Curvas e Superfícies Paramétricas
Prof. João Madeiras Pereira
Instituto Superior Técnico
©João Madeiras Pereira & IST
1ª versão: Novembro 2001
2ª versão: Novembro 2002
3ª versão: Outubro 2005
Bibliografia:
“Computer Graphics: Principles and Practice”, Foley,
van Dam, Feiner and Hughes; Capítulo 11
“3D Computer Graphics”, A. Watt, Capítulo 6
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1.Introdução
Modelação Sólida -> Representação de um objecto
através da composição de objectos primitivos através
de operações booleanas (CSG);
Modelação da Fronteira (B-Rep)-> Representação pela
descrição paramétrica da sua superfície;
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Modelação da Fronteira
Superfícies Paramétricas: fácil de modelar
objectos deformáveis;
Malha de Facetas: Menos versátil;
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Representações
Analítica
Paramétrica
-> Espaço Objecto
-> Espaço Paramétrico
  Espaço Objecto: Coordenadas cartesianas.
 Espaço Paramétrico: Conjunto dos espaços
bidimensionais (x, u) e (y,u) resultantes da
decomposição da curva nas suas componentes
cartesianas (variáveis dependentes), traduzidas
através de um mesmo parâmetro u (variável
independente).
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Representação Analítica
Explícita:
x = x; y = f(x);
Desvantagens:
 
Representação dependente do sistema de coordenadas
adoptado
 Dificuldade de representação de declives infinitos
  Tratamento computacional complicado
  Dificuldade de representar curvas fechadas (pelo menos
explicitamente)
  Informação adicional para definir os limites da curva
Implícita:
 Mais flexível
 Função de teste
 Não determina pontos
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f(x, y) = 0;
Representação Paramétrica
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Exemplo
Curva polinomial paramétrica:
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Vantagens
 Mais níveis de liberdade para controlo da forma
da curva (mais parâmetros a concretizar).
Exemplo: no caso anterior, uma curva cúbica tem
12 parâmetros
  As expressões paramétricas suportam declives
infinitos, curvas fechadas ou multi-valor.
dy/dx = (dy/du) / (dx/du)
dy/dx = infinito => dx/du = 0
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Vantagens (cont.)
  Elementos geométricos definidos parametricamente
são inerentemente limitados (0 <= u <= 1).
 
As expressões paramétricas são facilmente
traduzidas na forma de vectores e matrizes.
  Utilização de um só modelo matemático para
representar qualquer curva ou superfície.
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Exemplos
a) Linha Recta (problema dos declives infinitos)
x = a + l*u
y = b + m*u
z = c + n *u
Z
The image
cannot be
displayed. Your
computer may
not have enough
memory to open
the image, or
ANALITICA:
zp
u=1
Z = f (x,y) ????
PARAMETRICA:
yp
The image cannot
be displayed.
Your computer
may not have
enough memory
to open the
image, or the
image may have
been corrupted.
Restart your
computer, and
then open the file
X
xp
u=0
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Y
x = xp
y = yp
z = zpu 0≤u ≤ 1
Exemplos (cont.)
Curva Helicoidal ao longo de zz' (funções multi
-valor)
x = a*cos (Ku)
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y = a*sin (Ku)
z = b*u
Curva polinomial paramétrica
Polinómio de grau k=2: pouca flexibilidade na
definição da forma;
Polinómio de grau k> 3: demasiado número de
coeficientes e formas com oscilações.
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Definição de uma curva paramétrica
  A definição natural de uma curva é feita através da imposição
de condições de posição, tangência, curvatura e de um
conjunto de pontos denominados pontos de controlo.
  Interpolação versus aproximação
  Segmentos de curva e pontos de junção
  Suavidade (smoothness) – derivadas contínuas nos pontos de
junção
  Controlo local –alteração de um ponto de controlo deve-se
reflectir localmente (porção de curva) e não em toda a curva
melhor interactividade na definição da curva
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Curva polinomial cúbica paramétrica
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Curva polinomial cúbica paramétrica (cont.)
