PONTO DOS CONCURSOS
MATEMÁTICA ATUARIAL DE PESSOAS
SUSEP ‐ 2010 RESOLUÇÃO DA PROVA André Cunha 22/04/2010 Página 2 de 14
Comentários
Caros alunos,
Espero que vocês tenham todo o sucesso do mundo e comecem
a trabalhar como analistas técnicos da SUSEP ainda em 2010.
Fiquei muito satisfeito com a aderência do curso ao exame de
domingo.
Das 10 questões, a teoria dada em aula foi suficiente para
resolver 9 delas e, destas, 6 questões praticamente iguais foram
resolvidas em aula e 2 semelhantes também. Não considerei a prova
fácil. Mas para quem se dedicou aos estudos com o material do Ponto
certamente a prova ficou bem mais tranquila. O mérito é de vocês.
Eu apenas tentei ajudar da melhor forma possível.
A prova foi no geral bem feita. Quanto à possibilidade de
recurso, a única questão mais polêmica foi a 14, que fala da fórmula
de Woolhouse, cujo gabarito oficial preliminar é a opção D. Ela difere
da apresentada no item B somente pelo fator 12 multiplicando aquela
e não esta.
Historicamente, em se tratando de anuidades mensais a ESAF
quase sempre usou o fator de multiplicação 12. Percebendo isso,
orientei diversas vezes os alunos do Ponto a, caso tivesse duas
opções que diferissem apenas por essa multiplicação, seguirem o
histórico da ESAF. Segue trecho de resposta a uma dúvida postada
no fórum por uma aluna:
Para tentar fechar a resposta: Em anuidades, para duas
respostas idênticas, via de regra eu multiplicaria por 12...
A lógica utilizada é a de não discutir com a banca. Por isso,
acredito que a maioria dos nossos alunos deve ter marcado a opção
D.
Como externalidade positiva, durante o curso frisamos que o
valor esperado dos benefícios pagos é o prêmio puro, o que torna o
item C da questão 21, de Matemática Atuarial de Danos, correto. Era
só trocar a palavra indenizações por benefícios que poderia ser uma
questão de Pessoas.
Vou me despedindo agora. Com toda a sinceridade, gostei
muito do período que estivemos juntos.
Boa sorte para vocês.
Prof. André Cunha
André Cunha
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Resolução
11. Assinale a opção que completa de forma correta o seguinte caso:
“Um casal deseja saber qual é a formulação atuarial relativa à
probabilidade de que apenas um dos componentes do casal esteja
vivo, após os 25 anos seguintes.”
A)
/ 25 Q [1] =
___
xy
B)
/ 25 Q [1] =
___
xy
C)
/ 25 Q [1] =
___
xy
l x+ 25 l x+ 25l y + 25
+
lx
lxl y
l y + 25
ly
−
l x + 25l y + 25
lxl y
l x + 25 l y − l y + 25 l x − l x + 25 l y + 25
x
x
+
lx
ly
lx
ly
D)
⎛ l x + 25 l y + 25 ⎞
⎜
⎟
Q
1
=
−
x
[
1
]
/ 25
⎜ l
___
l y ⎟⎠
⎝ x
xy
E)
⎛ l x + 25 l y + 25 l x+ 25l y + 25 ⎞
⎜
⎟
Q
1
=
−
+
−
[
1
]
/ 25
⎜ l
___
ly
l x l y ⎟⎠
⎝ x
xy
Resolução
Questão praticamente idêntica resolvemos na Aula 0, e várias
outras envolvendo probabilidades conjuntas resolvemos na Aula 7.
Talvez a mais tranquila da prova.
Para que haja apenas um vivo do casal após 25 anos, dois
eventos são possíveis:
• (x)
vivo
e
(y)
probabilidade
• (x)
morto
e
probabilidade
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morto
após
25 p x × 25 q y =
(y)
vivo
25 q x × 25 p y =
25
anos:
l x + 25 l y − l y + 25
x
lx
ly
após
25
isso
ocorre
com
isso
ocorre
com
;
anos:
l x − l x+ 25 l y + 25
.
x
lx
ly
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Somando as duas probabilidades, e utilizando a notação
empregada na resposta, temos:
/ 25 Q [1] =
___
xy
l x + 25 l y − l y + 25 l x − l x + 25 l y + 25
+
x
x
lx
ly
lx
ly
Repare que a banca assumiu a independência das vidas de (x)
e (y).
