Matemática Financeira
Juro Simples
Juro: é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada,
como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.
Capital: qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época.
Taxa de Juro: é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no fim de um período de tempo
e o capital empregado.
Capitalização Simples: é aquela em que a taxa de juro incide somente sobre o capital inicial;
não incide, pois, sobre os juros calculados.
Juro Exato: é aquele que é calculado considerando o ano civil e o número certo de dias
entre duas datas.
Juro Bancário: é aquele que é calculado considerando o ano contendo apenas 360 dias, ou
seja, 12 meses de 30 dias cada um, porém computado o número exato de dias entre a data da
operação e seu vencimento.
Para o cálculo dos juros siga corretamente este roteiro:
Juros Bancários e Exatos
1. Digite o prazo em dias e pressione a tecla n.
2. Digite a taxa anual e pressione a tecla i.
3. Digite o valor de aplicação e pressione CHS PV (na ótica do aplicador).
4. Pressione f
INT para calcular os juros comerciais (ano com 360 dias).
5. Pressione as teclas R⇓ x ⇔ y para calcular os juros exatos (ano civil com 365
dias).
6. Pressione a tecla + para obter o montante.
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JUROS E CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Juro: É a remuneração do capital emprestado, ou seja, o juro é o pagamento pelo uso de
poder aquisitivo por um determinado período de tempo; associa-se então o juro à preferência
temporal das pessoas, que é o desejo de efetuar o consumo o mais cedo possível. Essa taxa é fixada
pelo mercado financeiro, que depende da oferta e procura de moeda.
Capital: Qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época.
Taxa de Juro: Taxa de juro é o coeficiente entre os juros recebidos (ou pagos) no final de
um período. Essa taxa está sempre relacionada a uma unidade de tempo. As taxas de juros,
geralmente, são apresentadas de dois modos: forma percentual ou unitária.
Controle Via Mercado Monetário - compra e venda de moeda: Muitas vezes, de forma ater
um controle mais ágil e rápido sobre o volume de recursos em reservas bancárias, o Banco Central
compra e vende moeda (mercado monetário), que nada mais é do que a compra e a venda de títulos
pelo prazo de um ou até três dias. O inconveniente para os bancos é que estas operações não geram
lastro para os FAF. A compra e venda de moeda são fundamentais para conter as oscilações bruscas
do juro primário desejado pelo Banco Central. Dessa forma, o Banco Central só precisa administrar
a taxa de juro, procurando evitar que o preço do dinheiro repassado diariamente ao mercado
financeiro fique acima da rentabilidade dos títulos públicos, especialmente os BBC, cuja taxa é
prefixada e, portanto corre o risco de ter a taxa descasada em relação ao “overnight”, realizado no
mercado secundário.
Capitalização Simples: É aquela em que a taxa de juro incide somente sobre o capital
inicial. Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo, em outras
palavras, se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicarmos a taxa diária por 30;
se desejarmos uma taxa anual, tendo a mensal basta multiplicarmos esta por 12 assim por diante.
Percentual: Quando se refere a um capital de R$100,00, ou seja, o valor do juro a ser pago
ou recebido a cada R$100,00 durante o período a que se referir a taxa.
Edson Mota
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PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Calcular os juros simples produzidos por $40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. ,
durante 125 dias.
2) Um empréstimo de $8.000,00 rendeu juros de $2.520,00 ao final de 7 meses.
Qual a taxa de juros do empréstimo?
3) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende $3.500,00 de juros em 75
dias?
4) Por quanto tempo um capital de $11.500,00 foi aplicado para que rendesse $1.725,00 de
juros, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 4,5% a.m.?
5) Que capital produziu um montante de $20.000,00, em 8 anos, a uma taxa de juros
simples de 12% a.a.?
6) Calcule o montante resultante da aplicação de $70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante
145 dias.
7) A que taxa mensal o capital de $38.000,00 produzirá o montante de $70.300,00 em 10
anos?
8) Um capital é aplicado a juros simples de 5% ao semestre (5 % a.s.), durante 45 dias.
Após este prazo, foi gerado um montante de $886.265,55. Qual foi o capital aplicado?
9) Que capital aplicado a 3% ao bimestre (3% a.b.), por um prazo de 75 dias, proporcionou
um montante de $650.000,00?
10) Um capital de $5.380,00 aplicado por 3 meses e 18 dias, rendeu $1839,96 de juros ao
final do período. Qual a taxa mensal de juros simples?
11) Um capital P foi aplicado a juros simples de 15% ao bimestre (15% a.b.), por um prazo
de 5 meses e 13 dias e, após este período, o investidor recebeu $10.280,38. Qual o valor
P do capital aplicado?
12) Obteve-se um empréstimo de $10.000,00 , para ser liquidado por $14.675,00 no final de
8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação?
13) Em quanto tempo um capital aplicado a 48% a.a. dobra o seu valor?
14) Determinar o capital necessário para produzir um montante de $798.000,00 no final de
um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre (15% a.t.).
15) Determinar o montante correspondente a uma aplicação de $450.000,00 por 225 dias, à
taxa de 5,6% ao mês.
Edson Mota
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16) Quanto tempo deverá permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a duas
vezes o capital, se a taxa de juros simples for igual a 10% a.a.?
