AUTOR: DANIEL VASCONCELOS GOMES [email protected] ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " #$ ) % ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! & ' (! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! & * (! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! + #$ 01 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! + % ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! + # #$#, 01 , , 3 4. $ . 3# 6 , #$ < 2/16 - .# / $! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! + ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 55 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 55 , 789! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 55 * : 01 : 789! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5+ # $! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5; #$! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5; Séries de Taylor ! % % & " ' # # !' - ' ' +( 5 ', ' ( "! ) ' " ! $ )( $ ** # ( # ! ! " +( , "" ! ! ( . /0123, 0.123, 4 1 5 3, !$ !6 class MeuCalculo { public static void main (String args[]) { double argumento = 60; //graus System.out.println(Math.sin(argumento)); } } 3 6 5= > 6 ?* ! **6 #include <cmath> #include <iostream> using std:: cout; using std:: endl; int main( ) { double argumento; argumento = 60; cout << sin(argumento) << endl; return 0; } 3 6 @= > 6 AA! 7 ' ! ! ) / ! !, % !& ' ' 5 ' !& ) ' 5 ' 8 ' 9 # % $0 ; ' ' ! )% " ! ' ' , ( : , ( % # ' & ) ! $ " - .7 <= ' $ ! ' 4 . ' ' 5 ( !& # 8 ' , ' $ ! !& ' ' " ! # ! 7 ( !! ,7' ! " ! ' - '5 # ' # $ ' 5 $ 0!, 7 7! ' ' 5 # ' $ 3/16 > ! ' ( ( ' ' # ! ' ! , # !& , ' 5 ' ! 7 !, !$ 0 $ A Série de Taylor ; # # 15 37! % ' 5 ! ) ' != ?# 15 3$ : 789 B 6 < = @.>>0/.A 7 7 7 ' ' ! 6 759 ! )! % ' ! "! ' 5 $ ' 6 f i (0) * x f ii (0) * x 2 f n (0) x n f ( x) = f (0) + + + ... 1! 2! n! B !# 5 ' " ' ' ! ' 7@9 1C3$ Se f(x) = sen(x) e n = 2 f i ( x) = cos( x) 7"9 f ii ( x) = − sen( x) f(x) = sen(x) ≅ sen(0) + cos(0) x − sen(0) * x 2 / 2 ≅ x 0( 7 0 ' 5 ' 5 7 <= $ 0 8, ! #& ?C % 1C3$ 76 e( x) = sen( x) − x D ( " % 8 '% <= )( ) % & $ ! ' 5 % 8, 15 3 ? E$ & , $ !' 7 # ! " % % % ' " ' 5 # ' 4/16 !, ! ) ' ) !& ! ' 5 $ ' 5 ! & $ 5' > F Onde utilizar? 0"( 5 !$ , ' ! !, ! 7, ' 7 Séries de Taylor ' G! , ' # ) ! #! ' H) )# ! '! : () ! ' ! $ 5 *", ! ' ! ' $/ ' ' ' ! ! % % ' ' !, ' ! ! ' 5' ( !' ! 5 ' "! ! % # 15 3' $ ' $D ! ' ! ! ) !& # ! $ , $ % ' ! !' ! ! - ! ( ( 7! , ! ' ! $ $ $ 5 '6 "! ( ! # ! 7, 8! ! I ! $ O que vamos precisar? Um programa como o Microsoft Excel resolve a maioria de nossos problemas, mas com as descrições dos algoritmos, forneço alternativas se o leitor desejar implementar os códigos por si mesmo/a. # #$#, - .# / $ Introdução ! , ' " ( ! ! ! ' ) 7! % 6 .7 ' <= ! # !' $ #& : ( ' A Série de Taylor B ! % 1C36 f i (0) * x f ii (0) * x 2 f n (0) x n f ( x) = f (0) + + + ... 1! 2! n! ' ( ' ! ! 789 7 , ! , ( # ! ! ! ( #% #: @.>>0/.A, , ( $ ! 9 ! % % (4) !( # #! I ( ' ( # 5? E$ # 15 3 !& ( 6 Fn(x) = df(x)/dnx 5/16 7C9 7 D7 ' 0 "8!( # # - # - ( # ! #! 7 # ' $ ' ! 5? E$ 5 ' 6 JK # LCL $ 0 , J? LMLNL LCL $ ! ' ! ' !- # 15 3 ' 5 ' ) # ' # $ / ! !, $ " ! ! '5 ' ')! $ 0 ' ! ' 6 Erro(x) = ( foriginal- faproximada/foriginal) * 100 (5) # * "5# E 5F !" * 5 15 3 C # , ' 5 ' ! 1' 6 1 5 3 5'1 5 3 # 15 3 ? 