SIMULAÇÃO DA EXPANSÃO LIVRE UM GÁS IDEAL A PARTIR DE
AUTÔMATOS CELULARES BIDIMENSIONAIS.
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Luis Paulo Mourão dos Santos* , Henrique Jorge Mascarenhas Soares , Francisco André Andrade
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de Aguiar , Karlo David Alves Sabóia .
1. Universidade Estadual do Ceará – Curso de Licenciatura Plena em Química
2. Universidade Estadual do Ceará – Curso de Licenciatura Plena em Química. Brasil.
* [email protected].
Palavra – chave: Gás Ideal. Autômatos Celulares. Simulação. Termodinâmica.
Resumo.
O estudo do gás ideal é foco principal de estudo da termodinâmica, contudo, para o entendimento do
comportamento de um gás nesse estado é necessário um tratamento matemático apurado, uma vez
que, as provas matemáticas desse fenômeno dependem da aplicação do conhecimento de cálculo
diferencial integral. Destarte, em contra partida a estas equações o presente artigo apresenta criação
de um banco de dados destinados a construção de software capaz de representar o comportamento
de um gás no estado ideal, assim como, de simular a expansão livre de tal gás. Para tal, usaremos
nesse trabalho autômatos celulares bidimensionais, haja vista, esses serem implementações
extremamente simples que nos permitem a manipulação direta de seus parâmetros para o estudo de
sua dinâmica e amplamente usado nos meios científicos. O sistema criado a partir de tais ferramentas
se mostrou coerentes com a teoria cinética dos gases, tendo se mantido homogêneo e a energia
cinética constante ao longo dos instantes de tempos analisados.
Introdução.
A matéria à temperatura ambiente apresenta-se em três estados físicos ou fases: sólido,
líquido e gasoso. A diferença essencial entre essas fases é a liberdade de movimento das partículas
em se deslocar uma com relação às outras (ATKINS, 2003). Destarte, um gás pode ser definido como
uma forma fluida da matéria constituída de um número enorme de partículas separadas entre si por
muitos diâmetros moleculares num movimento contínuo e aleatório (ATKINS; PAULA, 2007).
Um gás apresenta algumas características importante tais como: são sempre formados por átomos
ou compostos moleculares de baixa massa molecular, expande-se espontaneamente ocupando todo
o recipiente que o contêm, além do que, são altamente compressíveis (BROWN, 2005).
Um gás confinado num recipiente é um sistema bastante complexo para ser analisado a partir das
leis newtonianas, uma vez que as colisões entre as moléculas podem ser inelásticas (RESNICK et al,
1996). Dessa forma, as energias destas colisões podem ser absorvidas pelas moléculas na forma de
energia interna de várias maneiras. Além disso, a presença de forças atrativas e repulsivas e o
tamanho das moléculas dificultam ainda mais esta análise (RESNICK et al, 1996). Logo, se faz
necessário desenvolver um modelo simplificado de um gás que permita fazer cálculos e compreendêlo fisicamente; este modelo é conhecido como “gás ideal”. Um gás ideal é uma substância hipotética
que não existe na natureza e obedece perfeitamente a uma equação de estado em todas as pressões
(SOMMERFELD, 1964), diferentemente de um gás que existe na natureza denominado de gás real.
Segundo Nussenzveig (1996), um gás real aproxima-se do comportamento ideal quando a
temperatura deste se distancia do seu ponto de liquefação e num estado de rarefação extrema.
O modelo que permite explicar a lei dos gases ideais é conhecido como a Teoria ou Modelo Cinético
dos Gases o qual está fundamentado sob as seguintes hipóteses (ATKINS, 2003; CASTELLAN,
1986):
 Um gás ideal é constituído de um número extremamente grande de partículas
(moléculas) de diâmetros moleculares desprezíveis.
 Todas as partículas estão num movimento caótico e incessante.
 Não há a ação de campo gravitacional ou a presença de forças atrativas e/ou
repulsivas, assim estas partículas obedecem às leis newtonianas.
 Durante as colisões das partículas com as paredes do recipiente ou entre si é
conservado o momento linear bem como a energia cinética, logo, as colisões são elásticas.
Portanto, um gás ideal é um modelo físico que permite fazer previsões do
comportamento de um gás real a partir de uma equação de estado. A equação de estado que
descreve o comportamento de um gás hipotético, ou ideal, é dada por:
A constante k apresentada na equação é conhecida como a constante de Boltzmann.
Contudo, não é comum escrever a equação acima nesses termos do número de moléculas N, mas do
número de mols (n), o qual: n = N/NA, sendo NA o número de Avogadro (RESNICK et al, 1996). Assim
obtemos a equação:
Como R = kNA, em que R é conhecida como a constante universal dos gases (BROWN
et al, 2005). A equação é conhecida como a equação de estado do gás ideal ou lei do gás ideal, a
equação de estado que fundamenta a relação matemática entre as propriedades macroscópica de um
sistema (RESNICK et al, 1996).
