caderno do
ensino médio
a
1 - SÉRiE
volume 2 – 2009
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matEmática
PROFESSOR
4/8/09 4:57:24 PM
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos
dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
AUTORES
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti,
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNiCA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem,
Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã
Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de
Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de
Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira
e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de
Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença
de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi,
Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque,
Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e
Sayonara Pereira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de
Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa
Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto,
Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo
Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha,
Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange
Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial,
Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design
(projeto gráfico)
APOiO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
S239c
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino médio - 1ª- série, volume 2 /
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José
Machado, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Walter Spinelli.–
São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-296-0
1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês.
II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore.
IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Fonseca, Rogério
Ferreira da. VII. Spinelli, Walter. VIII. Título.
CDU: 373.5:51
Prezado(a) professor(a),
Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido
Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, novamente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador
José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos
não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a
causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que
a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com
oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças
nesta área a partir da ação do poder público.
Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas
as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula
a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas
recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de
ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendizagem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido
as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é
que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os
indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção.
O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade
de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não
estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, estão lidando com o mesmo tipo de situação. O Presidente Barack Obama, dos Estados
Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exatamente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país.
Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou
secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos.
Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado
com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor
oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem
propostas para cada disciplina.
Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações
didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas
dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho.
Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão
de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um
mundo de melhores oportunidades por meio da educação.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
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SuMário
São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
11
Situação de Aprendizagem 1 – Funções como relações de interdependência:
múltiplos exemplos 11
Situação de Aprendizagem 2 – Funções de 1o grau: significado, gráficos,
crescimento, decrescimento, taxas 20
Situação de Aprendizagem 3 – Funções de 2o grau: significado, gráficos,
intersecções com os eixos, vértices, sinais 28
Situação de Aprendizagem 4 – Problemas envolvendo funções de 2o grau em
múltiplos contextos problemas de máximos e mínimos 51
Orientações para Recuperação
58
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão
do tema 59
Considerações finais
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Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio
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São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA
CurriCulAr PArA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do
Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão
também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas
durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida
das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto
na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam
ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.
Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e
consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o
que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas
para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação
da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único,
gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no
contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia
escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da
aprendizagem e de seus resultados.
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Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva,
na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas
e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e
recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de
São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das
ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que
acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a
em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será
apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi
alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos
Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para
que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo
este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que
pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade
a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever
esse sucesso, que também é de vocês.
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
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FiCHA do CAdErno
Funções como relações de interdepêndencia: proporcionalidade,
funções de 1o e 2o graus, aplicações
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Série:
Período letivo:
temas e conteúdos:
Ensino Médio
1a
2o bimestre de 2009
Funções de 1o grau: significado, gráficos,
crescimento, decrescimento, taxas
Funções de 2o grau: significado, gráficos,
interseções com eixos, vértices, sinais
Problemas envolvendo funções de 2o grau em
diferentes contextos; problemas de máximos
e mínimos
Funções como relações de interdepêndencia:
múltiplos exemplos
7
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oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo
disciplinar de cada bimestre não se afastam, de
maneira geral, do que é usualmente ensinado
nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros
didáticos. As inovações pretendidas referem-se
à forma de abordagem dos mesmos, sugerida
ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Nessa abordagem, busca-se evidenciar os
princípios norteadores do presente currículo,
destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a
escrita matemática, bem como os elementos
culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões
aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo.
De acordo com o número de aulas disponíveis
por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento,
ou seja, escolherá uma escala adequada para
o tratamento do mesmo. Em cada situação
específica, o tema correspondente a uma das
unidades pode ser estendido para mais de
uma semana ou tratado de modo mais simplificado, conforme a decisão do professor.
É desejável que o professor tente contemplar
as oito unidades, pois, juntas, compõem um
panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas
vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, que
somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e
o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar
a cada uma das unidades.
Além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, ao longo dos Cadernos
são apresentadas quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a
forma de abordagem sugerida, instrumentalizando o professor para sua ação na sala de
aula. As atividades são independentes e podem
ser exploradas pelos professores com mais ou
menos intensidade, segundo seu interesse e de
sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as
unidades foram contempladas com Situações
de Aprendizagem, mas a expectativa é de que
a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas.
Sempre que possível são apresentados em
cada Caderno materiais (textos, softwares,
sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a
abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de
suas aulas.
O Caderno também apresenta algumas
considerações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências
esperadas no presente bimestre.
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Matemática - 1a série - Volume 2
Conteúdos básicos do bimestre
Neste bimestre, o conteúdo básico é uma
retomada da noção de função, que traduz uma
relação de interdependência entre duas grandezas, explorando-se especialmente as funções
de 1o grau e do 2o grau, bem como suas aplicações em diferentes contextos. Tais assuntos já
foram apresentados aos alunos em séries anteriores. Na 6a série do Ensino Fundamental
foram exploradas situações envolvendo a proporcionalidade direta e inversa entre grandezas, e que conduzem a relações do tipo y = kx,
ou então, y = k , sendo k uma constante não
x
nula. Na 8a série, foram estudadas as funções
y = ax + b e y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, tendo
sido construídos seus gráficos.
Agora, o estudo dessas funções será apresentado de modo mais sistematizado. Tudo
será feito, no entanto, de tal forma que, mesmo
se o professor estiver tratando desse assunto
pela primeira vez, o aluno não terá grandes
dificuldades em acompanhar as atividades
propostas. Como já foi dito anteriormente,
as funções referidas são capazes de traduzir
matematicamente todos os processos que envolvem relações de proporcionalidade direta
(gráficos lineares), ou relações em que uma
grandeza é proporcional ao quadrado de outra (gráficos com a forma de uma parábola).
Muitos exercícios envolvendo situações concretas em que a consideração das grandezas
envolvidas conduz a uma função de 1o grau
ou de 2o grau serão contemplados, com especial destaque para problemas de otimização,
ou seja, problemas que envolvem a obtenção
do máximo ou do mínimo de uma função, em
determinado contexto.
De modo geral, os conteúdos estudados
neste bimestre são meios para o desenvolvimento das competências básicas, na medida
em que:
f o recurso à linguagem das funções para
representar interdependências conduz a
um aumento na capacidade de expressão,
favorecendo a construção de um discurso
mais eficaz para enfrentar problemas em
diferentes contextos;
f a capacidade de compreensão de uma variada gama de fenômenos é ampliada, uma
vez que muitas situações de interdependência estão naturalmente associadas a modelagens que conduzem a explicações dos
referidos fenômenos;
f o reconhecimento das funções envolvidas
em um fenômeno possibilita uma ação organizada sobre o mesmo, enfrentando-se
situações problemáticas e fazendo-se propostas de intervenção consciente sobre a
realidade representada.
Para a organização dos trabalhos do bimestre, dividimos o conteúdo em oito unidades, mais ou menos correspondentes às
oito semanas de aulas. Sugerimos a seguinte
estruturação:
Na Unidade 1, reapresentaremos a ideia
de função por meio de múltiplos exemplos de
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situações de interdependência entre grandezas. As atividades propostas estão organizadas na Situação de Aprendizagem 1 – Funções
como relações de interdependência: múltiplos
exemplos.
Na Unidade 2, destacaremos as funções de
1 grau, com suas qualidades características.
As atividades propostas compõem a Situação
de Aprendizagem 2 – Funções de 1o grau: significado, gráficos, crescimento, decrescimento,
taxas. Nas Unidades 3, 4 e 5, serão sistematizados os fatos fundamentais relativos às funções de 2o grau (gráficos, simetria, interseção
com os eixos, coordenadas do vértice, estudo
dos sinais). As atividades sugeridas constituem
a Situação de Aprendizagem 3 – Funções de
2o grau: significado, gráficos, interseções com
os eixos, vértices, sinais.
o
Nas Unidades 6, 7 e 8, serão apresentados diversos problemas envolvendo funções de 2o grau,
incluindo situações de otimização (máximos e
mínimos): Situação de Aprendizagem 4 – Problemas envolvendo funções de 2o grau em diferentes
contextos; problemas de máximos e mínimos.
Quadro geral de conteúdos do
2o bimestre da 1a série do Ensino Médio
unidade 1 – Funções como relações de
interdependência.
unidade 2 – Funções de 1o grau – Significado,
gráficos, crescimento, decrescimento, taxas.
unidades 3, 4, 5 – Funções de 2o grau –
Significado, gráficos, interseções com os
eixos, vértice, sinais.
unidades 6, 7 e 8 – Problemas envolvendo
funções de 2o grau – Problemas de máximos e mínimos.
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Matemática - 1a série - Volume 2
SituAçõES dE APrEndizAGEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
FUNÇÕES COMO RELAÇÕES DE INTERDEPENDÊNCIA:
MÚLTIPLOS EXEMPLOS
tempo previsto: 1 semana e meia.
Conteúdos e temas: interdependência entre grandezas; proporcionalidade direta e inversa; funções: variável
dependente e variável independente; exemplos diversos.
Competências e habilidades: compreender a ideia de proporcionalidade direta e inversa como relações
de interdependência; expressar a interdependência entre grandezas por meio de funções; contextualizar a ideia de função e enfrentar situações-problema relativas ao tema.
Estratégias: utilização de diversas linguagens para traduzir a ideia de função (gráficos, tabelas, expressões algébricas, etc.); exercícios referentes a situações-problema em diferentes contextos, envolvendo a
ideia de função.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
O texto a seguir constitui apenas um roteiro para a apresentação inicial da ideia de
função, ou seja, uma organização dos fatos
já conhecidos sobre o tema. Cabe ao professor apresentá-lo detalhadamente ou não, ou
passar diretamente à exploração das atividades propostas.
Grandezas e Funções
Uma grandeza é tudo aquilo que pode
variar, seja aumentando ou diminuindo.
A altura de uma árvore ao longo do tempo,
o peso de uma pessoa ao longo de sua vida,
o preço do barril de petróleo a cada dia, a
produção de automóveis de um país ano
após ano, a temperatura de um refrigerante
colocado em uma geladeira, o preço a pagar
por uma corrida de táxi são alguns exemplos de grandezas.
Duas grandezas x e y podem variar de modo
interdependente, de tal forma que seus valores
assumem valores interrelacionados. Quando,
deixando variar livremente os valores de uma
grandeza x, notamos que os valores de outra
grandeza y também variam, de tal forma que
a cada valor de x corresponde um e somente um valor de y, então dizemos que y é uma
função de x; dizemos ainda que x é a variável independente e y é a variável dependente.
Por exemplo,
a) a área A de um quadrado é uma
função de seu lado x; deixando os valores de x variar livremente (naturalmente, x não pode assumir valores
negativos), então os valores de A variarão
em função de x, e escrevemos A = f(x).
No caso, temos: A = f(x) = x2.
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b) o comprimento C de uma circunferência
é uma função de seu raio r; no caso, temos C = f(r) = 2πr.
c) a altura H de uma pessoa é uma função de sua idade t; podemos escrever
H = f(t), sendo certo que a cada valor
de t corresponde um único valor de H.
No caso, não sabemos exprimir a relação de interdependência f(t) por meio
de uma fórmula.
Um caso simples de relação de interdependência ocorre quando temos duas grandezas
proporcionais, estudadas desde a 6a série
do Ensino Fundamental.
Quando x e y são duas grandezas diretamente proporcionais, elas aumentam ou
diminuem simultaneamente, e na mesma
y
é constante,
proporção, ou seja, a razão
x
e resulta que y = kx (k é uma constante).
Quando x e y são duas grandezas inversamente proporcionais, sempre que uma delas
aumenta, a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa, de modo que o produto das
duas permanece constante: x . y = k, ou seja,
y = k onde k é uma constante não nula.
x
Quando observamos os valores de duas
grandezas interdependentes x e y, e notamos
que um aumento no valor de x acarreta um
aumento no valor de y, ou então, um aumento
no valor de x provoca uma diminuição no valor de y, então somos tentados a dizer que x e
y variam de modo diretamente proporcional,
no primeiro caso, ou inversamente proporcio-
nal, no segundo. Entretanto, tais afirmações
nem sempre são corretas, uma vez que, como já
foi visto anteriormente, a proporcionalidade
direta exige mais do que um aumento simultâneo nos valores de x e y; além disso, é
y
preciso que a razão seja constante. Analox
gamente, a proporcionalidade inversa é mais
do que uma diminuição nos valores de uma
das grandezas, quando aumentam os valores
da outra grandeza; é necessário que o produto dos valores de x e y permaneça constante.
Atividade 1
Em cada um dos casos a seguir, verifique
se há ou não proporcionalidade. Se existir,
expresse tal fato algebricamente, indicando
o valor da constante de proporcionalidade.
a) A altura a de uma pessoa é diretamente
proporcional a sua idade t?
b) A massa m de uma pessoa é diretamente
proporcional a sua idade t?
c) O perímetro p de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado a?
d) A diagonal d de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado a?
e) O comprimento C de uma circunferência
é diretamente proporcional ao seu diâmetro d?
Trata-se de verificar se há proporcionalidade
direta ou não entre vários pares de
grandezas, expressando algebricamente tal
fato e indicando o valor da constante de
proporcionalidade, quando possível.
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Matemática - 1a série - Volume 2
a) A altura a de uma pessoa é uma função
de sua idade t, mas não é diretamente
proporcional a t. De fato, não é verdade que
sempre que a idade de uma pessoa duplica,
então sua altura também duplica; não é
verdade que se a idade triplica, então a altura
aumenta proporcionalmente, triplicando.
Se houvesse proporcionalidade entre a e t,
imaginem a altura de uma pessoa aos
10 anos, sabendo que aos 2 anos ela tinha
90 cm de altura...
b) A massa m de uma pessoa é uma
função de sua idade t, mas não é
diretamente proporcional a t. Se houvesse
proporcionalidade direta, uma criança
com 1 ano e 10 kg teria quantos quilos aos
15 anos?...
c) O perímetro p de um quadrado é uma
função de seu lado a. No caso, p = f(a) = 4a.
