X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
O ENSINO-APRENDIZAGEM-AVALIAÇÃO DO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Rafael Henrique dos Santos
Universidade Cruzeiro do Sul
[email protected]
Norma Suely Gomes Allevato
Universidade Cruzeiro do Sul
[email protected]
Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar uma abordagem do Princípio
Fundamental da Contagem através da Resolução de Problemas, fundamentada no
processo de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática que pode ser vivenciado
pelos alunos. A expressão ensino-aprendizagem-avaliação refere-se a uma abordagem
em que o ensino, a aprendizagem e a avaliação devem ocorrer simultaneamente durante
e através da resolução de problemas para acompanhar o desenvolvimento dos alunos e,
se necessário, reorientar as práticas de sala de aula. A proposta didática consiste em
desenvolver um roteiro de aula onde a atividade parte de um problema gerador, com
uma abordagem desprovida, inicialmente, do formalismo, utilizando os conceitos
primitivos e elementares da contagem. Este roteiro de aula é baseado nos modelos
propostos por Krulik e Rudnick (2005). Sem a preocupação com a avaliação
quantitativa, pretende-se apresentar uma proposta em que há a possibilidade de
desenvolver a construção de conhecimento dos participantes através da resolução de
problemas.
Palavras-chave: Resolução de Problemas; Princípio da Fundamental da Contagem;
Análise Combinatória.
1 – Introdução
Desde o seu surgimento em meados de 300 a.C., a Análise Combinatória sempre
despertou o interesse de vários matemáticos que procuravam entender e resolver
problemas de contagem. Ela é ensinada, muitas vezes, através de forma manipulativa e
técnica, que acaba alienando um processo de ensino-aprendizagem que deveria priorizar
a ampliação dos conhecimentos, compreensão conceitual e o estímulo ao raciocínio
lógico, com o intuito de confrontá-los com alguma situação do cotidiano.
Cremos que o professor deve iniciar o estudo do Princípio Fundamental da
Contagem a partir de atividades de resolução de problemas, estimulando e
desenvolvendo as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, bem como o
espírito crítico e criativo do aluno. Assim, abordaremos inicialmente, neste trabalho, a
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
1
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da resolução de
problemas, baseando-nos nas idéias de Allevato e Onuchic (2009) e nos documentos
oficiais (BRASIL, 1999; BRASIL, 2006), a fim de possibilitar uma visão ampla dos
benefícios de integrarmos essa metodologia no ensino-aprendizagem do Princípio
Fundamental da Contagem. Em seguida, também apresentaremos a proposta de Krulik e
Rudnick (2005) para o trabalho com resolução de problemas em sala de aula.
Finalmente, apresentaremos uma proposta elaborada por nós que é embasada nessas
duas abordagens citadas anteriormente, ou seja, Allevato e Onuchic (2009) e
Krulik e Rudnick (2005).
2 – O Ensino-Aprendizagem-Avaliação através da Resolução de Problemas
Neste trabalho iremos utilizar a metodologia de Ensino-AprendizagemAvaliação de Matemática através da Resolução de Problemas, em que o ensino e a
aprendizagem devem ocorrer, simultaneamente, durante e através da resolução de
problemas, tendo o professor como guia e os alunos como co-construtores do
conhecimento. A avaliação, integrada ao ensino-aprendizagem, visa a acompanhar o
crescimento dos alunos e reorientar as práticas de sala de aula, quando necessário. Nesta
metodologia, os problemas são propostos aos alunos antes mesmo de lhes ter sido
apresentado formalmente o conteúdo matemático que, de acordo com o programa da
disciplina para a série atendida, é pretendido pelo educador, necessário ou mais
apropriado à resolução do problema proposto (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009).
Por meio dessa metodologia, o aluno ao resolver um problema utilizando o
Princípio Fundamental da Contagem, terá oportunidade de construir conhecimento, e o
educador contribuirá para a construção desse conhecimento dos alunos. Estes aspectos
são importantes, uma vez que, segundo os documentos oficiais, “o aluno deverá
desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação,
bem como o espírito crítico e criativo. Assim, ele terá confiança para desenvolver a
compreensão dos conceitos matemáticos” (BRASIL, 1999).
