Universidade Federal do Pará
Instituto de Ciências Exatas e Naturais
Programa de Pós-Graduação em Fı́sica
Exame de Seleção ao Mestrado - 2009/1
Antes de começar, leia com muita atenção as instruções a seguir:
1. Há uma grade de respostas disponı́vel ao final da prova. Nela você fará o registro de suas
respostas. Não esqueça de se identificar.
2. Não marque mais do que uma alternativa em cada questão na grade de respostas. Isto é
considerado como rasura e a resposta será anulada.
3. Cada questão marcada errada irá anular uma questão certa.
4. Em cada questão a opção Não sei não pontua nem desconta pontos, portanto deve ser marcada
caso o candidato não tenha segurança de sua resposta.
5. A menos que o enunciado mwncione explicitamente o contrário, considere todas as equações e
constantes fı́sicas expressas no Sistema Internacional.
I.
ELETROMAGNETISMO
1. Considere um dipolo elétrico formado por duas cargas puntiformes q1 = q e q2 = −q, localizadas,
respectivamente, nas posições ~r1 = dĵ e ~r2 = −dĵ.
Levando em conta o o campo elétrico produzido por
esta distribuição de cargas, indique qual das alternativas a seguir melhor descreve a força elétrica que
atuará sobre uma carga puntiforme Q localizada na
posição (0, d, d). Nas alternativas k = 1/(4πǫ0 ).
√
√
(a) kQq/( 125d2 )[−2ĵ + ( 125 − 1)k̂]
√
√
√
(b) kQq/( 125d2 )[( 125−1)î−2ĵ +( 125−1)k̂]
√
√
(c) kQq/( 125d2 )[−4ĵ − ( 125 − 1)k̂]
√
√
√
(d) kQq/( 125d2 )[−( 125 − 1)î − 4ĵ − ( 125 −
1)k̂]
(e) Não sei.
2. Considere um anel circular de raio a, localizado no
plano xy, e com “centro” na origem. A densidade
linear de carga tem valor constante λ1 na parte do
anel localizada na região y > 0, e valor constante
λ2 na localizada na região y < 0. Indique qual das
alternativas abaixo descreve corretamente o campo
~ 0, z) gerado pelo anel. Nas alternatielétrico E(0,
vas k = 1/(4πǫ0 ).
(a) k/(z 2 + a2 )3/2 [2a(λ1 + λ2 )ĵ − πz(λ1 − λ2 )k̂]
(b) k/(z 2 + a2 )3/2 [a(λ1 − λ2 )ĵ + 2πz(λ1 + λ2 )k̂]
(c) k/(z 2 + a2 )3/2 [2a(λ1 + λ2 )ĵ − πz(λ1 + λ2 )k̂]
(d) k/(z 2 + a2 )3/2 [−2a(λ1 − λ2 )ĵ + πz(λ1 + λ2 )k̂]
(e) Não sei.
3. Considere um anel circular de raio a, onde há
uma corrente estacionária I, localizado no plano
xy, e com “centro” na origem. Indique qual
das alternativas abaixo descreve corretamente o
~ 0, z). Nas alternativas k =
campo magnético B(0,
µ0 /(4π).
(a) 2πkIa2 k̂/(z 2 − a2 )3/2
(b) 2πkIa2 k̂/(z 2 + a2 )3/2
(c) 4πkIa2 k̂/(z 2 − a2 )3/2
(d) 4πkIa2 k̂/(z 2 + a2 )3/2
(e) Não sei.
4. Considere que numa certa região do espaço há um
~ = Bz k̂, bem como um campo
campo magnético B
~
elétrico E = Ez k̂. Considere uma partı́cula de
massa m e carga q, que no instante t = 0 está
na origem do sistema de coordenadas, com uma
velocidade v1 î + v2 ĵ. O movimento resultante da
partı́cula pode ser visto como a composição de dois
movimentos. Desprezando qualquer radiação emitida pela carga, indique a alternativa abaixo que
melhor descreve quais seriam esses dois movimentos.
(a) Um movimento uniformemente acelerado ao
longo da direção z, e um movimento circular
uniforme no plano xy.