Se o lado a aumenta, o perímetro p aumenta
proporcionalmente. O perímetro p é diretamente proporcional ao lado a, sendo a
constante de proporcionalidade igual a 4.
d) A diagonal d de um quadrado é uma função
do lado a; ela é diretamente proporcional
ao lado a. Temos, neste caso, d = a 2. A
constante de proporcionalidade é k = 2.
e) O comprimento C de uma circunferência é uma função do diâmetro d; no caso,
C é diretamente proporcional a d, e temos
C = f(d) = πd, ou seja, a constante de proporcionalidade é k = π. Também podemos escrever
C = 2πr, onde r é o raio da circunferência.
Atividade 2
As tabelas a seguir relacionam pares de
grandezas. Indique se existe ou não proporcionalidade (direta ou inversa).
a) Produção de automóveis e produção de
tratores (anual, em milhares)
País
Automóveis
tratores
A
100
8
b
150
12
C
200
16
d
225
18
E
250
20
F
300
24
G
350
28
H
400
32
i
450
36
b) Área destinada à agricultura e área destinada à pecuária (em 1 000 km2)
País
Agricultura
Pecuária
A
80
60
b
100
70
C
110
80
d
120
98
E
150
100
F
160
124
G
180
128
H
200
132
i
250
136
13
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c) Produto Interno Bruto (PIB, em milhões
de dólares) e Índice de Desenvolvimento
Humano (IDH)
País
Pib
idH
A
300
0,90
b
400
0,92
C
510
0,80
d
620
0,88
E
750
0,78
F
760
0,89
G
880
0,91
H
1 000
0,80
i
1 100
0,86
d) Expectativa de vida (em anos) e índice
de analfabetismo (% da população)
País
Expectativa
de vida
Índice de
analfabetismo
A
67
11
b
68
10
C
69
9
d
70
8
E
71
7
F
72
6
G
73
5
H
74
4
i
75
3
O objetivo das tabelas é apenas o de consolidar
o fato de que duas grandezas podem crescer
ou decrescer conjuntamente, ou então podem
variar em sentidos opostos (quando uma cresce,
a outra decresce) sem que haja proporcionalidade direta ou inversa. Apenas no exemplo do
item a a grandeza da 1a coluna é diretamente
proporcional à grandeza da 2a coluna, sendo a
constante de proporcionalidade igual a 12,5; nos
outros casos, nem a razão entre as grandezas é
constante, nem o produto delas o é, ou seja, em
cada um dos pares, não há proporcionalidade
direta, nem inversa. De acordo com as tabelas,
podemos afirmar, então, que:
a) a produção de automóveis cresce simultaneamente com a produção de tratores; ela é diretamente proporcional à produção de tratores;
b) a área destinada à agricultura cresce juntamente com a área destinada à pecuária;
c) não é verdade que se o PIB aumenta, então
o IDH aumenta; também não é verdade que
se o PIB diminui, então o IDH diminui.
d) mesmo sem haver proporcionalidade,
quando o índice de analfabetismo diminui, a
expectativa de vida aumenta.
Atividade 3
Um prêmio P da loteria deve ser dividido em partes iguais, cabendo um valor x a
cada um dos n ganhadores. Considerando um
prêmio P de R$ 400 000,00 preencha a tabela
abaixo e expresse a relação de interdependência
entre x e n.
n
1
2
4
5
8
10
20
x
A partir do fato de que os R$ 400 000,00
serão divididos em partes iguais entre os
14
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Matemática - 1a série - Volume 2
n ganhadores, concluímos que a cada um
deles corresponderá um valor x, sendo
n . x = 400 000, ou seja, n e x são inversamente
proporcionais: x = f(n) = 400 000
n
n
x
1
400 000
2
200 000
4
100 000
5
80 000
8
50 000
10
40 000
20
20 000
Atividade 4
Para cortar a grama de um canteiro quadrado de 5 m de lado, um jardineiro cobrou
R$ 20,00. Mantida a proporção, para cortar
a grama de um canteiro quadrado de 15 m de
lado, quanto o jardineiro deverá cobrar? A quantia a cobrar C é diretamente proporcional à
medida x do lado do canteiro quadrado?
Afirma-se que para cortar a grama de um
canteiro quadrado de 5 m de lado, ou seja, de
área 25 m2, um jardineiro cobrou R$ 20,00, ou
seja, ele cobrou R$ 0,80 por m2. Mantida esta
proporção, para cortar a grama de um canteiro
com 15 m de lado, ou seja, com área 225 m2,
ele deverá cobrar 225 . 0,80, ou seja, R$ 180,00.
Outra maneira de encaminhar a solução é a
seguinte: a quantia a ser cobrada é diretamente
proporcional à área do canteiro, e não ao
seu lado; se o lado triplicou, a área tornou-se
9 vezes maior, e a quantia a ser paga deverá
ser 9 vezes maior. Faça uma figura de um
quadrado com lado x (e área x2) e de outro
com lado 3x, para mostrar que a área do
maior é 9x2.
Atividade 5
Quando uma pedra é abandonada em queda livre (sem considerar a resistência do ar ao
movimento), a distância vertical d que ela percorre em queda é diretamente proporcional
ao quadrado do tempo t de queda, ou seja,
d = kt². Observando-se que após 1 segundo de
queda a pedra caiu 4,9 metros, pergunta-se:
a) qual é o valor da constante de proporcionalidade k?
b) qual é a distância vertical percorrida
após 5 segundos?
c) quanto tempo a pedra levará para cair
49 m?
Notamos que a distância vertical d que a pedra percorre não é diretamente proporcional
ao tempo t de queda, mas sim ao quadrado
de t: d = kt².
a) É dado que para t = 1, então d = 4,9 m,
ou seja, substituindo os valores de t e de d,
temos, k = 4,9.
b) Para calcular a distância vertical percorrida após 5 s, basta substituir t por 5, obtendo-se d = 4,9 . 52, ou seja, d = 122,5 m.
c) Substituindo-se d por 49, obtemos o
tempo que a pedra levará para cair 49 m:
49 = 4,9t2, ou seja, t = 10 ≅ 3,16 s.
15
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Gráficos de funções
Dada uma função y = f(x), o conjunto
de pontos (x; y) do plano cartesiano tal que
y = f(x) constitui o gráfico da função. No caso
das grandezas diretamente proporcionais,
sendo y = constante = k, ou seja, y = f(x) = kx,
x
então o gráfico correspondente é uma reta passando pela origem do sistema de coordenadas:
No caso da proporcionalidade inversa,
temos a relação xy = k, ou seja, f(x) = k ,
x
quanto mais aumenta o valor de x, menor é
o valor correspondente de y, e vice-versa; o
gráfico correspondente é uma curva chamada
hipérbole (ver figura a seguir).
y
y
f(x) =
y = f(x) = kx
y1 y2 y3
= = = const. = k
x1 x2 x3
0
y1
y2
y3
x1
x2
x3
k
x
x
x
Quando duas grandezas x e y variam de tal
forma que y = kx + h, ou seja, f(x) = kx + h
(k e h constantes), existe uma proporcionalidade direta entre os valores de y – h e os de
x. A representação gráfica correspondente é
uma reta com inclinação k; h é o valor inicial
a partir do qual a variação em y é diretamente
proporcional a x. (No caso particular de termos h = 0, então a reta passa pela origem.)
Atividade 6
O preço P a cobrar em uma corrida de táxi
é composto por uma quantia a fixada, igual
para todas as corridas, mais uma parcela variável, que é diretamente proporcional ao número x de quilômetros rodados: P = a + b . x
(b é o custo de cada quilômetro rodado).
Em certa cidade, temos P = 15 + 0,8 . x
(P em reais e x em km)
y
y1
y2
a) Qual é o preço a cobrar por uma corrida
de 12 km?
y3
h
0
x1
x2
x3
y1 – h y2 – h y3 – h
=
=
= const. = k
x1
x2
x3
x
b) Calcule a diferença entre os preços de
duas corridas, uma de 20 km, outra
de 21 km.
c) Esboce o gráfico de P em função de x.
16
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Matemática - 1a série - Volume 2
Este é mais um exemplo de uma situação
em que a proporcionalidade direta existe
apenas no cálculo da parcela variável da
corrida de táxi, existindo outra parcela
fixa, independentemente dos quilômetros
rodados. Temos, no caso, P = 15 + 0,8 . x
(P em reais e x em km; 0,8 reais é o custo de
cada quilômetro rodado).
a) Em uma corrida de 12 km, ou seja, para
x = 12, resulta P = 15 + 0,8 . 12 = 24,6 reais.
b) A diferença entre os custos de uma corrida
de 20 km e outra de 21 km é o custo de 1 km
rodado, ou seja, 0,8 reais.
c) O gráfico de P em função de x é uma reta
com inclinação 0,8, cortando o eixo vertical
(OP) no ponto de ordenada 15.
P
P = 15 + 0,8x
1
0,8
15
0
x
Atividade 7
a) Calcule o número de dias necessários
para consumir-se 6 kg de gás.
b) Calcule a massa de gás que resta em um
botijão após 10 dias de uso.
c) Esboce o gráfico de m em função de t.
Neste caso, temos uma variação proporcional em uma grandeza decrescente: se o consumo diário é sempre 0,5 kg por dia, então
a massa do gás consumido é diretamente
proporcional ao número de dias, e a massa
restante no botijão é a diferença entre o valor
inicial, 13 kg, e a massa consumida, ou seja,
m = 13 – 0,5 t (t em dias).
a) O número x de dias necessários para
consumir-se 6 kg de gás é tal que 0,5.x = 6,
ou seja, x = 12 dias.
b) A massa de gás que resta em um botijão após
10 dias de uso é m = 13 – 0,5 . 10 = 8 kg.
c) O gráfico de m em função de t é uma
reta cortando o eixo Om no ponto de
ordenada 13 e decrescendo a uma taxa de
–0,5 kg por dia:
m
13
Na casa de uma família que gasta sempre
cerca de 0,5 kg de gás de cozinha por dia, a massa de gás contido em um botijão doméstico de
13 kg varia com o tempo de acordo com a fórmula, m = 13 – 0,5 t, onde t é o tempo em dias.
1
– 0,5
0
26
t
17
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Atividade 8
Atividade 9
O número n de dias necessários para esvaziar um reservatório de água de 20 000 ℓ
depende do consumo diário de água. Se o
consumo for de x litros por dia, então os valores de n e x devem satisfazer à condição
N.x = 20 000.
Fixada a temperatura t, a pressão P e o
volume V de um gás variam segundo a expressão P.V = k (k é uma constante). Esboce o
gráfico de P em função de V.
a) Calcule os valores de n para x1 = 500 ℓ
por dia e para x2 = 800 ℓ por dia.
b) Esboce o gráfico de n em função de x.
Fixada a temperatura T, a pressão P e o
volume V de um gás variam segundo a
expressão P.V = k (k é uma constante). O
gráfico de P em função de V é um ramo de
hipérbole, e é muito fácil de se encontrar em
livros de Química:
P
Para esvaziar um reservatório de 20 000 ℓ, se
o consumo diário for x litros por dia, serão
necessários N dias, sendo N.x = 20 000, ou
seja, N e x são inversamente proporcionais.
a) Para x1 = 500, o número de dias N1 é tal
que N1 . 500 = 20 000, ou seja, N1 = 40 dias;
analogamente, para x2 = 800, o número de
dias N2 é tal que N2 . 800 = 20 000, ou seja,
N2 = 25 dias.
b) O gráfico de N em função de x é uma curva
que representa o fato de que, quanto maior
o valor de N, menor o de x, mantendo-se
a proporção inversa (N . x = 20 000); é o
ramo de hipérbole mostrado a seguir:
N
P.V = k (T constante)
P1
P2
V1
V2
V
Atividade 10
O gráfico a seguir mostra o nível da água
armazenada em uma barragem, ao longo
de um ano. Analise atentamente o gráfico
e responda:
nível (m)
N.x = 20 000
100
90
80
20 000
N = f(x) =
x
40
25
10
500
800
x
tempo
18
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Matemática - 1a série - Volume 2
a) Qual foi o menor nível de água armazenada na barragem? E o maior?
Da observação direta do gráfico concluímos
que o nível mínimo da água armazenada foi
de 10 m; o máximo foi de 100 m.
b) Quantas vezes no ano a barragem atingiu o nível de 40 m? E o nível de 95 m?
Analogamente, observamos que o nível de
40 m foi atingido duas vezes no ano; já
o nível de 95 m foi atingido seis vezes ao
longo do ano.
Considerações sobre a avaliação
Somente o professor, em sua circunstância específica, poderá avaliar em que medida
a apresentação da ideia de função aqui realizada constitui uma revisão de conteúdos
que já foram tratados anteriormente ou uma
abordagem inicial do tema. Tanto no caso de
uma abordagem inicial, quanto no caso de o
professor notar que os alunos já conhecem
os temas que estão sendo apresentados, seria interessante o recurso a tabelas e gráficos
extraídos de jornais ou revistas; tal recurso
tanto pode servir como uma porta de entrada
suave para o tema, quanto para um aprofundamento no mesmo. A escolha dos materiais
em sintonia com a real condição de sua
turma é um desafio interessante para o discernimento do professor.
Ao final desta primeira Situação de
Aprendizagem, é fundamental que a ideia
de função como interdependência entre
duas grandezas tenha se consolidado, com
a assimilação da nomenclatura “variável
independente” (aquela à qual atribuímos valores livremente) e “variável dependente”,
ou a variável que é considerada, no contexto,
como uma função da outra.
Um aprofundamento da ideia de proporcionalidade deverá ser deixado para
as Situações de Aprendizagem seguintes,
em que serão explorados dois tipos particulares de interdependência especialmente
considerados: as funções de 1o grau, associadas à proporcionalidade direta, e as
funções de 2o grau, associadas à proporcionalidade direta entre uma grandeza e o
quadrado de outra.
19
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Situação de aprendizagem 2
FunçÕeS de 1o- grau: SigniFiCado, grÁFiCoS,
CreSCimento, deCreSCimento, taXaS
Tempo previsto: 1 semana e meia.