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Uma Curva polinomial cúbica paramétrica
•  Caso particular (pouco utilizado): curva interpola 4 pontos de
controlo, p0, p1, p2, e p3. Considere-se o intervalo de u
igualmente espaçado: u = 0, 1/3, 2/3, 1
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Uma Curva polinomial cúbica paramétrica (cont.)
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Funções de Mistura
•  M – Matriz base: transforma os constrangimentos
geométricos (condições fronteira) nos coeficientes
polinomiais e caracteriza a curva.
•  p(u) = uT c = uT M p
•  p(u) = b(u) p com b(u) = uT M
•  b(u) matriz com as funções de mistura polinomiais
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Funções de Mistura (cont.)
No caso em estudo:
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Funções de Mistura (cont.)
•  Problemas:
•  Os zeros das funções de mistura situam-se no intervalo
[0, 1] logo pouco suave e propensa a oscilações (mais
grave em polinómios de maior grau)
•  Não tem continuidade de derivada nas junções
•  Conclusão: curva pouco utilizada em CG
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Superfícies Paramétricas
•  Retalho (patch) é um troço de superfície com u
e v definido no domínio (0,1).
•  Manta de retalhos são usadas para modelar as
fronteiras de objectos 3D complexos:
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Tipos de Curvas
Com diferentes Funções de Mistura e diferentes
Coeficientes Geométricos constroem-se curvas do tipo:
  HERMITE: Definidas pela posição e vectores tangentes
dos pontos extremos;
  BEZIER: Definidas pela posição dos pontos extremos e
utilizando dois pontos adicionais para definir
indirectamente as tangentes à curva nas suas extremidades;
 B-SPLINE: Constrói uma curva aproximada aos pontos
extremos mas sem passar por eles. Este grau de liberdade
permite a obtenção de continuidade à primeira e segunda
derivadas nos pontos de junção entre segmentos de curva.
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Curva Hermite
Coeficientes Geométricos:
p(0), p(1), pu(0), pu(1):
Funções de Mistura:
F1(u) = (2u3 - 3u2 + 1)
F2(u) = (-2u3 + 3u2)
F3(u) = (u3 - 2u2 + u)
F4(u) = (u3 - u2)
p(u) =
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F1.p(0) + F2.p(1) +
F3.p´(0) + F4.p´(1)
Curva Hermite: definição
p(u) = uT c = uT MH p
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Funções Mistura Hermite
1
1
F1
0
F2
1
0
1
0,2
F3
F4
1
0
1
0
-0,2
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Curva Bézier: Critérios
 As funções devem interpolar a curva nos pontos inicial e final do
polígono de controlo (controlo directo dos extremos da curva)
 Os vectores tangentes nos extremos devem ser dados respectivamente
por (p1 – p0) e (pn - p(n-1)). (controlo directo dos declives da curva
nos pontos extremos).
 Deve ser possível a generalização da propriedade anterior às derivadas
de grau superior. A segunda derivada em po depende de (p0,p1,p2) e
assim sucessivamente. (permite o controlo "ilimitado" de continuidade
nas junções entre troços de curva).
 As funções devem ter um comportamento simétrico com respeito a (u)
e (1 - u). Esta propriedade faz com que seja possível inverter a ordem
dos vértices do polígono de controlo sem que haja alteração da forma
da curva aproximada.
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Curva Bézier cúbica: definição
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Funções de Mistura (Bezier cúbica)
Grau da curva depende do número de Pontos de Controlo:
(n+1) pontos de controlo -> Bi,n(u) = polinómios de grau n
Exemplo de curvas de Bézier cúbica
1
(grau n=3)
B3,3
B0,3
Funções de Mistura:
B2,3
B1,3
0
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u
1
Curvas de Bézier de grau n
•  Curvas aproximadas
•  Curva Bezier de grau n
pi: Coeficientes geométricos ou
pontos de controlo {p0, p1, p2, ...,
pn} ou polígono característico
Funções de Mistura:
polinómios de Bernstein
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Invariantes
a) Para u = 0:
B0,n (u) é sempre igual `a unidade.
