ETI / EI, 1o Ano
UC: Análise Matemática II
Representação geométrica para Integrais Múltiplos Volumes
Elaborado de: Diana Aldea Mendes e Rosário Laureano
Departamento de Métodos Quantitativos
Fevereiro de 2011
Capítulo 1
Representação geométrica para
Integrais Múltiplos
• RECTA
−
v = (v1 , v2 ) :
— Que passa pelo ponto P1 (x1 , y1 ) na direcção do vector →
Equação analítica em coordenadas rectangulares
(x, y) = (x1 , y1 ) + k.(v1 , v2 ), para k ∈ R
ou
ou
⎧
⎨ x = x1 + kv1
⎩
y = y1 + kv2
, para k ∈ R
x − x1
y − y1
=
, para v1 , v2 6= 0
v1
v2
— Que une os pontos P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
y − y1
y2 − y1
=
, para x1 6= x2
x − x1
x2 − x1
ou
y − y1 = m (x − x1 ) onde m =
1
y2 − y1
é o declive (para x1 6= x2 )
x2 − x1
2CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS
ou
y = mx + b onde m =
eb=
y2 − y1
é o declive (para x1 6= x2 )
x2 − x1
x2 y1 − x1 y2
é a ordenada na origem (para x1 6= x2 )
x2 − x1
ou
Ax + By + C = 0 onde A = y1 − y2
B = x2 − x1
e C = x1 y2 − x2 y1
— Que intersecta o x-eixo em a 6= 0 e o y-eixo em b 6= 0 :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x y
+ =1
a b
y
b
0
a
x
Figura 1.1:
— Que faz um ângulo α 6=
π
com a parte positiva do x-eixo e passa pelo
2
ponto P1 (x1 , y1 ) :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
y − y1 = m (x − x1 ) onde m = tan α é o declive
— Que dista p unidades da origem e a perpendicular da origem sobre a
recta faz um ângulo β com a parte positiva do x-eixo:
3
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x cos β + y sin β = p
• CIRCUNFERÊNCIA
— De centro C (0, 0) e de raio r :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x2 + y 2 = r2
y
r
r
0
x
— De centro C (h, k) e de raio r :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
y
r
k
0
h
x
Equação analítica em coordenadas polares no caso da circunferência passar pela
origem
r = 2R cos (θ − α) onde (R, α) são as coordenadas polares do centro C
4CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS
— Um ponto pode localizar-se no plano por meio de coordenadas rectangulares
(x, y) ou por coordenadas polares (r, θ). As coordenadas rectangulares e polares
relacionam-se pelas expressões
⎧
⎨ x = r cos θ
⎩
e
y = r sin θ
para r ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π.
p
⎧
⎨ r = x2 + y 2
⎩
θ = arctan xy
• ELIPSE
— De centro C (0, 0) , de eixo maior paralelo ao x-eixo, de raio a 6= 0 na
direcção horizontal (ou de eixo maior 2a) e de raio b 6= 0 na direção
vertical (ou eixo menor 2b):
Se P é um ponto arbitrário da elipse de focos F e F 0 então verifica P F + P F 0 =
2a.
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
y
b
a
0
x
— De centro C (h, k) , de eixo maior paralelo ao x-eixo, de raio a na direcção horizontal(ou de eixo maior 2a) e de raio b na direcção vertical
(ou eixo menor 2b):
Se P é um ponto arbitrário da elipse de focos F e F 0 então P F + P F 0 = 2a.