Conteúdos e temas: funções de 1o grau: significado dos coeficientes, crescimento, decrescimento, taxas
de variação, gráficos, inequações.
Competências e habilidades: compreender a função de 1o grau como expressão de uma proporcionalidade direta entre grandezas; expressar essa proporcionalidade por meio de gráficos.
Estratégias: apresentação de uma síntese dos fatos já apresentados anteriormente sobre proporcionalidade e funções de 1o grau; exploração desses fatos em situações problema em diferentes contextos.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
o texto a seguir constitui um roteiro para
a apresentação da ideia de função de 1o grau,
que pode já ser conhecida dos alunos, bem
como para uma organização de alguns fatos
já conhecidos sobre o tema. Cabe ao professor apresentar o assunto com mais ou menos
pormenores ou passar diretamente à exploração das atividades, de acordo com o nível
de conhecimentos dos alunos.
Funções de 1-o grau: significado
Sempre que expressamos por meio de
variáveis uma situação de interdependência envolvendo duas grandezas diretamente
proporcionais, chegamos a uma função
de 1o grau. de modo geral, uma função de
1o grau é expressa por uma fórmula do tipo
f(x) = ax + b, em que a e b são constantes,
sendo a ≠ 0. Quando a = 0, a função se reduz a
f(x) = b, ou seja, a uma função constante.
a proporcionalidade expressa por uma
função desse tipo é explicitada quando notamos que a diferença f(x) – b = ax, ou seja,
que a razão entre f(x) – b e x é constante e
f(x) – b
= const. = a.
igual a a:
x
em consequência, o gráfico de f(x) = ax + b
é uma reta, quaisquer que sejam os valores de
a e b, pois a constância da razão acima garante o
ângulo de inclinação constante para o segmento
formado por dois pontos quaisquer do gráfico:
20
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Matemática - 1a série - Volume 2
y
y
f(x) = ax + b
–
√3
f(x)
f(x) – b
1
–
√3
f(x) – b = const. = a
x
1
b
1
x
x
Podemos observar que o coeficiente b representa o valor de f(x) para x = 0; quando
a = 0, a função assume valores constantes,
qualquer que seja o valor da variável independente x: f(x) = constante = b.
Também notamos que o coeficiente a representa a inclinação da reta que é o gráfico,
uma vez que para x = 1, temos f(1) = a + b, e
então f(1) – b = a = f(x) – b para todo x.
1
x
De modo equivalente, podemos notar que
f(x + 1) – f(x) = a(x + 1) + b – ax – b = a, ou
seja, a variação de f(x) para cada unidade a
mais de x é igual a a:
f se f(x) = ax + b, então f(x + 1) – f(x) = a.
Por exemplo, sendo f(x) = ( 3 )x + 27,
então temos:
f(13) – f(12) =
x
–
√3
x
0
3;
Resumindo os fatos apresentados sobre a
função f(x) = ax + b em um gráfico, temos:
y
f(x) = ax + b
f(x)
f(x) – b = const. = a
x
a+b
f(x) – b
a
b
x
1
0
x
x
1
Podemos afirmar, então, que:
f quando a > 0, a função é crescente;
f quando a < 0, a função é decrescente;
f nos dois casos, o valor de a representa a
variação de f(x) por unidade a mais de x,
o que representa um aumento quando
a > 0, ou uma diminuição, quando a < 0.
f(x) = ax + b
y
f(29) – f(28) =
3;
f(1 347) – f(1 346) =
f(k + 1) – f(k) =
–
f(x) = (√3)x + 27
f(x)
3;
a+b
3.
Graficamente, isso significa que a inclinação do gráfico de f(x) é sempre a mesma, no
caso, igual a 3 (veja o gráfico da função):
a (a>0)
b
1 a (a<0)
a=0
x
0
1
21
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Naturalmente, quando b = 0, a função
reduz-se a f(x) = ax e seu gráfico passa pela
origem do sistema de coordenadas.
(há proporcionalidade direta entre y e x).
Notamos ainda que se duas funções de
1 grau f(x) e g(x) são tais que o coeficiente
de x é o mesmo em ambas, então seus gráficos são retas paralelas, uma vez que a inclinação das retas é a mesma nos dois casos.
Reta B
Segue, portanto, que f(x) = 2x (a = 2 e
b = 0).
o
f(x) = ax + b
y
g(x) = ax + c
b
0
m(x) = dx + b
c
h(x) = dx
gráficos de f(x) e de g(x) são paralelos: mesma inclinação a
gráficos de m(x) e de h(x) são paralelos: mesma inclinação d
Atividade 1
As retas A, b, C, d e E são os gráficos de
funções do tipo f(x) = ax + b. Determine os valores de a e b em cada um dos cinco casos.
C
y
E
D
2
–2 –1
0
2 3
Reta C
Observando as retas A e C percebemos que
elas são paralelas, ou seja, a inclinação é a
mesma, igual a 2 em ambas. Como a reta
C corta o eixo y no ponto de ordenada 4, o
valor de b é 4 e temos f(x) = 2x + 4 para a
reta C.
Reta D
Trata-se do caso em que o coeficiente a é
igual a zero; como o valor de b é 4, então
temos a função constante e igual a 4:
f(x) = 4.
Reta E
B
A
4
Observando as retas A e B percebemos que
elas são paralelas, ou seja, o coeficiente a é
comum a ambas. Como B corta o eixo y no
ponto de ordenada 2, temos b = 2, ou seja,
f(x) = 2x + 2, no caso da reta B.
x
A reta E corta o eixo y no ponto de ordenada
4; logo, b = 4. Temos, então, f(x) = ax + 4.
Como a reta passa pelo ponto (3; 0), temos
f(3) = 0, ou seja, 0 = a . 3 + 4. Daí obtemos
–4
–4
. Logo, f(x) =
x + 4.
a=
3
3
Reta A
Atividade 2
Como a reta A passa pela origem, o
coeficiente b é igual a zero. Todos os seus
pontos (x; y) são tais que y é igual a 2
x
O gráfico a seguir mostra a relação entre a
quantidade x litros de xampu produzida e o
custo C(x), em R$, da produção caseira.
22
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Matemática - 1a série - Volume 2
tão grande quanto quisermos. Naturalmente,
as condições reais de produção podem impor
outros limites ao valor de x.
C(x)
520
500
0
c) Qual é o gasto para se produzir 1 500 litros
de xampu?
10
x
a) Qual é o possível motivo de um gasto
de R$ 500,00 quando não se está produzindo xampu?
O custo quando a empresa não está
produzindo é chamado pelos economistas de
custo fixo. Mesmo sem produzir e vender,
uma empresa tem custos fixos de aluguel e
impostos. No caso da empresa analisada no
problema, seu custo fixo é de R$ 500,00.
b) Qual é a função C(x) = ax + b representada no gráfico? Essa expressão da
interdependência entre o custo C e a
quantidade produzida x é válida para
qualquer valor de x?
O gráfico intersecta o eixo y no ponto de
ordenada 500, o que significa dizer que
b = 500, ou seja, C(x) = ax + 500.
Usando o fato de que para x = 10 o valor de
C é 520, temos: 520 = a . 10 + 500
C(1500) = 2 . 1 500 + 500; logo,
C(1 500)= 3 500 reais
d) Quantos litros de xampu podem ser produzidos com R$ 10 000,00?
Para C = 10 000, temos: 10 000 = 2x + 500,
de onde segue que x = 4 750 litros.
e) Qual é a variação no gasto para a produção de cada litro adicional de xampu?
Pelo gráfico vemos que a cada 10 ℓ gasta-se
R$ 20,00 a mais; portanto, a cada 1 ℓ
gasta-se R$ 2,00 a mais (esse valor é a
inclinação da reta que é o gráfico).
Atividade 3
As retas A, B e C são representações gráficas
da função f(x) = mx, que é um caso particular da
função f(x) = mx + n, quando n = 0. Determine
o valor de m em cada um dos três casos.
y
A
C
Logo, a = 2, e a função é C(x) = 2x + 500.
Como x é o total de litros de xampu produzido
pela empresa, essa função só faz sentido para
x ≥ 0. Matematicamente, o valor de x pode ser
B
4
–3
2
5
x
23
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4/8/09 1:52:27 PM
Como as funções são do tipo f(x) = mx,
basta substituir um par de valores de x e de
y = f(x) nessa equação para determinar o
valor de m:
Em A, temos:
4 = m .(−3), ou seja, m = – 4
3
Em B, temos:
4 = m . 2, ou seja, m = 2
Em C, temos:
4 = m . 5, ou seja, m = 4
5
Atividade 4
Analisando as funções obtidas na atividade
anterior, responda:
a) As funções f(x) = mx que têm como
gráficos as retas b e C possuem
m > 0. Em casos assim, quanto maior o
valor de m, a reta estará mais “em pé”
ou mais “deitada”?
correspondem aos gastos com serviços, e mais
uma taxa fixa de R$ 10,00 de couvert artístico
para os músicos.
a) Chamando de x os gastos com comida
e bebida (em R$), e y o valor total da
conta (em R$), determine uma expressão do tipo y = mx + n que represente a
relação entre x e y.
Sendo x o valor gasto com comida e bebida,
e observando-se que acrescentar 10% a um
valor equivale a multiplicá-lo por 1,1, o valor
y a ser pago será: y = 1,1x + 10.
b) Faça um gráfico no plano cartesiano
para representar a função encontrada
no item anterior.
O gráfico será uma reta que corta o eixo y no
ponto de ordenada 10 e que tem inclinação
igual a 1,1; para x = 10, o valor de y
correspondente será 21:
y
21
20
Quando m > 0, quanto maior o seu valor
mais “em pé” estará a reta.
b) Como podemos saber se uma reta está
inclinada para a direita ou para a esquerda apenas observando o valor de m
na sua equação?
Se m > 0 a reta está inclinada para a direita
(função crescente), se m < 0 a reta está inclinada para a esquerda (função decrescente).
Atividade 5
A conta de certo restaurante é composta pelo valor total das despesas com comida e bebida, mais 10% sobre esse valor, que
10
0
10
x
Atividade 6
Celsius, Fahrenheit e Kelvin são as três
escalas de temperatura mais utilizadas. Sendo
C o valor da temperatura em graus Celsius,
F a mesma temperatura medida em graus
Fahrenheit e K a medida da mesma em
graus Kelvin, para converter uma temperatura
de uma para outra escala, temos os seguintes
fatos fundamentais:
24
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Matemática - 1a série - Volume 2
f nas escalas Celsius e Kelvin o tamanho do
grau é o mesmo, havendo apenas um deslocamento da origem, que na escala Celsius é
no 0, e na escala Kelvin é no 273;
Os segmentos que determinam as temperaturas nas diferentes escalas representam a
mesma parte do intervalo entre a temperatura de fusão do gelo e a de ebulição da água,
ou seja, temos a proporção:
f na escala Celsius, a temperatura de fusão do
gelo é 0o e a de ebulição da água é 100º; na
escala Fahrenheit, a temperatura de fusão do
gelo é 32º e a de ebulição da água é de 212º.
K – 273
C–0
F – 32
= = 373 – 273 100 – 0 212 – 32
Com base nessas informações,
De tal proporção, concluímos que:
K – 273
C
F – 32
= = 100
100
180
a) mostre que, para transformar uma
temperatura dada em graus Celsius para
graus Kelvin, a regra é K = C + 273;
Ou seja,
b) mostre que, para transformar uma
temperatura dada em graus Celsius
para graus Fahrenheit, a regra é
F = 1,8C + 32;
F = 1,8C + 32
c) calcule a quantos graus Celsius
corresponde uma temperatura de 95º F;
d) calcule a quantos graus correspondem
300º K na escala Fahrenheit.
a) e b) Temos o seguinte esquema:
K
212 ebulição
da água
100
373
C
K = C + 273
c) Sendo F = 95, temos: 95 = 1,8C + 32, e
então, C = 35
d) Uma temperatura de K = 300, corresponde a C = 27. Calculando em Fahrenheit,
obtemos: F = 1,8 . 27 + 32, ou seja, F = 80,6.
Atividade 7
O gráfico a seguir indica a produção brasileira de petróleo, em milhões de barris, nos
anos de 2004 e 2005.
Produção
(milhões de barris)
F
596
273
Kelvin
0
Celsius
32
Fahrenheit
fusão
do gelo
535
04
05
Ano
25
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Admitindo que a taxa de crescimento do
período 2004-2005 se manteve no período
2005-2006, calcule o valor aproximado da
produção média anual, em milhões de barris,
no ano 2006.
A taxa de crescimento é a razão entre a
variação na produção e a variação no tempo,
o que representa o aumento da produção por
ano. Portanto, a taxa m entre 2004 e 2005 foi
596 – 535
= 61 milhões de barris.
igual a m =
5–4
Se essa taxa permanecer constante, ou
seja, se o gráfico continuar sendo a mesma
reta desenhada anteriormente, no período
2005-2006 o aumento da produção seria de
61 milhões de barris, e a produção estimada
seria de 596 + 61 = 657 milhões de barris.
Atividade 8
O gráfico a seguir indica o valor de um
determinado tributo territorial em função da
área de uma propriedade.
Tributo
(em R$)
(em m²) cujo imposto cobrado seja exatamente R$ 500,00?
Não, porque para 3 800 m² o imposto é de
R$ 800,00.
c) Determine uma função do tipo
y = mx + n, com y sendo o tributo em
R$, e x a área em m², válida para o intervalo 800 ≤ x ≤ 3 800.
Entre os pontos (800; 200) e (3 800; 500),
temos:
y = mx + n
Para x = 800, temos y = 200, ou seja,
200 = m . 800 + n
Para x = 3 800, calculemos como se
tivéssemos y = 500 (mesmo sabendo que
o intervalo é aberto), apenas para ter a
equação da reta: 500 = 3 800 . m + n
Resolvendo o sistema, temos: m = 0,1
e n = 120.
A equação procurada é y = 0,1x + 120 (para
800 ≤ x < 3 800).