Respostas:
1. Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias,
poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = $5000,00
2. Temos: J = P.i.n ;
2520 = 8000.i.7;
Daí, vem imediatamente que i = 2520 / 8000.7
Então, i = 0,045 a.m = 4,5% a.m.
3. Temos imediatamente: J = Pin ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou
seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = $116.666,67
4. j = P.i.n
1725 = 11500.(4,5/100).n
1725 = 11500.0,045.n = 3,3333... meses = 3 meses + 0,3333...de um mês = 3 meses + 1/3 de
um mês
= 3 meses e 10 dias.
5. Temos: S = P(1 + i.n).
20000 = P.(1 + 0,12.8) = 1,96.P, de onde tiramos P = $10.204,08
6. S = P(1 + i.n)
S = 70000[1 + (10,5/100).(145/360)] = $72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos.
Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano
comercial possui 360 dias.
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7. S = P(1 + i.n)
70300 = 38000.(1 + i.10), de onde vem:
70300/38000 = 1 + 10.i
1,85 - 1 = 10.i, de onde vem: i = 0,85/10 = 0,085 a.a. = 8,5% a.a.
Para achar a taxa mensal, basta dividir por 12 meses, ou seja:
i = 0,085 / 12 = 0,007083 = 0,7083 % a.m.
8. Lembrando que a taxa i e o período n têm de ser expressos relativo à mesma unidade de
tempo, vem:
886265,55 = P[1 + (5/100).(45/180)], de onde tiramos P = $875.324,00
Nota: Como a taxa i está relativa ao semestre, dividimos 45 dias por 180 dias, para expressar
o período n também em semestre. Lembre-se que 180 dias = 1 semestre.
9. S = P(1+ i.n)
650000 = P[1 + (3/100).(75/60)] , de onde tiramos P = $626.506,02
Nota: observe que dividimos 75 dias por 60 dias, para expressá-lo em bimestres, já que
1 bimestre = 60 dias.
10. J = P.i.n
1839,96 = 5380.i.108, pois 3 meses e 18 dias = 3.30 + 18 = 108 dias.
Logo, i = 1839,96 / 5380.108 = 0,003167 a.d. = 0,3167% a.d.
Para obter a taxa mensal, basta multiplicar por 30 dias, ou seja:
i= 0,3167% a.d. X 30 = 9,5% a.m.
11. S = P(1 + i.n)
Temos: 15% a.b. = 0,15 a.b. = 0,15/60 = 0,0025 a.d. = 0,25% a.d. (a.d. = ao dia)
5 meses e 13 dias = 5.30 + 13 = 163 dias.
Logo, como i e n estão referidos à mesma unidade de tempo, podemos escrever:
10280,38 = P(1 + 0,0025.163), de onde tiramos P = $ 7.304,00
12. 8 meses e meio = 8.30 + 15 = 255 dias. Teremos, então:
S = P(1 + i.n)
14675 = 10000(1 + i.255), de onde vem:
14675/10000 = 1 + 255.i
1,4675 = 1 + 255.i
0,4675 = 255.i
i = 0,001833 a.d. = 0,1833% a.d.
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Multiplicando por 360, obteremos a taxa anual: i = 0,001833.360 = 0,66 a.a. Ou expressando
em termos de porcentagem, i = 0,66.100 = 66% a.a.
13. S = P(1 + i.n)
Fazendo M = 2P e substituindo os valores conhecidos, vem:
2P = P[1 + (48/100).n]
Simplificando, fica:
2 = 1 + 0,48.n
1 = 0,48.n, de onde tiramos n = 2,088333... anos
Para obter o período em meses, devemos multiplicar o valor acima por 12 ou seja:
n = 2,088333... x 12 = 25 meses.
14. S = P(1 + i.n)
Temos: n = 1 ano e meio = 18 meses = 18/3 = 6 trimestres. Portanto:
798000 = P[1 + (15/100) . 6], de onde tiramos P = $420.000,00
15. S = P(1 + i.n)
225 dias = 225/30 = 7,5 meses
Logo,
S = 450000[1 + (5,6/100).7,5] = $639.000,00
16. Temos: J = 2P
J = P.i.n
2P = P.0,10.n , de onde tiramos n = 20 anos.
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JUROS COMPOSTOS
Quando utilizamos o método de juros compostos, estamos dizendo que o rendimento gerado
pela aplicação será incorporado a ela, passando a participar da geração do rendimento no período
seguinte.
Vamos ver como funciona:
Se aplicarmos R$1.000,00 à taxa de 20% a.m. Durante 3 meses, teríamos os seguintes rendimentos e
montantes, em cada mês, tanto no regime de juros simples como composto.
Juros Simples
Juros Compostos
Mês
Rendimento
Montante
Rendimento
Montante
1
$1.000 x 0,2 = $200
$1.200
$1.000 x 0,2 = $200
$1.200
2
$1.000 x 0,2 = $200
$1.400
$1.200 x 0,2 = $240
$1.440
3
$1.000 x 0,2 = $200
$1.600
$1.440 x 0,2 = $288
$1.728
O regime de juros compostos é mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil
para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao
principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.
A juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente em progressão geométrica ao longo
do tempo. No juro composto, os rendimentos ao longo de cada período são incorporados ao saldo
anterior e passam, por sua vez, a render juros. A esse processo dá-se o nome de capitalização de
juros.
A fórmula de capitalização simples:
S = P . (1 + i x n)
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Fórmula do Montante no Juro Composto
A fórmula básica que norteia todo o sistema de cálculo de juros é:
S = P . (1 + i)n
Onde:
S ! montante
P ! capital
i ! taxa
n ! período
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TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas efetivas são ditas equivalentes quando produzem o mesmo montante no final de
um determinado período de tempo e pela aplicação de um capital inicial de mesmo valor.
Na prática, sempre que uma transação financeira possuir taxas de juros com tempo diferente
do prazo da transação, é necessário calcular a taxa equivalente para determinação do valor final.
A taxa equivalente pode ser calculada pelo método linear (juro simples) ou exponencial (juro
compostos).
Veja como funciona o cálculo da taxa equivalente para juros compostos:
q


iq =  (1 + it ) t  − 1 x100
 

Onde:
iq ! Taxa que eu quero
it ! Taxa que eu tenho
q ! prazo que eu quero
t ! prazo que eu tenho
No método de linear (juro simples)

iq =  it x q
  t
   x100
 
  
iq ! Taxa que eu quero
it ! Taxa que eu tenho
q ! prazo que eu quero
t ! prazo que eu tenho
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Matemática Financeira
Lembre-se
A forma unitária é utilizada somente nas fórmulas de matemática financeira.
Exemplo para juro compostos:
a) Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano.
i183 = ( 1,65 )
183 ÷ 360
- 1 = 28,99%
b) Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês.
i491 = ( 1,05 )
491 ÷ 30
- 1 = 122,23%
c) Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre.
i27 = ( 1,13 ) 27
÷ 90
- 1 = 3,73%
Exemplo para juro simples:
a) Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano.
i183 = ( 0,65 x 0,508333) x 100 = 33,04%
b) Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês.
i491 = ( 0,05 x 16,366667) x 100 = 81,83%
c) Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre.
i27 = ( 0,13 x 0,30) x 100 = 3,90%
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PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de
$100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês.
2) Um agiota empresta $80.000,00 hoje para receber $507.294,46 no final de 2 anos.
Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo.
3) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de
12,486%, determinar qual o prazo em que o empréstimo de $20.000,00 será resgatado
por $36.018,23.
4) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% ao ano, para ter $1.000.000,00 no final de
19 meses?
5) Uma empresa obtém um empréstimo de $700.000,00 que será liquidado, de uma só vez,
no final de 2 anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor
pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado.
6) Em que prazo uma aplicação de $272.307,03 em letras de câmbio, à taxa líquida de
3,25% ao mês, gera um resgate de $500.000,00.
7) Um terreno está sendo oferecido por $450.000,00 à vista ou $150.000,00 de entrada e
mais uma parcela de $350.000,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a
taxa média para aplicação em títulos de renda fixa (Pré) gira em torno de 3,5% ao mês
(taxa líquida, isto é, com o I.R. já computado), determinar a melhor opção para um
interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo.
8) A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo
dobro de seu valor?
9) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado
a 3,755% ao mês?
10) A aplicação de certo capital , à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de
$820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros.
11) Qual é mais vantajoso: aplicar $100.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês,
ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês?
12) No fim de quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu
valor:
a) no regime de capitalização composta;
b) no regime de capitalização simples.
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Matemática Financeira
13) Qual o montante produzido pela aplicação de $580.000,00, à taxa de 175% ao ano, pelo
prazo de 213 dias?
14) Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias,
produziu um montante de $5.000.000,00?
15) Uma casa é vendida por $61.324,40 à vista. O comprador propõe pagar $68.000,00
daqui a 4 meses. Qual a taxa de juros mensal que o comprador está pagando (Juros
Compostos)?
16) Uma casa é vendida por $261.324,40 à vista. O comprador propões pagar R$638.000,00
daqui a 4 meses. Qual a taxa de juros mensal que o comprador estaria pagando?
17) Em quantos meses uma aplicação de $18.000,00 pode acumular um montante de
$83.743,02, considerando uma taxa de juros composta de 15% ao mês?
18) A aplicação de $400.000,00 em letras de câmbio proporcionou um resgate de
$610.461,56 no final de seis meses. Determinar as taxas mensal e anual dessa operação?
19) Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá receber o
dobro da sua aplicação?
20) Conhecendo a taxa de 0,8541% ao dia, qual a sua equivalência mensal?
21) Tendo uma taxa de 13,75% ao mês, qual a sua equivalência anual?
22) Qual a taxa equivalente para o período de 15.05.93 a 13.07.93 considerando-se para o
mês de maio uma taxa de 14,75% ao mês, para o mês de junho 17,6% ao mês e para o
mês de junho uma taxa de 18,15% ao mês?
23) Um banco remunera uma aplicação financeira em 42,10% ao mês, aplicado por um prazo
de 32 dias. Quanto está rendendo em média por dia útil sabendo-se que neste prazo
existem 22 dias úteis?
24) Qual a taxa equivalente trimestral do IGP-M. Considerando as seguintes taxas 15.45%,
17,40% e 16,57% mensais?
