PROBABILIDADE E MÉTODOS DE CONTAGEM
1) Nove cartões, com os números de 11 a 19 escritos em um de seus versos, foram embaralhados e postos
um sobre o outro de forma que as faces numeradas ficaram para baixo. A probabilidade de, na disposição
final, os cartões ficarem alternados entre pares e ímpares é de?
1
2
a) 126
d) 135
b)
1
140
e) 136
c)
1
154
3
2. Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso,
da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha,
carrapato, escorpião e gafanhoto.
Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam
insetos?
49
a) 144
b)
14
33
d)
5
22
e)
15
144
7
c) 22
PROBABILIDADE CONDICIONAL
1) A distribuição dos alunos nas 3 turmas de um curso é mostrada na tabela abaixo.
A
B
C
Homens
42
36
26
Mulheres
28
24
32
Escolhendo-se uma aluna desse curso, a probabilidade de ela ser da turma A é:
1
a) 2
1
b) 3
d)
2
5
2
e) 7
1
c) 4
2) Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas linguas
estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos fala inglês, 500 falam espanhol
e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso sabendo-se
que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
3) Numa empresa, 60% são homens, dos quais 10% são fumantes. Sabe-se que 5% das mulheres são
fumantes. Escolhendo-se ao acaso um dos fumantes dessa empresa, a probabilidade de ser uma mulher é
igual a:
a) 25%
d) 30%
b) 15%
e) 20%
c) 10%
PRODUTO DE PROBABILIDADES
1) Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis A, com 10 lápis, dentre os
quais 3 estão apontados, e o porta-lápis B com 9 lápis, dentre os quais 4 estão
apontados.
Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do porta-lápis A e o coloca no
porta-lápis B. Novamente ao acaso, ele retira um lápis qualquer do porta-lápis B.
A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a:
a) 0,64
b) 0,57
c) 0,52
d) 0,42
2) Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de uma questão de múltipla
escolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demais marcaram uma das quatro opções ao acaso.
Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a probabilidade de que exatamente um
tenha marcado a opção correta equivale a:
a) 0,48
c) 0,36
b) 0,40
d) 0,25
3) Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando
representada em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem
qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo,
tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio
de R$ 200,00. A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a:
a) 0
1
b) 3
1
1
d) 2
1
e) 6
c) 4
BINÔMIO DE NEWTON
1) Desenvolvendo-se o binômio 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)5 , podemos dizer que a soma de seus coeficientes é:
a) 16
d) 40
b) 24
e) 48
c) 32
1 8
2) Obter o termo independente de x no desenvolvimento de (𝑥 5 + 𝑥 5 ) :
a) 80
d) 40
b) 10
e) 32
c) 70
PROBABILIDADE E MÉTODOS DE CONTAGEM
1) Solução:
Como são cartões escritos de 11 a 19, temos 9 cartões escritos. Assim, temos 9! maneiras de embaralhar
esses cartões e 5! .4! maneiras de embaralhar para que fiquem alternados em pares e ímpares, ou seja
5
4
í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟
4
3
3
2
2
1
1
→ í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟 → í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟 → í𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟 → í𝑚𝑝𝑎𝑟 Portanto 𝑃 =
5!4!
9!
5!4.3.2.1
1.1.2.1
1
1
→ 9.8.7.6.5! → 9.2.7.2 = 9.7.2 = 126
Letra A
2) Solução:
Entre os 12 artrópodes apresentados, 7 não são insetos: aranha, lagosta, camarão, ácaro, caranguejo,
7
6
7
carrapato e escorpião. Assim, a probabilidade de os dois escolhidos não serem insetos é dada por 12 . 11 = 22
Letra C
PROBABILIDADE CONDICIONAL
1) Solução:
A probabilidade é a razão entre o números de mulheres da turma A e o total de mulheres.
𝑃=
28
7
1
→𝑃=
→𝑃=
84
21
3
Letra B
2) Solução:
Dos 1200 alunos, 300 não falam nenhum idioma, logo, apenas 1200-300=900
alunos, falam pelo menos um idioma. Desses, 600 falam inglês, 500 espanhol
e certa quantidade (x) falam os dois idiomas.