1 000
800
500
200
4 000
3 800
800
Área da propriedade
(em m2)
a) Qual é o valor do imposto a pagar de
uma propriedade de 800 m² ?
A leitura imediata no gráfico fornece o valor
do tributo y = 200 reais.
b) Existe algum tamanho de propriedade
26
Havendo tempo disponível, o professor
poderá pedir aos alunos que determinem a
função do tipo y = mx + n para o intervalo
x ≥ 3 800. Comparando o valor de m dessa
função com a determinada no item anterior, percebe-se que a intenção subjacente
é a de cobrar mais imposto por m2 para
propriedades maiores do que 3 800 m2.
Atividade 9
A figura indica uma folha de latão que será
usada na montagem de uma peça:
Matemática - 1a série - Volume 2
x + 10
x
x
2x + 4
2x + 4
x
Considerações sobre a avaliação
x
a) Determine todos os valores possíveis de
x (em metros) para que o perímetro da
folha seja maior ou igual a 64 m.
Sendo o perímetro igual à soma dos comprimentos de todos os lados da folha, temos;
2(2x + 4) + 2x + 2x + 2(x +10) + 2x ≥ 64
Daí segue que:
4x + 8 + 2x + 2x + 2x + 20 + 2x ≥ 64,
ou seja, 12x ≥ 64 − 28, o que acarreta que
x ≥ 3.
Portanto, x deve ser maior ou igual a
3 metros.
b) Determine todos os valores possíveis
de x (em metros) para que a soma dos
comprimentos representados em vermelho seja menor que a soma dos demais comprimentos que completam o
perímetro da folha.
Analogamente, temos:
2(x + 2x + 4 + x )< 2x + 2(x +10)
2x + 4x + 8 + 2x < 2x + 2x +20
4x < 12, ou seja, x < 3.
Portanto, x deve ser maior que 0 e menor
que 3 metros.
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
o reconhecimento de relações de proporcionalidade direta em diferentes contextos e a
representação das mesmas por meio de uma
função de 1o grau é o objetivo primordial que
deverá ter sido atingido.
É fundamental que os alunos tenham feito
a associação direta entre a ideia de variação
diretamente proporcional e a de função de
1o grau, tendo aprendido que:
f quando y é diretamente proporcional a x e
ambos os valores, de x e y, começam a ser
medidos a partir do valor inicial zero, então
y = ax, sendo a uma constante não nula;
f quando há a proporcionalidade direta entre a variação de y medida a partir de certo valor inicial b e os valores de x, então
y – b = ax, ou seja, y = ax + b;
f de modo geral, em qualquer situação em que
as variações de duas grandezas interdependentes são diretamente proporcionais, chegamos a uma expressão do tipo f(x) = ax + b,
ou seja, a uma função do primeiro grau;
f sendo f(x) = ax + b, então o coeficiente a sempre representa a variação no valor da função
por unidade a mais de x, ou, em outras palavras, a taxa de variação de f(x) em relação a x.
Na Situação de Aprendizagem seguinte, as
funções do segundo grau serão apresentadas
também a partir da ideia de proporcionalidade
direta, agora de y em relação ao quadrado de x.
27
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Situação de aprendizagem 3
FunçÕeS de 2o- grau: SigniFiCado, grÁFiCoS,
interSeCçÕeS Com oS eiXoS, VÉrtiCeS, SinaiS
Tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: proporcionalidade direta com o quadrado da variável independente; função de
2o grau; gráficos de funções de 2o grau – Vértice, raízes, sinais.
Competências e habilidades: compreender a função de 2º- grau como expressão de uma proporcionalidade direta com o quadrado da variável independente; expressar por meio de gráficos
tal proporcionalidade.
Estratégias: apresentação construtiva do significado e das propriedades da função de 2o grau;
exploração de exemplos ilustrativos e de exercícios exemplares envolvendo funções de 2o grau para
serem explorados pelo professor.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
o texto a seguir constitui um roteiro para
a apresentação da ideia de função de 2º- grau.
desde o primeiro momento, tal função é apresentada como a representação de uma proporcionalidade direta entre uma grandeza e
o quadrado de outra. na 8ª- série do ensino
Fundamental é possível que os alunos já tenham tido um contato inicial com tal função,
ao estudarem as equações de 2º- grau. abordaremos o tema, no entanto, sem pressupor
que ele já tenha sido estudado anteriormente.
Cabe ao professor, em sua realidade específica, acelerar mais ou menos a apresentação
feita aqui. a abordagem adotada é construtiva: todos os resultados são justificados, sempre com base na ideia de proporcionalidade
anteriormente referida. assim, mesmo que os
alunos já tenham visto tais assuntos, é quase
certo que não o viram da forma como são
aqui apresentados.
apostamos na forma de tratamento escolhida, que consideramos a menos técnica possível, ou a que mais permanece aderente ao
significado da relação de proporcionalidade
envolvida e esperamos que o professor avalie
com carinho o percurso sugerido na Situação
de aprendizagem, mesmo não constituindo o
caminho mais usual. torcemos para que, no
final, o professor venha a concordar conosco.
Grandeza proporcional ao quadrado de
outra: a função do 2º- grau f(x) = ax2
Quando a relação de interdependência entre duas grandezas x e y é tal que y é diretamente proporcional ao quadrado de x, então
28
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Matemática - 1a série - Volume 2
Para explicitar tal fato, inicialmente, vamos
examinar o gráfico da função y = x2, ou seja,
f(x) = x2.
Reunindo tais informações, temos o gráfico esboçado a seguir. A curva correspondente
é uma parábola.
y = x2
x
y
=
De modo geral, assim como uma relação
do tipo y = kx encontra-se na origem de cada
função de 1º- grau f(x) = ax + b, a relação
y = kx2 serve de base para a caracterização
das funções de 2º- grau, cuja forma geral é
f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0).
f é possível mostrar que o gráfico de y = x2
encosta “suavemente” no eixo x, sem formar um “bico” (isso será feito na Atividade 2).
y
y
= constante = k, ou seja,
x2
y = kx2. Um exemplo de tal situação ocorre
quando uma pedra é abandonada em queda
livre: a distância vertical d que ela percorre
é diretamente proporcional ao quadrado do
tempo de queda, ou seja, temos d = kt2; neste
caso, o valor de k é 4,9 (metade da aceleração
da gravidade do local).
escrevemos que
1
x2
0
x
x
x
1
Sabemos que o gráfico de y = x é uma reta
com inclinação igual a 1. Para construir o gráfico de y = x2, basta notarmos que:
f o quadrado de um número situado entre
0 e 1 é menor do que o próprio número, ou
seja, x2 < x para 0 < x < 1;
f o quadrado de um número maior do que 1
é maior do que o próprio número, ou seja,
x2 > x para x > 1;
f o gráfico de y = x2 é simétrico em relação
ao eixo y, uma vez que f(x) = f(–x) para
todo x;
Partindo do gráfico de f(x) = x2, é fácil
construir o gráfico de f(x) = ax2, com a ≠ 0:
Para tanto, a cada valor de x, devemos fazer corresponder o produto ax2, que é maior
de que x2, quando a > 1, e é menor do que x2,
quando 0 < a < 1. Assim, as parábolas ficam
tanto mais “fechadas” quanto maior o valor
de a; tanto mais “abertas” quanto menor (mais
próximo de zero) encontra-se o valor de a.
Alguns gráficos desse tipo são representados
a seguir:
29
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24
22
y = 0,3x2 y = 0,7x2 y = x2
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–2
y
y = 5x2
x
1
Resumindo, então, vemos que quanto
maior o valor absoluto do coeficiente a, mais
“fechada” é a parábola; quanto menor o valor absoluto de a, mais “aberta” ela é. O sinal
2
3
4
5
6
7
8
9
forma, mas os valores de y tornam-se negativos. Observe a figura a seguir:
De maneira análoga, para os valores negativos de a, os gráficos mantêm a mesma
6
4
2
0
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–2
–4
–6
y = – 0,1x2
y = – 0,5x2 y = – x2
–8
– 10
– 11
– 12
– 14
– 16
– 18
– 20
– 22
– 24
y = 3x2
y
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y = – 3x2
y = – 5x2
de a indica se a concavidade (a abertura) da
parábola está voltada para cima (a > 0), ou
para baixo (a < 0).
30
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16
14
12
10
8
6
4
2
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–2
–4
–6
–8
– 10
– 12
– 14
– 16
y
a>0
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a<0
Algumas atividades, para a exploração do
que até aqui foi estudado, serão apresentadas
a seguir.
4
y
3
2
Atividade 1
1
Construa em um mesmo plano cartesiano
os gráficos das seguintes funções:
a) f(x) = x2
b) f(x) = 2x2
c) f(x) = 10x2
d) f(x) =
1 2
x
10
f) f(x) = –2x2
e) f(x) = –x2
1 2
g) f(x) = –10x
h) f(x) = –
x
10
Procure esboçar os gráficos comparando-os
com os outros, sem necessariamente recorrer a
tabelas com valores de x e de y; em vez disso,
leve em consideração os valores relativos dos
coeficientes de x2.
-4
-3
-2
x
-1
1
2
3
4
-1
y = x2
y = 2x2
y = 10x2
y = 1 x2
10
-2
-3
-4
e), f), g), h)
2
4
y = – x2
y = – 2x2
y = – 10x2
y = – 1 x2
10
y
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
a), b), c), d)
-2
-3
-4
31
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y
observação: uma sutileza sobre o gráfico
de f(x) = x2
x
Para construir o gráfico de f(x) = x2, notamos que:
1º-) x2 ≥ 0 para todo número real x, ou seja,
o gráfico situa-se acima do eixo x ;
2º-) f(x) = f(–x) para todo real x, ou seja,
o gráfico é simétrico em relação ao
eixo y;
3º-) como x2 ≤ x para valores de x no intervalo de 0 a 1, então o gráfico de f(x) = x2
situa-se abaixo do gráfico de y = x no
intervalo entre 0 e 1;
4º-) como x2 > x para x > 1, o gráfico de
f(x) = x 2 situa-se acima do gráfico
de y = x para x > 1.
Seguindo todas as conclusões anteriores, o
gráfico poderia ser como o indicado a seguir,
tendo um “bico” na origem:
f(x) = x2
O
Se o professor se interessar pela explicação
desse fato, basta acompanhar a solução da
Atividade 2, apresentada a seguir.
Atividade 2
Mostre que a curva que é o gráfico de
f(x) = x2 não tem um “bico” na origem do
sistema de coordenadas, ou seja, ela tangencia
o eixo x.
Afirmar que o gráfico apresentaria um “bico”
na origem significaria dizer que existe uma
reta inclinada em relação ao eixo dos x tal
que o gráfico de f(x) = x2 estaria situado
acima de tal reta para todos os valores de x,
mesmo os mais próximos de 0, conforme
podemos verificar na figura a seguir.
y
y
f(x) = x2
f(x) = x2
y = mx
x
O
Ocorre, no entanto, que o gráfico de f(x) = x2
não tem “bico” na origem, encostando suavemente no eixo x.
O
x
Tal reta tangente seria o gráfico de uma
função do tipo y = mx, m > 0.
32
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Matemática - 1a série - Volume 2
y
Teríamos, então: x2 ≥ mx para todo x ≥ 0.
f(x) = x2
Ocorre, no entanto, que, se x2 ≥ mx, então
x2 – mx ≥ 0, ou seja, x .(x – m) ≥ 0 para
todo x.
y = mx
Mas notamos que para valores de x entre 0
e m, os valores do produto x .(x – m) são
negativos, ou seja, x2 < mx, o que significa
dizer que o gráfico de f(x) = x2 situa-se
abaixo do gráfico de y = mx.
x
O
m
x < mx, ou seja, x – mx < 0 para x entre
0em
2
2
deslocamentos verticais: a função
f(x) = ax2 + v
Em outras palavras, para cada valor de
m > 0, por menor que seja, o gráfico
de f(x) = x2 situa-se abaixo do gráfico de
y = mx, para valores de x entre 0 e m. Por
exemplo, mesmo que consideremos a reta
y = 0,001x, para valores de x entre 0 e 0,001
o gráfico de f(x) = x2 situa-se abaixo dessa
reta. Concluímos, então, que não existe reta
y = mx tal que, para todo x, o gráfico de
f(x) = x2 situe-se acima da reta; e é exatamente isso que significa dizer que o gráfico
não tem um “bico” na origem.
Quando a proporcionalidade entre y e x2
ocorre a partir de um valor inicial v, então
y – v = kx2, ou seja, y = kx2 + v.
Em casos como esse, o gráfico de f(x) = kx2 + v
continua a ser uma parábola, mas seus pontos são deslocados, em relação ao conhecido
gráfico de y = k.x2, na direção do eixo y de um
valor v: para cima, se v > 0, ou para baixo, se
v < 0.
y
f(x) = kx2 + v
y = kx2
v
v
x
0
33
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Uma situação como essa ocorre, por
exemplo, quando calculamos a distância d
de uma pedra abandonada a certa altura h
até o solo:
4,9t2
h
Neste caso temos, então, d = h – 4,9t 2,
ou seja, h – d = 4,9t 2. Podemos observar, a seguir, alguns gráficos de funções
desse tipo.
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
–4
–3
–2
–1
0
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
Atividade 3
Construa os gráficos das seguintes funções e indique as coordenadas do vértice em
cada caso.
34
d = h – 4,9t2
y
y = 3x2 + 7
y = 3x2
y = 3x2 – 5
x
1
2
3
4
y = –3x2 + 5
y = –3x2 – 4
a) f(x) = x2 + 1
c) f(x) = x2 – 1
e) f(x) = –2x2 + 1
g) f(x) = – 0,5x2 + 7
b) f(x) = x2 + 3
d) f(x) = x2 – 3
f) f(x) = –3x2 – 5
Matemática - 1a série - Volume 2
a) vértice: (0; 1)
b) vértice: (0; 3)
c) vértice: (0; –1)
d) vértice: (0; –3)
y
y = x2 + 1
y = x2 + 3
y = x2 – 1
y = x2 – 3
4
3
2
1
x
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
–1
–2
–3
e) vértice: (0; 1)
f) vértice: (0; –5)
g) vértice: (0; 7)
y
8
6
4
2
–5
–4
–3
–2
– 1 –2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
x
1
deslocamentos horizontais: a função
f(x) = a(x – h)2
Outra proporcionalidade direta entre
uma grandeza e o quadrado de outra ocorre
quando temos y diretamente proporcional
2
3
4
5
6
7
8
não a x2, mas a (x – h)2: nesse caso, temos
y = k(x – h)2, e o gráfico correspondente é
análogo ao de y = kx2, deslocado horizontalmente de h unidades, para a direita, se
h > 0, ou para a esquerda, se h < 0.