(b) Um movimento uniformemente acelerado ao
longo da direção z, e uma ciclóide no plano
xy.
(c) Um movimento harmônico simples ao longo da
direção z, e um movimento circular uniforme
no plano xy.
(d) Um movimento harmônico simples ao longo da
direção z, e uma ciclóide no plano xy.
(e) Não sei.
5. Considere a densidade de corrente J~ = y î + x ĵ +
z k̂, numa região do espaço onde está localizada
uma superfı́cie cúbica, de modo que quatro de
seus vértices estão localizados nos pontos (0,0,0),
(1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). No instante t = 0, a carga
elétrica total na região interior, limitada pela superfı́cie cúbica, é Q0 . Indique qual das alternativas
a seguir descreve a carga total Q armazenada no
cubo, em função do tempo.
2
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
3t + Q0
−3t + Q0
−t + Q0
t + Q0
Não sei.
6. Considere dois conjuntos de equações para as
~ t,~r) e B(
~ t,~r):
funções E(
~ t,~r) = (î + k̂) cos(kx − ωt) e
• Conjunto I: E(
~
~
B(t, r) = (1/c)(−î + k̂) cos(kx − ωt);
~ t,~r) = (î + ĵ) cos(kz − ωt) e
• Conjunto II: E(
~
~
B(t, r) = (1/c)(−î + ĵ) cos(kz − ωt).
Considere, ainda, uma superfı́cie quadrada cujos vértices estão localizados nos pontos (0,0,0),
(2,0,0), (2,2,0) e (0,2,0). Indique qual das alternativas a seguir contém todas as afirmativas corretas.
(a) O conjunto I representa uma onda eletromagnética monocromática se propagando no
vácuo, sendo que a correspondente energia por
unidade de tempo que cruza a referida superfı́cie no instante t = 0 é de 8/c. O conjunto
II não representa uma onda eletromagnética
monocromática se propagando no vácuo.
(b) O conjunto I não representa uma onda eletromagnética monocromática se propagando no
vácuo.
O conjunto II representa uma
onda eletromagnética monocromática se propagando no vácuo, sendo que a correspondente energia por unidade de tempo que cruza
a referida superfı́cie no instante t = 0 é de 8/c.
(c) O conjunto I representa uma onda eletromagnética monocromática se propagando no
vácuo, sendo que a correspondente energia
por unidade de tempo que cruza a referida
superfı́cie no instante t = 0 é de 16/c. O
conjunto II não representa uma onda eletromagnética monocromática se propagando no
vácuo.
(d) O conjunto I não representa uma onda eletromagnética monocromática se propagando no
vácuo.
O conjunto II representa uma
onda eletromagnética monocromática se propagando no vácuo, sendo que a correspondente energia por unidade de tempo que cruza
a referida superfı́cie no instante t = 0 é de
16/c.
(e) Não sei.
superfı́cies do bloco e do plano, que distância ∆s
o bloco percorre até ocorrer inversão no sentido do
seu movimento?
(a) ∆s =
v02
2g(cos θ+µ cos θ)
(b) ∆s =
v02
2gµ sin θ
(c) ∆s =
v02
2g(sin θ+µ cos θ)
(d) ∆s = 2
v02
g (sin θ
+ µ cos θ)
(e) Não sei
8. Uma força F associada à função energia potencial
V = 3x2 − 2x3 atua em uma partı́cula de massa m
que se movimenta ao longo do eixo x. A respeito
desta partı́cula, quais das sentenças abaixo estão
corretas?
I. A força que atua na partı́cula é dada por
F = 6x − 6x2
II. Podemos afirmar que se a partı́cula passar pela
posição
p x = 0 com velocidade de módulo menor
que (6/m), ela ficará confinada.
III. Supondo que a partı́cula passe pelo
p ponto
x = 0 com velocidade de módulo igual a (6/m),
em x = 0, 5 ocorrerá inversão de sentido do
movimento da partı́cula.
(a) I e II
(b) I e III
(c) II e III
(d) Nenhuma
(e) Não sei
9. Uma partı́cula de massa m movimenta-se ao longo
do eixo x sob a ação de uma força F~ = (t2 + t)î.