GABARITO: C
12. Em um seguro contra morte diferido de “n” anos e temporário de
“m” anos, cujo prêmio foi calculado pelo regime de capitalização, a
alteração do fracionamento de pagamento mensal para pagamento
anual, multiplicada a parcela mensal por 12, ou seja, exclusivamente
em relação à condição de fracionamento – ceteris paribus – pode-se
afirmar que a Parcela de Prêmio Comercial correspondente será:
A) igual, no caso de o pagamento mensal ser antecipado e o
pagamento anual ser postecipado, independendo da idade inicial do
segurado.
B) igual, no caso de o pagamento mensal ser postecipado e o
pagamento anual ser antecipado, independendo da idade inicial do
segurado.
C) igual, no caso de o pagamento mensal ser antecipado e o
pagamento anual ser postecipado, dependendo da idade inicial do
segurado.
D) maior, no caso de o pagamento mensal ser antecipado e o
pagamento anual ser postecipado, independendo da idade inicial do
segurado.
E) menor, no caso de o pagamento mensal ser antecipado e o
pagamento anual ser postecipado, independendo da idade inicial do
segurado.
Resolução
Na Aula 5 resolvemos dois exercícios com um raciocínio que
mata essa questão.
Antes de mais nada, o enunciado é gigantesco, com várias
informações desnecessárias e, pela maneira que está escrito, apesar
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de preciso, com certeza causou muita confusão na hora da prova,
num momento de muita tensão.
Questão ideal para tentar eliminar algumas opções. As opções
A, B e C são absurdas. Um fluxo anual de pagamentos nunca terá o
mesmo VPA de um fluxo mensal, a menos que escolhamos os valores
e os obriguemos a gerar VPA`s iguais, o que não foi o caso. Assim,
sobram apenas as opções D e E.
Vamos primeiro deletar as informações inúteis para nós:
• Diferido de n e temporário de m;
• O prêmio é comercial. Pela hipótese de serem todas as outras
variáveis constantes, podemos raciocinar sobre o prêmio puro.
O que realmente é importante é o fato de querer comparar o
pagamento anual postecipado com o mensal antecipado1 de um
mesmo benefício, que no caso é o seguro de morte.
Temos então a seguinte pergunta a responder, resumindo todo o
enunciado:
Dado um VPA qualquer, qual deve ser o maior prêmio anual para
financiá-lo, um postecipado pagável anualmente ou um antecipado
pagável mensalmente?
Vamos chamar de Ppa o prêmio postecipado pagável anualmente e
de Pam o antecipado pagável mensalmente, definindo de forma
análoga as anuidades que constarão dos denominadores.
Temos que
Ppa =
PUP
PUP
e Pam =
anuidade pa
anuidade am
Como o PUP é o próprio VPA do seguro, ele é igual nas duas
equações acima.
Para duas rendas iguais, a que paga mais tarde tem menor
VPA. Como a anuidade postecipada paga depois da antecipada, temos
que
anuidade pa < anuidade am .
denominadores, segue que
Como as anuidades figuram nos
Ppa > Pam .
Assim, a opção correta é a D.
GABARITO: D
1
Lembrem-se que o nosso conjunto universo de opções nesse momento é {D,E}.
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13. O prêmio puro de um Seguro OV - Mensal, que consista no
pagamento de um Benefício unitário ao final do ano, caso ocorra o
óbito do segurado naquele ano, e considerando que o prêmio seja
pago no início de cada mês, de forma imediata e vitalícia, em ambos
os casos – Benefício e pagamento dos Prêmios, independente da
condição de ativo ou inválido, pelas funções de comutação subanuais,
será dado por:
A)
M x(12 )
N x(12)
B)
Mx
N x(12 )
C)
q x(12 )
N x(12 )
D)
qx
N x(12 )
E)
Mx
⎛ N x 11 ⎞
⎜
⎟
⎜ D − 24 ⎟
⎝ x
⎠
Resolução
Qualquer prêmio periódico é dado por
PAP =
PUP
. (0)
anuidade
Como se trata de um seguro Ordinário vida o PUP é dado por
Ax =
Mx
. (1)
Dx
Os prêmios são pagos no início de cada mês, de forma imediata
e vitalícia. Assim, a anuidade em questão é
a&&x(12) .
