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Questão 25
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Relativas ao sistema
kx + 4ky = 0
, k ∈ IRconsidere as afirmações I, II e III abaixo.
3x + ky = 8
I. Apresenta solução única para, exatamente, dois valores distintos de k.
II. Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k.
III. É impossível para um único valor de k.
Dessa forma,
a) somente I está correta.
b) somente II e III estão corretas.
c) somente I e III estão corretas.
d) somente III está correta.
e) I, II e III estão corretas.
Resolução
Considere o determinante D, formado a partir da matriz dos coeficientes:
| k
D= |
| 3
4k |
|
k |
∴
D = k2 – 12k
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• D ⫽ 0 ⇔ k ⫽ 0 e k ⫽ 12
Assim, se k ⫽ 0 e k ⫽ 12, o sistema possui uma única solução;
0⋅x+0⋅y=0
• se k = 0, temos o sistema
, que admite infinitas soluções da forma ⎞ 8 , y⎞ , y ∈ IR;
3⋅x+0⋅y=8
⎠3 ⎠
12 ⋅ x + 48 ⋅ y = 0
.
3 ⋅ x + 12 ⋅ y = 8
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• se k = 12, temos o sistema
0 ⋅ x + 0 ⋅ y = –32
3 ⋅ x + 12 ⋅ y = 8
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Logo, escalonando o sistema temos:
12 ⋅ x + 48 ⋅ y = 0
+
∴
3 ⋅ x + 12 ⋅ y = 8
⋅ (–4)
Assim, o sistema é impossível.
Portanto somente as afirmativas II e III estão corretas.
Resposta: b