5
Equação analítica em coordenadas rectangulares
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
a2
b2
y
b
a
k
C(h,k)
0
h
x
Equações dos eixos de simetria
x=h ey=k
Distância do centro C a cada um dos 2 vértices situados na recta y = k é b
e a distância do centro C a cada um dos 2 vértices situados na recta x = h é
a. Distância do centro C a cada um dos 2 focos (situados na recta y = k) é
√
c = a2 + b2 e a excentricidade é dfada por
√
a2 + b2
c
ε= =
a
a
Equação analítica em coordenadas polares no caso de C estar na origem
r2 =
a2 b2
a2 sin2 θ + b2 cos2 θ
Equação analítica em coordenadas polares no caso de C estar sobre a parte
positiva do x-eixo e um dos focos estar na origem
r=
1 − ε2
, para 1 − ε cos θ 6= 0
1 − ε cos θ
— De eixo maior paralelo ao y-eixo:
permutar x e y em coordenadas rectângulares
π
substituir θ por − θ em coordenadas polares
2
6CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS
• PARÁBOLA
— Com eixo de simetria vertical, de vértice V (0, 0) que dista
p
unidades
2
do foco F :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x2 = 2py, p > 0
Equação analítica em coordenadas polares
r=
¡
¢
2a
¡π
¢ , para 1 − cos π2 − θ 6= 0
1 − cos 2 − θ
y
0
x
p>0
p
— Com eixo de simetria vertical, de vértice V (0, 0) que dista − unidades
2
do foco F :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x2 = 2py, p < 0
— Com eixo de simetria vertical, de vértice V (h, k) que dista
do foco F :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
(x − h)2 = 2p (y − k), p > 0
p
unidades
2
7
y
p<0
0
x
Figura 1.2:
y
p>0
k
0
h
x
Figura 1.3:
Equação do eixo de simetria
x=h
p
— Com eixo de simetria vertical, de vértice V (h, k) que dista − unidades
2
do foco F :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
(x − h)2 = 2p (y − k), p < 0
Equação do eixo de simetria
x=h
8CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS
y
h
0
x
k
p<0
•
— Com eixo de simetria vertical, de vértice V (h, 0) que dista
p
unidades
2
do foco F :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
(x − h)2 = 2py, p > 0
Equação do eixo de simetria
x=h
y
0
h
x
Figura 1.4:
— Com eixo de simetria vertical, de vértice V (0, k) que dista
do foco F :
p
unidades
2
9
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x2 = 2p (y − k), p > 0
Equação do eixo de simetria
x=0
y
k
x
0
•
— Com eixo de simetria horizontal, de vértice V (0, 0) que dista
p
unidades
2
do foco F :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
y 2 = 2px, p > 0
Equação analítica em coordenadas polares
r=
2a
1 − cos θ
— Com eixo de simetria horizontal, de vértice V (h, k) que dista
do foco F :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
(y − k)2 = 2p (x − h), p > 0
Equação do eixo de simetria
y=k
p
unidades
2
10CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS
y
p>0
x
Figura 1.5:
y
k
0
h
x
p>0
•
— Com eixo de simetria horizontal, de vértice V (h, k) que dista −
unidades do foco F :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
(y − k)2 = 2p (x − h), p < 0
Equação do eixo de simetria
y=k
• HIPÉRBOLE
p
2
11
p<0
k
h
Figura 1.6:
— De centro C (h, k) , de eixo maior paralelo ao x-eixo, de eixo maior
2a 6= 0 e eixo menor 2b 6= 0 :
Se P é um ponto arbitrário da hipérbole de focos F e F 0 então verifica P F −
P F 0 = ±2a (o sinal depende do ramo).
Equação analítica em coordenadas rectangulares
(x − h)2 (y − k)2
−
=1
a2
b2
Distância do centro C a cada um dos 2 vértices situados na recta x = h é a
e a distância do centro C a cada um dos 2 focos (situados na recta y = k) é
√
c = a2 + b2 . A excentricidade é dada por
√
a2 + b2
c
ε= =
a
a
Declives das rectas assimptotas à hipérbole
±
b
a
Equação analítica em coordenadas polares no caso de C estar na origem
r2 =
a2 b2
2
2
2
2
2 , para b cos θ − a sin θ 6= 0
2
2
2
b cos θ − a sin θ
12CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS
Equação analítica em coordenadas polares no caso de C estar sobre a parte
positiva do x-eixo e um dos focos estar na origem
r=
ε2 − 1
, para 1 − ε cos θ 6= 0
1 − ε cos θ
— De eixo maior paralelo ao y-eixo:
permutar x e y em coordenadas rectangulares
π
substituir θ por − θ em coordenadas polares
2
Seguem-se então as superfícies no espaço.
