AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE SANTO ANTÓNIO – PAREDE
Escola EB23 de Santo António - Parede
Prova de Avaliação Global
MATEMÁTICA
Versão 1
Duração da Prova: 90 minutos | Junho de 2011
9.º Ano de Escolaridade
Decreto-Lei n.º 6/2011, de 18 de janeiro
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
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Proposta de Resolução - Prova de Avaliação Global – Matemática – Versão 1 – Matemática – Junho/2011
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1. Na empresa onde trabalha o pai do Felipe foram efetuadas análises ao sangue a fim de serem
conhecidos os grupos sanguíneos dos seus colaboradores.
O resultado do estudo encontra-se na Tabela 1.
Tabela 1
Grupo sanguíneo
A
B
AB
O
Número de colaboradores
350
116
22
512
1.1.
Escolhido ao acaso um colaborador da empresa, qual é a probabilidade dele
pertencer ao grupo sanguíneo B?
Apresenta o resultado na forma de uma dízima.
Resolução:
Número de casos favoráveis (colaboradores do grupo sanguíneo B) = 116
Número de casos possíveis (total de colaboradores) = 350  116  22  512  1000
P=
116
 0,116
1000
Resposta: A probabilidade de escolher ao acaso um colaborador do grupo
sanguíneo B é de 0,116 .
1.2.
Qual é a moda da distribuição dos grupos sanguíneos dos colaboradores da
empresa onde trabalha o pai do Felipe?
Resposta: A moda corresponde ao grupo sanguíneo O (é o grupo ao qual
pertencem mais colaboradores).
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2. A mãe da Catarina trabalha numa empresa onde são fabricadas baterias para telemóveis.
Numa série constituída por 15000 baterias, a probabilidade de se encontrar uma bateria com
defeito é de 1,5  103 .
Quantas baterias sem defeito, se espera encontrar numa das séries indicadas?
Resolução:
15000  1,5  103  15000  0,0015  22,5
23
Resposta: Espera-se encontrar cerca de 23 baterias com defeito.
3. Considera o conjunto X   5 ; 3 


2,2 ; 5 .
Considera Z , o conjunto dos números inteiros relativos.
3.1.
Escreve o conjunto X na forma de um único intervalo de números reais.
Resposta: X  2,2 ; 3
3.2.
Escreve todos os números do conjunto Z pertencentes ao conjunto X .
Resposta: 2,
 1,
0,
1
e
2
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4. Na Tabela 2 encontram-se representados alguns termos de uma sequência numérica. Essa
sequência segue a lei de formação sugerida na tabela.
Tabela 2
Ordem do termo
1
2
3
...
n
Termo
2
5
10
...
n2  1
4.1.
Qual é o termo de ordem 8?
Resolução:
82  1  64  1  65
Resposta: O termo de ordem 8 é igual a 65 .
4.2.
Verifica se existe algum termo que seja igual a 143.
Mostra como chegaste à tua resposta.
Resolução:
n2  1  143  n2  143  1  n2  142  n  142  n   142
142  11,916...  N (N é o conjunto dos números naturais).
Resposta: Como
142 não é um número natural, então não existe nenhum termo
igual a 143.
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4.3.
Determina os dois termos consecutivos desta sequência cuja diferença seja igual a
31.
Mostra como chegaste à tua resposta.
Resolução:
 n  1
2
n


 1  n2  1  31  n2  2n  1  1  n2  1  31  2n  30 
30
 n  15
2
152  1  225  1  226 e 162  1  256  1  257
257  226  31
Resposta: Os termos são 226 (termo de ordem 15) e 257 (termo de ordem 16).
5. A professora de Matemática da Catarina aconselhou-a a resolver o seguinte sistema:
2 x  y  1


x 1
 y  1  2
5
 1
,  .
3
 3
A Catarina, depois de o resolver, chegou à seguinte solução:  
5.1.
Mostra que a Catarina chegou à solução correta do sistema.
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Resolução:
  
