EXERCÍCIO RESOLVIDO
Considere a estrutura abaixo:
De forma equivalente, podemos obter:
onde:
d1 = 1,25 m
d2 = 4,00 m
c2 = 5,50 m
d3 = 7,25 m
c3 = 9,00 m
c4 = 12,50 m
d4 = 14,50 m
Cálculo das cargas distribuídas:
Pw1 = 18 x 2,5 = 45 kN
Pw2 = 48 x 3 = 144 kN
Pw3 = 24 x 3,5 = 84 kN
Pw4 = 48 x 4 = 192 kN
Cálculo da intensidade e posição da força resultante:
SA = P1 + P2 + P3 + P4 + Pw1 +Pw2 + Pw3 + Pw4
SA = 22,5 + 63 + 9 + 36 + 45 + 144 + 84 + 192
SA = 595,5 kN
SA⋅as = P1⋅c1 + Pw1⋅d1 +Pw2⋅d2 + P2⋅c2 + Pw3⋅d3 + P3⋅c3 + P4⋅c4+ Pw4⋅d4
595,5⋅as = 22,5⋅0 + 45⋅1,25 + 144⋅4,0 + 63⋅5,5 + 84⋅7,25 + 9⋅9,0 + 36⋅12,5 + 192⋅14,5
as = 8,23 m
logo: Ltotal = L1 + Lv
Ltotal = 2,5 + 14 = 16,5 m
js = Ltotal – as
js = 16,5 – 8,23 = 8,27 m
Cálculo das reações de apoio:
ΣMj = 0
SA⋅js – Rc⋅Lv = 0
595,5⋅8,27 - Rc⋅14 = 0
Rc = 351,77 kN
SA = Rc + Rj
595,5 = 351,77 + Rj
Rj = 243,73 kN
Cálculo dos Esforços:
Esforços Cortantes:
À esquerda:
V1(x1) = -P1 –W1⋅x1
V2(x2) = -P1 –Pw1 –W2 (x2 – x20) + Rc
V3(x3) = -P1 –Pw1 –Pw2 –P2 –W3 (x3 – x30) + Rc
V4(x4) = -P1 –Pw1 –Pw2 –P2 –Pw3 –P3 + Rc
À direita:
V4(x4) = -Rj + Pw4 + P4
V5(x5) = -Rj + W4 (xal – x5)
Facilitando os cálculos:
V1(x1) = -22,5 –18⋅x1
V2(x2) = 284,27 –48(x2 – 2,5) = 404,27 -48⋅x2
V3(x3) = 77,27 –24(x3 – 5,5) = 209,27 -24⋅x3
V4(x4) = -15,73
V5(x5) = -243,73 + 48(16,5 – x5) = 548,27 - 48⋅x5
Momento Fletor:
À esquerda:
M1(x1) = -P1⋅x1 –W1⋅
x1 2
2
M2(x2) = -P1⋅x2 –Pw1(x2 –d1) –W2
(x2 - x20) 2
+ Rc(x2 –L1)
2
M3(x3) = -P1⋅x3 –Pw1(x3 –d1) –Pw2(x3 –d2) –P2(x3 –c2) –W3
(x3 - x30) 2
+ Rc(x3 –L1)
2
À direita:
M4(x4) = Rj (xal –x4)-Pw4 (d4 –x4) –P4 (c4 –x4)
M5(x5) = Rj (xal –x5) –W4
(xal - x5) 2
2
Facilitando os cálculos:
M1(x1) = -22,5⋅x1 – 9⋅x12
M2(x2) = -22,5⋅x2 –45(x2 –1,25) –48
(x2 - 2,5) 2
+ 351,77(x2 –2,5)
2
= -22,5⋅x2 –45⋅x2 +56,25 –24(x22 –5⋅x2 + 6,25) + 351,77⋅x2 –879,425
= 284,27⋅x2 –823,175 –24⋅x22 + 120⋅x2 -150
M2(x2) = 404,27⋅x2 –973,175 –24⋅x22
M3(x3) = -22,5⋅x3 –45(x3 –1,25) –144(x3 –4) –63(x3 –5,5) –24
351,77(x3 –2,5)
(x3 - 5,5) 2
+
2
= -22,5⋅x3 –45⋅x3 + 56,25 –144⋅x3 + 576 –63⋅x3 + 346,5 –12(x32 -11⋅x3 +
30,25) + 351,77⋅x3 –879,425
= -77,27⋅x3 –12⋅x32 + 132⋅x3 -363 + 99,325
M3(x3) = -12⋅x32 + 209,27⋅x3 –263,675
M4(x4) = 243,73(16,5 –x4)-192(14,5 –x4) –36(12,5 –x4)
= 4021,545 –243,73⋅x4)-2784 + 192⋅x4 –450 + 36⋅x4
M4(x4) = 787,545 –15,73⋅x4
(16,5 - x5) 2
M5(x5) = 243,73(16,5 –x5) –48
2
= 4021,545 -243,735⋅x5 –24(272,25 -33⋅x5 + x52)
= 4021,545 -243,735⋅x5 –6534 +792⋅x5 -24 x52
M5(x5) = -2512,455 + 548,27⋅x5 -24 x52
Obtenção dos valores de xi, V(xi) e M(xi):
Trecho L1:
Número de divisões: ndiv = 5
L1
2,5
δ1 =
=
= 0,5
ndiv
5
i = 0,...,5
x1i = x10 + 0,5i ⇒ x1i = 0,5i
i
x1i
V1(x1i)
M1(x1i)
0
1
2
3
4
5
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
-22,5
-31,5
-40,5
-49,5
-58,5
-67,5
0
-13,5
-31,5
-54,0
-81,0
-112,5
Trecho L2:
Número de divisões: ndiv = 6
L2
3
δ2 =
= = 0,5
ndiv 6
i = 0,...,6
x2i = x20 + 0,5i ⇒ x2i = 2,5 + 0,5i
i
x2i
V2(x2i)
M2(x2i)
0
1
2
3
4
5
6
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
284
260
236
212
188
164
140
-112,5
23,6
147,7
259,9
360
448
524
Trecho L3:
Número de divisões: ndiv = 7
L3
3,5
δ3 =
=
= 0,5
ndiv
7
i = 0,...,7
x3i = x30 + 0,5i ⇒ x3i = 5,5 + 0,5i
i
x3i
V3(x3i)
M3(x3i)
0
1
2
3
4
5
6
7
5,5
6
6,5
7
7,5
8,0
8,5
9,0
77
65
53
41
29
17
5
-7
524
560
589
613
630
642
648
647
Trecho L4:
Número de divisões: ndiv = 7
L4
3,5
δ4 =
=
= 0,5
ndiv
7
i = 0,...,7
x4i = x40 + 0,5i ⇒ x1i = 9 + 0,5i
i
x4i
V4(x4i)
M4(x4i)
0
1
2
3
4
5
6
7
9
9,5
10
10,5
11
11,5
12
12,5
-16
-16
-16
-16
-16
-16
-16
-16
646
638,11
630,25
622,4
614,52
606,7
599
591
V5(x5i)
-52
-100
-148
-196
-244
M5(x5i)
591
516
391,5
219,7
0
Trecho L5:
Número de divisões: ndiv = 4
L5
4
δ5 =
= =1
ndiv 4
i = 0,...,4
x5i = x50 + i ⇒ x5i = 12,5 + i
i
0
1
2
3
4
x5i
12,5
13,5
14,5
15,5
16,5
Diagrama do Esforço Cortante:
Diagrama do Momento Fletor: