X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
A INFLUÊNCIA DA MATEMÁTICA BÁSICA NO ENSINO DE CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL
Graciela Moro
Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC
[email protected]
Ivanete Zuchi Siple
Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC
[email protected]
Resumo: É fato conhecido que a formação básica em matemática dos alunos ingressantes
no ensino superior encontra-se deficiente. Este fato tem contribuído para o insucesso dos
alunos na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, componente curricular de formação
básica nos cursos da área de Ciências Exatas. O curso de Licenciatura em Matemática da
Universidade do Estado de Santa Catarina (UDESC) tem como disciplina regular do seu
currículo a disciplina de Matemática Básica, a qual foi criada com o intuito de preencher as
lacunas de aprendizagem dos alunos e evitar as conseqüências da deficiência desta
formação em outras disciplinas. Neste trabalho, apresentamos um comparativo entre o
aproveitamento dos alunos dos Cursos de Licenciatura em Matemática e Licenciatura em
Física da UDESC na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I (CDI-I). Observamos
que os alunos do Curso de Licenciatura em Matemática, aos quais é oferecida a disciplina
de Matemática Básica antecedendo o CDI-I, têm um aproveitamento superior em relação
aos alunos do Curso de Licenciatura em Física, que não cursam a disciplina de Matemática
Básica e já se deparam com o Cálculo no primeiro semestre de graduação.
Palavras-chave: Ensino; Matemática Básica; Cálculo Diferencial e Integral.
INTRODUÇÃO
As dificuldades na aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral (CDI) têm sido
foco de discussão nos grupos de pesquisa em Educação Matemática, tanto em nível
nacional como internacional. “O ensino de CDI tem sido responsabilizado por um grande
número de reprovações e de evasões de estudantes universitários” (Farias, 2007, p. 22) e as
deficiências na formação básica em matemática têm sido apontadas como a principal causa
para tal fato. Os alunos chegam à universidade com grandes lacunas de aprendizagem em
Matemática Básica, o que aponta uma grande fragilidade do ensino fundamental e médio
em caráter nacional.
Segundo dados do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisa Educacionais Anísio
Teixeira (INEP), quase metade dos alunos que realizaram a prova do Exame Nacional do
Ensino Médio (ENEM) em 2009 obteve notas inferiores a média estabelecida pelo INEP.
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Entre as matérias com piores notas ficou Matemática. Mais de 57% dos alunos ficaram
abaixo da média (Werthein, 2010). É importante observar que o desempenho das escolas
públicas foi bastante ruim se comparado às escolas particulares, o que mostra a fragilidade
do sistema público de educação no cenário nacional (INEP, 2010). De modo geral, o
ensino básico não tem conseguido formar as competências necessárias adequadas para que
um estudante ingresse na área de Ciências Exatas. Essas deficiências têm se refletido no
ensino superior, principalmente nas disciplinas de formação básica das ciências exatas, em
particular na disciplina de CDI-I. Tal disciplina é caracterizada pelo estudo de funções
reais ligadas aos processos de limite e pelo fato de seu conteúdo apoiar-se sobre quase todo
o saber escolar ensinado aos alunos até então (Barroso et al, 2009).
Com base neste panorama, os educadores se sentem desafiados a identificar
estratégias para possibilitar aos estudantes a superação de suas dificuldades, reduzindo os
índices de reprovação nos primeiros anos nos cursos, minimizando a evasão e permitindo
que os estudantes alcancem altos níveis acadêmicos.
O departamento de Matemática do Centro de Ciências Tecnológicas (CCT) da
UDESC, diante de um cenário pré-existente de grandes lacunas de aprendizagem em
Matemática Básica dos alunos dos cursos de Engenharia, Ciência da Computação,
Tecnologia em Sistemas de Informação e Licenciatura em Física, implantou a disciplina de
Matemática Básica na matriz curricular do curso de Licenciatura em Matemática visando
suprir tais lacunas no aprendizado do aluno.
Neste trabalho apresentamos uma análise sobre a influência da disciplina de
Matemática Básica no aproveitamento da disciplina de CDI-I em turmas com alunos de
perfis semelhantes, alunos dos cursos de Licenciatura em Matemática e Física. Foram
observadas as turmas dos dois cursos durante dois semestres, tendo em vista que no curso
de Licenciatura em Matemática a disciplina de Matemática Básica precede a disciplina de
CDI-I e no curso de Licenciatura em Física não é oferecida a disciplina de Matemática
Básica.
HISTÓRICO
No ano de 2002 iniciou-se no Centro de Ciências Tecnológicas (CCT) da UDESC
um projeto de Ensino visando minimizar os índices de alta reprovação em algumas
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disciplinas, em particular a disciplina de CDI-I dos cursos de Engenharia, Licenciatura em
Física, Ciência da Computação e Tecnologia em Sistemas de Informação. O projeto
consistia num curso de Matemática Básica que era oferecido aos acadêmicos ingressantes
nos cursos citados durante duas semanas que antecediam o início das aulas regulares. O
curso tinha como objetivo nivelar o conhecimento matemático dos estudantes focando em
temas de especial importância para a disciplina de CDI-I, e além disso, servir de transição
entre o ensino médio e o ensino superior. Os assuntos abordados neste curso eram:
Conjuntos Numéricos, Expressões Algébricas, Funções, Geometria Plana e Trigonometria.
Após cinco anos desta ação, procurou-se avaliar o aproveitamento na disciplina de
CDI-I dos alunos que freqüentavam o Curso de Matemática Básica. Durante o processo de
avaliação do projeto, pode-se observar uma melhora significativa no desempenho dos
estudantes quando comparadas as notas da primeira e da última avaliação, pois como
forma de avaliar o aproveitamento dos alunos neste curso eram aplicadas duas avaliações,
uma no primeiro dia de curso para identificar os assuntos com maior dificuldade dos
alunos e outra no último dia de curso, ambas com o mesmo padrão de questões, e pode-se
perceber que a nota da segunda avaliação era visivelmente melhor em relação à primeira,
conforme Mandler (2008). Entretanto, observou-se que os alunos que participaram do
Curso de Matemática Básica obtiveram uma melhora no aproveitamento pouco
significativa na disciplina de CDI-I em relação aos que não participaram, conforme Barz
(2009). Foram então, identificados alguns fatores que contribuíram para este
aproveitamento pouco significativo, os quais podemos descrevê-los: o curso de
Matemática Básica era para ser uma revisão dos conteúdos estudados no ensino médio,
porém, para muitos alunos, este era o primeiro contato com determinados conteúdos,
principalmente para alunos oriundos do ensino público; a duração do curso era muito
pequena (2 semanas) e então os conteúdos tinham que ser revisados de maneira muito
rápida, restando pouco tempo para o amadurecimento do aluno; os alunos tinham quatro
horas de aulas diárias de matemática durante as duas semanas, o que se tornava cansativo.
Atualmente este curso não está sendo oferecido para os cursos de Engenharia,
Ciência da Computação, Licenciatura em Física e Tecnologia em Análise e
Desenvolvimento de Sistemas, estuda-se a hipótese de oferecê-lo com uma duração maior,
ao longo do semestre, para os alunos que apresentarem dificuldades na disciplina de CDI-I.
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Porém, para o curso de Licenciatura em Matemática temos outra experiência que relatamos
na seqüência.
A MATEMÁTICA BÁSICA COMO COMPONENTE CURRICULAR NO CURSO
DE LICENCIATURA
No ano de 2008 foi implantado na UDESC o curso de Licenciatura em Matemática
e, a disciplina de Matemática Básica é disciplina regular do currículo do curso já na
primeira fase, antecedendo a disciplina de CDI-I que é vista apenas na segunda fase do
curso, diferente de qualquer outro curso da UDESC, que tem CDI-I já na primeira fase.
Esta disciplina foi criada com o intuito de atender às necessidades dos alunos que iniciam
um curso no campo das Ciências Exatas, muitas vezes com deficiência na formação básica,
elementos estes que são fundamentais para o progresso nas disciplinas de cálculo e álgebra.
A preocupação de ter a disciplina de matemática básica como componente curricular do
curso de licenciatura não é inédita, pois vários estudos têm evidenciado as conseqüências
da deficiência desta formação em outras disciplinas, em particular, na disciplina de CDI-I.
Pesquisas apontam que os erros ocorridos em Cálculo Diferencial e Integral são geralmente
provenientes da deficiência da Matemática Básica.
Em Cálculo Diferencial e Integral, temos notado que os maiores problemas
não são relacionados diretamente com a aprendizagem das técnicas de
cálculo de limites, derivadas ou integrais. Os erros mais freqüentes são
aqueles ligados a conteúdo de Ensino Fundamental ou Médio,
especialmente os que envolvem simplificações de frações algébricas,
produtos notáveis, resoluções de equações, conceito de função e esboço de
gráficos (Cury, 2009, p.226).
