FUNÇÕES REAIS: POSSIBILIDADES EM UM AMBIENTE DE
GEOMETRIA DINÂMICA
Maria Lucia Muruci (Mestrado em Ensino de Matemática – UFRJ) – [email protected]
Victor Augusto Giraldo (IM-UFRJ ) – [email protected]
Luiz Carlos Guimarães (IM-UFRJ ) – [email protected]
Este mini-curso tem por objetivo central a exploração de propriedades gráficas de diversas
classes de funções reais (polinomiais, trigonométricas, modulares e racionais) através dos recursos
vetoriais e de construções geométricas disponíveis no ambiente de geometria dinâmica de Tabulæ.
As atividades visam motivar o desenvolvimento de conexões múltiplas entre diversas
representações para funções reais (algébricas, gráficas e numéricas) utilizando como recursos
pedagógicos a interatividade e a dinâmica características do ambiente. Após a apresentação inicial
da interface, as atividades serão organizadas de forma que os participantes trabalhem com
gráficos de funções previamente construídos, explorando o efeito da variação de parâmetros
algébricos e da aplicação de transformações geométricas no aspecto gráfico, como também
atividades de construção de gráficos das funções exploradas.
1.
INTRODUÇÃO
Sabemos que ambientes de geometria dinâmica (GD) podem ser usados como ferramentas
pedagógicas que permitem ao aluno experimentar um grande número de exemplos, verificar
propriedades, formular e testar conjecturas. A literatura de Educação Matemática tem enfocado
largamente o uso de GD no ensino de geometria (e.g. Belfort et al, 1999; Belfort et al, 2003; Hadas
et al, 2000), apontando também, alguns estudos sobre a aplicação desses ambientes ao ensino de
funções (Hazzan & Goldenberg, 1997).
Utilizaremos nesse trabalho o software Tabulæ. O Tabulæ é um software de geometria
dinâmica desenvolvido no Instituto de Matemática da UFRJ, com recursos geométricos e vetoriais,
além de uma calculadora, munida das operações das operações elementares, além de funções
trigonométricas, logarítmicas e exponenciais. Estes recursos permitem ao usuário fazer construções
geométricas planas, mover elementos e observar os aspectos e propriedades que mudam e aqueles
que permanecem invariantes. Os recursos vetoriais permitem ainda a utilização de parâmetros, que,
quando manipulados pelo usuário, produzem movimentos e transformações planas. Assim, o
usuário pode observar o efeito dessas transformações em objetos geométricos construídos. Com os
recursos disponíveis no Tabulæ, é possível construir gráficos de diversas classes de funções
elementares, tais como polinomiais, modulares, trigonométricas, logarítmicas e exponenciais. Por
meio dos recursos citados acima, é possível ainda visualizar classes de funções dependendo de um
parâmetro, mudar o valor do parâmetro e observar em tempo real as mudanças nos gráficos.
2.
OBJETIVOS E ORGANIZAÇÃO DO MINI-CURSO
Neste mini-curso, exploraremos o comportamento do gráfico de funções polinomiais (sem nos
restringirmos às de primeiro e segundo graus, como é usualmente feito nos livros didáticos para o
ensino médio), funções trigonométricas, funções modulares e de funções racionais (isto é, aquelas
que podem ser escritas como quociente de funções polinomiais). Após a apresentação inicial da
interface do software Tabulae, sua barra de ferramentas, com seus principais ícones e suas
funcionalidades, o mini-curso será organizado de modo a intercalar atividades em que o cursista
manipulará gráficos previamente construídos no ambiente, bem como atividades que os levem a
entender de que forma esses gráficos são construídos. Nesse processo de construção serão
explorados os vários conceitos matemáticos envolvidos e discutiremos as várias escolhas que se tem
no processo de determinação de um sistema de coordenadas.
2.1. Considerações sobre atividades de manipulação de gráficos previamente
construídos no ambiente
Num primeiro momento os participantes, trabalharão com gráficos de funções previamente
construídos. Será explorado o efeito da variação de parâmetros algébricos no aspecto gráfico,
motivando a conexão entre representações algébricas e gráficas de forma dinâmica. Além disso,
serão explorados dois tipos de transformações:
•
Translações horizontais e verticais, dadas respectivamente por
y = f ( x + c)
e
y = f ( x) + c , sendo c uma constante real.
•
Dilatações e compressões horizontais e verticais, dadas respectivamente por y = f (c ⋅ x) e
y = c ⋅ f (x) , sendo c uma constante real.
Utilizando como recurso pedagógico a característica dinâmica e interativa do ambiente, serão
sugeridas algumas conjecturas, que deverão ser testadas e discutidas pelo grupo. Em seguida, estas
conjecturas serão formalizadas com base na conexão com as expressões algébricas das funções.
