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(exercícios contendo apenas a RESPOSTA não serão considerados)
Matemática Discreta – IF63E / Prova 1
João Alberto Fabro (22/10/2009)
LEIA: Das 9 questões abaixo, ESCOLHA 5 para serem avaliadas.
(2,0) 1. Prove que um número n é um inteiro ímpar se, e somente se, 3n + 5 é um inteiro par.
Se n é ímpar, então n = 2k + 1 para algum inteiro k. Assim, 3n + 5 = 6k + 3 + 5 =
6k + 8 = 2(3k + 4), onde 3k + 4 é inteiro, logo 3n + 5 é par. Isso mostra que n
ímpar -> 3n + 5 par.
Para mostrar que 3n + 5 -> n ímpar, vamos usar a contrapositiva. Suponha que
n é par. Então, n = 2k para algum inteiro k e 3n + 5 = 3(2k) + 5 = 6k + 5 = 6k + 4+ 1 =
2(3k + 2) + 1, onde 3k + 1 é inteiro, logo 3n + 5 é ímpar, não par.
(2,0) 2. Quantas soluções inteiras não-negativas existem para: x1 + x 2 + x3 + x 4 = 12 , com
x1 < x 2 ?
Quantas soluções ao todo?
Quantas com x2>x1? Tem q subtrair daí.....então, o q acontece qdo x1=2?
Primeiro, quantas soluções existem com x1=12?(zero), e x1=11?(tbém zero). E x1=10(tbém
zero, pois x2 precisa ser estritamente maior que x1 para ser possível....
Então a primeira solução possível é x1=5, e x2=7. Com x3 e x4 valendo zero, soma 12.
A segunda possibilidade é x1=5 e x2=6. Daí tem duas combinações de x3 e x4 somando 1.
Mas se x1 for 4? Aí x2 pode ser 8, e já soma 12. Ou x2 pode ser 7, e sobra 1 para ser x3 ou
x4(2 combinações).
E se x1=4 e x2=6? Sobram 2, que pode ser x3=2 e x4=0, x3=1 e x4=1 ou x3=0 e x4=2.
E ainda sobra a situação em que x1=4 e x2=5.... e os 3 restantes podem ser distribuídos entre
x3 e x4 de 4 maneiras....
Considerando n=12.
Tentando generalizar..... se x1 for 0, existem 12 valores possíveis para
x2(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12), e cada valor deixa (n-x2-x1=n-x2-0) números
disponíveis para serem divididos entre x3 e x4.
se x1 for 1, existem 10 valores possíveis para x2(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11), e cada valor deixa (nx2-x1=n-x2-1) números disponíveis para serem divididos entre x3 e x4. Se sobrar 0
números, só tem uma maneira. Se sobrar 1, duas maneiras. Se sobrar 2, 3 maneiras, se
sobrar 3, 4 maneiras, se sobrar 4, 5 maneiras, e assim por diante.....
Se x1=2, existem 8 valores possíveis para x2(3,4,5,6,7,8,9,10), e cada valor deixa (n-x2-x1=nx2-2) números disponíveis para serem divididos entre x3 e x4.
Se x1=3, existem 6 valores possíveis para x2(4,5,6,7,8,9), e cada valor deixa (n-x2-x1=n-x23) números disponíveis para serem divididos entre x3 e x4.
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Se x1=4, existem 4 valores possíveis para x2(5,6,7,8), e cada valor deixa (n-x2-x1=n-x2-4)
números disponíveis para serem divididos entre x3 e x4.
Se x1=5, existem 2 valores possíveis para x2(6,7), e cada valor deixa (n-x2-x1=n-x2-5)
números disponíveis para serem divididos entre x3 e x4.
E por fim, x1 não pode ser 6.....então acabou....
(2,0) 3. Considere p e q definidos por p =
1+ 5
1− 5
e q=
2
2
a) Prove que 1 + p = p 2 e 1 + q = q 2
b) Prove que F (n) =
pn − qn
é uma forma fechada para a sequência de Fibonacci.
p−q
(2,0) 4. Em qualquer grupo de k pessoas, k ≥ 1, cada pessoa cumprimenta, com aperto de
mão, todas as outras pessoas. Encontre uma fórmula para o número de apertos de mão e
prove-a usando indução.