A soma de quem fala inglês, espanhol e os dois idionas juntos tem que ser
900.
Por isso, temos: (600-x)+(500-x)+x=900→1100-x=900→-x=900-1100→-x=-200 (-1)→x=200
Sendo assim, a probabilidade pedida é:
300
3
1
𝑃 = 600 = 6 = 2 = 50%
3) Solução:
Homens
Mulheres
Total
Fumante
10% de 60%=6%
5% de 40%=2%
8%
Não fumante
60%-6%=54%
40%-2%=38%
92%
Total
60%
40%
100%
𝑃=
2 1
= = 25%
8 4
Letra A
PRODUTO DE PROBABILIDADES
1) Solução:
Considere SP (sem ponta) e CP (com ponta) as designações dos lápis. De acordo com as informações,
temos duas situações:
I) Foi retirado um lápis sem ponta de A e posto em B. A caixa em B ficou com 10 lápis, sendo 6 sem pontas
7
6
42
continuando com os 4 apontados. Nesse caso, temos 𝑃 = (𝑆𝑃𝐵 /𝑆𝑃𝐴 ) = 10 . 10 = 100
II) Foi retirado um lápis com ponta de A e posto em B. A caixa em B ficou com 10 lápis, sendo 5 sem pontas
3
5
15
passando a ter 5 apontados. Nesse caso, temos 𝑃(𝑆𝑃𝐵 /𝑆𝑃𝐴 ) = 10 . 10 = 100
42
15
57
A probabilidade então será 𝑃(𝑆𝑃𝐵 /𝑆𝑃𝐴 ) + 𝑃(𝑆𝑃𝐵 /𝑆𝑃𝐴 ) = 100 + 100 = 100 = 0,57
Letra B
2) Solução:
Podemos observar que a probabilidade de um aluno acertar a questão marcando uma alternativa ao acaso é
1
4
1
3
consequentemente a de errar é 1 − 4 = 4.
Tomando as respostas de dois alunos quaisquer da turma, observaremos as seguintes possibilidades de
casos
favoráveis:
1º - Um aluno pode estar entre os 20% que marcaram a opção correta e o outro estar entre os 80% que
3
4
3
4
marcaram a resposta errada ao acaso; com isso teremos: 0,2 × 0,8 × + 0,8 × × 0,2 = 0,24
2º - Podemos ter os dois alunos entre os 80% que marcaram a resposta ao acaso, tendo um deles acertado a
1
3
3
1
questão e o outro errado, nesse caso teremos: 0,8 × 4 × 0,8 × 4 + 0,8 × 4 × 0,8 × 4 = 0,24
Logo encontraremos a probabilidade igual a 0,24 + 0,24 = 0,48.
Letra A
3) Solução:
As possibilidades são:
TVE=600 reais
EVT=200 reais
TEV=200 reais
VET=0 reais
ETV=0 reais
VTE=200 reais.
2
1
A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a: 𝑃 = 6 = 3
Letra B
BINÔMIO DE NEWTON
1) Solução:
A soma dos coeficientes do desenvolvimento de 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)5 é obtida substituindo-se a variável x por um.
Assim 𝑆𝑐𝑜𝑒𝑓 = 𝑃(1) = (1 + 1)5 = 32
Letra C
2) Solução:
𝑛
1 8
1 𝑘
8
Baseado em 𝑇𝑘+1 = ( ) 𝑥 𝑛−𝑘 . 𝑦 𝑘 temos: (𝑥 5 + 5 ) → 𝑇𝑘+1 = ( ) (𝑥 5 )8−𝑘 ( 5 )
𝑥
𝑥
𝑘
𝑘
8
8
𝑇𝑘+1 = ( ) 𝑥 40−5𝑘 . 𝑥 −5𝑘 → 𝑇𝑘+1 = ( ) 𝑥 40−10𝑘
𝑘
𝑘
40
40 − 10𝑘 = 0 → 40 = 10𝑘 →
=𝑘→4=𝑘
10
Logo:
8!
8!
8.7.6.5.4! 2.7.2.5 140
8
𝑇7 = ( ) =
=
=
=
=
= 70
4
4! (8 − 4)! 4! 4! 4! 4.3.2.1
2
2
Letra C