25) Um banco emprestou a uma empresa a importância de $5.100,00 para ser devolvido após
45 dias. Qual o valor a pagar sabendo-se que o empréstimo foi realizado no dia 20.03.92
e que a taxa de juros para o mês de março é de 15,40% ao mês, em abril será de 17,40%
ao mês e maio 18,10% ao mês, a juros compostos?
Edson Mota
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12
Matemática Financeira
26) Qual é a melhor taxa para aplicação em CDB?
Taxa:
Prazo:
a) 3,292%
30 dias
b) 3,851%
35 dias
c) 6,692%
60 dias
d) 10,111%
90 dias
e) 3,428%
31 dias
f) 3,656%
33 dias
27) Em 154 dias uma aplicação rendeu 41,123%. Calcular as taxas mensal e anual
equivalentes.
28) Um banco cobra 20% ao ano de juros em uma operação de capital de giro. Quanto
cobrará para uma operação em 182 dias?
29) Quanto uma pessoa resgatará no final de 93 dias se aplicar $2 milhões à taxa de 150% ao
ano? E qual a taxa mensal equivalente?
30) Um cliente quer liquidar uma duplicata com 27 dias de antecedência, a uma taxa de juros
de 25,10% ao mês. Qual o valor presente calculado a juro simples e composto, sabendose que o valor da duplicata no vencimento é de $25.000,00?
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Matemática Financeira
Respostas:
1) R$144.504,39
2) 8% ao mês, ou 151,817% ao ano
3) 5 trimestre, ou 15 meses
4) $520.155,09
5) $1.708.984,38
6) 19 meses
7) A melhor opção é a compra a prazo.
8) 4.162% ao mês
9) 11 meses
10) $ 396.289,24
11) Aplicar a juros compostos de 3% ao mês
12) a) 36 meses b) 75 meses
13) $1.055.277,08
14) $3.584.324,34
15) 2,62% ao mês
16) 25% ao mês
17) 11 meses
18) 7,3% ao mês e 132,91% ao ano
19) 309 dias
20) 29,0606% ao ano
21) 369,2636%ao ano
22) 36,0390 para 59 dias
23) 1,718161 por dia útil
24) 57,996996 ao trimestre
25) $6.451,79
27) 6,941% ao mês e 123,722% ao ano
29) $2.534.143,27
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26) A melhor é a (f) com a taxa de 3,318% ao prazo
de 30 dias.
28) 9,656% no período
30)
Simples
= $20.393,18
Composto = $20.436,59
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Matemática Financeira
FLUXO DE CAIXA / SERIE DE PAGAMENTOS
O fluxo de caixa mostra graficamente as operações financeiras em um determinado
período de tempo.
No gráfico o tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo numero de
períodos relevantes para a análise.
As entradas são representadas por setas verticais apontadas para cima e as saídas são
representadas por setas verticais apontadas para baixo.
Veja um exemplo, vamos utilizar as mesmas nomenclaturas das HP 12C.
PMT (450)
PMT (150)
FV (100)
PV (-100)
PMT (-250)
PMT -(350)
PV ! valor presente na data 0.
FV ! valor futuro, é o resultado após juros, entradas e saídas.
PMT ! valor das prestações, que são entradas e saídas no fluxo de caixa, na
calculadora são representadas pelo sinal positivo e negativo.
Vamos ver como funciona o fluxo de caixa na HP 12C.
f
REG
100
CHS
CF0
250
CHS
CFj
150
CFj
450
CFj
350
CHS
CFj
f
IRR
100
Obtendo assim o valor futuro do fluxo de caixa.
Edson Mota
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Matemática Financeira
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
A necessidade de recursos obriga aqueles que querem fazer investimentos a tomarem
empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros de forma que variam de acordo com
contratos estabelecidos entre as partes interessadas.
As formas de pagamentos dos empréstimos são chamadas sistemas de amortização.
Os sistemas de amortização são os mais variados, alguns prevendo pagamento único, outros
possibilitando parcelamento. Alguns desses sistemas de amortização são mais comuns e têm até
denominação próprias, como o sistema PRICE, usado pelo Sistema Financeiro de Habitação ou
sistema Americano, usado nos empréstimos internacionais. Outros não tem denominação próprias e,
quando utilizados, são descritos por menores em contratos de empréstimos.
Quando a forma escolhida para amortização de uma dívida prevê pagamento parcelado,
existe interesse, tanto por parte do devedor como por parte do credor, em conhecer, a cada período
de tempo, o estado da dívida, isto é, o total pago e o saldo devedor. Por isso, é comum a elaboração
de demonstrativos que acompanham cada pagamento do empréstimo. Não existe um modelo único
de demonstrativo mas de todos eles devem constam o valor de cada pagamento e o saldo devedor,
devendo ainda, o valor de cada pagamento ser subdividido em juros e amortização.
É importante observar que o sistema PRICE não implica somente em prestações mensais, ela
pode ser trimestrais, semestrais e assim por diante. O que se deve levar em consideração é que as
parcelas e os prazos devem ser iguais e consecutivos.