&&x(12) =
No exercício resolvido 6 da Aula 6 vimos que a
N x(12)
. (2)
Dx
De (0), (1) e (2),
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Mx
M
D
PAP = (12x ) = (12x )
Nx
Nx
Dx
GABARITO: B
14. Segundo o RC – Regime de Capitalização, uma das funções
(12 )
possíveis de uso para / 10 a x , pela fórmula de Woolhouse, é dado
por:
A) = [( N x +1 − N x +10+1 ) / D x − 11 / 24] × 12
B) = [( N x +1 − N x +10+1 ) / D x + 11 / 24 * (1 − D x +10 / D x )]
C) = [( N x +1 − N x +10+1 ) / D x + 11 / 24]
D) = [( N x +1 − N x +10+1 ) / D x + 11 / 24 * (1 − D x +10 / D x )] × 12
E) = [( N x +1 − N x +10+1 ) / D x − 13 / 24 * ( D x +10 / D x )] × 12
Resolução
Vimos, pela fórmula de Woolhouse, que
(12)
n / m ax = n / m ax +
11
⋅ ( n E x − n+ m E x )
24
Do enunciado, n = 0 e m = 10, o que gera
/ 10
Substituindo
/ 10
ax =
a x(12) = /10 a x +
11
⋅ ( 0 Ex −10 Ex )
24
D
N x+1 − N x+10+1
, 10 Ex = x+10 , e 0 E x = 1,
Dx
Dx
(12)
=
/ 10 a x
N x+1 − N x+10+1 11 ⎛ Dx+10 ⎞
⎟⎟
+ ⋅ ⎜⎜1 −
Dx
Dx ⎠
24 ⎝
E a opção correta seria a B, lembrando que
/ 10
a x(12 ) é o VPA de uma
renda postecipada de uma u.m. paga por ano, em 12 vezes de 1/12,
durante dez anos. Está errado multiplicar o resultado da equação
acima por 12.
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A resposta certa é B. Só que a minha opinião e a opinião da
comunidade atuarial não importa na hora da prova.
O QUE IMPORTA É A OPINIÃO DA BANCA, E PARA A BANCA, A
RESPOSTA CORRETA É A CONTIDA NA OPÇÃO D.
Vou reproduzir abaixo trecho da Aula 5, que foi apenas uma das
inúmeras vezes, tanto em aula quanto no fórum, que eu orientei os
alunos a seguir o costume da ESAF de multiplicar tudo por 12.
Mas não podemos discutir com a banca. Caso se trate de renda
mensal e unitária, escolha sempre a opção que multiplica por 12.
GABARITO: D
15. Um determinado seguro, para uma pessoa de idade “x”, tem o
prêmio puro e único de R$ 1.000,00. Se os carregamentos forem de:
R$ 200,00 per capita para despesa única de cadastramento, 30% do
prêmio comercial para despesas de angariação e de corretagem e
20%, também do prêmio comercial para despesa administrativa e
margem de lucro, pode-se afirmar que:
A) o prêmio comercial único será de R$ 2.400,00.
B) o prêmio comercial anual será de R$ 2.400,00.
C) o prêmio comercial anual será de R$ 2.400,00, para um benefício
básico de R$ 100.000,00.
D) o prêmio comercial único será de R$ 2.400,00, para um benefício
básico de R$ 100.000,00.
E) o prêmio comercial único será de R$ 1.600,00.
Resolução
O Exemplo 1 resolvido na Aula 6 é igual a essa questão. Só não
copiaram com os mesmos números porque certamente seria anulada,
mas é a mesma questão.
A resolução será a mesma, só vamos trocar os números (se a
ESAF pode, porque não poderíamos?).
Do enunciado temos:
PUP = 1.000
VF = 200, pois foi dado em u.m.
α = 30% + 20% = 50% ou 0,5
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Assim,
PUC =
PUP + VF 1.000 + 200
=
= 2.400
1−α
1 − 0,5
GABARITO: A
16. Considerando que uma Seguradora deseja implementar um Plano
de seguro para riscos pessoais, cujo levantamento preliminar lhe
forneceu os seguintes parâmetros: idade média atuarial de 40 anos
(idade esta calculada pela tábua AT 83) e sendo a massa a ser
captada de 100.000 riscos, frente ao custo inicial e único de R$
100.000,00 para implementar a carteira, de forma imediata. Qual a
formulação atuarial para a amortização atuarial desse valor,
considerando que o fracionamento dos prêmios será: mensal (no
início de cada período), antecipado, imediato e dentro dos próximos
10 anos?