A avaliação deverá acontecer de forma contínua, analisando a aprendizagem que
os alunos desenvolvem durante a resolução do problema. Nessa metodologia,
proporemos um problema gerador que será o ponto de partida e, através da resolução
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
2
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
realizada inicialmente pelos alunos, será possível discutir os métodos empregados, as
dúvidas e os conceitos, e buscar um padrão para o problema proposto. Além disso, os
alunos deverão trabalhar no problema gerador em pequenos grupos, de modo
colaborativo, investigando e buscando através de conjecturas e modos de relacionar as
idéias, encontrar a solução desse problema. Segundo os documentos oficiais, “o
trabalho em grupo possibilita aos alunos uma participação ativa, o confronto de idéias e
a adoção de consensos” (BRASIL, 2006).
Após o término dessa fase inicial do trabalho realizado pelos alunos é importante
que a resolução obtida por cada grupo seja exposta na lousa. Serão expostas as
resoluções corretas ou incorretas. Deste modo, o professor poderá entender e discutir
com toda a classe a resolução do problema exposta por cada grupo. Juntos, professor e
aluno analisarão as resoluções e as soluções apresentadas procurando perceber e
analisar os erros e acertos, e as melhores formas de resolução.
É importante que o professor reúna todos os alunos para debater as resoluções.
Nesse momento, os alunos e os educadores pesquisarão juntos e a aprendizagem
atingirá o seu ponto mais significativo dentro dessa metodologia. O professor será o
mediador do debate e, assim, poderá orientar e estimular seus alunos a defenderem as
suas idéias.
Esse momento é muito importante, pois, quando as dúvidas forem sanadas, o
professor e os alunos buscarão um consenso sobre os resultados obtidos para o
problema gerador. Posteriormente, o professor apresentará a formalização do conteúdo
que foi aprendido durante a resolução destacando o conceito matemático envolvido no
problema.
Ao final dessas etapas, os alunos poderão expor novamente suas concepções em
relação ao problema resolvido. Poderão sugerir idéias para o aprimoramento da
metodologia que foi empregada como, também, autoavaliar-se mediante o que eles
crêem que aprenderam durante a resolução deste problema.
3 - A Proposta de Trabalho oferecida por Krulik e Rudnick
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
3
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Krulik e Rudnick (2005) apresentam várias atividades para os professores do
Ensino Médio que desejam trabalhar através da resolução de problemas. Elas foram
idealizadas tendo um problema como ponto de partida para a introdução de um
conteúdo.
Nas orientações ao professor, as atividades têm um sumário da “Matemática a
ser abordada naquela aula”, destacando:
- Conceitos matemáticos e habilidades, que consideram dois aspectos:
Foco – indica os conteúdos matemáticos próprios do problema inicial;
Tópicos relacionados – menciona o conteúdo matemático adicional que
pode ser abordado na sala de aula como um complemento.
- Estratégias de Resolução de Problemas – São as estratégias que os alunos
podem utilizar para resolver o problema inicial. Essas estratégias incluem desenhos,
gráficos, tabelas, formalização de um padrão ou mesmo raciocínio lógico.
Nas orientações ao professor, a obra tem quatro seções. A primeira seção,
intitulada Sobre a Matemática, discuti a matemática que é envolvida no problema.
Nessa seção, encontramos sugestões, orientações e ideias para que o professor possa
aplicar a atividade com sucesso em sala de aula. A segunda seção trata das Estratégias
para Resolução de Problemas às quais os alunos podem recorrer para resolver o
problema inicial. Na terceira seção, Avaliando a Compreensão, um problema similar ao
inicial é apresentado para ser proposto aos alunos, com intuito de verificar o
aprendizado dos alunos em relação ao conteúdo matemático envolvido no problema
inicial. Nela, também são fornecidas algumas Questões-Chave e Dicas ao professor,
para que ele possa conduzir e orientar os alunos da melhor forma possível durante a
realização da atividade. Por fim, há uma quarta e última seção, Estendendo a
Matemática, que tem como propósito estender os conceitos aprendidos até aquele
momento. Assim, podemos remodelar o problema para uma nova condição, de modo a
estimular o aluno a aplicar as habilidades adquiridas no problema inicial, mas agora sob
um problema mais sofisticado, que exigirá do aluno um senso de investigação mais
apurado e a ampliação dos conhecimentos construídos.