Edson Mota
[email protected]
16
Matemática Financeira
Pela fórmula temos:
Cálculo das Prestações
Cálculo do Montante
 (1 + i )n xi 

R = Px
n

 (1 + i ) − 1 
 (1 + i )n − 1 

S = Rx

i


 (1 + I )n − 1 

P = Rx
n

 (1 + i ) xi 
Cálculo do Valor Presente
Cálculo do número de prestações tendo o montante e as prestações
n = Ln . [(S ÷ R) . i + 1]
[Ln . (1 + i)]
Cálculo do número de prestações tendo o valor presente e as prestações
n = Ln .{1 - [(P ÷ R) . i]}
[Ln . (1 + i)]
Onde:
R = valor das prestações
P = Capital
Ln = logaritmo neperiano ou logaritmo
i = Taxa de juro
Edson Mota
[email protected]
17
Matemática Financeira
FATOR DE FINANCIAMENTO
É muito utilizado em lojas de departamentos ou financeiras.
O fator é utilizado para se calcular os valores das parcelas.
Veja como funciona após ter calculado o valor do fator:
0,0786358 x valor do bem = valor das prestações (postecipada ou antecipada)
Exemplo:
1) Encontrar o fator para um financiamento com 12 prestações mensais e taxa de juro de
15% ao mês.
R = 1 . ( 1 + 0,15)12 . 0,15
(1 + 0,15)12 - 1
R = 1 . 0,802538
4,350250
R = 0,184481
R = fator x valor do financiamento = valor das prestações.
Se a primeira prestação fosse a vista basta dividir por (1 + i), neste caso ficaria assim:
R = 0,184481 ÷ (1 + 0,15) = 0,160418
• Vamos ver como funciona na HP 12C:
Edson Mota
f
REG
1
PV
12
n
15
i
Pressionar
PMT = 0,184481
[email protected]
18
Matemática Financeira
Para obter o fator para pagamento da primeira prestação proceda dessa forma:
f
REG
g
BEG
1
PV
12
n
15
i
Pressionar
PMT = 0,160418
Análise de Planos de pagamentos:
A análise de planos nada mais é do que fazer cálculos referente a um plano de pagamento ou
recebimentos. Neste tipo de análise é levado em consideração o quanto é pago de taxa de juros, o
valor presente para pagamento à vista e outros dados relativos a analise. Simplificando, a analise
nada mais é do que uma decisão a ser tomada sobre os dados concluídos.
Veja como funciona:
1) Um carro custa à vista R$15.000,00, e está sendo vendido a prazo com um entrada de
R$8.500,00 e 12 prestações de R$630,00 ou 24 prestações de R$430,00 com a mesma
entrada. Qual a melhor forma de pagamento?
Opção (1):
O valor a ser financiado será de:
15.000,00 - 8.500,00 = 6.500,00
Edson Mota
[email protected]
19
Matemática Financeira
Exercícios:
1) Um financiamento de $132.000,00 será liquidado em 14 prestações mensais. Se a taxa de
juros efetiva for de 180% ao ano, calcular o valor da prestação.
2) Uma pessoa deposita num fundo de capitalização $2.450,00 mensalmente. Se a taxa de
juros ganha na aplicação for de 120% ao ano, capitalizada mensalmente (entende-se taxa
equivalente simples), qual será o saldo da conta após 16 meses de aplicação.
3) Qual o montante, no final de 20 meses, resultante da aplicação de 14 parcelas iguais,
mensais e consecutivas de $1.800,00 cada uma, sabendo-se que a taxa contratada é de
3,5% ao mês e que a primeira aplicação é realizada “hoje”?
4) Qual seria o depósito a se fazer hoje em uma conta remunerada, de forma a podermos
retirar $3.280,00 todo final de mês, durante os próximos 19 meses, e, no final, a conta
apresentar saldo zero? Considere que a conta remunerada paga uma taxa de juro de 20%
ao mês.
5) Uma loja financia uma compra no valor de $43.000,00 em 12 prestações mensais de
$7.932,67 cada uma. Qual a taxa de juro mensal cobrada no financiamento.
6) Em que prazo uma pessoa pode liquidar um financiamento de $230.000,00 pagando
prestações mensais de $47.231,99 se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 20
ao mês.
7) Qual é a taxa de juros mensal à qual foi tomado um empréstimo de $132.000,00 que
obriga ao devedor pagar 13 prestações mensais de $30.831,94?
Edson Mota
[email protected]
20
Matemática Financeira
8) Uma pessoa deve pagar pela compra de um eletrodoméstico uma entrada que representa
15% do valor à vista, mais 8 prestações mensais. Se a loja cobra juros de 5% ao mês, qual
é o valor das prestações se o valor à vista do eletrodoméstico é de $330,00? Se a primeira
prestação fosse paga no ato junto com a entrada, qual seria o valor da prestações?
9) Uma empresa revendedora de caminhões, nas compras a prazo, concede uma carência de
3 meses até o pagamento da primeira das 18 prestações mensais. Se, no ato da compra, o
cliente deve pagar uma entrada de 20% sobre o valor à vista, calcular o valor das
prestações considerando que a taxa de juros cobrada é de 30% ao mês e o valor à vista é
de $400.00,00.