2 x  y  1
  
  
  






1
x 1  
x 1  
4
x

x

1
3
x


1
x


y

1

2
x





3
2
2

5

  1
5
y
 2
 2


2



y

1


y

1


1

y
y







3
   3 
 3
 3

3
  
  
  
  
x   1


3
5
 1
,  .
3
 3
Resposta: A solução do sistema é o par ordenado  
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5.2.
As retas que representam as duas equações do sistema são concorrentes. Quais
são as coordenadas do ponto de concorrências das retas representadas pelas duas
equações do sistema?
5
 1
,  .
3
 3
Resposta: O ponto de concorrência tem por coordenadas  
6. Para a viagem de finalistas do 9.º ano, o Felipe e a Catarina fizeram um sorteio com rifas que
venderam aos elementos da comunidade educativa.
O número de rifas vendido ( r ), em função do número de dias da venda ( n ), é dado pela
expressão:
r  9n   n  1
6.1.
2
Quantas rifas foram vendidas até ao 3.º dia de venda?
Resolução:
r  9  3   3  1  27  22  27  4  31
2
Assinala com um X a opção correta.
6.2.
(A)
37
(B)
31
(C)
34
(D)
27
X
Qual das seguintes expressões é equivalente à expressão que representa o número
rifas vendido ( r )?
Resolução:
r  9n   n  1  9n  n2  2n  1  n2  7n  1
2
Assinala com um X a opção correta.
(A)
r  n2  11n  1
(B)
r  n2  7n  1
(C)
r  n2  7n  1
(D)
r  n2  7n  1 X
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7. A SIC Notícias lançou um concurso para jovens estudantes do 9.º ano. Neste concurso, a
Escola onde o Felipe estuda participou da seguinte forma:

Levou a concurso 20 jovens estudantes de duas turmas do 9.º ano, A e B;

O número de alunos da turma B excedeu em 4 o número de alunos da turma A.
7.1.
Escreve o sistema de duas equações a duas incógnitas que traduz o problema,
identificando pela letra
"a " o
número de alunos da turma A e pela letra
"b" o
número de alunos da turma B.
Não resolvas o sistema.
a  b  20
b  a  4
Resposta: 
7.2.
Qual é, no contexto da situação apresentada, o significado da expressão
" a  b  20" ?
Resposta: A expressão
" a  b  20" representa o número de alunos das turmas
A e B do 9.º ano que participaram no concurso.
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8. Foi proposta á Catarina a resolução de uma equação do segundo grau. A equação foi a
seguinte, na qual a letra
c representa um número real.
2 x2  5 x  2k
Determina na forma de intervalo de números reais, os valores do parâmetro
k de modo a que a
equação dada tenha duas raízes reais.
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Resolução:
2 x2  5 x  2k

2 x2  5 x  2k  0 (Forma canónica da equação do 2.º grau)
Para que a equação tenha duas raízes reais o binómio discriminante tem de ser maior do que
zero. Logo,   b2  4ac  0
2 x 2  5 x  2k  0
a  2 ; b  5 ; c  2k
 5 

2
 4  2  2k  0
k

25  16k  0

 16k  25
 16k  25

25
16
Resposta: O valor de
k


tem de pertencer ao intervalo   ,
25 
.
16 
9. Resolve, no conjunto dos números reais, a seguinte equação do 2.º grau.