15 3$ . # ( O O O 15 3 1 5 3 C 5 '1 5 3 B # C 1 5 3 5 '1 5 3 ( O O 15 3 1 5 3 1 5 3 # + O 15 3 1 5 3 ? E$ ( ( 15 3 7 , ( 8 @.>>0/.A ') 1 5 3 N 1 5 3 N 5'1 5 3 N ' 1 5 3 1 5 3 M 1 5 3 5'1 5 3 M 5'1 5 3 5! 7 15 3 M 7 4 5 , '! : ( 15 3 $ /( ( !, 1 5 3 ' ' !5 5 ! , PQ3$ # Podemos fazer x = 0 na tabela 1 somente nas 3 primeiras linhas e obteremos a seguinte tabela: E @F * 1E3 O 1E3 1E3 ? E 1E3 ? 1E3 ? 1E3 ? E 5 '1E3 ? 5 '1E3 ? 6 6/16 8 BC O O 1E3 C C C 1E3 ? E 1E3 ? 5'1E3 ? ( O O O 1E3 C C N 1E3 ? 1E3?E 5'1E3 ? N N ( 1E3 M 1E3?E 1E3? 5'1E3 ? N N M 1E3 ? M M 1E3 1E3?E 5'1E3 ? M Séries de Taylor E "F # 8 0 F(x) Faproximada sen(ax) ax - a x /3! + a x /5! cos(ax) 1 - a x /2! + a x /4! exp(ax) 1 + ax + a x /2! + a x /3! + a x /4! + a x /5! 3 3 2 2 2 2 ' 5 ! 5 5 # - E &F # $ M 7 3 3 4 4 5 5 , " ! !& 1M3$ 5' 5 ' 4 4 5' # ! ' "! # 5 !' , 5 ' ' ! 4$ F(x) Faproximada sen(x) x 2 n+1 (−1) * n =0 (2n + 1)! cos(x) x2n (−1) * n =0 (2n)! exp(x) xn n =0 n! ∞ n ∞ n ∞ B , ! ' 65F , # 15 3? R G > 8 # !5 ' # #& ) % $ # 15 3? 1 5 36 7 89 1 5 36 7/16 6@F , G 8 # % 7 89 6"F , G 8 # % 8 7 89 01 , > !& % ! !' ' !' % ! ! "7 # .8 # 15 3 8 ! !' # 7 G! ' % # '5 8 9 ' 1 3, % ' B 7 ' # ' ! ! ! ' 6 6 n f ( xk ) g ( xk ) k =0 8/16 7;9 $ ( f , g) = 0' " ' $ , B A 58A @8@A! ! ! ! ! ! !8 0 5 ' ! S/ , $ ' ' # # ! , , C,T$ $ 7H9 ! ' ! !# Séries de Taylor # 6 . "!! 1U3 yo Pm( xo) y1 y2 y= . . Pm( x1) Pm( x 2) p= . . yn Pm( xn) 729 1 36 ! ( 6 xo i 1 1 uo = . . x1i ui = . para i = 1,2,....m . xn i 1 1 3 ? 0 (uo, uo) (uo, u1) . (uo, um) ! * # ! 7I9 6 *TTT$ , $ , CT$ (u1, uo) (u1, u1) . (u1, um) ! . . . . ! (7 ! 6 (um, uo) ao ( y, uo) (um, u1) a1 ( y, u1) = . . . (um, um) am ( y, um 75C9 9/16 / ! !& " ! 6 C ? 1 ,5 ,5 ,5TT$5 3$ & B ' !, > # !5 ! N3 5 ' # ' ! ! !$ N 1 ! 7, # ) ' C # 15 3? 4 1 *5 3$ 6&F 10/16 #& ! ! ' 01 & . : 8 ! ' Séries de Taylor , 3 4. $ . 3# Forma geral do polinômio ; ' 15 3? ' ' C L5 * CL5*$$$$$$$$$$$$ * 0 ' L5 6 7559 75@9 0 , # !6 15 3 ? ($ ( ?1 ! 6 , C, $$$$$ 3 75"9 ? 1 ,5 ,5,5,$$$$$$$$$$53 75&9 C 1 37 ( ! # ! 1 N3 7 " ! % ' ( ! ' $ O Polinômio Pn(x) B 0;<C, ' 0;< $ ! " ! ! # / ' R" ! 9 ( 9 / <$ " , /07 6+F B 5' " % ' !" % !% ! I J !: ( 9 "" ! /0 % ! ! " 9 0;< , ! ) !( $ ! ( ! $ 01 ! ! ( ! (6 11/16 6;F K B ! ! ' " $ ! # * C : " ,' ! ' $ B ' 6HF B !' ( ! ! $ ,% !" 7 * !& ! ( " ' ! 9 " C 6 ( !& " ! - % L # 12/16 J <' ( * $ 9$ 62F E 01 . 3 # >; $ - !" ! Séries de Taylor ! "! / # % /C ' )! $ ! ) , "! 6IF K 0 I ! '! : E * - $ 0% # 7 #& / ? /C ' N 5, 5,$$$$$5$ E . 3 6 65CF ;!& ! ( !" ' L * L5* CL5C* L5*$$$$$$$ !' ' L !' ! (' ! $ 6 L5 13/16 655F K B ' ! M8 # ' " ! !( 6 65@F K ! ' ' L5 $ ( 65"F 14/16 !& J # " $ Séries de Taylor !" ! ! / , /C ! ! 0;<$ / !, 5 ! ! G ' 9 ( $ 6 65&F ( ( " " K !% # ' ' () - ! "! " # $ ' , ) ( ) $ Encontrando o valor de uma função f(x) ! 7 ' !, - ! ( B " ' !& ' ( ' 5 $ !& % 1 3' ' 5 ( # 153? # 153 ' <= 7 C$ ! (7 1 3( # % ( 76 ? 1E, ,E3 C ( ? 1 ,5 ,5 3 0( '$ !( 57 7 ! ! ' - ! ! $ / - ! !( !! 7' ( ' ! ! " ! # 15/16 $ #$ 7 8 ! ,% % > ! **, +( ' " ! 4, ' #( 7 5 V " ! 76 R! ! '64 4 VVV$! #$ ( ! ! 7 ' " ! $R' $ $ , # ! V ! # ' " ,' , ' , ( ! $ ' ! !4 4$ $" < #$ [SIMMONS] Simmons, George F. ; Cálculo Com Geometria Analítica vol. 2 . Makron Books Do Brasil Editora Ltda. São Paulo 1993. [NEIDE] M. B. Franco, Neide.; Cálculo Numérico. http://www.lcad.icmc.usp.br/~siae98/ 16/16