A)
R$100,00
(12 )
/ 10 a x
B)
R$100,00
×10 E x
(12 )
/ 10 a x
C)
R$100,00
&&(12 ) × 12
/ 10 a x
D)
R$1,00
×10 E x
&&(12 )
/ 10 a x + n × 12
E)
R$1,00
&&(12 )
/ 10 a x
Resolução
Fizemos 3 questões muito parecidas com essa na Aula 6. Aqui o
enunciado usou a palavra “amortização” ao invés de “fracionamento”,
mas a resolução não muda praticamente em nada.
Se o custo da carteira é de 100.000 para 100.000 riscos, o
custo a ser amortizado (fracionado) é de 1 real por pessoa.
Vimos que para amortizar um custo inicial CA ao longo de t
anos, mensalmente, de forma imediata e antecipada a expressão
correta é
CA
.
(12 )
&
&
a
/t x
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Como CA = R$ 1 e t= 10, temos
R$1,00
.
&&(12)
/ 10 a x
GABARITO: E
17. Analisando as sentenças abaixo e indicando por V – Verdadeira e
por F – Falsa, indique a opção correta correspondente.
I. O RRS – Regime de Repartição Simples utiliza a taxa de risco como
base para a precificação.
II. O RC – Regime de Capitalização deve ser utilizado para os
Benefícios de Sobrevivência (Renda), podendo ser utilizado para
Benefícios de Morte.
III. O RCC – Regime de Capitais de Cobertura é utilizado basicamente
para o Benefício de Pensão por invalidez.
A) V V V
B) V V F
C) V F F
D) V F V
E) F V F
Resolução
Afirmativa I: Vimos que o RRS não forma reservas. Assim, a cada
período, todo o dinheiro pago vai para o pagamento de benefícios
(riscos). VERDADEIRA
Afirmativa II: O RC é o mais apropriado para benefícios de renda, por
ser o mais efetivo no controle do déficit atuarial. Além disso, pode
(eu até diria que deve) ser usado para benefícios de morte, como
vimos várias vezes calculando prêmios nas Aulas 4 e 6. VERDADEIRA
Afirmativa III: Em tese, qualquer benefício pode ser custeado pelo
RCC. Na prática, este regime é mais apropriado para grupos fechados
e benefícios cujas despesas se mantenham aproximadamente
constantes ao longo do tempo, como auxílio-doença, invalidez, dentre
outros. Logo, não é utilizado o RCC basicamente para benefício de
pensão por invalidez. FALSA
GABARITO: B
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18. Indique a opção que completa de forma correta o caso abaixo,
considerando um benefício de sobrevivência.
“O resgate, o saldamento e o prolongamento constituem-se nos
principais tipos de Valores Garantidos. Quanto a estas três figuras
atuariais, pode-se afirmar que sua concessão é exclusivamente no
período.”
A) de fracionamento do prêmio.
B) de diferimento do Benefício, tanto no caso de o Prêmio ser pago a
vista, quanto fracionado.
C) após o pagamento do Prêmio e antes do recebimento do Benefício.
D) de fracionamento do Prêmio para o saldamento e o prolongamento
e a qualquer tempo para o resgate, sempre antes da conclusão do
pagamento do benefício.
E) de fracionamento do Prêmio para o saldamento e a qualquer
tempo para o resgate e o prolongamento, sempre antes da conclusão
do pagamento do benefício.
Resolução
A Resolução CNSP 25, de 22 de dezembro de 1994 define:
Resgate: consiste na restituição ao participante do montante
acumulado na provisão matemática relativa ao seu benefício.
Saldamento: é a interrupção definitiva do pagamento das
contribuições ao plano, mantendo- se o direito à percepção
proporcional do benefício originalmente contratado.
Benefício Prolongado: é a interrupção definitiva do pagamento das
contribuições ao plano, mantendo-se o direito à percepção, de forma
temporária, do mesmo valor do benefício originalmente contratado.
Para qualquer benefício há 3 períodos: Pagamento de prêmios,
durante o recebimento do benefício, e após o recebimento do
benefício.
Em primeiro lugar, não há que se falar de valores garantidos após o
recebimento do benefício.
Quanto ao resgate, sempre há provisão (reserva) matemática
enquanto o benefício não foi pago por completo. Assim, o resgate
pode ser concedido a qualquer tempo.
Já quanto ao saldamento e prolongamento, como ambos envolvem
interrupção de pagamentos, só faz sentido serem concedidos
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enquanto os prêmios estão sendo pagos, ou seja, no período de
fracionamento do prêmio.