Qual o valor aproximado para a variação do momento linear da partı́cula entre os instantes 0 e 2
s?
(a) - 6,7 N.s
(b) - 4,7 N.s
(c) 6 N.s
(d) 4,7 N.s
(e) Não sei
II.
MECÂNICA CLÁSSICA
7. Um bloco tem velocidade inicial v0 , no sentido de
subida de um plano inclinado com ângulo de inclinação θ. Sendo µ o coeficiente de atrito entre as
10. Uma partı́cula de massa m gira em uma trajetória
circular. Inicialmente o raio da trajetória é r1 e
a velocidade angular é ω1 . Em certo momento,
uma força radial atua na partı́cula e o raio de sua
trajetória diminui, passando a ser r2 . Neste caso,
podemos afirmar que:
3
I) A velocidade angular ω2 da partı́cula na trajetória com raio r2 pode ser escrita como: ω2 =
r12
ω
r2 1
(b) 0,24 graus Celsius
II) O momento linear da partı́cula se conserva.
(d) 10 graus Celsius
III) O momento angular da partı́cula se conserva.
(e) Não sei
2
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Apenas I e II estão corretas
I, II e III estão corretas
Apenas I e III estão corretas
Nenhuma das sentenças está correta.
Não sei
11. Duas massas, m1 e m2 , ligadas por um fio inextensı́vel de comprimento l e massa desprezı́vel
encontram-se em uma região onde a gravidade g é
constante. A massa m1 tem liberdade de mover-se
apenas ao longo do eixo x enquanto que a massa m2
oscila sob ação do campo gravitacional no plano xy
(FIGURA I). Utilizando a coordenada θ que representa o ângulo formado entre a direção do fio e a
vertical e a coordenada x que representa a posição
da massa m1 ao longo do eixo horizontal, pode-se
escrever uma função lagrangeana para esse sistema
como sendo:
(a)
(b)
(c)
m1 +m2 2
vx + m22 (l2 vθ2 + 2lx cos θ) + m2 gl cos θ
2
m2 2 2
m2 2
2 vx + 2 (l vθ ) + m2 gl cos θ
m2 2 2
2 (l vθ ) + m2 gl cos θ
m2 2 2
m2 2
2 vx + 2 (l vθ + 2lx cos θ) + m2 gl sin θ
(d)
(e) Nao sei.
12. Um pêndulo esférico de massa m e comprimento l
pode ser visto na FIGURA II. Se θ é o ângulo que
a barra forma com a origem e φ o ângulo azimutal
de movimento da massa m em torno do eixo z, a
hamiltoniana desse sistema pode ser escrita como:
(a)
p2θ
2ml2
(b)
p2θ
ml2
(c)
+
p2θ
3ml2
p2θ
ml2
+
p2φ
2ml2 sin2 θ
p2φ
ml2 sin2
+
θ
p2φ
2ml2 sin2
p2φ
ml2 sin2 θ
(d)
+
(e) Não sei.
− mgl cos θ
− 2mgl cos θ
θ
− mgl cos θ
− mgl cos θ
(a) 2,4 graus Celsius
(c) 1 grau Celsius
14. Um fluido de van der Waals é caracterizado pela
isoterma descrita na Fig.I., onde P e v representam
a sua pressão e volume respectivamente. Sobre este
fluido é correto afirmar que:
(a) As regiões AB e CD não podem existir em
equilı́brio térmico, pois possuem módulo de
compressibilidade isotérmico negativo.
(b) As regiões AB e CD não podem existir em
equilı́brio térmico, pois possuem módulo de
compressibilidade isotérmico positivo.
(c) A região BC não pode existir em equilı́brio
térmico, pois possue módulo de compressibilidade isotérmico negativo.
(d) A região BC não pode existir em equilı́brio
térmico, pois possue módulo de compressibilidade isotérmico positivo.
(e) Não sei.
15. Considere as seguintes afirmações:
I. Uma máquina térmica opera entre duas fontes
com temperaturas de 100 e 500 graus Celsius com
rendimento de 0.8 (80 %)
II. Diferentes máquinas de Carnot operando entre
as mesmas fontes frias e quentes podem ter diferentes rendimentos.