Levando em consideração tais preocupações, no curso de Licenciatura em
Matemática da UDESC, a disciplina de Matemática Básica compreende os seguintes
assuntos: Conjuntos Numéricos, Expressões Algébricas, Relações e Funções (1º e 2º graus,
exponencial, logarítmica, hiperbólicas e trigonométricas). A parte da geometria plana e
espacial é contemplada por uma disciplina específica para tal fim, também oferecida na
primeira fase. A Matemática Básica é uma disciplina obrigatória que contempla 4 créditos
semanais e a metodologia utilizada intercala aulas teóricas para aprofundamento dos
conceitos e aulas práticas com uso de ferramentas tecnológicas para a compreensão dos
conceitos e resoluções de exercícios.
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Como o curso de Matemática é ainda recente na UDESC, até o presente momento
tivemos apenas três turmas de Matemática Básica e duas turmas de CDI-I.
Em relação à Matemática Básica, foram avaliadas as turmas nos três semestres de
curso, no segundo semestre de 2008 havia apenas uma turma, no primeiro e segundo
semestre de 2009 havia duas turmas, uma de calouros e uma de repetentes (turmas A e B,
respectivamente). Observamos uma grande dificuldade em relação à aprendizagem e
conseqüentemente um número considerável de reprovações e, embora esta disciplina tenha
um caráter de revisão e aprofundamento dos conceitos fundamentais, para muitos alunos
tem representado o primeiro contato com estes conceitos. Outro fator que tem influenciado
no elevado número de reprovações na disciplina é a percepção errônea, de muitos alunos,
de que apenas a presença em sala de aula é suficiente para garantir a aprendizagem.
Na primeira turma de Matemática Básica havia 28 alunos matriculados, sendo que
apenas 8 alunos obtiveram êxito, 14 desistiram da disciplina e o restante foi reprovado,
conforme ilustra Fig 1. No primeiro semestre de 2009, na turma de calouros havia 40
alunos matriculados, dos quais 15 foram aprovados, 4 desistiram da disciplina e os demais
foram reprovados, conforme Fig 2. Na turma de repetentes, havia 12 alunos, dos quais 3
foram aprovados e os demais reprovados, conforme Fig 3.
Matem ática Básica - Turm a A (2008/02)
7
8
Aprovados
Reprovados por nota
Reprovados por
frequência
14
Figura 1 – Aproveitamento em Matemática Básica no semestre 2008/02
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Matem ática Básica - Turm a A (2009/01)
Matem ática Básica - Turm a B (2009/01)
0
4
3
15
Aprovados
Aprovados
Reprovados por nota
Reprovados por nota
Reprovados por
frequência
Reprovados por
frequência
21
9
Figura 2 – Aproveitamento em Matemática Básica
no semestre 2009/01 – Turma A
Figura 3 – Aproveitamento em Matemática Básica
no semestre 2009/01 – Turma B
No segundo semestre de 2009, na turma de calouros, dos 25 alunos matriculados, 8
foram aprovados, 11 desistiram da disciplina e o restante não obteve êxito, conforme Fig 4.
Na turma de repetentes, dos 25 alunos matriculados, 4 obtiveram êxito , 10 desistiram da
disciplina e os demais reprovaram, conforme Fig 5.
Matem ática Básica - Turm a B (2009/02)
Matem ática Básica - Turm a A (2009/02)
4
8
Aprovados
Aprovados
10
11
Reprovados por nota
Reprovados por nota
Reprovados por
frequência
Reprovados por
frequência
11
6
Figura 4 – Aproveitamento em Matemática Básica
no semestre 2009/02 – Turma A
Figura 5 – Aproveitamento em Matemática Básica
no semestre 2009/02 – Turma B
Como vimos, o número de aprovados em Matemática Básica tem sido abaixo do
esperado, entretanto, os alunos que conseguem passar por esta etapa têm demonstrado um
aproveitamento bastante satisfatório na disciplina de CDI-I e acima da média em relação às
demais turmas de CDI-I dos cursos de engenharia da UDESC.