• PLANO
— xOy :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
z=0
— Paralelo ao xOy-planoque passa no ponto P1 (a, b, d) :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
z=d
Ponto de intersecção com o z-eixo
(0, 0, d)
— yOz :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x=0
13
z
z
d
0
x
y
0
y
Figura 1.7:
— Paralelo ao yOz-plano que passa no ponto P1 (d, b, c) :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x=d
Ponto de intersecção com o x-eixo
(d, 0, 0)
— xOz :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
y=0
— Paralelo ao xOz-plano que passa no ponto P1 (a, d, c) :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
y=d
Ponto de intersecção com o y-eixo
(0, d, 0)
x
14CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS
z
z
d
0
x
x
d
y
y
Figura 1.8:
— Que passa pelos pontos P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y2 , z2 ) e P3 (x3 , y3 , z3 ) :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
¯
¯ x − x1 y − y1 z − z1
¯
¯ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
¯
¯ x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
¯
¯
¯
¯=0
¯
¯
— Que intersecta os eixos coordenados em x0 6= 0, y0 6= 0 e z0 6= 0 :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x
y
z
d
d
d
+
+
= 1 sendo x0 = , y0 = e z0 =
x0 y0 z0
a
b
c
— Que dista p unidades da origem e a perpendicular tomada da origem
sobre o plano faz ângulos α, β e γ com a parte positiva dos x-eixo,
y-eixo e z-eixo, respectivamente:
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x cos α + y cos β + z cos γ =p
A representação gráfica do plano (ou de qualquer outra superfície no espaço)
exige o cálculo das intersecções da superfície com os 3 eixos coordenados (caso elas existam).Para determinar o ponto em que a superfície intersecta o x-eixo considera-se o
15
z
d/c
0
d/a
x
d/b
y
Figura 1.9:
sistema
⎧
⎨ equação da superfície
y=0
⎩
z=0
atendendo a que o x-eixo é caracterizado no espaço pela condição y = 0 ∧ z = 0; na
prática, trata-se de substituir na equação da superfície y e z por zero. O valor de x que
se obtem resolvendo a equação resultante da substituição efectuada é a abcissa do ponto
de intersecção procurado; se da substituição resulta uma equação impossível significa que
não existe ponto de intersecção com o x-eixo, ou seja, a superfície não intersecta este
eixo coordenado.Analogamente se procede para determinar a intersecção com cada um
dos outros eixos coordenados: com o y-eixo considerando a condição x = 0 ∧ z = 0 e com
o z-eixo a condição x = 0 ∧ y = 0.
•
— Paralelo ao x-eixo que intersecta o y-eixo em y0 6= 0 e o z-eixo em
z0 6= 0 :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
y
z
d
d
+
= 1 sendo y0 = e z0 =
y0 z0
b
c
Pontos de intersecção com os eixos coordenados
(0, y0 , 0) e (0, 0, z0 )
16CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS
z
d/c
x
d/b
y
Figura 1.10:
— Paralelo ao y-eixo que intersecta o x-eixo em x0 6= 0 e o z-eixo em
z0 6= 0 :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x
z
d
d
+
= 1 sendo x0 = e z0 =
x0 z0
a
c
Pontos de intersecção com os eixos coordenados
(x0 , 0, 0) e (0, 0, z0 )
— Paralelo ao z-eixo que intersecta o x−eixo em x0 6= 0 e o y-eixo em
y0 6= 0 :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x
y
d
d
+
= 1 sendo x0 = e y0 =
x0 y0
a
b
Pontos de intersecção com os eixos coordenados
(x0 , 0, 0) e (0, y0 , 0)
• SUPERFÍCIE ESFÉRICA
17
Figura 1.11:
— De centro C (0, 0, 0) e raio R :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x2 + y2 + z 2 = R2
A figura seguinte ilustra a superfície esférica (de centro C(0, 0, 0) e) de raio R = 2
Projecção no xOy-plano
circunferência de equação y 2 + z 2 = R2
18CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS
A obtenção da curva de projecção da superfície esférica (ou de qualquer outra superfície no espaço) no xOy-plano obtem-se pela resolução do sistema
⎧
⎨ equação da superfície
⎩
z=0
por ser a condição z = 0 que caracteriza o xOy-plano.Analogamente para cada um dos
outros planos coordenados: para a projecção no yOz-plano usa-se a condição x = 0 e para
a projecção no xOz-plano usa-se y = 0.