3 x 2  9  36
Resolução:


3 x 2  9  36


x2  9 
36
3

x 2  9  12

x 2  12  9

x 2  21 
x   21


Conjunto solução: S   21 , 21
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10. A Catarina observou o gráfico da Figura 1.
Figura 1
10.1. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
O produto de quaisquer pares correspondentes é 8 e nenhuma das grandezas toma
o valor zero.
Assinala com um X a opção correta.
(A)
(B)
(C)
(D)
A representação gráfica refere-se a uma função de proporcionalidade direta
de razão 2.
A representação gráfica refere-se a uma função de proporcionalidade inversa
de razão 2.
A representação gráfica refere-se a uma função de proporcionalidade direta
de razão 8.
A representação gráfica refere-se a uma função de proporcionalidade inversa
de razão 8. X
10.2. Determina o valor de x quando y for igual a 18.
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Resolução:
18 
8
x
 18 x  8
Resposta: O valor de

x
é
x
8
18

x
4
9
4
.
9
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11. Na Figura 2 abaixo encontra-se representada uma situação que a Catarina viu na Internet,
denominada “Teorema de Tales”.
Figura 2
11.1. Mostra que os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes.
Resposta: Os dois triângulos têm um ângulo em comum (ângulo de vértice em A) e,
de um para o outro, têm os ângulos correspondentes B e D geometricamente iguais.
Pelo critério AA, os dois triângulos são semelhantes ([ABC] ~ [ADE]).
11.2. Qual é a razão de semelhança na ampliação do triângulo [ABC] para o triângulo
[ADE]?
AD  5  1,5  6,5
AB  5
r
6,5
 1,3
5
Assinala com um X a opção correta.
(A)
1,3 X
(B)
1,5
(C)
1
(D)
3,1
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11.3. Determina DE .
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Resolução:
Se dois triângulos são semelhantes, então os lados correspondentes são
diretamente proporcionais. Logo:
5
6

7,5 x

x
7,5  6
5

x
45
5

x9
Resposta: DE  9 cm.
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12. O Felipe desenhou a Figura 3 que representa uma circunferência de centro em O. Os pontos B,
C, D, E e F pertencem à circunferência de centro no ponto O.
Relativamente à figura sabe-se que:

AB  BO
Figura 3
12.1. Sendo COB  43º , qual é a amplitude do ângulo BEC?
Apresenta os caculos que efetuares.
Resolução:
COB é um ângulo ao centro. O arco menor que é correspondente a esse ângulo ao
centro é o arco CB . Logo, CB  43º (A amplitude de um ângulo ao centro é
igual à amplitude do seu arco correspondente e vice versa).
O arco menor CB é o arco compreendido nos lados do ângulo inscrito BEC . Logo,
BEC 
43º
 21,5º (A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da
2
amplitude do arco compreendido nos seus lados).
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12.2. Justifica que o triângulo [ABO] é retângulo em B.
Resposta: A reta AB é tangente à circunferência no ponto B. Logo, essa reta é
perpendicular ao raio que está contido na reta BO. Por isso, o ângulo ABO tem uma
amplitude de 90º, sendo o triângulo [ABO] retângulo em B.
12.3. Sendo DOE  19º , determina CE .
Não justifiques a tua resposta.
Resposta: CE  180º 19º  161º
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13. A Catarina falou com um técnico da ANA – Aeroportos e Navegação Aérea.
Disseram à Catarina, que um avião vindo de Londres, deveria ter a rota indicada na Figura 3,
para se aproximar e aterrar no Aeroporto Internacional de Lisboa.
Figura 3
13.1. A que altitude (h), em metros – m – o avião acionou o trem de aterragem, de modo a
que tocasse na pista no ponto A?
Apresenta os caculos que efetuares e o resultado arredondado às unidades.
Resolução:
tan23º 
h
1200

h  1200  tan23º

h
509 (0 c.d.)
Resposta: O avião acionou o trem de aterragem aos 509 metros de altura.
13.2. Se o avião estivesse a uma altura (h) de 500 m, qual era a amplitude, em grau, do
ângulo (y) de aproximação à pista de aterragem [VA]?
Apresenta todos os cálculos que efetuares e dá a resposta aproximada às
décimas.
Resolução:
tan 
500
1200

tan  0,41(6)
 
22,6º (1 c.d.)
Resposta: O ângulo de aproximação à pista de seria de cerca de 22,6º .
FIM
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