ANÁLISE DE RELEVO DE SUPERFÍCIES POR MEIO DE REGISTRO
HOLOGRÁFICO EM CRISTAIS Bi12TiO20 COM LASERS DE DIODO.
E. A. Barbosa *, A.A.V. Filho *, M.R.R. Gesualdi **, M. Muramatsu **
*
Laboratório de Óptica Aplicada, Faculdade de Tecnologia de São Paulo, CEETEPS-UNESP, Pça Cel
Fernando Prestes, 30, CEP 01124 060, São Paulo – SP, Brazil
**b
Instituto de Física, Universidade de São Paulo, CP 66318, CEP 05315-970, São Paulo – SP, Brazil
E-mail: [email protected]
Resumo
Apresentamos o estudo sobre o uso de lasers
emitindo em múltiplos comprimentos de onda para a
técnica de perfilometria holográfica em cristais
fotorrefrativos de Bi12TiO20 (BTO). Quando estes
lasers são utilizados, a imagem holográfica aparece
coberta de franjas de interferência, que
correspondem às curvas de nível do objeto estudado.
Fazendo-se uso das propriedades destas imagens
holográficas, obtivemos interferogramas com dois
feixes referência, o que permite uma inspeção visual
mais detalhada e diminuição do ruído da medida
perfilométrica.
1-Introdução
A perfilometria ou análise de relevo de
superfícies tem muitas aplicações de grande
importância e pode ser aplicada em diversas áreas da
indústria, como controle de qualidade, visão
artificial, rugosimetria, avaliação de técnicas de
soldagem, replicação de peças para CNC, etc . Os
métodos ópticos de perfilometria e análise de relevo
possuem a vantagem de serem processos não
destrutivos e de alta precisão. A técnica de
perfilometria por holografia é obtida usualmente
quando se utilizam dois comprimentos de onda
registrando os hologramas. Este método utiliza um
laser que é sintonizado em duas diferentes
freqüências de emissão através de uma variação de
temperatura ou de corrente elétrica no laser. Isto
torna possível sintonizar o comprimento de onda do
laser e obriga a prática de um processo de dupla
exposição [1,2].
É possível obter-se o mesmo efeito com um
laser de diodo ou um laser de curta cavidade
(ressonadores curtos) emitindo simultaneamente em
vários comprimentos de onda, sem que seja preciso
sintonizá-lo, já que o laser de diodo possui uma
importante propriedade [3]: os lasers de curta
cavidade emitem simultaneamente vários modos
longitudinais, cada um com um comprimento de
onda [4]. Mesmo que as condições de corrente
elétrica no laser e temperatura permaneçam, o laser
de curta cavidade possui uma emissão espontânea
em multi-modos que geram diferentes comprimentos
de onda dentro de uma certa faixa espectral.
Conhecida essa propriedade nos lasers de
diodo, foi possível agilizar o processo de aquisição
dos interferogramas, já que a técnica de sintonizar o
laser era mais trabalhosa e não fornecia imagens
com boa resolução de imediato. Utilizando o laser de
diodo e sua propriedade de emissão em multi-modos
não era mais preciso controlar a temperatura ou a
corrente elétrica no laser e a qualidade das imagens
se mostrou superior assim como o tempo gasto para
se gravar os hologramas era significativamente
menor. Por estas razões foi adotada a montagem
com o laser de diodo de multi-modos (ressonador
curto), pelas vantagens apresentadas em relação ao
laser sintonizável, além da praticidade e resultados
imediatos. Para a conversão do padrão de franjas de
interferência num mapa de fase, utilizamos a técnica
de “Phase-stepping” (PST) [5], e obtivemos a
reconstrução tridimensional do objeto através do
método “ Cellular-automata” [6,7].
2.1-Registro holográfico com laser de multi-modo
com um feixe referência
Para hologramas com um feixe referência
consideramos a incidência dos feixes referência (R)
e objeto (S) no cristal fotorrefrativo BTO. Desde que
os dois feixes partam originalmente de um mesmo
laser multi-modo, as amplitudes R e S no cristal
BTO são dadas por [3]:
R N (0) = R0
n=( N −1) 2
{i[(k + n∆k )ΓR +
∑
An exp
n =−( N −1) 2
}
n]
(1)
S N (0) = S 0
n =( N −1) 2
∑
{i[(k + n∆k )ΓS +
An exp
n=−( N −1) 2
}
n]
onde N é o número de modos de oscilação,
k ≡ 2π λ é a variação de comprimento de onda
entre dois modos adjacentes, ΓS and ΓR são os
caminhos ópticos dos feixes referência e objeto
respectivamente, e n é a fase do enésimo modo da
saída do laser. O coeficiente An é real. Se o cristal é
cortado na configuração eletro-óptica transversa
(110) e se o processo de leitura de saída é realizado
por auto-difração, então a intensidade ID da
reconstrução da onda do objeto é dado como função
da eficiência de difração η :
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 R* S
N N
I D = ηI R ∝ m 2 I R = 2
R 2 + S
N
 N

I
2  R

(2)
onde m é a visibilidade do padrão de
interferência e IR é a intensidade do feixe referência.