Equação analítica em coordenadas esféricas
ρ=R
Um ponto pode localizar-se no espaço por meio de coordenadas rectângulares (x, y, z)
ou por coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ) (entre outras). As coordenadas rectângulares e
esféricas relacionam-se pelas expressões
⎧
⎨ x = ρ sin θ cos ϕ
y = ρ sin θ sin ϕ
⎩
z = ρ cos θ
ou
⎧
p
⎪
x2 + y2 + z 2
ρ
=
⎨
θ = arccos √ 2 z 2 2
x +y +z
⎪
⎩
ϕ = arctan xy
para ρ ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π e 0 ≤ ϕ ≤
•
π
.
2
— De centro C (x0 , y0 , z0 ) e raio R :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2
A figura ilustra a superfície esférica de centro C (3, 2, 4) e de raio R = 1e a sua
19
projecção no xOy-plano (ou seja, a circunferência de centro C 0 (3, 2) e raio 1
z
y
4
R=1
R=1
2
3
0
x
3
x
2
y
De notar que as projecções da superfície esférica nos xOz-plano ou yOz-plano
são também circunferências de raio 1 mas de centros diferentes: de centro
C 00 (3, 4) para a projecção no xOz-plano, de centro C 000 (2, 4) para o yOz-plano.
Equação analítica em coordenadas esféricas
ρ2 + ρ20 − 2ρ0 ρ sin θ sin θ0 cos (ϕ − ϕ0 ) = R2 , sendo (ρ0 , θ0 , ϕ0 ) as coordenadas esféricas de C
• ELIPSÓIDE
— De centro C (0, 0, 0), de raio a na direcção x, de raio b na direcção y
e raio c na direcção z :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x2 y2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
Projecção no xOy-plano
elipse de equação
x2 y2
+ 2 =1
a2
b
Projecção no yOz-plano
elipse de equação
y2 z2
+ 2 =1
b2
c
20CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS
Projecção no xOz-plano
elipse de equação
x2 z 2
+ 2 =1
a2
c
— De centro C (x0 , y0 , z0 ), de raio a na direcção x, de raio b na direcção
y e raio c na direcção z :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
+
a2
b2
(z−z0 )2
c2
=1
(z − 2)2
(y + 2)2
+
= 1.
9
16
Tem centro C (1, −2, 2) e raio 1 na direcção x, raio 3 na direcção y e raio 4 na
A figura ilustra o elipsóide de equação (x − 1)2 +
direcção z.
• PARABOLÓIDE ELÍPTICO
— De vértice V (0, 0, 0) que se desenvolve ao longo da direcção z :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x2 y2
+ 2 = 2pz, p 6= 0
a2
b
21
Projecção no xOy-plano
elipse de equação
x2 y2
+ 2 =1
a2
b
z
z
x
x
p<0
y
y
p>0
O parabolóide desenvolve-se ao longo da direcção z, a variável que não aparece explicitamente na sua equação.
•
— De vértice V (x0 , y0 , z0 ) que se desenvolve ao longo da direcção z :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
= z0 + 2pz
a2
b2
Projecção no xoy-plano
elipse de equação
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
= z0
a2
b2
z
z
x
x
d
y
y
p<0
p>0
22CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS
z
x
y
y
p>0
As últimas 2 figuras representam parabolóides transladados apenas na direcção z na
direcção do x, respectivamente.