35
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19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y = (x + 3)2
–9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
– 1 –1
y
y = (x – 3)2
y = x2
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–2
–3
–4
Um exemplo de uma situação análoga à
sugerida acima ocorre quando a grandeza y
é diretamente proporcional ao quadrado da
variação no valor de x a partir de certo valor inicial h. Por exemplo, sendo E a energia
elástica armazenada em uma mola distendida
de x unidades a partir de seu comprimento
normal, então E = k.x2. Naturalmente, se
x = 0, então E = 0. Entretanto, se a escala para
medir o quanto a mola está distendida é tal
que temos E = 0 para x = h, então quando a
mola estiver distendida de (x – h), sua energia
E será tal que E = k(x – h)2.
E
E=0
0
h
E = k(x – h)
2
x
x
0
0
E=0
x
h
E
E = kx2
x
0
36
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Matemática - 1a série - Volume 2
Atividade 4
a) vértice: (–1; 0) c) vértice: (1; 0)
b) vértice: (–3; 0) d) vértice: (3; 0)
Construa em um mesmo plano cartesiano
os gráficos das seguintes funções e indique as
coordenadas do vértice de cada uma delas.
4
3
2
b) f(x) = (x + 3)2
a) f(x) = (x + 1)2
c) f(x) = (x – 1)2
d) f(x) = (x – 3)2
e) f(x) = – (x – 5)2
f) f(x) = –2(x + 3)2
y
1
-4
-3
-2
x
-1
1
2
3
4
-1
-2
y = (x+1)2
y = (x+3)2
y = (x–1)2
y = (x–3)2
g) f(x) = –3(x – 1)2
-3
-4
y
4
2
–5
–4
–3
–2
–1
–2
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–18
e) vértice: (5; 0)
f) vértice: (–3; 0)
deslocamentos verticais e/ou horizontais:
a função f(x) = a(x – h)2 + v
No caso mais geral possível, podemos
ter a variação nos valores de uma grandeza y, a partir de certo valor v, diretamente proporcional ao quadrado da variação
g) vértice: (1; 0)
nos valores de x, a partir de certo
valor h: em outras palavras, y – v = k(x – h) 2.
Uma função deste tipo é tal que
f(x) = k(x – h)2 + v, e tem como gráfico também
uma parábola, deslocada horizontalmente
de um valor h em relação à parábola
y = kx 2 e deslocada verticalmente de um
37
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valor v em relação à parábola y = k(x – h) 2.
O vértice da parábola é o ponto de
coordenadas (h; v). O gráfico a seguir traduz o que anteriormente se afirmou.
y
f(x) = k(x – h)2 + v
v
f(x) = kx
2
f(x) = k(x – h)2
x
0
h
Alguns exemplos de gráficos de funções desse tipo são apresentados a seguir.
16
14
12
10
8
6
4
2
y = 3x2 – 7
–5
–4
–3
y = –3 (x + 1)2 + 9
–2
0
– 1 –2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
y
y = 5(x – 3)2 + 8
y = –3 x2 + 7
y = –5 (x – 6)2 + 3
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y = –5 (x – 3)2 – 8
Atividade 5
Construa os gráficos das seguintes funções
e indique as coordenadas do vértice de cada
uma delas:
a) f(x) = (x + 1)2 + 1
b) f(x) = – (x + 3)2 – 1
c) f(x) = –(x – 1)2 – 1
d) f(x) = (x – 3)2 + 2
38
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Matemática - 1a série - Volume 2
4
y
c) f(x) = (x – 1)2 + 2
3
y = (x+1)2+1
y = – (x+3)2 –1
y = – (x–1)2 –1
y = (x–3)2+2
-4
-3
coordenadas do vértice: (1; 2)
ponto de mínimo: 1
mínimo valor da função: 2
2
1
x
-2
-1
1
2
3
4
d)
-1
-2
∙
f(x) = x –
1
2
∙–
2
3
4
coordenadas do vértice:
-3
ponto de mínimo:
-4
a) vértice: (–1; 1) b) vértice: (–3; –1)
c) vértice: (1; –1) d) vértice; (3; 2)
1
2
1
3
∙ 2 ;– 4 ∙
mínimo valor da função: –
3
4
e) f(x) = (x – 4)2
Atividade 6
Determine as coordenadas do vértice dos
gráficos das seguintes funções e verifique se
a função assume um valor máximo ou um
valor mínimo.
a) f(x) = (x + 3)2 –
1
2
1
2
∙
coordenadas do vértice: –3; –
∙
ponto de mínimo : x = –3
mínimo valor da função: (–3) = –
b) f(x) = –(x – 2)2 –
5
2
∙
coordenadas do vértice: 2; –
ponto de máximo: x = 2
máximo valor da função: –
5
2
5
2
∙
1
2
coordenadas do vértice: (4; 0)
ponto de mínimo: 4
mínimo valor da função: 0
f) f(x) = –x2 + 2
coordenadas do vértice: (0; 2)
ponto de máximo: 0
máximo valor da função: 2
Forma geral de uma função de 2º- grau:
f(x) = ax2 + bx + c
De modo geral, uma função tal que
f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c constantes,
sendo a ≠ 0, sempre expressa uma situação
de interdependência em que uma grandeza
é diretamente proporcional ao quadrado de
outra, ou seja, sempre podemos escrever o
trinômio de 2º- grau ax² + bx + c na forma
a(x – h)² + v.
39
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De fato, se o trinômio ax² + bx + c for um
quadrado perfeito, então podemos escrever
ax² + bx + c = a(x – h)², e facilmente encontramos o valor de h, explicitando o quadrado
do primeiro membro.
Alguns exemplos são apresentados a seguir:
f x2 – 6x + 9 = (x – 3)2
f x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
49
7
f x2 + 7x +
= x+
4
2
∙
eixo de simetria vertical. Isso significa que
pontos de mesma ordenada possuem abscissas
equidistantes a esse eixo. Se o eixo de simetria for
o próprio eixo y, então para cada valor de y correspondem dois valores de x com sinais opostos:
(a, y) e (–a, y). Se o eixo de simetria estiver
deslocado horizontalmente de h unidades, então os pontos equidistantes terão coordenadas
(a + h; y) e (–a + h; y). As figuras a seguir ilustram o que se afirmou:
∙
2
y
f 5x2 + 30x + 45 = 5(x2 + 6x + 9) = 5(x + 3)2
Se o trinômio ax² + bx + c não for um
quadrado perfeito, então ele será maior do
que um quadrado perfeito, ou menor do que
um quadrado perfeito; significa dizer que
ax² + bx + c = a(x – h)² + v, sendo v um número positivo ou negativo, dependendo de o
trinômio ser maior ou menor do que um quadrado perfeito.
Assim, sempre será possível escrever
f(x) = ax² + bx + c na forma a(x – h)² + v,
o que é equivalente a afirmar que todo trinômio de 2º- grau pode ser interpretado como a
expressão da proporcionalidade direta entre
y – v e o quadrado de (x – h), para determinados valores de h e v. Encontrar os valores de
h e v é encontrar as coordenadas do vértice da
parábola que é o gráfico de f(x).
Simetria do gráfico de f(x) = ax2 + bx + c
A parábola que é o gráfico da função
de 2º- grau é uma curva que possui um
0
–a
Eixo de simetria
x=0
x
a
y
–a+h
0
h
a+h
x
Eixo de simetria
x=h
O vértice da parábola situa-se no eixo de
simetria. Se as raízes de f(x) = 0 forem conhecidas, a abscissa do vértice será o ponto médio do segmento determinado pelas raízes; se
a equação f(x) = 0 tiver apenas uma raiz real,
a abscissa do vértice será a própria raiz.
40
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Matemática - 1a série - Volume 2
y
Atividade 7
Sabemos que o gráfico de f(x) = ax2 + bx + c,
a ≠ 0, é uma parábola. A reta vertical que
passa pelo vértice da parábola é seu eixo de
simetria. Observe, por exemplo, os gráficos
seguintes das funções:
(i) f(x) = x2 – 4
f(x) = ax2 + bx + c
c
yv
y
0
xv
–b
a
x
5
4
Mesmo no caso de a equação de 2º- grau
f(x) = 0 não ter raízes, podemos determinar o
vértice da parábola da seguinte maneira:
f sabemos que f(0) = c;
3
2
1
0
–3 –2 –1
–3
–4
Eixo de simetria
em x = 0
(ii) f(x) = x2 + 2x = (x+1)2 – 1
y
f a abscissa do xv do vértice é, pois, igual à
–b
média entre os valores 0 e
, ou seja,
a
–b
0+
a
–b
=
;
xv =
2
2a
8
7
6
∙ ∙
f para obtermos o valor da ordenada yv do vértice, calculamos o valor de
f(xv): yv = f(xv).
Nas atividades seguintes, os fatos anteriormente referidos serão explorados.
x
3
–2
f sabemos que existe outro valor de x para
o qual a função também assume o valor c;
f(x) = c para ax2 + bx + c = c;
f logo, f(x) = c para ax2 + bx = 0, ou seja,
–b
para x = 0 ou x =
a
2
1
–1
5
4
3
2
1
0
– 4 –3 –2 –1
Eixo de simetria
em x = –1
1
–1
2
3
4
x
–2
41
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a) Na função (I), quando x = 1 qual é o valor
correspondente de y?
b) Na função (II), quando x = 3, qual é o valor correspondente de y?
No gráfico (I), para x = 1, temos
y = f(1) = – 3
No gráfico (II), para x = 3,
temos y = f(3) = 15
c) Complete a tabela com o valor correspondente de x ou de y.
x
Função
I
2
–2
4
–5
y
12
x
Função
II
–3
1
21
6
–5
y
16
27
Usando as expressões algébricas das funções, obtemos os seguintes valores:
Função 1
y = x2 – 4
Função 2
y = x2 + 2x
x
2
–2
4
–4 ou 4
–5
5 ou –5
y
0
0
12
12
21
21
x
–3
1
6
– 1 ± ∙∙∙
17
–5
– 1 ± 2∙∙∙
7
y
3
3
48
16
15
27
Vale a pena comentar com os alunos os resultados obtidos que refletem a ideia de simetria
na parábola.
Atividade 8
Ao lado está representado o gráfico da função f(x) = –x2 + 4x = –(x – 2)2 + 4.
y
a) Quais são as coordenadas do ponto V, vértice da parábola?
Em razão da simetria do gráfico, concluímos
que o vértice é o ponto médio do segmento
do eixo x entre 0 e 4, ou seja, no vértice
temos x = 2. O valor de y correspondente é
f(2) = –22 + 4 . 2 = 4. Logo, o vértice é o
ponto V de coordenadas (2; 4).
V
m
x
0
1
n
4
42
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Matemática - 1a série - Volume 2
y
b) Quais são os valores de m e n indicados
na figura?
Para x = 1, temos f(1) = 3, ou seja,
m = 3. Como vemos que o valor de f(n)
também é igual a 3, então n é o simétrico
do ponto x = 1 em relação ao vértice
x = 2, ou seja, a distância de n até o 2 é igual
à distância de 1 até o 2, ou seja, n = 3. De
fato, podemos verificar que f(3) = 3.
Atividade 9
Determine a expressão algébrica da função de 2º- grau representada pelos seguintes
gráficos:
y
8
7
6
5
4
3
5
4
3
2
1
0
– 4 –3 –2 –1
1
–1
2
3
4
x
f No gráfico 1, podemos identificar os
pontos (0; 0), (2; –4) e (4; 0) pertencentes
à parábola. Temos que a é positivo e c
vale 0, pois o ponto (0; 0) pertence ao
gráfico. Substituindo os valores de x e y
na forma geral y = ax2 + bx, obtemos:
–4 = a . 22 + b . 2 e 0 = a . 42 + b . 4.
123
2
1
0
–2
6
f No gráfico 2, podemos identificar os
pontos (–4,0), (0, 8) e (2,0) pertencentes
à parábola. Além disso, podemos concluir
que a é negativo e que o valor de y para
x = 0 é 8, ou seja, c = 8. Substituindo os
outros valores de x e y correspondentes
aos pontos (–4; 0) e (2; 0) na expressão
geral, y = ax2 + bx + 8 obtemos as
seguintes equações:
0 = a . (–4)2 + b.(–4) + 8
0 = a . 22 + b . 2 + 8
4a + 2b = –8
Resolvendo o sistema
16a – 4b = –8
–4
1
–1
7
Daí segue, resolvendo o sistema 2a + b = –2
e 4a + b = 0, encontramos a = 1 e b = –4.
Portanto, a função que corresponde ao
gráfico 1 é : f(x) = x2 – 4x
2
– 4 –3 –2 –1
8
2 3
4
x
obtemos a = –1 e b = –2
Portanto, a função que corresponde ao
gráfico 2 é : f(x) = –x2 – 2x + 8
43
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123
f No gráfico 3, podemos identificar os
pontos (–3; 8), (0, 2) e (1; 4) pertencentes
à parábola. Pelo gráfico, podemos concluir
que a é positivo e c vale 2, pois o ponto
(0; 2) pertence ao gráfico. Substituindo
os valores de x e y correspondentes aos
outros dois pontos na expressão geral,
y = ax2 + bx + 2, obtemos as seguintes
equações:
8 = a .(–3)2 + b .(–3) + 2
4 = a . 12 + b . 1 + 2
9a – 3b = 6
Resolvendo o sistema
a+b=2
obtemos: a = 1 e b = 1.