Como não há nenhuma coerência mútua entre modos
diferentes, a diferença de fase n − m entre tais
modos depende randomicamente do tempo. Por isto,
a intensidade da reconstrução holográfica do feixe
objeto pode ser escrita pela equação (1) e (2) como:
2
sin[ N∆k (ΓS − ΓR ) 2] 
I D ∝ 2m0 
 IR
 sin[∆k (ΓS − ΓR ) 2] 
(3)
onde m0 ≡ 2 R0 S0 /( R02 + S 02 ) e An =1 na
equação (1) para simplificação. Da equação acima a
formação de franjas claras e escuras na imagem
holográfica na gravação por exposição simples se
torna clara. Como o valor do caminho óptico para o
feixe referência ΓR depende exclusivamente da
geometria da montagem óptica, conclui-se que a
franja de interferência é uma região de isodistância
do objeto em relativamente a face dianteira do meio
holográfico. Considerando dois pontos A e B cada
um franjas claras adjacentes, obtém-se da equação
(3) a diferença de caminho óptico entre os pontos A
eB:
ΓS , B − ΓS , A =
2π λ
=
≡ λS
∆k ∆λ
2
(4)
onde λS é o comprimento de onda sintético
[2] e ∆λ é o intervalo de comprimento de onda
entre modos adjacentes. O termo λ2 ∆λ é
relacionado ao FSR para modos longitudinais
devido aos processos de “hole burning” [4] pela
expressão λ2 ∆λ = c ∆ = 2 L , onde L é o
comprimento do ressonador do laser. Assim, quanto
mais curta a cavidade do laser, maior é o seu FSR, e
menor será a diferença de profundidade entre franjas
adjacentes.
Pelas razões expostas acima, as cavidades
tipicamente curtas dos laser de diodo fazem deles
uma fonte luminosa muito interessante para os
propósitos de perfilometria por holografia. Como a
incidência do feixe que ilumina o objeto é quase
normal, pode-se escrever a relação para a diferença
de profundidade ∆z entre duas franjas vizinhas
como ∆z ≈ (ΓS ,B − ΓS , A ) 2 = L .
2.2– Perfilometria de superfície pela técnica de
Phase-Stepping com um feixe referência
A emissão do laser de diodo em múltiplos
modos longitudinais permite o emprego da técnica
de “Phase-stepping” para a análise quantitativa das
franjas obtidas Considerando os três modos
oscilantes, essa técnica de avaliação das franjas está
baseada na mudança de intensidade devido a uma
mudança de fase provocada em um dos feixes na
montagem experimental, assim é feito um avanço de
fase no feixe referência na seqüência: 0-, π/2-, π- e
3π/2.
Desta forma, a equação (3) pode ser escrita como :
2
 sin[ N (∆kΓS ( x, y ) + lπ 2) / 2] 
I D ,l ( x, y ) ∝ 2m0 
 IR
sin[(∆kΓS ( x, y ) / 2 + lπ 2) / 2] 
(5)
onde l=0,1,2 and 3. Considerando-se N=3
como o número de modos oscilantes, obtém-se, por
manipulação
matemática
a
fase
relativa
S ( x, y ) ≡ ∆kΓS ( x, y ) 2 da superfície como função
das intensidades ID0, ID1, ID2 e ID3 do interferograma:
S ( x, y )
 I D1 − I D3 
1

= arctan
I − I 
2
 D0 D2 
(6)
Da equação acima obtém-se um mapa de fase
em tonalidades de cinza com valores no faixa de -π
< S < π, correspondendo a 256 tons, do preto ( S
= -π) ao branco ( S = π).
2.3- Registro holográfico com laser multi-modo
com dois feixes referência.
