LEO - MEFT+MBiom+LMAC
Campo magnético criado por uma corrente eléctrica
e Lei de Faraday
(Rev. -2007/2008)
1.Objectivos
1) Estudo do campo magnético de um conjunto de espiras (bobine) percorridas por uma
corrente eléctrica.
2) Estudo da lei de indução de Faraday.
2. Introdução
Nesta experiência são exploradas duas leis que fazem parte dos fundamentos da física e com
grandes implicações na tecnologia moderna, sobretudo em quase todos os ramos da engenharia
electrónica. São fundamentais, por exemplo, no projecto de circuitos electrónicos, na construção
de maquinaria eléctrica, ou na transmissão de energia eléctrica.
A primeira destas leis, a lei de Biot-Savart, descreve a relação entre a corrente eléctrica que atravessa um pequeno troço de fio condutor e o campo magnético gerado por esta corrente na região do
espaço à volta do fio. A lei de Biot-Savart afirma que o campo magnético decai com o inverso do
quadrado da distância ao segmento de fio percorrido por corrente. Conhecemos este tipo de comportamento na electrostática, quando se considera a relação entre uma carga eléctrica e o seu campo
eléctrico associado, descrito pela lei de Coulomb. Contudo, além do seu valor, a corrente possui
também um parâmetro de direccionalidade que não existe no caso das cargas eléctricas estáticas.
Logo, o vector campo magnético terá de se relacionar não só com a distância ao fio condutor, mas
também com a direcção da corrente no condutor, o que torna a lei de Biot-Savart mais complexa
quando comparada com a lei de Coulomb.
A segunda lei considerada nesta experiência é a lei de Faraday. Esta lei descreve o comportamento de um circuito imerso num campo magnético variável: os portadores de carga no circuito
ficam sujeitos a forças que originam uma queda de potencial nos extremos do circuito (a chamada
força electromotriz), se este estiver aberto, ou o correspondente fluxo de corrente, se o circuito
estiver fechado.
3. Material
Bobines: Enrolamento de campo e enrolamento de teste
Gerador de sinais; osciloscópio de 2 canais; 2 resistências de 10 kΩ; fios de ligação eléctrica.
4. Lei de Biot-Savart. O campo magnético duma espira
Uma corrente eléctrica I, ao fluir num circuito origina um campo magnético no espaço à volta
do condutor (Fig.1). Considere um comprimento elementar, ds
d , de fio condutor. Pela lei de BiotSavart o campo magnético elementar produzido, dB
d , a uma distância r do centro do elemento ds
d
é dado por
dB =
dB
ds × r ]
µ0 I [ds
⋅
4π
r3
(1)
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onde ds,, ddB e r são quantidades vectoriais. Os seus módulos são, respectivamente ds, dB e r e escrevemos propositadamente ds e dB, em vez de s e B, para indicar que estamos a falar do elemento de
campo produzido pelo elemento de fio ds e não por todo o fio.
P
r
δ
r
ds
ds
I
[ds x r ]
I
Figura 1
O sentido de ds
d é o sentido da intensidade de corrente, com a direcção coincidente com o
comprimento do fio, o vector r aponta de ds
d para o ponto P no espaço onde se pretende conhecer
o campo magnético. A permeabilidade magnética, µ0, toma o valor de 4π.10-7 Tm/A no Sistema
Internacional de Unidades (SI), em que T - Tesla, representa a unidade de campo magnético. O
resultado do produto vectorial [ds
d xr] é um novo vector, simultaneamente perpendicular a ds e a r
ds
e de módulo igual a (ds.r.sinδ).
Considerando estes valores temos que o módulo do campo magnético será dado por
µ0 I ds ⋅ sin δ
⋅
(2)
4π
r2
onde δ representa o ângulo formado pelos vectores ds e r.
Para se obter o valor do campo criado pela totalidade do comprimento de fio no ponto P, temos
de somar (integrar) todos os elementos do fio. Esta é geralmente uma tarefa difícil, pois que a contribuição de cada elemento para o campo total é em geral diferente em módulo e sentido.
Contudo, em alguns casos especiais o cálculo realiza-se com facilidade.
O cálculo do campo total num ponto P localizado
sobre o eixo de uma espira circular de raio R, à
distância X do centro da espira, é um desses casos
r
R
particulares (ver Fig.2).