10) Um cliente deve pagar, no ato da compra, uma entrada de $500 que representa 25% do
valor à vista, mais a primeira de 12 prestações mensais. Se a loja cobra juros de 8% ao
mês, qual será o valor das prestações?
11) Uma pessoa deposita todo final de mês, durante 13 meses, $12.000,00. A partir do 15º
mês, faz três saques mensais iguais. Se a aplicação ganha juros de 10% ao mês, qual é o
valor de cada um dos saques de forma que, após o 3º saque, o saldo da conta seja igual a
zero?
12) Geovana faz uma compra no valor de $14.000,00. Se ela comprar a prazo, o valor à vista
sofre um acréscimo de 25% e ela tem de pagar no ato uma entrada de 20% desse valor
acrescido, mais seis prestações mensais de $3.557,61. Calcular a taxa de juros mensal
cobrada no financiamento.
13) Uma compra no valor de $375.000,00 foi feita mediante uma entrada de 20% e o
restante em prestações quinzenais durante 2 anos. Qual será o valor da prestação se a taxa
de juros efetiva cobrada for de 120% ao ano.
14) Uma instituição financeira concede um período de carência para início dos reembolsos
quando empresta capital. A empresa tomou um financiamento de $380.000,00 nessa
instituição financeira, pelo qual deve pagar 7 prestações mensais de $159.719,21.
Considerando que a taxa de juros cobrada foi de 15% ao mês, qual é o período de
carência concedido pela instituição financeira.
15) Quanto terei no final de 18 meses se aplicar $200,00 a cada bimestre, à taxa de 2,4695%
ao mês, sendo a primeira aplicação a 60 dias de hoje?
16) Uma pessoa pretende emprestar do banco a importância de $1.200.000,00, para ser paga
no prazo de 12 meses. O pagamento será feito em 5 prestações bimestrais iguais e
Edson Mota
[email protected]
21
Matemática Financeira
consecutivas, sendo que a primeira vence no final do quarto mês. Sabendo-se que a
instituição financeira cobra juros de 7,8% ao mês, qual o valor das prestações?
17) O preço à vista de um vídeo cassete é de $20.000,00 e uma loja está vendendo em 8
prestações e um pagamento maior no final de $3.000,00. Sabendo-se que a instituição
financeira cobra juros de 7,5% ao mês, qual o valor da prestação. (o valor referente aos
$3.000,00 será acrescido no final da prestação).
18) Um carro custa à vista $44.000,00. Uma agência está vendendo por $14.000,00 de
entrada, mais 6 prestações mensais iguais postecipada de $7.504,60. Qual a taxa cobrada
pela agência na financiada?
Edson Mota
[email protected]
22
Matemática Financeira
Respostas:
Edson Mota
1) R$16.915,00
2) R$88.076,84
3) R$40.482,11
4) R$15.886,68
5) 15% ao mês
6) 20 meses
7) 21,5% ao mês
8) R$43,40 R$41,33
9) R$163.695,00
10) R$184,30
11) R$130.165,00
12) 25% ao mês
13) R$12.628,61
14) 5 meses
15) R$2.205,31
16) R$427.695,00
17) R$3.127,36
18) 13% ao mês
[email protected]
23
Matemática Financeira
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTES – SAC
Por este sistema, o devedor paga o empréstimo que incluem, cada uma, uma parcela
constante de amortização e os juros sobre o saldo devedor. Enquanto no sistema PRICE as
prestações são iguais, no SAC são iguais as amortizações incluídas em cada prestação. Como n
amortização iguais devem saldar a dívida P, para calcular cada uma basta dividir o total do
empréstimo P pelo número n de parcelas
A= P÷n
Exemplo:
Um empréstimo de $100.000,00, realizado à taxa de 2,5% a.m., pelo prazo de quatro meses,
agora pago pelo SAC, fazer o demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses.
A= 100.000 ÷ 4 = 25.000,00
Meses
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
100.000,00
0,00
0,00
0,00
1
75.000,00
25.000,00
2.500,00
27.500,00
2
50.000,00
25.000,00
1.875,00
26.875,00
3
25.000,00
25.000,00
1.250,00
26.250,00
4
0,00
25.000,00
625,00
25.625,00
Observa-se, ainda que o quadro demonstrativo pode ser elaborado coluna por coluna, uma
vez que os pagamentos são decrescentes, uma vez que soma são a soma de amortização iguais com
juros cada vez menores.
Edson Mota
[email protected]
24
Matemática Financeira
TABELA PRICE
Este é um caso particular do Sistema Francês de Amortização, em que a taxa de juros é dada
em termos nominais (na prática é dada em termos anuais) e as prestações têm período menor que
aquele a que se refere-se a taxa de juros (em geral, as amortizações são feitas em base mensal).
Neste sistema, o cálculo das prestações é feito usando-se a taxa proporcional ao período a que se
refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal.
Exemplo:
1) Um empréstimo de R$200.00,00 será pago em 3 prestações mensais iguais sem período de
carência. Se a taxa de juros for de 180% ao ano, construir a tabela de amortização.
i = 180% ÷ 12 = 15% ao mês
R = 200.000 . (1 + 0,15)3 . 0,15
(1 + 0,15)3 - 1
R = 200.000 . 0,228131
0,520875
R = 200.000 . 0,437977
R = 87.595,39
• Construindo a tabela:
01
Mês
0
1
2
3
Edson Mota
02
Saldo Devedor
(03 - 02 ant.)