A emissão do laser de diodo em múltiplos
modos também permite a análise de franjas através
de inspeção visual. Da equação (3) observa-se que a
largura da franja clara e o número de modos
oscilantes são inversamente proporcionais [3]. A
figura 1 mostra o contorno de uma franja clara para
N=2 (curva pontilhada), N=5 (curva tracejada) e N=8
(curva contínua) modos para 1.18 rd/mm ao redor de
λ=670nm.
Figura 1: largura da franja de interferência para
N=2 (linha pontilhada), N=5 (linha tracejada) e N=8
modos laser.
Pode-se obter vantagem de tal propriedade
empregando-se um laser que emite com mais de dois
modos e uma montagem óptica com um feixe objeto
e com dois feixes referência para aumentar a
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sensibilidade da técnica por análise qualitativa e
quantitativa. Considerando-se a incidência de dois
feixes referência 1 e 2 com intensidade IR1 e IR2, tal
que I R1 = I R 2 = I R 2 . Neste caso, a reconstrução
holográfica do objeto é a superposição de duas
imagens holográficas, cada um gerado pela interação
da onda de objeto com uma das ondas de referência.
Assim, o interferograma na imagem holográfica tem
a seguinte distribuição de intensidades:
I D'
sin[ N∆k (Γ − Γ ) 2] 2

S
R1
∝ 2m0 
 +
sin
[
∆
k
(
Γ
−
Γ
S
R
1 ) 2] 



2
sin[ N∆k (ΓS − ΓR 2 ) 2] 


 sin[∆k (ΓS − ΓR 2 ) 2] 
Neste caso, ambos feixes referência são defasados
simultaneamente de 0, π/2, π e 3π/2 (relativos a
λSeff ), resultando em quatros interferogramas cuja
intensidade é determinada por :
{ [(
)] }
I D' ,l ∝ 4 m 0 I R 4 cos 2 ∆k eff ΓS + l π 2 2 +1 , (9)
onde l=0,1,2,3.
(7)

I R


onde ΓR1 and ΓR2 são os caminhos ópticos
dos feixes referência 1 e 2, respectivamente. No
caso, cada feixe referência contribui para a formação
de um padrão de franjas na superfície do objeto cuja
intensidade depende da diferença ΓS − ΓRi . A
imagem holográfica resulta da distribuição de
intensidade de luz dada pela equação (7), assim,
ajustando os caminhos ópticos tal que
ΓR 2 − ΓR1 = q λ2 (
2∆λ )= qλS / 2 (q=1,3,5...),
a
equação se reduz a:
I D' ∝ 4 m0 I R {4 cos 2 [∆k eff (ΓS − ΓR1 ) 2] +1}
(8)
Por conveniência, é definida pela relação
acima o comprimento de onda sintético efetivo
como λSeff = λ2 (2 ∆λ) = λS 2 e o intervalo de
comprimento
de
onda
efetivo
como
∆k eff ≡ 2π λeff . A figura 2a mostra a distribuição
de intensidade do interferograma gerado por um
único feixe referência para N=3 modos de laser
como função da profundidade ∆z de acordo com a
equação (3), enquanto a figura 2b mostra o padrão
de franjas gerados por dois feixes referência da
equação (8) quando a condição ΓR 2 − ΓR1 = qλSeff é
obedecida. Ambas as figuras têm a mesma escala em
z . Fica claro nas figuras 2a e 2b e pela equação (9)
que o segundo interferograma (2b) tem duas vezes a
frequência espacial do primeiro. Conseqüentemente,
apesar da visibilidade da franja diminuir no segundo
caso, a sensibilidade de perfilometria é dobrada
quando os caminhos ópticos com dois feixes
referência são devidamente ajustados. Além disso
como demonstrado na referência em [2],
diminuindo-se o comprimento de onda sintético, o
ruído nas medidas de perfil é diminuído.
2(a)
2(b)
Figura 2 padrões de interferência gerado por a – um
feixe referência e b- por dois feixes referência, para
N=3 modos laser
Procedendo-se da mesma analogamente à
secção 2.2 obtém-se a fase S' ( x, y ) :
'
S ( x, y )
 I' −I' 
1
= arctan− 'D1 D' 3 
 I −I 
4
 D0 D 2 
(10)
As figuras a seguir mostram os gráficos de
'
S ( x, y ) e S ( x, y ) em função da profundidade ∆z,
para ∆k eff = 2∆k = 2.36 rd/mm e um comprimento
de onda de 670 nm. As duas figuras possuem a
mesma escala ∆z, e observa-se que quando são
empregados dois feixes referência (fig 3-b) a
frequência é duas vezes maior que com um feixe
referência (fig 3-a). Os resultados das figuras acima
são obtidos pelas equações (10) e (6) , esse
procedimento é necessário para obtenção do mapa
de fase do objeto mostrado na seção 4.