4 – Uma Proposta para o Ensino do Princípio Fundamental da Contagem
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
4
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
A seguir apresentaremos uma proposta para ensino do Princípio Fundamental da
Contagem através da resolução de problemas baseada nas orientações de Allevato e
Onuchic (2009) e Krulik e Rudnick (2005).
Conceitos Matemáticos e Habilidades
Foco: ● Princípio Fundamental da Contagem;
● Diagramas de Árvore.
Tópico relacionado: Multiplicação de Números Naturais.
Estratégias de Resolução de Problemas: ● Construir um diagrama de árvore;
● Procurar um padrão.
Opções para a compra de um veículo
A senhora Castro é uma grande empresária do ramo agrário. Ela costuma viajar
constantemente e, por isso, ela troca de veículo aproximadamente a cada dois anos.
Numa bela manhã, ela resolveu ir à concessionária para trocar o seu automóvel. O
automóvel que ela pretende comprar é produzido em quatro cores (branco, preto,
cinza e prata), nos modelos sedã ou hatch, e pode ter motor 1.0, motor 1.6 ou motor
1.8. Quantas opções ela tem para escolher o seu automóvel nessa concessionária?
Neste problema, os alunos devem reconhecer e estender um padrão simples
envolvendo o Princípio Fundamental da Contagem. Eles examinarão as escolhas
possíveis para realizar a compra do automóvel através de um diagrama de árvore e,
posteriormente, contarão a quantidade de escolhas possíveis. O objetivo do problema é
que o aluno perceba que para determinar o número de escolhas possíveis basta
multiplicar o número de cores permitidas pelo número de tipos de modelos e pelo
número de tipos de motorização que foram mencionados.
Após distribuir este problema para a classe, os alunos poderão trabalhar em
pares ou pequenos grupos de modo colaborativo para encontrar a solução.
Posteriormente, pedi-se aos alunos para compartilhar suas estratégias e soluções, e os
incentiva a buscar outros modos para resolver o problema.
O professor utilizará as estratégias de resolução do problema, apresentadas pelos
alunos nesta atividade, como um ponto de partida para discussão com a classe. Tentará
relacionar as questões-chave com os métodos utilizados pelos alunos, os quais podem
ser diferentes dos previstos para resolução do problema inicial.
Estratégias de Resolução de Problemas
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
5
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
 Construir um Diagrama de Árvore
Neste problema utilizaremos o diagrama de árvore para listar todos os veículos
possíveis que a senhora Castro poderá escolher nessa concessionária, permitindo sejam
visualizados de uma forma clara através de um diagrama de árvore.
Figura 1. Opções de veículos da concessionária para a compra
Pode-se notar nesta situação, que a senhora Castro pode optar por 24 veículos
diferentes para a compra.
 Procurar um padrão:
Ao iniciar o processo da compra do veículo, a senhora Castro pode escolher uma
dentre as quatro cores possíveis para o veículo (4 maneiras). Após fazer essa escolha,
ela precisará decidir se quer um veículo do tipo hatch ou sedã (2 maneiras). Por último,
deve escolher uma das três motorizações fornecidas pela concessionária (3 maneiras).
Assim, teremos 4

cores
2

3

tipos
motores
24
 . Vale ressaltar que esse padrão deverá ser
maneiras
fruto da interpretação e da análise do diagrama de árvore.