Portanto, a função que corresponde ao
gráfico 3 é : f(x) = x2 + x + 2
a) Qual é a expressão algébrica da função
R(q)?
Para determinar a expressão algébrica da
função R(q), sabendo-se que a curva é uma
parábola, escrevemos: R(q) = aq2 + bq, pois
o valor correspondente de c é zero, uma vez
que a curva corta o eixo vertical na origem.
Como R(16) = 0, concluímos que
a.162 + b.16 = 0, ou seja, que 16a + b = 0.
Em razão da simetria da parábola,
concluímos que o valor de q no vértice é o
ponto médio do segmento de 0 a 16, ou seja,
é igual a 8. Como vemos que R(8) = 64,
temos:
a . 82 + b . 8 = 64, ou seja, 8a + b = 8.
Atividade 10
O gráfico a seguir representa o Rendimento bruto R(q) de uma empresa em uma função
da quantidade q de produtos fabricados mensalmente. Os valores de r são expressos em
milhares de reais e a quantidade produzida q em
milhares de unidades, e sabe-se que a curva representada é uma parábola.
Resolvendo o sistema formado pelas equações
16a + b = 0 e 8a + b = 8, obtemos:
a = –1 e b = 16, ou seja, R(q) = –q2 + 16q
b) Qual é o rendimento bruto máximo?
A observação direta do gráfico nos mostra que
o rendimento máximo é igual a R$ 64 mil.
c) Qual é a quantidade produzida que maximiza o rendimento bruto da empresa?
R (q)
O valor de q que conduz ao rendimento
máximo é q = 8, ou seja, é a produção de
8 mil unidades.
64
q
0
16
A partir das informações contidas no gráfico, responda:
d) Qual é o rendimento bruto que a empresa
obtém para a produção de 15 000 unidades? E de 20 000 unidades? Como interpretar este último resultado?
44
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 44
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Matemática - 1a série - Volume 2
O rendimento para q = 15 é igual a R(15) =
– (15)2 + 16 . 15 = 15, ou seja, é R$ 15 mil.
Para q = 20, no entanto, temos R(20) =
–202 + 16 . 20 = – 80, ou seja, é negativa, o
que significa que a produção estará dando
prejuízo de R$ 80 mil.
Esse resultado pode surpreender os alunos,
pois não é intuitivo supor que para uma
produção maior se obtenha lucro negativo.
Contudo, isso se deve a uma questão de ordem
econômica. Se a empresa possui uma estrutura
produtiva montada para um determinado nível
de produção, a partir de certo ponto, passa a
haver ineficiência produtiva devido a alguns
fatores: alto custo de horas extras pagas,
espaço físico limitado para um número de
trabalhadores, desgaste excessivo de máquinas
etc. Por essa razão, a função que representa o
lucro é decrescente a partir de um determinado
nível de produção, correspondente ao vértice da
parábola, no caso.
c) f(x) = x2 + 6x + 9
Podemos verificar que f(x) = (x + 3)2; logo,
o valor mínimo da função é 0 e o ponto de
mínimo é x = – 3.
d) f(x) = 3x2 + 30x + 75
Podemos escrever f(x) = 3(x2 + 10x + 25) =
= 3(x + 5)2; logo, o valor mínimo é 0 e o
ponto de mínimo é x = –5.
e) f(x) = –x2 + 10x
Podemos escrever f(x) = –x2 + 10x –25 + 25,
ou seja, f(x) = – (x – 5)2 + 25; logo, o valor
máximo é 25 e o ponto de máximo é x = 5.
f) f(x) = x2 + 8x + 21
Podemos escrever f(x) = x2 + 8x + 16 + 5,
ou seja, f(x) = (x + 4)2 + 5; logo, o valor
mínimo é 5 e o ponto de mínimo é x = –4.
Funções de 2º- grau e raízes da equação de
2º- grau: discussão
Atividade 11
Determine, para as funções a seguir representadas, os valores máximo ou mínimo que
são atingidos em cada caso, indicando o valor
de x para o qual tais extremos ocorrem.
a) f(x) = 3(x – 12) + 100
2
Valor mínimo é 100; ponto de mínimo é x = 12
O estudo das raízes da equação de 2º- grau
ax + bx + c = 0, que já foi feito na 8ª- série
do Ensino Fundamental, será aqui retomado sob outra perspectiva.
2
Já vimos que o gráfico de uma função de
2º- grau f(x) = ax2 + bx + c é uma parábola,
que tem um vértice (xv; yv) e um eixo de simetria vertical (paralelo ao eixo y).
b) f(x) = –x2 + 10
Valor máximo é 10; ponto de máximo é x = 0
Para determinar as coordenadas do vértice da parábola, podemos proceder do seguinte modo:
45
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yv = f(xv) = a
f sabemos que f(0) = c;
f em razão da simetria do gráfico, existe outro
valor de x tal que f(x) = c; calculando, obtemos: ax2 + bx + c = c acarreta ax2 + bx = 0,
–b
de onde tiramos x = 0 ou x =
;
a
f a abscissa xv do vértice é a média aritmética
dos dois valores obtidos, ou seja,
–b
0+
a
–b
xv =
, ou seja, xv =
2
2a
∙ ∙
f para determinar o valor de yv, calculamos
f(xv) e obtemos:
yv =
–b
2a
–b
∙ ∙ + b ∙ 2a ∙ + c, ou seja,
2
4ac – b2
.
4a
Naturalmente, sabendo o valor de xv, não
precisamos de fórmula alguma para determinar yv, mas sim de simplesmente substituir o
valor de xv na função f(x).
Calculando-se as coordenadas do vértice da parábola yv, podemos determinar se a
equação do segundo grau correspondente tem
ou não tem raízes. Para isso, basta observar
os sinais de a e de yv, conforme mostram as
figuras a seguir:
DUAS RAÍZES DISTINTAS
(os sinais de a e de yv são opostos)
y
y
a>0
a<0
yv > 0
x
x
yv < 0
DUAS RAÍZES IGUAIS (UMA RAIZ REAL)
(yv é igual a zero)
x
y
y
yv = 0
a>0
a<0
x
yv = 0
y
NÃO EXISTEM RAÍZES REAIS
(os sinais de a e de yv são iguais)
y
a>0
x
yv < 0
yv > 0
a<0
x
46
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Matemática - 1a série - Volume 2
A atividade seguinte visa a uma exploração
numérica do que foi dito anteriormente.
d) f(x) = – 2x2 + 10x – 13
Temos xv =
5
e yv = f
2
5
–1
∙ 2 ∙ = 2 < 0; como
a = – 2 < 0 , segue que a e yv têm sinais
Atividade 12
iguais, e a equação não tem raízes reais.
Considere as funções de 2º- grau f(x) = ax +
+ bx + c, indicadas a seguir. Descubra se as
equações de 2º- grau correspondentes têm duas,
uma ou nenhuma raiz real calculando o valor
da ordenada yv do vértice da parábola que é o
gráfico da função, sem resolver as equações.
2
1
2
5
5
–3
=
e yv = f
< 0;
Temos xv =
22
22
44
como a = 11 > 0 , segue que a e yv têm sinais
contrários e a equação tem duas raízes reais
distintas.
e) f(x) = 11x2 – 5x +
∙ ∙
a) f(x) = 3x2 + 12x + 11
Já vimos que a abscissa x v do vértice
–b
da parábola é igual a
.
2a
–12
= –2: calculando yv ,
Temos xv =
2.3
obtemos: yv = f(xv) = f(– 2) = –1 < 0.
Como a = 3 > 0 e yv < 0, então a equação
tem duas raízes reais distintas (faça uma
figura para convencer-se disso.)
b) f(x) = 3x2 –12x + 15
12
= 2; calculando yv , obtemos:
2.3
yv = f(xv) = f(2) = 3 > 0.
Temos xv =
Como a = 3 > 0 e yv > 0, então a equação
não tem raízes reais (faça uma figura para
ajudar na conclusão).
c) f(x) = – 2x2 – 16x + 5
Temos xv = – 4 e yv = f(–4) = 37 > 0; como
a = – 2 < 0 , segue que a e yv têm sinais contrários e a equação tem duas raízes reais distintas.
f) f(x) = – 4x2 + 12x – 9
3
3
= 0; como
e yv = f
2
2
yv = 0, segue que a equação tem duas raízes
iguais.
Temos xv =
∙ ∙
observação para o professor:
Neste ponto, podem ser apresentados aos
alunos outros exercícios do mesmo tipo, para
praticar a possibilidade de tirar conclusões
sobre o número de raízes de uma equação
de 2º- grau apenas calculando-se a ordenada
do vértice e comparando com o sinal de a.
Naturalmente, a observação da ordenada
4 ac –b2
–∆
yv =
=
, leva às mesmas
4a
4a
conclusões sobre as raízes, discutindo-se o
sinal de Δ = b2 – 4ac, pois temos yv . 4a = – Δ.
Quando, por exemplo, yv e a têm o mesmo
sinal, significa que o valor de Δ é negativo, e
a equação não tem raízes reais. No presente Caderno, optou-se pela observação direta
dos sinais de a e de yv em razão do significado geométrico mais imediato da existência
47
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4/8/09 1:52:33 PM
–yv
, ou seja,
a
–yv
–yv
e então, x = xv ±
;
a
a
de onde obtemos (x – xv)² =
ou inexistência das raízes. A escolha final do
caminho para a apresentação do tema, no
entanto, fica a critério do professor.
x – xv = ±
∙∙∙
∙∙∙
f as duas raízes da equação dada, quando
raízes da equação e sinais da função
de 2º- grau
existem, são iguais a: x1 = xv –
Já vimos como descobrir as informações
sobre as raízes de uma equação de 2º- grau
sem ter que resolvê-la, comparando os sinais
do coeficiente a e da ordenada do vértice yv ,
–b
obtida a partir da abscissa do vértice xv =
.
2a
Para obter as raízes da equação, podemos
proceder da seguinte forma:
f dispondo das coordenadas xv e yv do
vértice da parábola que é o gráfico de
f(x) = ax² + bx + c, podemos escrever que,
para todo valor de x:
ax² + bx + c = a(x – xv)² + yv;
f assim, para resolver a equação f(x) = 0,
basta resolver a equação a(x – xv)² + yv = 0
x2= xv +
.
∙∙∙
a
–yv
e
∙∙∙
a
–yv
Como já vimos, a existência ou não está
associada aos sinais diferentes ou iguais de a e
de yv; quando yv = 0, as duas raízes são iguais
a xv.
Sobre os sinais de f(x), notamos que:
f f(x) tem o mesmo sinal de a para valores de
x fora do intervalo das raízes;
f f(x) tem o sinal contrário ao de a no intervalo
aberto que tem as raízes como extremidades;
f naturalmente, quando yv = 0, a função tem
sempre o sinal de a, exceto apenas para
x = xv , quando assume o valor zero.
Observando as figuras a seguir, compreende-se o significado disso:
f(x) tem sinal contrário ao de a no
intervalo das raízes
y
y
a>0
a<0
yv > 0
x
x
x1
x2
x1
x2
yv < 0
48
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Matemática - 1a série - Volume 2
f(x) tem o mesmo sinal de a;
é zero apenas no vértice
a>0
y
y
x
yv = 0
x
a<0
yv = 0
f(x) tem sempre o mesmo sinal de a,
para todo x real
y
x
a>0
y
yv < 0
a<0
yv > 0
x
Atividade 13
Determine as raízes da equação de 2º- grau
ax + bx + c = 0 e o sinal da função f(x) = ax2 +
+ bx + c para todos os valores possíveis de x,
em cada um dos casos abaixo:
2
a) 3x2 + 12x + 11 = 0
Calculando os valores de xv e yv , temos:
–b
–12
xv =
=
= –2;
2a
6
yv = f(–2) = 3 . (–2)2 + 12 . ( –2) + 11 = –1
Como a = 3 > 0 e yv = –1 < 0, concluímos
que a equação tem duas raízes distintas
(pense na figura!).
–yv
e
As raízes são x1 = xv –
a
–yv
; substituindo os valores de
x2= xv +
a
∙∙∙
∙∙∙
yv e a, obtemos: x1 = – 2 –
x2 = – 2 +
.
∙∙∙
3
1
e
∙∙∙
3
1
O sinal de f(x) = 3x 2 + 12x + 11 é positivo
(igual ao de a) para valores de x fora do
intervalo das raízes, ou seja, para
x > –2 +
ou para x < –2 – ∙∙∙;
∙∙∙
3
3
1
1
é negativo (contrário ao de a) para valores
de x no intervalo das raízes, ou seja, para
1
1
<x<–2+
.
–2 –
3
3
∙∙∙
b) –4x2 + 12x – 9 = 0
Analogamente, temos xv =
∙∙∙
3
3
= 0;
e yv = f
2
2
∙ ∙
logo, as duas raízes são iguais a xv =
3
.
2
49
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Sobre o sinal, f(x) = – 4x2 + 12x – 9 é sempre
menor ou igual a zero, pois a < 0; somente
3
temos f(x) = 0 para x = xv = .
2
c) – 2x2 + 10x – 13 = 0
Calculando xv e yv, obtemos: xv =
yv = f
5
∙ 2 ∙=
–1
< 0.
2
5
2
e
–yv
é negativa e a
a
equação não tem raízes reais.
Como a = –2, a razão
Como a equação f(x) = 0 não tem raízes
reais, a função f(x) = –2x2 + 10x –13 tem
sempre o mesmo sinal, que é o sinal de a
(negativo), qualquer que seja o valor de x.
observação para o professor:
Neste ponto, outras atividades semelhantes
podem ser apresentadas aos alunos, para
praticar a possibilidade de tirar conclusões
sobre o valor das raízes e o sinal da função de
2o grau, sempre com base nas coordenadas
do vértice. Naturalmente, a fórmula para as
∙
raízes aqui encontradas x = xv ±
é
∙∙∙
a ∙
–yv
a conhecida fórmula de Bhaskara, quando se
substituem os valores de xv e yv). No presente
Caderno, optou-se pela apresentação da fórmula que explicita diretamente a simetria das
raízes em relação ao valor de xv, mas a escolha final do caminho para a apresentação do
tema fica a critério do professor.