Bi,n (u) é sempre nula quando i <> 0.
Confirma-se que o primeiro ponto de controlo
determina o primeiro extremo da curva.
b) Para u = 1
Bn,n (u) é sempre unitária
Bi,n (u) é sempre nula quando i <> n.
Confirma-se que o ultimo ponto de controlo
determina o segundo extremo da curva.
c) Cada ponto pi tem a sua máxima influência para a definição
da curva (máximos das funções de mistura) quando: u = i/n
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Continuidade C1 e G1
•  Construção de uma curva mais complicada (vários pts.
de controlo) à custa de várias secções Bézier.
•  Seja pn-1 e pn de uma secção e q0 e q1 da próxima
secção. Para obter G1:
Os pts q0 e q1 têm de ser colineares com pn-1 e pn
(e claro que pn = q0)
q1 = pn + K (pn – pn-1)
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Continuidade C1 e G1 (cont.)
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Curvas Fechadas
1) Curvas fechadas com continuidade de posição
(curvas G0).
p0 = pn
2) Com continuidade de posição e declive
(curvas C1).
( p1 - p0 ) colinear com ( pn - pn-1)
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Propriedades
•  Os extremos coincidem com os vértices extremos do polígono
de controlo
•  Os declives nos extremos, são dados directamente pelos lados
extremos do polígono de controlo
•  Uma curva Bézier está sempre contida no polígono convexo
definido pelos seus pontos de controlo.
•  Se não forem utilizados polinómios de grau muito elevado, a
curva segue razoavelmente o andamento do polígono de
controlo, sem oscilações indesejadas.
•  A definição da curva é feita por mera enumeração dos pontos
de controlo, não exigindo a introdução de declives (interface
simples).
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Desvantagens
•  O grau do polinómio depende do número de pontos de
controlo e para graus muito elevados surgem oscilações.
•  Não é possível o controlo local (a movimentação de um ponto
de controlo provoca o recalcular de toda a curva, pois a
correspondente função de mistura é não-nula no intervalo ]0,
1[).
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B-Splines
•  Curva aproximada
•  Quaisquer número de pts de controlo: (m+1)
•  O grau da curva não é determinado pelos número de pts de
controlo mas sim por K (ordem da curva):
grau da curva = K –1 (curva cúbica implica K = 4)
•  A curva B-spline é uma série de segmentos de curva Qi (u) (no
contexto da curva o parâmetro u é global; no contexto de um
segmento u é local)
•  Cada Qi é determinado (ou definido) por K pts de controlo
•  Constrangimento C2 ou G2 nos pts de ligação dos Qi
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Segmento de Curva
Para uma curva cúbica, um segmento de curva é dado por:
i é o número do segmento
Representa apenas o segmento Qi
u varia no intervalo [0, 1] – parâmetro local
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Funções de Base num Segmento de Curva (local)
No contexto das B-splines, a função de mistura da
curva Bézier assume normalmente a designação de
função de base
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Número de segmentos de curva
• Considere-se uma curva B-Spline com m+1 pts de controlo e
ordem K: o número de segmentos de curva Qi é dado por:
Por convenção:
• Curva cúbica B-Spline:
 Cada Qi determinado por 4 pts de cntrl – propriedade de
controlo local: alterar 1 pt de cntrl influencia apenas 4
segmentos de curva
 m – 2 segmentos de curva que convencionalmente se
designarão por:
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Número de Segmentos de Curva (cont.)
Exemplo: curva cúbica com 6 pts de cntrl (m=5 e K=4)
Temos 3 Qi e:
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Exemplo
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Controlo Local
Altera-se P4: “puxa” Q5 e afecta, em menor extensão Q4.