•
— Que se desenvolve ao longo da direcção x :
permutar x e z em coordenadas rectangulares
A figura seguinte ilustra o mesmo parabolóide elíptico
(z − α)2 y2
+ 2 = 2px em
a2
b
diferente posicionamento dos eixos coordenados
z
x
z
x
y
y
— Que se desenvolve ao longo da direcção y :
permutar y e z em coordenadas rectangulares
23
• CILINDRO ELÍPTICO
— Que se desenvolve ao longo da direcção z :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x2 y2
+ 2 =1
a2
b
Projecçção no xOy-plano
elipse de equação
x2 y2
+ 2 =1
a2
b
z
y
b
a
x
x
a
y
b
Alterando x2 para (x − x0 )2 dá-se um deslocamento do cilindro na direcção x em x0
unidades. Se x2 dá lugar a (x − x0 )2 e, simultaneamente y 2 dá lugar a (y − y0 )2 obtem-se
um cilindro deslocado em ambas as direcções x e y de equação
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
=1
a2
b2
cuja projecção no xy − plano é a elipse de centro C (x0 , y0 ) e de raio a na direcção x e
raio b na direcção y.
24CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS
z
y
α
x
β
b
β
a
a
y
x
α
•
— Que se desenvolve ao longo da direcção x :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
z 2 y2
+ 2 =1
a2
b
ou
(z − z0 )2 (y − y0 )2
+
=1
a2
b2
Projecção no yOz-plano
elipse de equação
z2 y2
+ 2 = 1 ou
a2
b
(z − z0 )2 (y − y0 )2
+
=1
a2
b2
z
y
a
b
b
x
z
a
y
•
— Que se desenvolve ao longo da direcção y :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
z 2 x2
+ 2 = 1 ou
a2
b
(z − z0 )2 (x − x0 )2
+
=1
a2
b2
25
Projecção no xOz-plano
elipse de equação
z2 y2
+ 2 = 1 ou
a2
b
(z − z0 )2 (y − y0 )2
+
=1
a2
b2
• CILINDRO PARABÓLICO
— Que se desenvolve ao longo da direcção z ”em torno” da direcção x :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x2 = 2py, para p 6= 0
Projecção no xOy-plano
parábola de equação x2 = 2py, para p 6= 0
O cilindro desenvolve-se na direcção z, a direcção da variável que não aparece explicitamente na sua equação.
z
z
x
x
y
y
p < 0
p > 0
y
y
x
x
O parabolóide desenvolve-se ”em torno” da direcção x, a direcção da variável quadrática.
O sinal do coeficiente p da variável linear conduz à ”orientação” do parabolóide: virada
para a parte positiva do eixo da variável linear se p > 0 e virada para a parte negativa do
eixo dessa variável se p < 0.
26CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS
Se além disso a equação contém uma constante, por exemplo,
x2 = 2py + b
então o cilindro desloca-se b unidades na direcção da variável linear, nesse caso de y.
Atenção também no signal de b que pode ser negativo ou positivo
•
— Que se desenvolve ao longo da direcção z ”em torno da direcção y :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
y 2 = 2px, para p 6= 0
— Que se desenvolvem ao longo da direcção x :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
y 2 = 2pz ou z 2 = 2py , para p 6= 0
— Que se desenvolvem ao longo da direcção y :
Equação analítica em coordenadas rectangulares
x2 = 2pz ou z 2 = 2px , para p 6= 0
Não se esqueça que antes de fazer o gráfico de qualquer das superfícies referidas acima
é conveniente
pôr a sua equação na forma analítica ”standard”
identificar ”o papel” das diferentes variáveis
atender ao sinal dos coeficientes que afectam as variáveis
atender às constantes que determinam translações
determinar os pontos de intersecção com os eixos coordenados
identificar algumas curvas de projecção nos planos coordenados.