III. Um dos enunciados para a segunda lei da
Termodinâmica diz que: É impossı́vel realizar um
processo cujo único efeito seja remover calor de
um reservatório térmico e produzir uma quantidade
equivalente de trabalho.
Do enunciado acima, podemos afirmar que:
(a) I e II estão corretas.
(b) I e III e estão corretas.
(c) II e III estão corretas.
(d) Apenas III está correta.
III.
TERMODINÂMICA E MECÂNICA
ESTATÍSTICA
13. A altura da barragem de Itaipu é de aproximadamente 100 m. Neste caso, considerando que toda
a energia potencial armazenada na água a esta altura é utilizada no seu aquecimento, a diferença de
temperatura entre a água no topo da barragem e
na sua base é em torno de:
(e) Não sei.
16. Das expressões abaixo, qual pode representar uma
equação termodinâmica fundamental? (Considere
C uma constante e S, U, V e N , a entropia, energia interna, volume e número de partı́culas dos
sistemas)
(a) S = C(N U V )1/2
(b) S = C(N U V )1/3
4
(c) S = C
(d) S = C
(e) Não sei.
UV
N
1/2
de férmions.
U V 1/3
Com relação ao enunciado acima, podemos afirmar
que:
N
17. Considere a equação fundamental na representação
da energia de um elá stico de comprimento L,
U ≡ U (S, L). A variação da energia num processo
reversı́vel é dada por dU = T dS + f dL, onde f é
a tensão no elástico. As equações de estado e a
relação de Maxwell nesta representação são dadas
por:
∂f
∂U
(a) f = ∂U
= ∂T
∂S L ; T = ∂L S ;
∂S
∂L S
L
∂f
∂U
∂T
∂U
(b) T = ∂S L ; f = ∂L S ; ∂S L = ∂L
S
∂f
∂T
∂U
∂U
= ∂L S
(c) T = ∂S L ; f = ∂L S ; ∂S
L
∂f
∂T
∂U
(d) f = ∂U
=
;
T
=
;
∂S L
∂L S
∂T
∂f
L
S
(e) Não sei
18. O número de estados acessı́veis a um sistema contendo N osciladores harmônicos quânticos unidimensionais não interagentes com energia E e
frequência ω é dado por:
(a) Ω(E, N ) =
E
+N
( h̄ω
2 −1)!
E
−N
( h̄ω
2 )!(N −1)!
(b) Ω(E, N ) =
E
( h̄ω
−N
2 )!(N −1)!
E
( h̄ω + N
2 −1)!
(c) Ω(E, N ) =
N!
E
E
[ 12 (N − h̄ω
)]![ 12 (N + h̄ω
)]!
(d) Ω(E, N ) =
E
E
[ 12 (N − h̄ω
)]![ 12 (N + h̄ω
)]!
N!
(e) Não sei.
(a) I, II e III estão corretas.
(b) I e II e estão corretas.
(c) II e III estão corretas.
(d) Apenas III está correta.
(e) Não sei.
20. Considere um oscilador harmônico quântico unidimensional de massa m e frequência ω, descrito pela
seguinte hamiltoniana:
1
H = h̄ω(a† a + ),
2
onde a e a† são os operadores de criação e destruição, dados por:
r
r
i
i
mω
mω
†
X+
X−
P , a =
P .
a=
2h̄
mω
2h̄
mω
Para um autoestado da hamiltoniana, |n >, com:
√
√
a|n >= n|n − 1 >,
a† |n >= n + 1|n + 1 >,
o produto ∆X · ∆P , é dado por:
DADOS: No cálculo acima, considere:
(∆X)2 =< n|X 2 |n > −(< n|X|n >)2 ,
e analogamente para P .
(a) (n + 21 )h̄
(b)
h̄
2
(c) nh̄
IV.
FÍSICA QUÂNTICA
19. Sobre os postulados básicos da Mecânica Quântica,
considere as seguintes afirmações
I. A equação de Schrodinger para a partı́cula livre
de massa m é intrinsicamente relativı́stica, pois é o
corresponde quântico da relação energia-momento
relativı́stica de Einstein.