A INFLUÊNCIA DA MATEMÁTICA BÁSICA NO APROVEITAMENTO DA
DISCIPLINA DE CDI-I
Na UDESC, nos cursos de Licenciatura em Matemática e Licenciatura em Física, o
público alvo apresenta características semelhantes, as quais não estão presentes apenas nos
referidos cursos da UDESC, mas também na maioria das universidades brasileiras,
conforme dados obtidos pelo Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes - ENADE e
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publicados pela UNESCO (Gatti & Barreto, 2009). Os alunos destes cursos são em geral
oriundos de escola pública, muitos deles optam por estes cursos em função de uma baixa
concorrência no vestibular ou pelo fato da universidade ser gratuita, outros estão fora da
escola há muitos anos, enfim, são alunos que apresentam muitas deficiências em
Matemática Básica. No entanto, o curso de Licenciatura em Física da UDESC não oferece
em seu Plano Político Pedagógico a disciplina de Matemática Básica como componente
curricular, ou seja, os alunos ingressam no curso e na primeira fase já se deparam com o
Cálculo como em muitas outras universidades. O resultado tem sido uma reprovação em
massa dos alunos, muitos deles acabam repetindo a disciplina por vários semestres até
conseguir a aprovação, e uma quantidade significativa acaba abandonando o curso. De
acordo com Cury (2009), as dificuldades encontradas pelos alunos de Cálculo Diferencial e
Integral estão entre as causas apontadas para a excessiva desistência e evasão encontradas
em cursos superiores da área de ciências exatas.
O principal objetivo deste relato é apresentar uma análise sobre a influência da
disciplina de Matemática Básica no aproveitamento de CDI-I desde a implantação do
curso, bem como um comparativo com as turmas de CDI-I do curso de Licenciatura em
Física.
Salientamos que a disciplina de CDI-I é unificada em todos os cursos de
Licenciatura e Engenharia do CCT- UDESC. A disciplina de CDI-I contempla seis créditos
semanais, inserida num projeto de ensino, onde os professores que trabalham nesta
disciplina utilizam o mesmo material, elaboram de maneira colaborativa o programa, a
metodologia e as avaliações dessa disciplina.
Inicialmente apresentamos os resultados obtidos na disciplina de CDI-I do curso de
Licenciatura em Matemática.
Na primeira turma de CDI-I havia 8 alunos matriculados, dentre os quais, 4 alunos
obtiveram êxito, 2 desistiram da disciplina e o restante foi reprovado, conforme ilustra Fig
6. Na segunda turma, o número de matriculados foi 19, sendo que 12 obtiveram êxito na
disciplina, 4 desistiram da disciplina e os demais foram reprovados, conforme a Fig 7.
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Cálculo I - Turm a A (2009/01)
Cálculo I - Turm a A (2009/02)
4
2
Aprovados
Aprovados
4
Reprovados por nota
Reprovados por nota
3
Reprovados por
frequência
12
Reprovados por
frequência
2
Figura 6 – Aproveitamento em CDI-I no semestre
2009/01
Figura 7 – Aproveitamento em CDI-I no semestre
2009/02
Na seqüência, apresentamos os resultados obtidos na disciplina de CDI-I, pelos
alunos do curso de Licenciatura em Física da UDESC nos três últimos semestres.
No primeiro semestre de 2009 havia três turmas de CDI-I, uma turma de calouros
(turma A) e duas de repetentes (turmas B e C). Na turma A havia 36 alunos matriculados,
dos quais apenas 4 foram aprovados, 6 desistiram da disciplina e os demais reprovaram,
conforme ilustra Fig 8. Para uma turma de repetentes, se espera que o número de
aprovados seja maior em relação à turma de calouros pelo fato dos alunos estarem vendo o
assunto pelo menos pela segunda vez, porém este não é o contexto nas turmas B e C no
primeiro semestre de 2009. Na turma B havia 18 alunos, sendo que não houve nenhum
aprovado, 7 desistiram da disciplina e 11 alunos reprovaram por nota, conforme ilustra Fig
9. Cabe salientar que o professor das turmas A e B era o mesmo. Na turma C o número de
matriculados era 25, dos quais apenas 2 foram aprovados, 8 desistiram da disciplina e os
demais não obtiveram êxito, conforme Fig 10.
Cálculo I - Física (Turm a A-2009/01)
Cálculo I - Física (Turm a B-2009/01)
0
4
6
Aprovados
Aprovados
7
Reprovados por nota
Reprovados por
frequência
Reprovados por nota
11
Reprovados por
frequência
26
Figura 8 – Aproveitamento em CDI-I no semestre
2009/01 - Turma A
Figura 9 – Aproveitamento em CDI-I no semestre
2009/01 – Turma B
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Cálculo I - Física (Turm a C-2009/01)
2
8
Aprovados
Reprovados por nota
Reprovados por
frequência
15
Figura 10 – Aproveitamento em CDI-I no semestre 2009/01 – Turma C
No segundo semestre de 2009 havia duas turmas, uma de calouros (turma A) e uma
de repetentes (turma B). Na turma A havia 25 alunos matriculados, dos quais apenas 2
foram aprovados, 10 desistiram da disciplina e os demais não obtiveram êxito, conforme
ilustra Fig 11. Na turma B havia 68 alunos matriculados, dos quais 16 obtiveram êxito, 34
desistiram da disciplina e os demais reprovaram por nota, conforme Fig 12.