Q3 não se altera!
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Segmentos de Curva e nós de ligação
•  No espaço paramétrico global temos nós ou knots que
representam os valores de u onde os segmentos Qi têm os
seus extremos. Também são designados por nós de ligação
uma vez que são os valores de u onde os seg. de curva se
unem
•  Por definição um Qi é definido entre 2 nós consecutivos: Qi
define um intervalo paramétrico ui ≤ u ≤ ui+1 (espaço de u global)
•  B-Spline uniforme: assume-se que esses nós têm valores
inteiros e que o espaçamento entre nós é igual a 1 (0, 1, 2,...)
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Função de Base da B-Spline Cúbica
•  Cada função de base “cobre” K intervalos
•  Curva B-Spline ordem 4: cada função de base é, ela própria,
uma B-Spline cúbica, constituída por 4 segmentos, e simétrica
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Funções de Base de uma B-Spline Cúbica Uniforme
Exemplo: curva cúbica com 6 pts de cntrl (m=5 e K=4)
Nós uniformemente espaçados (vector de nós uniforme): cada função
de base é uma cópia transladada de um nó (funções de base
periódicas).
Número total de nós: 10
Uma curva B-Spline é calculada por:
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Número de Knots
•  Cada função de mistura Bi é suportada no intervalo
ui - > ui+K
•  Temos m+1 funções de mistura;
•  Logo:
m + 1 + k knots (u0 -> um+k)
Número de nós: nº de pts de cntrl + ordem da curva
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Intervalo do parâmetro u global
Mas só interessa para a definição da curva o espaço
paramétrico [3, 6]
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Intervalo do parâmetro u global
•  O parâmetro u global, no contexto da curva B-Spline Q(u), deve variar
entre:
•  Então uma B-Spline é definida por
•  No caso de uma B-Spline cúbica uniforme o valor mínimo de u é
sempre 3 (ou u3 no caso de uma não-uniforme)
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Cáculo do Segmento de Curva da B-Spline
cúbica
•  Em uK-1 ≤ u ≤ um+1, verifica-se que para valores de u que
não são nós, estão sempre activas K funções de base e
somam a unidade. Nos nós, só existem K-1 funções
não-nulas e que somam a unidade. Quando se atinge
um nó ui, uma função de base anula-se e “nasce” outra.
•  Mas Q(u) também pode ser o somatório dos vários Qi
•  Qi define um intervalo paramétrico ui ≤ u ≤ ui+1
•  Qi é determinado pelas funções de base Bi-3, Bi-2, Bi-1 e Bi
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Cáculo do Segmento de Curva da B-Spline cúbica (cont.)
Calcula um simples segmento de curva a partir das 4
funções de base no intervalo 0≤ u ≤ 1 (local).
O cálculo de Q3 (3≤ u ≤ 4) implicaria o cálculo das funções
acima, substituindo u por (u-3).
No exemplo anterior (6 nós, m=5) ter-se-ia:
Q(u) = Q3 + Q4 + Q5
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Curva B-Spline
Numa B-Spline uniforme:
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Cálculo da função de base B-Spline cúbica uniforme
Esta definição calcula um
simples segmento de curva a
partir das 4 funções de base no
intervalo 0≤ u ≤ 1 (local). Não
define a função de base cúbica
B0, a qual consiste de 4
segmentos no intervalo 0≤ u ≤ 4.
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Cálculo da função de base B-Spline cúbica uniforme
(cont.)
Usando as equações do acetato anterior, e
transladando cada segmento cúbico de 0, 1, 2 e 3 em
u, obtém-se:
Se se usar a fórmula recursiva Cox-deBoor para a
derivação das funções de mistura, as quais geram curvas
B-Splines uniformes ou não-uniformes de grau K, o
resultado é exactamente o mesmo.