 Questões-chave
1. De quantas maneiras ela poderá escolher um automóvel do modelo sedã? (12)
2. De quantas maneiras ela poderá escolher um automóvel do modelo hatch? (12)
3. De quantas maneiras ela poderá escolher um automóvel dessa concessionária? (24)
4. Como pode ser calculado o número de opções de escolha do automóvel da senhora
Castro? (4.2.3)
Nesse momento, o professor formalizará o conteúdo matemático referente ao
Princípio Fundamental da Contagem, apresentando aos alunos a enunciação do
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
6
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Princípio, a notação matemática apropriada e outros aspectos importantes do ponto de
vista da Matemática formal.
Avaliando a Compreensão
Problema: Suponha que a senhora Castro deseja comprar outro veículo, na mesma
concessionária, para presentear a sua filha. Quantas opções a senhora Castro terá para
comprar um automóvel, sabendo que ele é produzido em oito cores (branco, preto,
cinza, vermelho, laranja, verde, amarelo e prata), nos modelos sedã ou hatch, e pode ter
motor 1.0, motor 1.4, motor 1.6, motor 1.8 ou motor 2.0?
 Questões-chave
1. De quantas maneiras ela poderá pode escolher um automóvel do modelo sedã? (40)
2. De quantas maneiras ela poderá escolher um automóvel do modelo hatch? (40)
3. De quantas maneiras ela poderá escolher um automóvel dessa concessionária? (80)
4. Como pode ser calculado o número de opções de escolha do automóvel da senhora
Castro? (8.2.5)
Estendendo a Matemática
Problema: Em uma de suas viagens, a senhora Castro partiu de sua residência que está
localizada na cidade R rumo à cidade S, onde possui uma de suas filiais. Há duas
estradas principais que ligam a cidade R até a cidade S, ligadas por duas estradas
secundárias AB e CD, como mostra a figura abaixo. De quantas maneiras a senhora
Castro pode chegar ao seu destino?
A
C
Cidade
R
Cidade
S
B
D
Figura 2 – Opções de caminho entre as cidades R e S
 Questões-chave
1. De quantas maneiras ela pode escolher uma das estradas principais para o trajeto? (2)
2. De quantas maneiras ela poderá ir de R a S indo pela estrada principal de cima? (4)
3. De quantas maneiras ela poderá ir de R a S indo pela estrada principal de baixo? (4)
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
7
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
4. Qual é o número total de trajetos possíveis que ela poderá fazer para ir de R a S? (8)
5. Como pode ser calculado o número de trajetos possíveis que ela poderá fazer para ir
de R a S? (2.2.2)
5 – Considerações Finais
Este trabalho apresenta uma atividade que permite um trabalho em que a
construção de conhecimento matemático é desprovido inicialmente do formalismo,
utilizando a metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação através da resolução de
problemas, integrada à proposta de Krulik e Rudnick (2005). O objetivo é levar os
alunos a pensar, elaborar conjecturas, desenvolver formas de raciocínio e aprender o
conteúdo referente ao Princípio Fundamental da Contagem estabelecendo conexões com
o cotidiano. Cremos fortemente que essa metodologia oferece um ambiente totalmente
favorável à construção e reconstrução do conhecimento, levando o aluno a ter mais
confiança ao utilizar os procedimentos de resolução de problemas e seus conhecimentos
prévios no desenvolvimento da compreensão de novos conceitos matemáticos.
6 – Referências
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio: Ciências da Natureza,
Matemática e suas Tecnologias - Ministério da Educação. Brasília: Ministério da
Educação/Secretaria
de
Educação
Média
e
Tecnológica,
1999.
________. Orientações curriculares para o ensino médio; v. 2. Ciências da Natureza,
matemática e suas tecnologias/Secretaria de Educação Básica. Brasília: Ministério da
Educação, Secretaria da Educação Básica, 2006. 135 p.
KRULIK, S.; RUDNICK, J. A. Problem-Driven Math: Applying the Mathematics
Beyond Solutions. Chicago: McGraw-Hill, 2005.
ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na Sala de Aula
através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, n.55, p.1-19.
2009. Disponível em <http://www.ufrrj.br/SEER/index.php/gepem/article/view/54/87>.
Acesso em 11mai2010.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
8