22
Para realizar operações bancárias via Internet, certo “site” exige que se apresente uma
senha constituída por 4 algarismos. Depois
de realizada a operação, é necessário digitar
matemática 2
uma segunda senha, de 3 algarismos. Nos
dois casos podem ser escolhidos quaisquer
algarismos de 0 a 9. Suponhamos que alguém que não conheça as senhas tente descobri-las fazendo tentativas.
O número máximo de tentativas será
a) 410 ⋅ 310
b) 107
d) 10 998
c) 11 000
e) 120
ver comentário
Questão 23
Uma pirâmide regular, de 8 cm de altura,
tem por base um quadrado cujos lados medem 12 cm. Ela é seccionada por um plano
paralelo à base, que intercepta a altura no
seu ponto médio.
A área total do tronco de pirâmide obtido é,
em centímetros quadrados, igual a
a) 180
b) 240
c) 300
d) 324
e) 360
Essa questão admite várias interpretações. Aprealternativa E
sentaremos quatro possíveis:
• Supondo que as senhas devam apenas ser
descobertas e que constitui uma tentativa uma
das seguintes situações: a primeira senha é digitada e está incorreta ou a primeira senha está
correta e, imediatamente, temos acesso à digitação da segunda senha.
Assim, para descobrir a primeira senha, teremos
que fazer, no máximo, 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 − 1 = 104 − 1
tentativas.
Então, a partir da tentativa 104 , teremos acesso à
digitação da segunda senha. Em, no máximo,
10 ⋅ 10 ⋅ 10 − 1 = 103 − 1 tentativas descobriremos
a segunda senha.
Logo o número máximo de tentativas é
104 − 1 + 103 − 1 = 10 998 ; alternativa D.
• As senhas corretas devam ambas ser digitadas
e mesma interpretação de tentativa dada anteriormente.
Teremos que digitar o valor correto da segunda Sejam O o centro da base ABCD e M o ponto mésenha totalizando 104 − 1 + 103 = 10 999 tentati- dio da aresta CD. O triângulo OPM é retângulo
vas; sem alternativa correta.
em O, logo PM = 6 2 + 8 2 = 10 cm.
• As senhas devam apenas ser descobertas e O plano secciona a pirâmide em dois sólidos,
após acertarmos a primeira senha, só tentamos sendo um deles uma pirâmide semelhante à piacertar a segunda senha, não sendo necessário
1
râmide OABCD, com razão de semelhança
.
digitar novamente a primeira.
2
4
São, então, 10 tentativas para termos acesso à
1
Logo a base EFGH tem aresta
⋅ 12 = 6 cm e
segunda senha. Em mais 103 − 1 tentativas des2
cobrimos a segunda senha. No total 10 999; sem
1
1
PM =
PN =
⋅ 10 = 5 cm. Assim, MN =
alternativa correta.
2
2
• As senhas corretas devam ambas ser digitadas = PM − PN = 10 − 5 = 5 cm.
e, assim como na interpretação dada anterior- A área total do tronco é igual à soma das
mente, após acertarmos a primeira senha, só ten- áreas das bases ABCD e EFGH mais quatro vetamos acertar a segunda, não sendo necessário zes a área da face lateral CDFG, que é um trapézio de bases CD = 12 cm e FG = 6 cm e altura
digitar novamente a primeira.
Teremos que digitar corretamente a segunda se- MN = 5 cm, ou seja:
12 + 6
nha, totalizando 104 + 103 = 11 000 tentativas; al12 2 + 6 2 + 4 ⋅
⋅ 5 = 360 cm 2
2
ternativa C.
matemática 3
alternativa C
Questão 24
Pela Lei dos Senos:
No triângulo ABC tem-se que BÂC mede 80o,
$ mede 40o e BC = 4 cm.
ABC
Se sen 20o = k, então a medida de AC, em
centímetros, é dada por
a) 2
c)
e)
2
1 − 2k2
2 ⋅ (1 − k)
1 − 2k
b)
d)
4
k
2 ⋅ 1 − 2k
1 − 2k2
AC
BC
AC
4
$ = sen BAC
$ ⇔ sen 40o = sen 80o ⇔
sen ABC
⇔
AC
sen 40
⇔ AC =
2
=
o
=
4
2 sen 40o cos 40o
2
cos(2 ⋅ 20o )
2
1 − 2k 2
⇔ AC =
⇔
2
1 − 2 sen 2 20o
=