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Fórmula Recursiva Cox-deBoor
Método alternativo para o cálculo das funções de
mistura de curvas B-Spline, grau K, uniformes ou
não-uniformes:
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Múltiplos Pontos de Controlo
Três P5 coincidentes: 8 pts de controlo, 6 Qi,
3≤ u ≤ 8
Q7 (7 ≤ u ≤ 8) determinado por P4P5P5P5. Em u=8 interpola P5
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Múltiplos Pontos de Controlo Interiores
Perda de continuidade
a)  ponto duplo -G1
b)  Ponto triplo - G0
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Múltiplos Pontos de Controlo Interiores (cont.)
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B-Splines não-uniformes
Vantagens:
 Se a continuidade é reduzida para C0, então a curva
interpola um pt de controlo, mas sem aquele
inconveniente de ter seg. recta em ambos os lados do pt
de controlo interpolado
 Pts extremos interpolados mas sem introduzir segmentos
lineares
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Vector de Knots Não Uniforme
Define-se que os knots dos extremos da curva
têm multiplicidade k.
Para k=4 (grau 3) temos o vector de knots:
T=(0, 0, 0, 0, 1, ...., n-1, n, n, n,n)
Quando 2 knots são idênticos a curva reduz-se a
um ponto.
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B-Splines não-uniformes
Vector de knots: [0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 3, 3]; 6 pts ctrl; 3 seg. curva
9 segmentos, Q0 a Q8. Mas a curva reduz-se a
Q3, Q4 e Q5 em que 0 ≤ u ≤ 3 (u3 ≤ u ≤ u6) . Nos extremos, todas
as funções de base são nulas, excepto B0 e B5, ambas
unitárias, o que faz com que a curva interpole P0 e P5
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B-Splines não-uniformes
9 pts de cntl; 13 nós
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Efeito da multiplicidade numa função de base B
-Spline
a)  Multiplicidade 1:
[0, 1, 2, 3, 4]
b) Multiplicidade 2:
[0, 1, 1, 2, 3]
c) Multiplicidade 3:
[0, 1, 1, 1, 2]
d) Multiplicidade 4:
[0, 1, 1, 1, 1]
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Transformar B-Spline em Bézier
•  Curva cúbica com 4 pts de cntrl
•  Interpola os extremos
•  Logo:
vector knots = [0, 0, 0,0, 1, 1, 1, 1]
•  Curva com apenas um segmento de curva Q, que
interpola os pts de cntrl extremos e cujas funções de
base são as funções de mistura da curva cúbica de
Bézier
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Transformar B-Spline em Bézier
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Propriedades
•  Novos knots podem ser inseridos no troço que
necessita de refinamento;
•  Aumentar a multiplicidade m de um knot reduz a
continuidade da paramétrica k-m-1;
•  Um knot interior de multiplicidade k transforma uma
B-spline em duas B-Splines distintas cada um com o
seu conjunto de pontos de controlo.
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Multiplicidade em pontos interiores (1)
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Multiplicidade em pontos interiores (2)
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Multiplicidade em pontos interiores (3)
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Multiplicidade em pontos interiores (4)
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NURBS
A curva Rational cúbica é dada pelas seguintes razões:
Onde X(u), Y(u), Z(u) e W(u) são curvas cúbicas
polinomiais cujos pts. de ctrl são definidos em
coordenadas homogéneas.
Curva no espaço homogéneo:
Q(u) = [X(u) Y(u) Z(u) W(u)]
Para passar para o espaço cartesiano divide-se por W(u)
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NURBS
•  2 vantagens:
•  Invariantes após a aplicação de transformações
geométricas simples e a transformação perspectiva (as
não racionais “alteram” com a transformação
perspectiva). Isto significa que a transformação
perspectiva é aplicada apenas aos pts de controlo, os
quais podem ser usados para gerar a curva que
representa a transf. Perspectiva da curva original.