200.000,00
142.404,61
76.169,91
0,01
03
Amortização
(04 - 05)
0
57.595,39
66.234,70
76.169,90
04
Juros
(02 x i)
0
30.000,00
21.360,69
11.425,49
05
Prestação
(R)
0
87.595,39
87.595,39
87.595,39
[email protected]
25
Matemática Financeira
2) Uma empresa tomou um empréstimo no valor de R$1.000.000,00, para ser amortizado em
5 trimestres com 3 meses de carência. Com taxa de juros nominais de 28% ao ano capitalizados
trimestralmente. Construir a tabela de amortização.
i = 28% ÷ (3 ÷ 12) = 7% ao trimestre
S = 1.000.000 . (1 + 0,07)
S = 1.070.000,00
R = 1.070.000 . (1 + 0,07)5 . 0,07
(1 + 0,07)5 - 1
R = 1.070.000 . 0,098179
0,402552
R = 1.070.000 . 0,243891
R = 260.963,04
Pagamento no 3º mês (ínicio dos desembolsos) R = 260.963,04 ÷ 1,07 = 243.890,69
• Construindo a tabela:
01
Trim.
0
1
2
3
3
4
5
6
7
Edson Mota
02
Saldo Devedor
(03 - 02 ant.)
1.000.000,00
1.023.333,33
1.046.666,67
1.070.000,00
826.109,31
640.046,27
440.958,82
227.935,25
0,03
03
Amortização
(04 - 05)
173.890,69
186.063,04
199.087,45
213.023,57
227.935,22
04
Juros
(02 x i)
05
Prestação
(R)
70.000,00
57.827,65
44.803,24
30.867,12
15.955,47
243.890,69
243.890,69
243.890,69
243.890,69
243.890,69
[email protected]
26
Matemática Financeira
Exercício:
1) Uma pessoa adquiriu de uma construtora um apartamento no valor de R$850.000,00,
pagando R$300.000,00 de entrada. O restante foi financiado a 3% ao mês, para ser
amortizado em 36 meses, segundo a Sistema Fracês ou Amortização (Tabela Price).
Questiona-se:
a) Qual o valor da parcela de juros referente à 18º prestação?
b) Qual o saldo devedor após o pagamento da 24º prestação?
c) Qual o total de juros correspondentes às prestações que vencem do 20º mês (exclusive) ao
30º mês (inclusive)?
Edson Mota
[email protected]
27
Matemática Financeira
Tabela PRICE
Mês
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Edson Mota
Saldo Anterior
Amortização
Juros
Prestação
[email protected]
28
Matemática Financeira
TAXA INTERNA DE RETORNO / ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
A taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos
(saídas de caixa) com o valor presente de um ou mais recebimentos (entradas de caixa). Como
normalmente temos um fluxo de caixa inicial (no momento “zero”) que representa o valor do
investimento, ou do empréstimo ou do financiamento, e diversos fluxos futuros de caixa
representado os valores das receitas, ou das prestações.
Exemplo:
1) Determinar a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de $100.000,00 a
ser liquidado em três pagamentos mensais de $30.000,00, $50.000,00 e $40.000,00. O
fluxo de caixa correspondentes a essa operação, tomando-se como referência o doador de
recursos, é representado como segue:
50.000
40.000
30.000
0
1
2
3
100.000
Na HP 12C
f
REG
100.000
Edson Mota
g
CF0
30.000
CHS
g
CFj
50.000
CHS
g
CFj
40.000
CHS
g
CFj
Pressione
f
IRR
9,264704
[email protected]
29
Matemática Financeira
Utilizando o mesmo exemplo, vamos apurar o valor presente líquido, sendo que agora nos
temos a taxa de juros, veja como funciona:
f
REG
9,264704
i
30.000
CHS
g
CFj
50.000
CHS
g
CFj
40.000
CHS
g
CFj
Pressione
f
NPV
100.000,00
Vamos ver como fica um fluxo com varias entradas de um mesmo valor para períodos
diferentes.
Exemplo:
2) Um equipamento no valor de $70.000,00 é integralmente financiado, para pagamento em
sete parcelas mensais; as três primeiras de $10.000,00, as duas seguintes de $15.000,00; a
6º de $20.000,00 e a 7º de $30.000,00. Determinar a taxa interna de retorno dessa
operação.
30000
20.000
15.000
10.000
10.000
10.000
1
2
3
15.000
0
4
5
6
7
70.000
Edson Mota
[email protected]
30
Matemática Financeira
• Veja como fica na HP 12C
f
REG
70000
10000
CHS
3
15000
CHS
2
g
CF0
g
CFj
g
Nj
g
CFj
g
Nj
20000
CHS
g
CFj
30000
CHS
g
CFj
IRR
10,397487
PRESSIONE
3) Um banco credita $180.530,00 na conta de um cliente, referente ao desconto de três
duplicatas de valores: $52.600,00, $63.400,00 e $93.570,00, com prazos de 42,57 e 85
dias respectivamente. Determinar a taxa mensal de juros cobrada nessa operação,
calculada de acordo com o regime de capitação composta.