Essas atividades têm como principais objetivos específicos:
•
Desenvolver uma visão dinâmica do conceito de função.
•
Explorar o conceito de função, integrando os aspectos algébricos, gráfico-geométricos e
numéricos.
2.2 Considerações sobre as atividades relacionadas ao processo de construção de
gráficos no ambiente
Ao longo dessas atividades os participantes serão levados à compreensão do processo de
construção do gráfico de funções, sendo capazes de construir os seus próprios gráficos, utilizando as
funcionalidades do ambiente. Esta construção envolve vários conceitos matemáticos, como
translações e rotações, vetores, produto de escalar por vetor, lugar geométrico, parâmetros e
variáveis, o que efetivamente contribuirá para um entendimento mais abrangente e aprofundado de
diversos aspectos e propriedades relacionadas a sistema de coordenadas, funções e seus gráficos.
Destacamos como objetivos específicos destas atividades:
•
Aprofundar a visão dinâmica do conceito de função desenvolvida nas atividades de
exploração de telas previamente construídas.
•
Apresentar e discutir as potencialidades de um ambiente de geometria dinâmica para a
construção e a análise de gráfico de funções reais.
•
Conscientizar os professores sobre as possibilidades de aprofundamento no estudo de
funções, utilizando-se de novas tecnologias.
•
Aprofundar a compreensão sobre o conceito de vetor, o produto de escalar por vetor e sua
aplicação na construção de gráficos de funções no ambiente e nas transformações
geométricas ocorridas nos mesmos.
•
Explorar o gráfico de função como lugar geométrico.
É importante destacar ainda que o processo de construção de telas deva capacitar os
participantes para o uso efetivo do ambiente como ferramenta pedagógica para o ensino de funções.
Entendendo o processo de construção para uma determinada função, o usuário será capaz de
construir qualquer outra, com o enfoque que lhe for mais apropriado no momento.
3.
DESCRIÇÃO DE ALGUMAS ATIVIDADES
Atividade 1
Abra a tela 1. Nela você encontrará o gráfico da função definida algebricamente por
y = ax + b .
a)
Sobre a curva que representa geometricamente a função, vemos um ponto genérico P ( x, y ) .
Arraste o ponto x, localizado sobre o eixo das abscissas e observe a movimentação do ponto P
e as respectivas variações nos valores de x e y .
b)
Varie o parâmetro b , mantendo a fixo e observe o que acontece ao gráfico. Descreva o que
acontece. Atente para os casos em que b > 0 , b < 0 e b = 0 .
c)
Você consegue visualizar o parâmetro b no gráfico?
d)
Agora faça a variação do parâmetro a , mantendo b fixo. Observe e descreva o que acontece
ao gráfico, observando os casos em que a > 0 , a < 0 e a = 0 .
e)
Você consegue visualizar o parâmetro a no gráfico?
f)
Com base na expressão algébrica y = ax + b e na observação do gráfico, interprete
geometricamente o coeficiente a .
Figura 1. Tela do Tabulæ representando funções afins na forma y = ax + b .
Atividade 2
2
Abra a tela 2. Nessa tela encontraremos o gráfico da função f ( x) = x (em preto) e também o
gráfico da função f ( x) = a ( x − h ) + k (em azul), de forma que poderemos manipular a , h e k .
2
a)
2
Faça h = 0 e k = 0 . Neste caso teremos a função f ( x) = ax . Faça agora variar o parâmetro
a , observe e explicite as transformações ocorridas no gráfico da função g em relação ao
gráfico da função f .
Faça a = 1 e k = 0 . Neste caso teremos a função f ( x) = ( x − h ) . Faça agora variar o
2
b)
parâmetro h , observe e explicite as transformações ocorridas no gráfico da função g em
relação ao gráfico da função f .
c)
2
Faça a = 1 e h = 0 . Nesse caso teremos a função f ( x) = x + k . Faça variar o parâmetro k ,
observe as transformações ocorridas no gráfico da função g em relação ao gráfico de f .
d)
Varie livremente os parâmetros observando as transformações ocorridas. Você vê alguma
vantagem na forma de representação canônica da função quadrática?
Figura 2. Tela representando funções quadráticas na forma f ( x) = a ( x − h ) + k .
2
Atividade 3
Vamos começar a entender de que forma construímos as telas anteriores. Abra a tela 3. Nela
você encontrará um plano cartesiano, com um ponto P(x,y), tal que y = 2x2 + 1 e os respectivos
valores numéricos de x e y localizados no canto esquerdo superior da tela
a)
Arraste o ponto x, localizado sobre o eixo OX e observe a trajetória do ponto P, e a
conseqüente variação no valor de x e de y.
b)
Selecione o ponto P, clique no menu Exibir, no alto de sua tela. Clique sobre a opção
“Rastro de objetos” e movimente livremente o ponto x sobre o eixo das abscissas. Observe.
c)
Clique sobre o ícone
(criar lugar geométrico). Selecione o ponto P(x,y) e em seguida o
ponto x (no eixo OX). Descreva o que aconteceu.