Considerações sobre a avaliação
A forma de apresentação dos conteúdos
não foi a usualmente presente nos materiais
didáticos disponíveis. O objetivo fundamental
foi a apresentação da função y = ax2 + bx + c
como a expressão de uma relação de proporcionalidade direta entre as variações de y
(a partir de um valor inicial yv) e o quadrado dos
valores de x (a partir de um valor inicial xv),
ou seja, y – yv = a(x – xv)2. Todos os resultados
que os alunos precisam conhecer (coordenadas do vértice da parábola, raízes da equação
do segundo grau, sinais da função f(x), etc.)
foram deduzidos a partir dessa forma de apresentação, que consideramos mais significativa. Entretanto, na avaliação final da aprendizagem desses conteúdos, o que importa é o
conhecimento dos fatos fundamentais sobre
a função do segundo grau, sobre equações e
inequações do segundo grau, e não o modo
como foram explicados. Assim, mesmo sem
seguir literalmente as explicações apresentadas, o professor deverá avaliar se os alunos
compreendem efetivamente que:
f o gráfico de uma função f(x) = ax2 + bx + c
(a ≠ 0) é uma parábola com a concavidade
para cima, se a > 0, e com a concavidade para baixo, se a < 0;
f quanto maior o valor absoluto de a, mais
“fechada” é a parábola; quando mais próximo de 0, mais “aberta” ela é;
f o vértice (xv , yv) da parábola pode ser determinado a partir dos coeficientes a, b e c,
–b
sendo xv =
e yv = f(xv);
2a
f as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 são
–yv
–yv
x1 = xv –
e x2= xv +
;
a
a
∙∙∙
∙∙∙
50
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Matemática - 1a série - Volume 2
f os resultados anteriores traduzem a conhecida fórmula de Bhaskara para as raízes;
f o estudo do sinal da função pode ser feito a partir do conhecimento das raízes
(dentro do intervalo das raízes, a função
tem sempre sinal contrário ao de a; fora
dele, tem sempre o sinal de a; quando
não existem raízes, a função tem sempre
o mesmo sinal).
Situação de aprendizagem 4
proBLemaS enVoLVendo FunçÕeS de 2º- grau
em mÚLtipLoS ConteXtoS; proBLemaS de
mÁXimoS e mÍnimoS
Tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: problemas envolvendo equações, inequações e funções de 2º- grau em diferentes
contextos; problemas envolvendo máximos ou mínimos de funções de 2º- grau.
Competências e habilidades: compreender fenômenos que envolvem a proporcionalidade direta entre
uma grandeza e o quadrado de outra, traduzindo tal relação na linguagem matemática das funções;
equacionar e resolver problemas que envolvem funções de 2º- grau, particularmente os que envolvem
otimizações (máximos ou mínimos).
Estratégias: apresentação de exemplos ilustrativos e de exercícios exemplares envolvendo grande parte dos conteúdos estudados na Situação de aprendizagem 3, sobre equações, inequações
e funções de 2º- grau, para serem explorados pelo professor.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
nesta Situação de aprendizagem, vamos
abordar diversos problemas que envolvem
equações, funções e inequações de 2º- grau.
praticamente todos os conteúdos sobre
tais temas foram estudados na Situação de
aprendizagem 3 e serão aqui retomados. os
exercícios e problemas apresentados são apenas exemplares de uma classe de problemas
que pode ser explorada pelo professor em sua
sala, em sintonia com o tempo disponível e o
interesse de seus alunos.
Atividade 1
na administração de uma empresa, procura-se estabelecer relações matemáticas entre as grandezas variáveis envolvidas, tendo
em vista a otimização da produção, ou seja,
a busca de um custo mínimo ou de um rendimento máximo. naturalmente, as relações
obtidas decorrem de certas hipóteses sobre
o modo de produção, que envolvem tanto a
proporcionalidade direta, quanto a inversa, a
proporcionalidade ao quadrado, o crescimento
exponencial, entre outras possibilidades. uma
disciplina que trata da formulação de modelos
51
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matemáticos (fórmulas) para representar
tais relações de interdependência chama-se
Pesquisa Operacional.
Suponha que em certa empresa de produtos eletrônicos, a organização da produção
é tal que o custo total C para produzir uma
quantidade q de um determinado produto seja
dado pela função C(q) = q2 – 1 000q + 800 000
(C em reais, q em unidades do produto.)
c) Para q = 0, o custo é igual a R$ 800 000,00;
como se interpreta tal fato?
a) Determine o nível de produção (valor de q)
que minimiza o custo total C e calcule o
valor do custo mínimo.
No modelo de produção suposto, o custo
de R$ 800 mil corresponde a dois níveis de
produção. Para determiná-los, basta resolver
a equação C(q) = 800 000, ou seja:
A pergunta é qual o valor de q que corresponde
ao mínimo valor da função C(q).
A função C(q) é de 2º- grau, traduzindo
algum tipo de proporcionalidade direta entre
uma grandeza e o quadrado de outra.
Seu gráfico é uma parábola cujo vértice
– (– 1000)
encontra-se no ponto qv =
= 500.
2
O nível de produção que corresponde ao
custo mínimo é, pois, q = 500; o valor do custo
mínimo é C(500) = 5002 – 1 000 . 500 +
+ 800 000 = 550 000 reais.
b) Faça o gráfico de C(q)
O gráfico de C(q) é uma parábola com a
concavidade para cima, cortando o eixo C
no ponto de ordenada 800 000, e com
vértice no ponto (500; 550 000):
C
C(q) = q 2 – 1 000q + 800 000
0
q
300
500
700
d) Qual é o nível de produção que corresponde a um custo de R$ 800 mil?
q2 – 1 000q + 800 000 = 800 000
de onde obtemos q = 0 ou q = 1 000.
e) Do ponto de vista do custo, tanto faz um nível
de produção q = 300 ou um nível de produção
q = 700. E do ponto de vista do rendimento
bruto (faturamento da empresa)?
De fato, do ponto de vista do custo, dois
níveis de produção simétricos em relação
ao vértice da parábola, como são R$ 300 e
R$ 700 mil, correspondem ao mesmo custo;
no caso, C(300) = C(700) = 590 000.
Entretanto, do ponto de vista do rendimento
bruto, certamente é preferível o nível de
produção maior.
Atividade 2
800 000
550 000
O custo inicial C(0) = 800 000 corresponde
ao custo fixo, independentemente de se
iniciar a produção (aluguéis, equipamentos,
salários etc.).
1 000
Para delimitar um galinheiro em um amplo
quintal, dispõe-se de 80 m (lineares) de tela.
Deseja-se usar completamente a tela disponível, e a região cercada deve ser um retângulo.
52
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Matemática - 1a série - Volume 2
Fixado o perímetro desse modo, são inúmeras
as possibilidades para os lados do retângulo,
como podemos perceber nos exemplos a seguir:
15 m
17 m
25 m
23 m
10 m
O vértice da parábola é o ponto onde
xv = 20, ponto médio do segmento
determinado pelas raízes (o vértice também
poderia ter sido obtido por meio da expressão
–b –40
= 20). Os lados do retângulo
=
xv =
–2
2a
de área máxima serão, portanto, 20 e 40 – 20,
ou seja, o retângulo de área máxima é um
quadrado de lado 20.
b) qual é o valor da área máxima?
30 m
A área A do retângulo é uma função
do comprimento dos lados do mesmo. Entre todas as possibilidades para os lados,
procura-se, naturalmente, aquela que corresponde à maior área possível para o retângulo.
O valor máximo de A(x) é:
A(xv) = – (20)2 + 40 . 20 = 400 m2.
Atividade 3
40 – x
x
Dessa forma,
a) quais devem ser as medidas dos lados do
retângulo para que sua área seja a maior
possível?
Chamando um dos lados de x, o outro será
40 – x, e a área do retângulo será igual a
A(x) = x.(40 – x).
Buscamos o valor de x para que a área A(x)
atinja o valor máximo.
A(x) é uma função de 2º- grau:
A(x) = x . (40 – x) = –x2 + 40x.
Seu gráfico é uma parábola com a
concavidade voltada para baixo.
Deseja-se murar (cercar com muros) um
terreno retangular utilizando-se de uma parede já existente no terreno. Sabe-se que o comprimento de muro correspondente aos outros
três lados do terreno é 36 metros.
Parede
x
a) Expresse a área A desse terreno em
função de x (medida de um dos lados
do retângulo).
Sendo o comprimento dos 3 lados do muro
igual a 36 m, se um dos lados é x, o outro
será 36 – 2x, e a área do retângulo será:
A(x) = x .(36 – 2x).
As raízes da equação de 2º- grau A(x) = 0
são x = 0 ou x = 40.
53
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b) Construa o gráfico de A em função do lado x.
O gráfico de A(x) é uma parábola com a
concavidade para baixo, tendo como raízes
da equação de 2º- grau correspondente os
valores 0 e 18.
A
A(x) = 36x – 2x2
162
x
preços pagos por kg. Com base nas informações
fornecidas, mantida a situação atual, pede-se:
a) determinar a melhor data para vender o
bezerro, contada a partir de hoje.
Nossa incógnita é o valor x de dias, contados
a partir de hoje, após os quais o bezerro deve
ser vendido, de modo a gerar o maior retorno
y possível, em R$.
Para encontrar o valor de y, devemos
multiplicar o peso p (massa) em kg do bezerro pelo valor v pago por kg: y = p . v.
c) Calcule a área máxima que o terreno cercado pode ter e as respectivas dimensões.
O enunciado informa que o peso p aumenta
2 kg por dia, a partir do valor inicial 200 kg,
ou seja, p = 200 + 2x, onde x é o número de
dias decorridos até a venda.
O valor máximo da área A ocorre para
x = 9 (ponto médio do segmento entre
as raízes); a área máxima é igual a
A(9) = 36 . 9 – 2 . 92 = 162 m2.
O valor v de cada kg, no entanto, decresce
à razão de 0,40 reais por dia, a partir do
valor inicial 50 reais; temos, então, que
v = 50 – 0,40x.
0
9
18
Logo, o valor arrecadado será igual a
y = p . v , ou seja,
Atividade 4
Um criador de gado tem um bezerro de
determinada raça para vender. Esse bezerro
pesa atualmente 200 kg e engorda 2 kg por
dia. Inicialmente, o criador acha que, quanto mais tempo esperar para vender o bezerro, melhor será, pois o bezerro ganhará mais
peso. Entretanto, um de seus funcionários
lembra ao criador de que o preço de venda, que hoje é R$ 50,00 por kg, está caindo
R$ 0,40 por dia. A escolha da melhor data
para vender o bezerro depende, então, de
duas variáveis: a engorda diária e a queda nos
y = (200 + 2x ) . (50 – 0,40x) = –0,80x2 +
+ 20x + 10 000
O valor a ser arrecadado é, portanto, uma
função do 2o grau:
f(x) = – 0,80x2 + 20x + 10 000
Determinar a melhor data para vender o
bezerro corresponde a buscar o valor de x
para o qual f(x) assume seu valor máximo.
De fato, a função tem o coeficiente a
negativo (a = – 0,80), e, portanto apresenta
um valor máximo. Tal valor máximo
ocorre exatamente no vértice do gráfico de
54
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Matemática - 1a série - Volume 2
f(x). Calculando o valor de xv , obtemos:
–b
–20
xv = =
= 12,5 . Concluímos, então,
2a –1,60
que, mantidas as condições atuais, a melhor
data para vender o bezerro é daqui a 12,5
dias, ou seja, entre o 12o e o 13o dia.
b) calcular o valor em R$ que será arrecadado em tal venda.
O valor a ser arrecadado com a venda é:
f(12,5) = – 0,80. 12,52 + 20. 12,5 + 10 000,
ou seja, é igual a R$10 125,00.
c) fazer um gráfico que represente o valor y
a ser arrecadado pelo criador na venda do
bezerro (em R$) em função do tempo x de
espera (em dias).
O gráfico de f(x) é mostrado abaixo: trata-se
de uma parábola com a concavidade para baixo, tendo como vértice o ponto (12,5; 10 125)
y
10 125
10 000
12,5
x
d) determinar quantos dias levará para que
o total arrecadado pelo criador seja zero.
O valor arrecadado pelo criador será zero
quando tivermos
– 0,80x2 + 20x + 10 000 = 0
∙∙∙
∙∙∙
∙∙∙
Uma das raízes é negativa e não faz sentido
para o problema; a outra, a positiva, é igual a
12,5 + 112,5 = 125 dias.
Uma maneira mais simples de responder
essa questão teria sido aproveitar a forma
fatorada da equação de 2o grau, pois
sabíamos, desde o início, que
(200 + 2x) . (50 – 0,40x) = – 0,80x2 + 20x +
+ 10 000
Logo, para obter as raízes, bastaria igualar
a zero os fatores do primeiro membro,
obtendo x = –100, que não faz sentido no
50
= 125, que é a solução
problema, e x =
0,40
anteriormente encontrada.
Atividade 5
f(x) = – 0,80x2 + 20x + 10 000
0
Procurando as raízes desta equação,
encontramos:
–yv
–10125
= 12,5 ±
=
x = xv ±
a
–0,80
∙∙∙∙
12656,25 = 12,5 ± 112,5.
= 12,5 ± ∙∙∙
Em um determinado país ocorreu uma epidemia provocada por certa espécie de vírus.
Inicialmente, foram detectadas 2 000 pessoas
infectadas. A estimativa de médicos especialistas
é a de que o número n de doentes cresça até um
valor máximo l, que deverá ocorrer após terem
decorrido 6 semanas desde o aparecimento do
vírus, devendo decrescer a partir daí. Supõe-se
que a diferença n(t) – l seja diretamente proporcional ao quadrado da diferença entre t e 6,
ou seja, quando dobra a distância entre t e 6 (que
será o pico da doença), a queda no número de
infectados torna-se 4 vezes maior:
55
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n(t) = k.(t – 6)2 + l (k é uma constante).