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(2,0) 5. Use indução matemática para provar que:
a) 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2n+1 − 1, para todo n ∈ N(números naturais).
P(1) = 20+21=21+1 – 1->1+2 = 22-1-> 3=4-1->3=3 OK
P(k) = 20+21+ 22 + 23 + · · · + 2k = 2k+1 – 1(Hipótese de Indução)
Provar P(k+1) = 20+21+ 22 + 23 + · · · + 2k + 2k+1= 2k+2 – 1
Substituindo a parte 20+21+ 22 + 23 + · · · + 2k por 2k+1 – 1(da hipótese), temos:
P(k+1) = 2k+1 – 1 + 2k+1= 2*(2k+1) -1 = 2k+2-1 OK
b)
n 2 ≥ 2n + 3 para n ≥ 3
Base: n=3, 32 >= 2*3+3, logo 9 >= 6+3, portanto 9>=9(OK pelo =)
Hipótese: k2 >= 2*k+3, para todo k>3
Passo: provar que (k+1) 2 >= 2*(k+1)+3. (k+1) 2 =(k 2+2k+1), e pela hipótese de indução,
k2 >= 2*k+3, então 2k+3+2k+1 deve ser maior que 2*(k+1)+3. Provando, 4k+4>=2k+5.
4k-2k>=5-4, 2k>=1,o que é verdade para todo k>0. Mas como k>3 sempre, sempre será verdade,
portanto provado!!!
(2,0) 6. Seja S = {1,2,3} e uma relação binária ρ em S definida por
.
a) ρ é simétrica, anti-simétrica, transitiva ou reflexiva? Justifique (tanto para sim
quanto para não).
b) qual o fecho reflexivo de ρ? Justifique.
c) qual o fecho transitivo de ρ? Justifique.
d) a relação
em S é transitiva? Justifique.
a):
reflexiva(não pq não tem o (2,2), nem o (3,3));
simétrica(não, pq tem o 1,2 e não tem o 2,1);
transitiva(não, pq tem o 2,1, o 1,3, e não tem o 2,3);
anti-simétrica: sim, pq o único caso que encaixa na definição é o (1,1), que
portanto é tanto (a,b) qto (b,a), e resulta que a=b!
b)Fecho Reflexivo: { (2,1), (1,1), (1,3), (2,2), (3,3) } – Fecho reflexivo precisa ter
o par reflexivo (x,x) para todo x que faz parte da relação, tanto no primeiro qto no
segundo elemento de algum par... como tem o 2 e o 3, precisa inserir o (2,2) e o
(3,3) para achar o fecho reflexivo;
c) Fecho Transitivo: { (2,1), (1,1), (1,3), (2,3)}
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d) {(2,1)} é transitiva? Sim.......
(2,0) 7. De quantas maneiras seis pessoas podem se sentar em um círculo formado por seis
cadeiras (apenas posições relativas no círculo podem ser diferenciadas)?
[1][2][3][4][5][6] 6!/6????=6*5*4*3*2/6=5!=120 MANEIRAS!!!!
(2,0) 8. Obtenha o fecho transitivo da seguinte relação binária em S={a, b, c, d, e, f};
ρ={(b,a), (b,d), (c,a), (c,b), (c,d), (c,e), (d,f), (d,e), (e,b), (f,e)}. Sobre a relação obtida,
informe se a mesma é simétrica, anti-simétrica, transitiva ou reflexiva.
ρ={(b,a), (b,d), (c,a), (c,b), (c,d), (c,e), (d,f), (d,e), (e,b), (f,e), (B,F), (B,E), (C,F), (D,B),
(E,E), (E,D), (E,F), (E,B), (E,A) ,(F,D), (F,F), (B,B), (B,D), (D,D), (D,E), (D,F)}
Reflexiva: Não, não tem (a,a)
Simétrica: não tem (a,b), mas tem (b,a)
Transitiva: sim
Anti-simétrica: não...tem (b,d) e (d,b), mas b!=d....
(2,0) 9. Quantos inteiros entre 1 e 3600 (inclusive) são divisíveis por 5, por 7, ou por 5 e 7
simultaneamente, mas não são divisíveis por 3?
Dica: use o Princípio da Inclusão e Exclusão.
/5=720
/3=1200
/15=240
/35=102
/21=171
/7=514
/105=34
Solução: 1200+720-240 – 171 – 102 + 34 = 755.