Sempre que ativar um dos comandos volte ao ícone
(repita sempre esse procedimento,
que desativa o comando ativado anteriormente).
Atividade 4
Nessa atividade vamos entender de que forma construímos o ponto P(x,y) da atividade
anterior. Seguiríamos o mesmo raciocínio para qualquer outra função.
a)
Abra a tela 4. Nela você encontrará um plano cartesiano, com um vetor unitário(y1) sobre o
eixo OY, com origem em O e um ponto x em OX que você pode arrastar livremente,
observando sua variação numérica no canto superior esquerdo da tela.
b)
Vamos agora construir o valor numérico de y = 2x2 + 1. Clique no menu Calcular, opção
“Calculadora” e digite a seguinte seqüência 2*(clique sobre o valor de x)^2 + 1. Aparecerá
no visor da calculadora a expressão 2*x^2+1. Clique em Ok. Na tela ficará registrado o valor
numérico da expressão 2x2+1. Selecione-o e em seguida clique sobre o ícone
no alto de
sua tela, nomeando esse valor por y. Arraste o ponto x e observe a variação de x e y. O que
podemos afirmar a respeito dessas variáveis? De que forma poderíamos transferir esse valor
“y” encontrado para o eixo vertical OY?
c)
Clique sobre o ícone
(criar vetor)e, em seguida, sobre o ícone
(criar produto de vetor
por escalar) . Selecione o vetor y1 e o valor de “y” calculado no item b. O que aconteceu?
Arraste o ponto x e visualize o novo vetor criado sobre o eixo OY. Nomeie-o por y.
d)
Tente responder de que forma podemos criar o ponto cartesiano P(x,y) tal que y= 2x2 + 1?
e)
Vamos então criar esse ponto. Clique sobre o ícone
ícone
(criar reflexão)e, em seguida, sobre o
(criar translação). Selecione o vetor y e em seguida o ponto x (no eixo OX). O que
aconteceu? Arraste o ponto x e observe o novo ponto criado. Nomeie-o por P.
f)
Movimente o ponto x no eixo das abscissas, observando a trajetória do ponto P na sua tela.
Pense em todos os passos dados até aqui para representar esse ponto P. Que informações estão
encerradas nesse ponto?
Caso queira utilize “Rastro de objetos” para visualizar melhor a trajetória e/ou complete o
gráfico utilizando o ícone
(criar lugar geométrico).
Atividade 5
Nas duas últimas atividades utilizamos telas previamente preparadas. Em cada uma delas
disponibilizamos um sistema de coordenadas cartesianas. No ambiente do Tabulae esse sistema de
coordenadas não se encontra disponível e deve ser construído de acordo com os critérios e
particularidades desejados. Devido ao grau de liberdade na sua construção e aos conceitos
envolvidos se constitui num interessante processo.
Primeiramente pense sobre que elementos seriam necessários e fundamentais para que um
sistema de coordenadas funcione de maneira eficiente?
Vamos então à construção de um sistema de coordenadas cartesianas.
a)
Abra uma tela em branco.
b)
Clique sobre o ícone
Volte ao ícone
(criar reta) e construa uma reta, mantendo-a na posição horizontal.
(repita sempre esse procedimento, pois ele desativa o comando ativado
anteriormente). Essa reta será o eixo OX. Sobre essa reta estão localizados dois pontos através
dos quais podemos movimentar a reta. Temos a opção de escondê-los. Para isso clique no
menu Exibir e escolha a opção “Esconder objetos.”
c)
Clique sobre o ícone
(criar reta) e, em seguida, sobre o ícone
(criar reta
perpendicular). Clique sobre o eixo OX. Uma reta perpendicular ao eixo OX será criada e o
seu mouse estará posicionado sobre um ponto nessa reta, que pode mover-se livremente.
Clique sobre o eixo OX e a reta se fixará num ponto do mesmo. Está criado o eixo OY e a
origem do sistema de coordenadas (interseção das retas). Nomeie-o por O. Temos então
construídos o sistema de eixos e a origem.
d)
Vamos agora criar uma escala para os eixos. Clique sobre o ícone
e crie um ponto sobre
eixo OX. Nomeie-o por 1. Essa será a unidade do eixo das abscissas. Vamos agora criar uma
razão orientada sobre o eixo OX. Clique sobre o ícone
o ícone
(criar vetor) e, em seguida, sobre
(criar razão por 3 pontos). Selecione o ponto 0, em seguida o ponto 1, e enfim
clique sobre um ponto qualquer do eixo OX.