F
REG
180530
g
CF0
0
g
CFj
41
g
Nj
g
CFj
0
g
CFj
14
g
Nj
g
CFj
0
g
CFj
27
g
Nj
52600
63400
CHS
CHS
93570
CHS
g
CFj
PRESSIONE
f
IRR
0,23
Resultado: 7,09% ao mês, não esqueça do fluxo de caixa para visualização
Edson Mota
[email protected]
31
Matemática Financeira
Conclusão:
Quando uma empresa ou uma pessoa deseja investir em um projeto, ela tem paralelamente
outras opções como por exemplo, a própria atividade produtiva, ou o mercado financeiro.
Chamamos de custo de oportunidade de uma empresa ou pessoa, o retorno certo que ela teria sem
investir em novos projetos.
Um investimento será viável se seu retorno for maior que o de qualquer outro tipo de
aplicação, quando empregada a mesma quantia. Para sabermos isto, basta montar um fluxo com
investimento efetuado e as receitas e economias esperadas, além da taxa mínima de retorno desejada
(deverá ser maior que seu custo de oportunidade) A partir deste fluxo entraremos com os dados na
HP 12C e calcularemos o Valor Presente Líquido (NPV), que será o resultado na data de hoje de
todas as saídas e entradas, considerando-se a taxa mínima de retorno desejada. Se o valor do NPV
for positivo, significa que o investimento é viável e a taxa de retorno é maior que a desejada. Se o
valor for igual a zero, significa que o investimento retornará exatamente como desejado e, portanto,
é viável. Se o valor for negativo, o retorno não será o mínimo desejado, valendo mais a pena investir
no mercado financeiro ou na produção.
Edson Mota
[email protected]
32
Matemática Financeira
Exercícios:
1) Uma pequena indústria pretende adquirir equipamentos no valor de $55.000,00, que
deverão proporcionar receitas líquidas de $15.500,00, no primeiro ano, $18.800 no
segundo, $17.200,00 nos 3º,4º e 5º anos, e $13.500,00 no 6º ano. Sabendo-se que o valor
de revenda dos equipamentos no final do 6º é estimado em $9.000,00, e que a empresa
somente fará tal aquisição se a taxa de retorno for superior a uma taxa mínima
estabelecida, e 25%. Sabendo-se que o ponto de equilíbrio da empresa gira em torno de
21%, utilizar o conceito da taxa interna de retorno.
2) Um empréstimo de $1.180.000,00 deverá ser liquidado em cinco prestações mensais e
consecutivas de $220.000,00, $250.000,00, $290.000,00, $315.000,00 e $350.000,00
respectivamente. Determinar a taxa mensal de juros (TIR) cobrada nessa operação.
3) Um apartamento está sendo oferecido por $450.000 a vista ou $150.000 de entrada mais
cinco prestações mensais e consecutivas de $30.000, mais sete mensais seguintes de
$50.000. Determinar a taxa de juros (TIR) implícita nesse plano.
4) Um empréstimo de $730.000,00 deverá ser pago em quatro prestações (ver tabela
abaixo), calcular a taxa interna de retorno deste investimento.
Número
Prazo (em dias)
Valores
1
65
$154.000,00
2
87
$189.500,00
3
115
$232.400,00
4
178
$355.000,00
5) Um sítio foi colocado a venda para pagamento em dois anos, sendo $75.000,00 de
entrada, mais seis prestações mensais sucessivas de $10.000,00 cada, mais oito seguintes
de $15.000,00 e mais dez últimas de $22.000,00. Admitindo que dispusesse de recursos,
quanto ofereceria a vista, considerando o custo médio do dinheiro para os próximos dois
anos em 6%, 7% e 8% ao mês?
Edson Mota
[email protected]
33
Matemática Financeira
6) Seja o caso de uma empresa que se defronta com seis diferentes alternativas de
investimento, com as seguintes características.
I
II
III
IV
V
VI
100.000
130.000
152.000
184.000
220.000
260.000
8.200
16.300
21.900
25.900
29.200
31.200
Valor residual
100.000
130.000
152.000
184.000
220.000
260.000
Vida útil (anos)
10
10
10
10
10
10
Investimento inicial
Receitas Líquidas anuais
A taxa média anual da empresa de 12% ao ano.
Resolver pelos métodos do valor presente e da taxa interna de retorno.
Edson Mota
[email protected]
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Matemática Financeira
Respostas:
1) A empresa não faria tal aquisição pelo fato da taxa interna de retorno ser inferior a mínima
estabelecida pela empresa.
2) 6,13% ao mês
3) 7,83% ao mês
4) 0,198% ao dia ou 6,1% ao mês
5) Para 6% = $261.456,36;
Para 7% = $242.274,37;
Para 8% = $225.808,63.
6) Solução:
Método do Valor Presente:
Por este método é necessário atualizar os termos do fluxo de caixa.
VPL
I
II
III
IV
V
-21.470
3.955
20.674
21.582
15.820
VI
0
Método da taxa interna de retorno (TIR):
Deve-se calcular a TIR para cada alternativa.
I
TIR
Edson Mota
II
8,2% 12,5%
III
14,4%
IV
14,1%
V
VI
13,1% 12%
[email protected]
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