Cálculo I - Física (Turm a B-2009/02)
Cálculo I - Física (Turm a A-2009/02)
2
16
Aprovados
Aprovados
10
Reprovados por nota
13
Reprovados por
frequência
Figura 11 – Aproveitamento em CDI-I no semestre
2009/02 – Turma A
Reprovados por nota
34
Reprovados por
frequência
18
Figura 12 – Aproveitamento em CDI-I no semestre
2009/02 – Turma B
Podemos observar pelos dados apresentados que a Matemática Básica tem uma
influência decisiva no aproveitamento da disciplina de CDI-I. Observamos que os alunos
do curso de Licenciatura em Matemática tiveram um aproveitamento superior a 50%
enquanto no curso de Licenciatura em Física, em nenhuma turma das turmas observadas, o
aproveitamento foi superior a 25%. Também observamos que na primeira e na segunda
turma de CDI-I do curso de Matemática o índice de desistência da disciplina foi de 25% e
21%, respectivamente, enquanto que nas turmas de Física o índice de evasão da disciplina,
de um semestre para o outro, aumentou em todas as turmas oferecidas, atingindo o
percentual de 50% em uma destas. Outro dado relevante é que a disciplina de Matemática
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Básica ainda não é pré-requisito para CDI-I, ocorrendo casos de alguns alunos reprovarem
em Matemática Básica e no semestre seguinte cursarem CDI-I, e em todos esses casos
houve reprovação.
CONSIDERAÇÕES E PERSPECTIVAS
Os resultados apresentados neste trabalho possibilitam tecer algumas considerações
parciais a respeito da influência da Matemática Básica nos cursos de licenciatura. As
alternativas de revisão de conteúdos de Matemática Básica, bem como o aprofundamento
de tópicos contemplados na ementa desta disciplina permitiram um melhor desempenho
dos estudantes do curso de Licenciatura em Matemática, possibilitando uma melhor
formação acadêmica, em particular, o aproveitamento de CDI-I. Quando comparadas
turmas de dois cursos com perfis semelhantes, podemos observar que o índice de
aproveitamento, nestes dois semestres, foi superior em turmas nas quais a Matemática
Básica foi oferecida. Entretanto, novas observações devem ser realizadas, ao longo dos
semestres futuros, com o intuito de verificar se tais constatações prevalecem ou se
representam apenas casos isolados.
Como perspectiva futura, tem-se a intenção de oferecer a Matemática Básica aos
cursos que não tem esta disciplina como componente curricular, tendo em vista que
resultados preliminares foram positivos nas turmas observadas e levando em consideração
que um pequeno passo pode representar um avanço na busca de uma educação melhor para
o país.
REFERÊNCIAS
BARROSO, Natália M. C. et al. Limite: definição intuitiva versus definição formal. In:
Educação Matemática no Ensino Superior: Pesquisas e Debates. Recife: SBEM, 2009. P.
223 – 238.
BARZ, Lígia L. Uma metodologia para a avaliação de projeto de ensino. Relatório
interno. Udesc, 2009.
CURY, Helena N. Pesquisas em análise de erros no ensino superior: retrospectiva e
novos resultados. In: Educação Matemática no Ensino Superior: Pesquisas e Debates.
Recife: SBEM, 2009. P. 223 – 238.
FARIAS, Maria M. R. As representações matemáticas mediadas por softwares
educativos em uma perspectiva semiótica: uma contribuição para o conhecimento do
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futuro professor de matemática. 195 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)
– UNESP, Rio Claro, 2007.
GATTI, Bernadete A.; BARRETO Elba S. (Coord.) Professores do Brasil: impasses e
desafios. Brasília: UNESCO, 2009.
INEP. Exame Nacional do Ensino Médio. Ministério da Educação, Brasil, Instituto
Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP. Disponível em <
http://www.inep.gov.br >. Acesso em: 26 abr. 2010.
MANDLER, Marnei L. et al. Avaliação do desempenho dos alunos de engenharia no
Projeto de Ensino “Matemática Básica”. In: XXXVI CONGRESSO BRASILEIRO DE
ENSINO DE ENGENHARIA. São Paulo: XXVI COBENGE, 2008.
WERTHEIN, J. É preciso mais que um ensino médio. Jornal o Estado de São Paulo, São
Paulo, 20 fev. 2010. Disponível em < http://www.ritla.org.br >. Acesso em: 26 abr. 2010.
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