Está criada uma razão e um ponto
correspondente.
e)
Nomeie ambos (o novo ponto e a razão numérica correspondente) por x. Desloque o valor da
razão para o canto esquerdo superior da sua tela. Mova livremente o ponto 1 e o ponto x e
observe a variação numérica da razão criada. O programa nos informa que o ícone
cria
uma “razão por 3 pontos”. Faz sentido calcular uma razão entre pontos? Na verdade, esta
razão é feita entre dois exemplares de que grandeza?
f)
Você acha que um sistema de coordenadas no qual a unidade está à esquerda da origem no
eixo horizontal está matematicamente correto? Como poderíamos fixar a unidade à direita da
origem em nossa construção, se essa for nossa opção?
g)
Da mesma forma que fizemos anteriormente para o eixo das abscissas, podemos criar uma
escala para o eixo das ordenadas, que pode ser a mesma utilizada no eixo das abscissas ou
não. Faça a sua escolha e crie uma escala para o eixo das ordenadas.
h)
Poderíamos pensar num sistema de coordenadas não ortogonais?
Se você chegou até aqui está apto a construir gráfico de funções no ambiente, pois basta
construir o plano cartesiano conforme desenvolvido nessa atividade, fazendo as escolhas de acordo
com seu interesse, e seguir os passos desenvolvidos nas atividades 3 e 4.
Atividade 6
Nas atividades 1 e 2 tivemos a oportunidade de trabalhar com funções com parâmetros
variáveis, e essa possibilidade é o que torna relevante a utilização do ambiente de GD para a
construção de gráficos de funções. A sua construção segue os mesmos passos das atividades 3 e 4,
porém precisamos de um eixo auxiliar para a representação desse parâmetro.
Vamos construir o gráfico da função y = asenx, de forma que a seja um parâmetro variável.
a)
Abra a tela 4, onde temos um plano cartesiano já construído ou utilize a tela que acabou de
construir.
b)
Vamos construir o parâmetro a. Trace uma reta perpendicular ao eixo OX, fixando-a num
ponto desse eixo a esquerda da sua tela. Selecione a mesma, clique no menu “Formatar”,
“Linha” e escolha a opção “Pontilhado”. Sobre essa reta construiremos o parâmetro a.
c)
Vamos criar uma razão orientada sobre essa última reta. Clique sobre o ícone
vetor) e, em seguida, sobre o ícone
(criar
(criar razão por 3 pontos). Clique agora sobre o ponto
de interseção da reta com o eixo OX, e em seguida sobre dois outros pontos quaisquer da reta,
acima do eixo das abscissas. Está criada uma razão e, um ponto livre correspondente que
podemos arrastar. Selecione esse último ponto e a razão nomeando a ambos por a. Se quiser
esconda os dois primeiros pontos utilizados.
d)
Podemos agora calcular a expressão y = a.senx. Clique no menu Calcular, opção
“Calculadora” e digite na seqüência (clique sobre o valor de a)*sen(clique sobre o valor
de x). Aparecerá no visor da calculadora a expressão a*sen(x). Clique em Ok. Aparecerá na
tela o valor numérico da expressão a.sen(x). Construa o gráfico normalmente, como na
atividade 4 e varie o parâmetro a, observando as transformações ocorridas no gráfico.
Se for construir o gráfico de uma função com mais de um parâmetro variável, utilize um eixo
auxiliar para cada um, construindo o parâmetro através do comando
(criar razão por 3 pontos).
BIBLIOGRAFIA
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geometria dinâmica. In: ENCONTRO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DO ESTADO DO
RIO DE JANEIRO, 3., 2003, Vassouras: SBEMRJ, 2003. p. 1-10.
[2] BELFORT, E.; GUIMARÃES, L.C.; BARBASTEFANO, R. Geometria Dinâmica e
Demonstrações na formação continuada de professores. In: CABRI WORLD 99., 1999, São
Paulo. São Paulo: PUCSP, 1999. p. 1 - 10. CD-ROM.
[3] HADAS, H.; HERSHKOWITZ, R.; SCHWARZ, B. The Role of contradiction and uncertainty
in promoting the need to prove in dynamic geometry environments. Educational Studies In
Mathematics, v. 44, n. , p.127-150, 2000.
[4] STEWART, J. Cálculo I. 4. ed. São Paulo: Thomson, 2005. v. 1, p. 88, 113, 122.
[5] HAZZAN, O. & GOLDENBERG, E. Student’s understanding of the notion of function in
dynamic geometry environments. International Journal of Computers for Mathematical
Learning, 1:263-291,1997