X
P
Se em lugar de uma espira única tivermos
uma bobina compacta de N espiras, temos um
enrolamento total de N voltas e o campo magnético
será, com boa aproximação, N vezes o campo de
uma única espira. O valor do módulo do campo
Figura 2
magnético B num ponto P sobre o eixo XX (Fig.2),
originado pelo conjunto das espiras de um enrolamento circular, é dado por
dB =
B = ∫ dBx =
(
µ0 I ⋅ N
NR
R2
2 R2 + X 2
)
32
(3)
Para pontos fora do eixo dos XX, o campo é bastante mais difícil de calcular porque a soma da
componente By ao longo da espira já não se anula.
Em todos os pontos deste trabalho as medições serão realizadas sobre o eixo dos XX.
-2-
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5. Indução (Lei de Faraday)
Se uma espira de área orientada A se encontrar mergulhada num campo magnético, B, ela é
atravessada por um fluxo magnético dado por
(4)
φ = ( A ⋅ B) = AB ⋅ co s δ
O vector que representa a área possui um módulo igual a A, sendo a sua orientação no sentido
do eixo da espira, isto é, perpendicular à área.
O fluxo é obtido pelo produto interno de dois vectores sendo δ ângulo entre eles. Como a função
“cos” assume o seu valor máximo para δ = 0º , o fluxo é máximo quando os vectores A e B forem
paralelos.
Suponhamos que utilizamos uma dada espira para produzir um campo magnético. Segundo a
equação (3), se a corrente que atravessa a espira variar no tempo, também o campo terá uma variação
no tempo proporcional à corrente. Uma única espira de teste, mais pequena, colocada no campo
magnético da espira maior, está sujeita a um fluxo magnético variável no tempo.
A lei de Faraday diz-nos que um fluxo magnético variável no tempo induz uma força electromotriz
(uma queda de tensão) no circuito da bobina de teste dada por
dφ
(5)
Vt = −
dt
onde dtt é o intervalo de tempo em que ocorre a variação de fluxo dφ.
Se utilizarmos um pequeno “enrolamento de teste” com N voltas em vez de uma única espira, a
queda de tensão induzida no enrolamento de teste será N vezes superior.
Nesta experiência, o enrolamento produtor do campo (“enrolamento de campo”) é alimentado
por uma corrente de forma triangular, em que a subida do sinal triangular é representada pela
equação
I t) = C0.t
I(
(6)
sendo C 0 o declive constante fixado pelo gerador de sinais que fornece a corrente ao
enrolamento.
Desta maneira a variação do campo magnético, assim como o fluxo produzido pelo enrolamento
produtor do campo, têm igualmente um declive constante desde que se possa desprezar a componente do fluxo devido à corrente auto-induzida.
Para que o valor da corrente de autoindução seja desprezável, a corrente total no enrolamento de
campo é limitada por uma resistência em série de 10 kΩ e a frequência de variação do sinal deverá
manter-se abaixo de 1 kHz. Nestas condições asseguramos que o enrolamento de teste apresente
uma queda de tensão induzida, Vt, constante, na parte crescente da onda triangular, e uma queda de
I ger
+I p
t
-I p
V teste
+Vp
-V p
t
T /2
Figura 3
-3 -
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tensão constante, de sinal oposto, na parte decrescente (Fig.3).
Apêndice A
Dedução da fórmula para o cálculo do campo Bexp :
Sendo At a área de uma espira da bobine de teste e nt o seu número de espiras, a tensão aos terminais desta bobina é dada por
Vt = − nt At ⋅
dBc
dt
(7)
sendo Bc o campo magnético criado pelo enrolamento de campo.
Assim, no caso de um campo de valor crescente com a tensão, a partir de Bc(0) = 0
Bc (t ) = B0 ⋅
t
T
( 2)
(8)
num intervalo de tempo T
T/2, obtêm-se
 2
Vt = − nt At ⋅ B0  
T 
(9)
e por conseguinte o valor máximo do campo é dado por
Bc = −
Vt T
⋅
nt At 2
(10)
com T = 1/
1/ff.
f.