•  Definir com precisão secções cónicas (polinómios
quadráticos)
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Superfícies Paramétricas
•  Definir pontos na superfície em termos de dois parâmetros (u, v)
•  Caso mais simples: interpolação bilinear
s x(s,1)
P0,1
P1,1
x(s,t)
t
P0,0
s
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x(s,0)
P1,0
Bezier Patches
•  As with Bezier curves, Bin(u) and Bjm(v)
are the Bernstein polynomials of degree
n and m respectively
–  Need 4x4=16 control points, Pi,j
•  Most frequently, use n=m=3: cubic Bezier
patch
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Evaluators em OpenGL
void glMap2f(GLenum target,
GLdouble u1,
GLdouble u2,
GLint ustride,
GLint uorder,
GLdouble v1,
GLdouble v2,
GLint vstride,
GLint vorder,
const GLfloat *points)
Target: GL_MAP2_VERTEX_3, GL_MAP2_VERTEX_4
ustride: Especifica o número de floats ou de doubles entre o ínicio da posição do ponto de controlo Pij e o ínicio da posição
do ponto de controlo P(i+1)j no array de pts introduzidos pelo utilizador.
vstride: Especifica o número de floats ou de doubles entre o ínicio da posição do ponto de controlo Pij e o ínicio da posição
do ponto de controlo Pi(j+1) no array de pts introduzidos pelo utilizador.
i e j representam os índices de u e v dos pts de controlo: indice i corresponde à função Bi(u) e o
índice j corresponde à função de base Bj(v).Este esquema de endereçamento permite que seja
especificado um array de pts cujo número seja bastante superior ao número de pts de controlo
necessários para definir a superfície, ou seja contém potenciais pontos de controlos. Utilizando um
ponteiro e os dois strides, o utilizador pode especificar um sub-array rectangular de mxn pts de
controlo. A única restrição é que os potenciais pts de controlo estejam em posições adjacentes na
memória.
EXEMPLO:
GLfloat
array[100][100][3];
array de potenciais pts de controlo
Utilizar para uma superfície cúbica de Bézier um array de pts de controlo a começar pelo pt na posição (20,30) do aray. Se é
cúbica, isto significaria que a API utilizaria um array de 4 x 4 pontos. Assim, indicar-se-ia:
glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, 0, 1, 100*3, 4, 0, 1, 3, 4, &array[20][30][0])
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NURBS em OpenGL
•  Ver exemplo do livro: surface.c
•  Tal como uma Textura uma Nurbs é um
objecto que pode ser criado
(gluNewNurbsRenderer), destruído
(gluDeleteNurbsRenderer) e especificado
(gluNurbsCurve, gluNurbsSurface).
•  Podem ainda ser criada uma parte de uma
paramétrica (gluBeginTrim, gluPwlCurve,
gluNurbsCurve, gluEndTrim).
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Especificação de Curva
Tem que se definir:
– 
Nº de knots (= nº de pontos de controlo + ordem da
curva)
–  Array de knots (com valores crescentes ou não: curva uniforme
ou não-uniforme)
–  Apontador para array de pontos de controlo;
–  Número de floats a percorrer no array de pontos de controlo de
modo de modo a aceder ao ponto de controlo seguinte
–  Ordem da curva (= ordem do polinómio + 1);
–  Tipo de avaliação da curva (por exemplo,
GL_MAP1_VERTEX_3 or GL_MAP1_COLOR_4).
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Parâmetros
Pode controlar-se:
•  A tolerância de amostragem, em quadrículas;
•  O modo de desenho (fill, fronteira do retalho,
fronteira do polígono);
•  Modo de amostragem (comprimento em
quadrículas, distância da superfície ao polígono,
comprimento em coordenadas u, v);
•  No 3º modo, de amostragem, tem que se fornecer o
passo em u e o passo em v.
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GLU_FILL
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GLU_OUTLINE_POLYGON
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