II. Existe uma liberdade na escolha do ket que
representa quanticamente o estado fı́sico, ou seja,
devido à natureza probabilı́stica da Mecânica
Quântica, os estados |ψ > e |eiθ ψ > fornecem a
mesma probabilidade para uma particular medida.
III. Os postulados básicos da Mecânica não são suficientes para lidar com sistemas contendo muitas
partı́culas idênticas.
Neste caso, é necessário
definir um novo postulado, que distingue bósons
(d) zero
(e) Nao sei.
21. O valor de comprimento de onda para o qual a radiancia espectral atinge seu valor máximo para o
espectro solar é de 510 nm enquanto que para um
estrela chamada polar é de 350 nm. Quais são as
temperaturas (em Kelvin) nas superfı́cies da estrela
e do sol, respectivamente?
(a) 5700 e 8300
(b) 8700 e 5300
(c) 8300 e 5700
(d) 5100 e 3500
(e) Não sei.
22. As funções de onda normalizadas de uma partı́cula
confinada em um poço infinito descrito pelo potencial infinito para x = 0 ou x = L e nulo em qualquer
outro ponto são:
5
(a) Ψn =
(b) Ψn =
(c) Ψn =
(d) Ψn =
nπx
L
p
2/L sin2 nπx
L
p
2/L cos nπx
L
p
2/L sin nπx
L +
p
2/L sin
(e) Não sei.
xL
23. Considere um sistema constituı́do por um elétron
e um próton, descritos do ponto de vista clássico
respectivamente pelos vetores posição ~r1 e ~r2 .
Definindo a coordenada relativa ~r = ~r1 − ~r2 , considere que a energia E do sistema pode ser escrita
como: E = 1/(2m)ṙ2 + Vef etivo , onde Vef etivo =
−kq 2 /r + l2 /(2mr2 ), sendo m a massa reduzida do
sistema, k = 1/(4πǫ0 ), q a magnitude da carga
elétrica e l a magnitude constante do momentum
angular. A figura mostra o comportamento de
Vef etivo em função de r para l 6= 0.Para este caso,
indique qual das alternativas é a correta.
(a) Para valores positivos da energia E o espectro da Hamiltoniana quântica é contı́nuo, enquanto que para valores negativos o espectro
é discreto.
(b) Para valores positivos da energia E o espectro da Hamiltoniana quântica é discreto, enquanto que para valores negativos o espectro
é contı́nuo.
(c) Para qualquer valor da energia E o espectro
da Hamiltoniana quântica é discreto.
(d) Para qualquer valor da energia E o espectro
da Hamiltoniana quântica é contı́nuo.
24. Para encontrar o espectro do átomo de Hidrogênio,
Bohr trabalhou sobre um modelo semiclássico
baseado na hipótese de o elétron possuir um movimento orbital circular uniforme de raio r em torno
do próton, obedecendo à equação E = 1/(2m)v 2 −
kq 2 /r, sendo v a velocidade do elétron, m a massa
reduzida do sistema, ke = 1/(4πǫ0 ), q a magnitude
da carga elétrica. Para explicar a existência de
nı́veis discretos de energia no átomo de Hidrogênio,
Bohr introduziu empriricamente a seguinte regra de
quantização: mvr = nh̄, onde n é um número inteiro positivo. A introdução desta regra implica em
que a energia e o raio da trajetória do elétron ficam
discretizados, sendo aqui representados, respectivamente, por En e rn . Considerando este modelo,
indique qual das alternativas a seguir descreve corretamente as expressões para En e rn .
2 4
n2 h̄2
2mkq 2
2 4
n2 h̄2
2mkq 2
2 4
n2 h̄2
mkq 2
2 4
n2 h̄2
mkq 2
q
(a) En = − mk
, rn =
2h̄2 n
q
(b) En = − mk
, rn =
h̄2 n
q
(c) En = − mk
, rn =
2h̄2 n2
q
, rn =
(d) En = − mk
h̄2 n2
(e) Não sei.