2.4- Perfilometria de superfícies pela técnica de
Phase-Stepping com dois feixes referência.
Da equação (8) o método de PST é
novamente empregado, com quatro interferogramas.
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3(a)
3(b)
Figura 3: perfil do mapa de fase para a – um feixe
referência e b – dois feixes referência
3 - Procedimento Experimental:
A montagem experimental é mostrada na
figura 4 com dois feixes referência, o que promove
uma melhor análise do estudo de superfícies. É
usado um laser de diodo com comprimento de onda
de 670 nm com FSR de ∆ = 53GHz, que
corresponde a um ∆k de aproximadamente de 1.18
rd/mm e ∆z =2.66 mm , e potência de 30mW. São
usados dois divisores de feixe BS1 e BS2, o
primeiro divide os feixes referência e objeto e o
segundo divide o feixe referência nos feixes
referência 1 e 2.
direcionados pelos espelhos M1, M4 e M3 até
atingirem os prismas PR1 e PR2 ( prismas de 90o),
onde por reflexão interna são direcionados para o
cristal e acabam por interferir com o feixe objeto
registrando o holograma.
Como o cristal BTO possui atividade óptica,
a polarização da luz é girada ao incidir no cristal,
que está cortado com o eixo [001] ortogonal ao
plano de incidência. A luz deve entrar em uma
determinada
polarização,
selecionada
pelo
polarizador P1, para que o feixe difratado seja
ortogonalmente polarizado em relação ao feixe
transmitido. A luz que sai do cristal passa pelo
polarizador P2 que é ajustado de forma a garantir
somente a passagem do feixe difratado, que fornece
a reconstrução holográfica do objeto em estudo. O
feixe resultante passa então pela lente L3 e é
focalizado em uma câmera CCD, que é ligada a um
microcomputador onde as imagens são digitalizadas
e analisadas.
São também utilizados micrômetros para
movimentar os prismas PR1 e PR2. Esses
micrômetros é que fazem o avanço transversal nos
dois prismas mudando o caminho óptico nos feixes
referência (técnica de PST). A fase a ser avançada é
calculada em milímetros e o avanço é feito no
tambor de leitura dos micrômetros. O avanço
utilizado é de ∆z 4 = 0.66 mm para dois feixes
referência que são ajustados para que as franjas
resultantes de cada feixe referência fiquem
intercaladas em cada avanço.
A diferença de caminho óptico entre os dois
feixes referência deve ser um múltiplo inteiro ímpar
do comprimento de onda efetivo, isso faz com que
os dois padrões de franja produzidos por cada feixe
referência se intercalem e gerem um maior número
de franjas a ser observado.
O mapa de fase é feito após a obtenção das imagens
digitalizadas adquiridas pela câmera CCD ligada a
um PC. Para cada objeto em estudo são recolhidas 4
imagens de interferogramas. Com programa em
linguagem C foi desenvolvido a partir de um
programa de interferometria que torna possível o
tratamento das imagens pixel a pixel calculando o
mapa de fase e fornecendo imagens tridimensionais
dos objetos estudados.
4 - Resultados Obtidos.
4.1 – Com um feixe referência
Figura 4: montagem óptica utilizada. BS, divisores
de feixe; L, lentes, PR, prismas de 90o, M, espelhos,
BTO, cristal fotorrefrativo
A lente L1 é usada para divergir o feixe
objeto que provém do laser. Depois de expandido, o
feixe ilumina o objeto através do espelho M2 e então
passa pela lente L2, que focaliza a imagem do objeto
no cristal BTO. Os dois feixes referência são
O feixe referência 1 foi bloqueado, e foram
estudados objetos como uma placa de metal, um
cilindro de metal e um auto falante. A imagem 5a
mostra o interferograma da placa metálica
posicionada a um ângulo de 30o em relação à face
frontal do cristal BTO. A figura 5b mostra o mapa
de fase, enquanto que a figura 5c mostra a
reconstrução tridimensional do objeto. O mesmo foi
realizado na análise do cilindro, conforme mostram
as figuras 6a, 6b e 6c, e na análise da superfície do
alto-falante, mostrada seqüencialmente nas figuras
7a, 7b e 7c.