Com base nesse modelo, e sabendo que
duas semanas após o início da epidemia havia
2 100 pessoas infectadas, responda:
d) Depois de quantas semanas o número de
infectados cairá a zero?
O número de doentes cairá a zero quando
tivermos N(t) = 0, ou seja, quando
–5(t – 6)2 + 2 180 = 0.
a) Quais são os valores de k e l?
Sabemos que o valor de N para t = 0
é 2 000, e para t = 2 é 2 100; a partir
dessas informações, podemos calcular os
coeficientes k e L:
Calculando o valor de t, obtemos:
(t – 6)2 = 436
t – 6 ≅ 20,9
t ≅ 26,9 semanas
N(2) = k.(2 – 6)2 + L = 2 100
(O outro valor possível para t é negativo
e não faz sentido para o problema em
questão.)
Concluímos, então, que 36k + L = 2 000
e 16k + L = 2 100.
Atividade 6
N(0) = k.(0 – 6)2 + L = 2 000
Daí segue que k = –5 e L = 2 180.
Temos, portanto: N(t) = –5.(t – 6)2 + 2 180
b) Como é o gráfico de N(t)?
O gráfico de N(t) é o mostrado abaixo:
N(t) = – 5.(t – 6)2 + 2 180
N
2 180
2 100
2 000
t
0
?
6
c) Qual será o número
pessoas infectadas?
máximo
de
Como se pode depreender da expressão
N(t) e do gráfico, o valor máximo para
N é 2 180.
Em certo ambiente, a velocidade V de
crescimento de uma população n é, em cada
instante, diretamente proporcional ao valor
de n, e também à diferença entre um
valor limite l, estimado como o máximo admissível para uma vida sustentável no ambiente em questão, e o valor de N em cada instante:
V = k . n . (l – n), sendo k uma constante
positiva. Podemos dizer, então, que a velocidade V é uma função de n, expressa pela
fórmula V = f(n) = k . n . (l – n), ou seja,
V = f(n) = – kn2 + kl.n
Supondo L = 100 000 habitantes, e sabendo
que para N = 10 000 a velocidade de crescimento é igual 900 habitantes por ano, determine:
a) o valor da constante k.
Para L = 100 000 habitantes, a função que
expressa a velocidade de crescimento
populacional é:
56
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Matemática - 1a série - Volume 2
V = f(N) = k.N. (100 000 – N).
Como se sabe que V = 900 para N = 10 000,
resulta que:
900 = k. 10 000.(100 000 – 10 000), ou seja,
k = 10–6
Temos, então, para a função V = f(N):
V = f(N) = 10–6 . N . (100 000 – N), ou
ainda, V = f(N) = –10–6 . N2 + 10–1 . N
b) para quais valores de n a velocidade de
crescimento é igual a zero.
d) para qual valor de n a velocidade de crescimento é máxima.
A velocidade de crescimento é máxima no
vértice da parábola que é o gráfico de f(N);
temos
–10 –1
= 50 000.
Nv =
–2 . 10 –6
e) o gráfico de V em função de n.
O gráfico de V = f(N) é apresentado
a seguir.
Para responder a pergunta, basta determinar
as raízes da equação f(N) = 0.
V = f(N) = 10 –6 . N(100 000 – N)
V
Encontramos, então, N = 0 ou N = 100 000.
c) para quais valores de n a velocidade
de crescimento da população é positiva, ou seja, a população cresce, e para
quais valores de n a velocidade de crescimento é negativa, ou seja, a população decresce.
Como f(N) é uma função de 2º- grau com o
coeficiente de N2 negativo, a parábola que é
o gráfico de f(N) tem a concavidade voltada
para baixo. Segue que o sinal de f(N) é
positivo (contrário ao do coeficiente de N2) no
intervalo entre as raízes (0 < N < 100 000) e
é negativo para N > 100 000 (N < 0 não faz
sentido no problema). Portanto, a velocidade V
de crescimento será positiva (a população
cresce) para uma população menor que
100 000 habitantes. A partir desse limite,
a velocidade de crescimento passará a ser
negativa (a população decresce).
N
0
50 000
100 000
Considerações sobre a avaliação
Consideramos que os objetivos da presente Situação de Aprendizagem terão sido
atingidos se os alunos tiverem sido sensibilizados sobre a presença das funções de segundo grau em diversos contextos práticos,
sendo capazes de identificar as interdependências envolvidas, e reconhecer as situações
de máximo ou de mínimo presentes, sabendo
calcular as coordenadas dos pontos críticos
(máximos ou mínimos) correspondentes.
Especialmente nesta Situação de Aprendizagem, as atividades devem ter um caráter
57
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essencialmente qualitativo, não podendo ser
associadas a imensas listas de exercícios meramente repetitivos.
Muitos outros exercícios ou problemas poderiam ser aqui apresentados, e o professor
que dispuser de tempo para continuar, não
terá dificuldades em encontrá-los ou mesmo “fabricá-los” com base nos que foram
resolvidos. Consideramos, no entanto, que
não é exatamente a quantidade de questões
examinadas que é decisiva para uma compreensão adequada dos temas, mas, sim, o modo
como elas são exploradas em classe, garantindo-se um tratamento das mesmas que favoreça
um aprendizado consciente e efetivo. Sobretudo quando envolvem modelos matemáticos
utilizados em outras áreas do conhecimento,
é muito importante conversar sobre a plausibilidade dos mesmos, não bastando apenas
receber fórmulas prontas e fazer cálculos aparentemente arbitrários.
OriENtAçõES pArA rECupErAçãO
Caso considere que os alunos não tenham
atingido as metas mínimas prefiguradas em
cada uma das Situações de Aprendizagem,
o professor pode optar por uma das estratégias seguintes:
professor tente despertar tal interesse, mas
o imprescindível é que os alunos aprendam
os fatos fundamentais do tema, mesmo que
tenham chegado até eles por vias distintas
das aqui propostas;
f apresentar inicialmente os conteúdos básicos sobre funções de 1o e de 2o grau do
modo esquemático como costuma ser
apresentado na maioria dos materiais didáticos disponíveis, portanto, sem destacar
a ideia de proporcionalidade direta de y em
relação a x, ou a x², introduzindo paulatinamente as explicações ou as justificativas
dos resultados fundamentais como foram
apresentadas no presente Caderno, na medida em que tais justificativas despertem
efetivamente o interesse dos alunos. Naturalmente, consideramos importante que o
f uma vez que, de uma forma ou de outra,
os conteúdos apresentados no presente
Caderno já estiveram presentes na 8ª- série
do Ensino Fundamental, iniciar os conteúdos referentes às funções de 1º- e de
2º- graus como se fosse uma recordação,
por meio das atividades envolvendo problemas, invertendo a ordem em que tais
temas foram expostos. Assim, a apresentação mais sofisticada, mais apropriada
para o Ensino Médio, pode ser mais nitidamente apoiada em abordagens mais
simples, à guisa de revisão.
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Matemática - 1a série - Volume 2
RECURSOS PARA AmPLiAR A PERSPECtivA dO
PROfESSOR E dO ALUNO PARA A
COmPREENSAO dO tEmA
Alguns materiais podem ser utilizados pa­
ra complementação e enriquecimento do que
aqui se apresentou:
SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Edu­
cação. Programa de Educação Continuada
(PEC). Material sobre funções. São Paulo:
SE/CENP, 2001.
SÃO PAULO. Secretaria de Estado da
Educação. Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas. Proposta Curricular
para o ensino de Matemática: 2º- grau. 3. ed.
São Paulo: SE/CENP, 1992.
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Considerações Finais
Chegamos ao final deste percurso em que
revimos a ideia básica de função como relação de interdependência, as relações de proporcionalidade direta como característica
das funções de 1º- grau, e as relações de proporcionalidade direta com o quadrado, que
são suficientes para caracterizar as funções
de 2º- grau.
Ao final da Situação de Aprendizagem 1,
pressupõe-se que os alunos consolidaram a
ideia de função; se o professor considerar que
o desempenho dos mesmos ainda não é satisfatório, sugerimos uma exploração bem direta
das relações de interdependência com base em
tabelas ou gráficos de diversos tipos, extraídos
de jornais ou revistas. O recurso a diferentes
linguagens para a apresentação da interdependência pode contribuir decisivamente para
a compreensão da ideia central: uma grandeza
que tem os seus valores determinados a partir
dos valores atribuídos a outra é uma função
dessa outra, em sentido próprio.
Na Situação de Aprendizagem 2, o foco foi
colocado em uma particular relação de interdependência: a proporcionalidade direta, que não
pode ser confundida com a mera associação
com duas grandezas que crescem simultaneamente, ou decrescem simultaneamente: a manutenção das proporções nesse crescimento ou
decrescimento conjunto é absolutamente fundamental para garantir a proporcionali dade.
Assim como os temas da primeira Situação
de Aprendizagem, é provável que estes também já tenham sido apresentados aos alunos
anteriormente. Cabe ao professor decidir se as
atividades constituem uma apresentação inicial
ou uma consolidação das ideias já vistas.
Na Situação de Aprendizagem 3, a função de 2º- grau é completamente apresentada.
Ainda que alguns aspectos da mesma tenham
sido abordados na 8ª- série, como a solução
das equações de 2º- grau, este é o momento
mais adequado para um estudo sistematizado
do tema. Apesar de termos feito tal estudo,
buscamos constantemente, ao longo do mesmo, dar ênfase ao significado das noções
apresentadas, minimizando o tempo dedicado às técnicas de cálculo. Todas as técnicas
necessárias foram contempladas: gráficos,
vértices, raízes, inequações, etc., porém, sempre procurando um modo compreensivo de
abordagem além da mera apresentação de
fórmulas a serem memorizadas, nem mesmo
a tradicional e amplamente conhecida fórmula de Bhaskara. Ainda que alguns dos caminhos sugeridos na apresentação dos temas
não sejam os mais conhecidos, convidamos o
colega professor para viajar conosco e temos
a certeza de que ele vai apreciar a alternativa
proposta. Qualquer que seja o caminho, no
entanto, os fatos fundamentais sobre a função de 2º- grau – tais como: as características do gráfico, o significado dos coeficientes,
a determinação das raízes da equação correspondente, o estudo dos sinais da função –
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devem ser conhecidos dos alunos ao final
dessa Situação de Aprendizagem.
Na Situação de Aprendizagem 4, reservamos o espaço para a solução de alguns problemas clássicos envolvendo funções de 2º- grau,
sobretudo os que dizem respeito a questões
de otimização ou a problemas de máximos e
mínimos. Naturalmente, as atividades apresentadas têm apenas o caráter de exemplificar:
muitas outras poderão ser propostas, com finalidades análogas.
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Conteúdos de matemátiCa por série/bimestre
4o- bimestre
3o- bimestre
2o- bimestre
1o- bimestre
do ensino médio
1a- série
2a- série
3a- série
NÚMEROS E SEquêNciaS
- Conjuntos numéricos.
- Regularidades numéricas:
sequências.
- Progressões aritméticas, progressões geométricas; ocorrências em
diferentes contextos; noções de
matemática financeira.
TRigONOMETRia
- Arcos e ângulos; graus e radianos.
- Circunferência trigonométrica: seno,
cosseno, tangente.
- Funções trigonométricas e fenômenos periódicos.
- Equações e inequações trigonométricas.
- Adição de arcos.
gEOMETRia aNalíTica
- Pontos: distância, ponto médio e
alinhamento de três pontos.
- Reta: equação e estudo dos coeficientes, retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto a reta;
problemas lineares.
- Circunferências e cônicas: propriedades, equações, aplicações em
diferentes contextos.
FuNçõES
- Relação entre duas grandezas.
- Proporcionalidades: direta,
inversa, direta com o quadrado.
- Função de 1º- grau, função de
2º- grau; significado e ocorrência
em diferentes contextos.
MaTRizES, dETERMiNaNTES E
SiSTEMaS liNEaRES
- Matrizes: significado como tabelas,
características e operações.
- A noção de determinante de uma
matriz quadrada.
- Resolução e discussão de sistemas
lineares: escalonamento.
EquaçõES algébRicaS,
pOliNôMiOS, cOMplExOS
- Equações polinomiais: história,
das fórmulas à análise qualitativa.
- Relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial.
- Polinômios: identidade, divisão
por x – k e redução no grau de
uma equação.
- Números complexos: significado
geométrico das operações.
FuNçõES ExpONENcial E
lOgaRíTMica
- Crescimento exponencial.
- Função exponencial: equações e
inequações.
- Logaritmos: definição, propriedades,
significado em diferentes contextos.
- Função logarítmica: equações e
inequações simples.
aNáliSE cOMbiNaTóRia E
pRObabilidadE
- Raciocínio combinatório: princípios
multiplicativo e aditivo.
- Probabilidade simples.
- Arranjos, combinações e permutações.
- Probabilidades; probabilidade condicional.
- Triângulo de Pascal e Binômio de
Newton.
ESTudO daS FuNçõES
- Panorama das funções já estudadas: principais propriedades.
- Gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmica e
polinomiais.
- Gráficos: análise de sinal, crescimento, decrescimento, taxas de
variação.
- Composição: translações, reflexões, inversões.
gEOMETRia-TRigONOMETRia
- Razões trigonométricas nos
triângulos retângulos.
- Polígonos regulares: inscrição,
circunscrição; pavimentação
superfícies.
- Resolução de triângulos não
retângulos: lei dos senos e lei
dos cossenos.
gEOMETRia MéTRica
ESpacial
- Organização do conhecimento
geométrico: conceitos primitivos,
definições, postulados, teoremas.
- Prismas e cilindros: propriedades,
relações métricas
- Pirâmides e cones: propriedades,
relações métricas.
- A esfera e suas partes; relações
métricas; a esfera terrestre.
ESTaTíSTica
- Cálculo e interpretação de índices
estatísticos.
- Medidas de tendência central:
média, mediana e moda.
- Medidas de dispersão: desvio
médio e desvio padrão.
- Elementos de amostragem.
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