GABARITO: D
19. Em relação aos métodos Prospectivo e Retrospectivo, é correto
afirmar que: a Reserva Matemática representa, na data de cálculo, o
valor atual dos compromissos
A) futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos
futuros do segurado, se calculado pelo método Prospectivo, e o valor
final (idade do benefício), se calculado pelo método retrospectivo.
B) passados do segurado menos o valor atual dos compromissos
passados do segurador, se calculado pelo método retrospectivo, e o
valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o valor
atual dos compromissos futuros do segurado, se calculado pelo
método Prospectivo, devendo os valores serem iguais.
C) passados do segurador menos o valor atual dos compromissos
futuros do segurado, se calculado pelo método retrospectivo, e o
valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o valor
atual dos compromissos passados do segurado, se calculado pelo
método Prospectivo, podendo ambos os valores serem iguais.
D) passados do segurado menos o valor atual dos compromissos
passados do segurador, se calculado pelo método retrospectivo, e o
valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o valor
atual dos compromissos futuros do segurado, se calculado pelo
método Prospectivo, podendo os valores serem diferentes, face o
respectivo método.
E) passados do segurador menos o valor passado dos Benefícios do
segurado, se calculado pelo método retrospectivo, e o valor atual dos
compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos
compromissos futuros do segurado, se calculado pelo método
Prospectivo, devendo ambos os valores serem iguais.
Resolução
Essa questão de reservas não traz novidades em relação às
resolvidas na aula 6. Basta aplicar a definição dos métodos
prospectivo e retrospectivo.
Pelo método retrospectivo, tV = VPAPP − VPABP , ou seja, temos
que a reserva matemática é a diferença entre o VPA dos prêmios
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pagos (compromissos passados do segurado) e o VPA do custo da
cobertura (compromissos passados do segurador).
Já pelo método prospectivo,
V = VPABF − VPAPF , ou seja, a
t
reserva matemática é a diferença entre o VPA dos benefícios futuros
(compromissos futuros do segurador) e o VPA dos prêmios futuros
(compromissos futuros do segurado).
GABARITO: B
20. Para o risco de morte num dado seguro, cujo prêmio seja
calculado com fracionamento mensal, considerando todas as demais
variáveis e parâmetros iguais - ceteris paribus, a opção falsa, ou seja,
que não se pode afirmar é:
A) o Prêmio calculado pelo RCC – Regime de Repartição de Capitais
de Cobertura é menor, em relação ao calculado pelo RC – Regime de
Capitalização, nas idades iniciais.
B) o Prêmio calculado pelo RRS – Regime de Repartição Simples é
inicialmente menor, em relação ao calculado pelo RC – Regime de
Capitalização.
C) o Prêmio calculado pelo RRS – Regime de Repartição Simples é
maior, em relação ao calculado pelo RC – Regime de Capitalização,
para as idades mais elevadas.
D) o Prêmio calculado pelo RRS – Regime de Repartição Simples é
igual ao calculado pelo RCC – Regime de Repartição de Capitais de
Cobertura, em qualquer faixa etária.
E) o Prêmio calculado pelo RCC – Regime de Repartição de Capitais
de Cobertura é inicialmente maior, em relação ao calculado pelo RC –
Regime de Capitalização.
Resolução
Temos de escolher a única opção falsa.
Quase uma questão de raciocínio lógico. Repare nas opções A e
E. Como ao menos uma delas tem de ser verdadeira (pois só há uma
falsa dentre as 5), a outra obrigatoriamente é falsa. Isso implica que
as opções B, C e D são verdadeiras e não precisariam ser analisadas
na prova.
Na resolução do exercício de fixação 6 da Aula 8, vimos
praticamente tudo de que precisamos para resolver essa questão. O
restante encontra-se no parágrafo abaixo.
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A única diferença do regime de repartição de capitais de
cobertura (RCC) para o regime de repartição simples (RRS) é que
naquele é constituída reserva. Esta reserva, a cada período, deve ser
suficiente para pagar os benefícios que são concedidos no próprio
período. No caso de risco de sobrevivência (rendas), os prêmios
calculados pelos dois regimes diferem devido à constituição de
reservas no RCC para pagar essa renda. Para risco de morte não,
pois o pagamento esgota o compromisso (o que responde o item D).
Dessa forma, como vimos na questão 6 citada, os prêmios pagos
no RRS são menores, inicialmente, que os pagos no RC. Portanto, os
prêmios pagos no RCC são também menores, inicialmente, que os
pagos no RC. Dessa forma, a opção E é falsa.
GABARITO: E
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