A expressão (3) com x = 0 permite-nos obter o valor teórico máximo do campo B
( Bteor )P = µ02IRP N
(11)
enquanto que da expressão (10) será obtido o correspondente valor experimental
( Bexp )t = B20 = ntV⋅tAt ⋅ T4
-4-
(12)
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6. Procedimento experimental e Análise de dados
6.1 – Cálculo do campo magnético
Ligue o gerador de sinais ao enrolamento (bobine) de campo e ao canal_1 do osciloscópio,
como vem representado no esquema da Fig.4. A resistência de 10kΩ deverá estar em série com o
enrolamento desta bobine para limitar a corrente que a atravessa.
Este esquema permite calcular a corrente que atravessa o enrolamento de campo, II, a partir da tensão
do gerador de sinais, Vg, medida no osciloscópio (canal_1).
Osciloscópio
Gerador de sinal
10 kΩ
Vg
Vc
Bobina de campo
Bobina de teste
1 kΩ
Vt
10 kΩ
Figura 4
Ligue o enrolamento (bobine) de teste a outra resistência de 10 kΩ e ao canal_2 do osciloscópio.
Meça o valor do campo no centro do enrolamento de campo, colocando o enrolamento de teste no
centro do enrolamento de campo. Os dois enrolamentos, teste (search) e campo (field), deverão
estar paralelos.
Seleccione a frequência do gerador de sinais para 100 Hz e a forma de tensão para uma tensão
triangular. Varie a tensão de saída do gerador conforme os valores fornecidos. Registe a queda de
tensão (pico a pico) do gerador, Vg, e do enrolamento de teste, Vt. Calcule e indique o valor dos
erros no quadro.
Repetir para 5 valores diferentes de tensão dadas e fazer o gráfico de Vteste em função de
Vgerador.
Para o enrolamento de teste e para o enrolamento do campo anote e calcule:
Número de espiras no enrolamento de teste: nt =
Raio do enrolamento de teste: Rt =________ ±___ cm
Área do enrolamento de teste: At =________ ±___ cm2
Número de espiras no enrolamento de campo: Nc =
Raio do enrolamento de campo: Rc = ______ ±___ cm
-5 -
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Medição
Tensão do gerador Vg (V)
Tensão enrolamento Intensidade da
teste Vt (V)
corrente Ip (A)
Bexp (T)
Bteor (T)
1
2
3
4
5
6
7
8
Calcule o campo magnético experimental a partir da queda de tensão no enrolamento de teste
utilizando a equação (12). Compare o resultado com o valor do campo teórico calculado a partir da
equação (11) (terá de calcular o valor de Ip a partir da tensão Vp do gerador)
Comparação de valores do campo magnético:
Bexp =________ ±___ T
Observações:
-6-
Bteo =________ ±___ T
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6.2 – Dependência da frequência
Seleccione inicialmente a frequência do gerador de sinais para 100 Hz e a forma de tensão para
uma tensão sinusoidal com o valor de 20 V pico a pico. Varie a frequência do gerador conforme os
valores fornecidos para a tabela.
Registe a queda de tensão (pico a pico) do enrolamento de teste, Vt . Calcule e indique o valor
dos erros no quadro.
Faça o gráfico de Vteste em função de Vgerador e calcule a dependência do valor da tensão sinusoidal
no enrolamento de teste com as frequências impostas pelo gerador. Dê uma explicação qualitativa
da dependência da tensão no enrolamento de teste com a frequência. Será a explicação a mesma
para valores inferiores a 100 Hz e muito superiores a 1000 Hz?
Medição Frequência no gerador Tensão enrol. de teste
fgerador (Hz)
Vteste(V)
1
100
2
3
4
5
6
7
8
1200
Observações:
-7 -
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6.3 – Dependência da distância entre enrolamentos
Seleccione a frequência do gerador de sinais para 200 Hz e a forma de tensão para sinusoidal com
o valor de 20 V pico a pico. Meça o campo (módulo e sentido) ou seja, registe a queda de tensão
(pico a pico) do enrolamento de teste, Vt , no centro e em 5 pontos adicionais ao longo do eixo do
enrolamento de campo, no máximo até 10 cm do centro. Indique o valor dos erros no quadro.
Faça um gráfico de Vteste em função da distância entre enrolamentos e compare com o comportamento da teoria (equ. 3).
Explique qualitativamente os resultados obtidos.
Medição
1
2
3
4
5
6
Observações:
-8-
Distância entre bobines
X (cm)
Tensão bobine teste
Vteste (V)