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6(c)
Figura 6: estudo do cilindro. a – interferograma
(padrão de franjas); b – mapa de fase e creconstrução 3-D
5(a)
5(b)
7(a)
7(b)
5(c)
Figura 5: estudo da placa metálica. a –
interferograma (padrão de franjas); b – mapa de fase
e c- reconstrução 3-D
7(c)
Figura 7: estudo análogo às figuras 5 e 6, para a
superfície de um alto-falante
4.2 – Com dois feixes referência
6(a)
6(b)
O feixe referência 1 é desbloqueado, e
procedeu-se de forma análoga para a análise de
relevo da placa de vidro posicionada a
aproximadamente 22o em relação a face frontal do
BTO. A diferença de caminho óptico entre os dois
feixes referência foi ajustada para ser um múltiplo
ímpar de λSeff e o registro holográfico com dois
feixes referência foi realizado. O tempo de escrita do
holograma foi de cerca de 15 s. A figura 8a mostra o
interferograma da placa metálica obtido por este
procedimento. A técnica de “phase stepping” foi
aplicada conforme descrito nas seções anteriores, e o
deslocamento aplicado entre passo foi de 0,33 mm.
As figuras 8b e 8c mostram o mapa de fase e a
reconstrução
tridimensional
da
placa,
respectivamente.
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5 – Conclusões
8(a)
8(b)
8(c)
Figura 8: levantamento tridimensional da
As figuras 9 e 10 mostram as imagens
holográficas cobertas de franjas de interferência da
superfície cilíndrica e do alto falante, estudados na
seção 3, agora com dois feixes referência. Nota-se,
neste caso, que as imagens holográficas obtidas
mostram interferogramas com maior freqüência
espacial, o que possibilita uma melhor visualização
dos detalhes do relevo da superfície.
Figura 9: interferograma do cilindro obtido com dois
feixes referência. Note que a concentração de franjas
é o dobro da mostrada na figura 6a
Figura 10: interferograma do alto-falante com dois
feixes referência
Demonstramos a análise do relevo de
superfícies por holografia em cristais fotorrefrativos
de Bi12TiO20 através de lasers de diodo operando em
múltiplos modos. As reconstruções tridimensionais
obtidas através dos interferogramas e com o auxílio
das técnicas PST e Cellular-automata reproduziram
as superfícies estudadas com boa fidelidade, tanto no
que se refere à sua geometria, quanto no que diz
respeito à textura destas superfícies. As eventuais
discrepâncias devem-se a problemas de ruído
eletrônico da câmera CCD utilizada e de ruído
óptico, gerado pelo espalhamento de luz nas faces do
cristal fotorrefrativo. Esta última classe de ruídos
pode porém ser minimizada, possibilitando a
reconstruções tridimensionais de melhor qualidade.
A utilização de dois feixes referência para a análise
de superfícies permite a obtenção de imagens de
menor ruído óptico, além de fornecer uma análise
qualitativa mais detalhada.
O uso de lasers multimodo favorece a
realização de ensaios com muito maior rapidez e
simplicidade do que as técnicas holográficas
convencionais, já que os interferogramas podem ser
obtidos através de uma única exposição.
Agradecimentos
Os autores são gratos ao Prof. Jaime Frejlich,
da Unicamp, pelo cristal BTO utilizado. Este
trabalho foi parcialmente financiado pela Fundação
de Apoio à Tecnologia.
Referências
[1] P. Hariharan, Optical holography: Principles,
techniques and applications, Cambridge University
Press, 1984;
[2] J.E. Millerd, N.J. Brock, Holographic
profilometry with a rhodium-doped barium titanate
crystal and a diode laser, Appl. Opt .Vol. 36, pp.
2427-2431, 1997;
[3] E.A. Barbosa, Holographic Imaging with
multimode, large free spectral range lasers in
photorefractive sillenite crystals, Appl. Phys. B vol
80, pp. 345-350, 2005;
[4] W. Koechner, “ Solid State Lasers Engineering”,
Springer Verlag, berlin, 1998;
[5] M. R. R. Gesualdi, D. Soga, M. Muramatsu,
“Real-time holographic interferometry using
photorefrative sillenite crystals with phase-stepping
technique”, accepted for publication in Optics and
Lasers in Engineering (2005);
[6] D. C. Ghiglia, G.A. Mastin and L. A. Romero,
“Cellular-automata method for phase unwrapping”,
J. Opt. Soc. Am. 4, 210-219 (1987);
[7] A. Spik and W. Robinson, “Investigation of
Cellular-automata method for phase unwrapping and
its implementation on an array processor”, Opt.
Lasers Eng. 14, 25-37 (1991);
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