Como apresentado acima o gás ideal é um sistema dinâmico e complexo de ser
representado, logo se faz necessário o uso ferramentas de fácil manipulação e que não apresente
equações complicadas. Para tanto, os autômatos celulares (AC) são ferramentas ideais para tal
finalidade. Os AC são modelos matemáticos com objetivo de promover modelos formais para a
simulação de fenômenos complexos nas diversas áreas do conhecimento humano. Estes são
descritos como sistemas discretos, sendo freqüentemente usados em contrapartida às equações
diferenciais parciais que apresentam a potencialidade para descrever sistemas dinâmicos contínuos
(PASCOAL, 2005). Em outras palavras, um autômato celular é um conjunto de células identicamente
programadas que interagem entre si em função de uma coleção finita de pré-condições definidas
(JUAN LI, 2009).
Metodologia.
Iniciamos este trabalho com a escolha da linguagem de programação que mais se
®
adequasse. Optamos por usarmos nestas simulações pela linguagem MatLab . Tal escolha se deu
por se tratar de uma linguagem de alto nível preferencialmente usada para simulações de problemas
científicos. Sua estrutura matricial permite cálculos simultâneos de vários setores num mesmo
algoritmo, proporcionando assim uma maior rapidez e eficácia na resolução do problema
®
(MATSUMOTO, 2002). Como o MatLab trabalha diretamente com matrizes, inicialmente será criada
uma matriz randômica com as dimensões e números de elementos desejados. Além da matriz
contendo as partículas, o algoritmo criará outra matriz associando a cada partícula uma velocidade
aleatória inicial. Após a geração das matrizes, o programa precisa de um parâmetro para decidir
quando deve parar. O parâmetro escolhido foi o tempo de evolução do sistema. Assim, partindo do
t=0, a cada “volta” do programa, o algoritmo soma ao tempo t uma unidade. Se o tempo final não for
alcançado, o algoritmo cai em outro loop. Ele movimentará cada partícula de acordo com a matriz das
velocidades associadas. Após movimentar cada partícula, o programa analisa se houve ou não
choque entre elas. Caso não tenha havido, as novas matrizes, localização das partículas e
velocidades associadas, serão salvas e o tempo é acrescido de uma unidade. Caso o programa veja
que houve choques, será necessária então a análise de cada um desses choques e um programa
para cada tipo de choque precisou ser escrito, uma vez que existem diversos tipos deles. Novamente,
ao fim desse processo, o tempo é acrescido de uma unidade e o ciclo prossegue até o tempo
finalmente atingir o tempo máximo desejado, tf. Veja a figura 1.
A representação gráfica do choque entre duas ou mais partículas é dado de acordo a com a figura 2,
a região em vermelho indica o choque entre as partículas. As setas indicam a direção das partículas
antes e depois do choque e estas estão de acordo com as leis newtonianas.
Figura 1 – Estrutura básica do algoritmo usado nesse trabalho.
Figura 2 – Representação gráfica do choque entre duas ou mais partículas.
Resultados e Discussões.
Analisamos inicialmente à energia cinética (K) do sistema e posteriormente a pressão.
Esta última é o resultado do número de colisões das partículas comas bordas do recipiente no o gás
estar contido (ATKINS; PAULA, 2007) para nós o recipiente é um ambiente bidimensional composto
por 502681 células das quais 30% formam as partículas de um gás ideal. O resultado de K do
sistema é apresentado na figura 3, note que K manteve-se num valor inalterado ao longo dos 50
instantes de tempo analisados, isto, nos porta a acreditar que também a massa do sistema
conservou-se, uma vez que as velocidades associados a todas as partículas são iguais em módulo e
K é uma função da massa das partículas. Logo, o resultado para a pressão desse sistema pode ser
visto na figura 4, esse valor foi expresso em escala logaritma. Observe que a curva não é uma reta,
uma vez que a pressão de um sistema gasoso é uma média do número de colisões das partículas
com as paredes do recipiente (CASTELLAN, 1986). Usamos as seguintes unidades para expressar a
K e pressão respectivamente J (Joule) e Pa (Pascal) (ATKINS, 2003).
Figura 3 – Gráfico da energia cinética.
Figura 4 – Gráfico da pressão em função do
tempo.
Concentramos então, 4,42% das células do total no centro do ambiente como visto na
figura 5. Observando somente esta região (figura 6) é possível notar que há pontos vazios, estes são
reflexões do preenchimento aleatório do gás.
Figura 5 – Concentração das partículas no
centro do ambiente bidimensional.
Figura 6 – Presença de espaços vazios
na região concentrada.
O nos leva crê numa criação randômica, ou seja, o preenchimento aleatório dessa
região. Depois de passados 20 instantes de tempo figura 7 é possível perceber que um número grane
partículas se expandiram e que há poucas partículas no centro da matriz.
Figura 7 – Depois de decorridos 20 instantes de tempo, é nítido perceber que ocorreu uma difusão das partículas
concentradas no centro da matriz.
A simulação foi estendida por 200 instantes de tempo como pode ser visto na figura 8.
Nessa é possível notar que há uma distribuição uniforme das partículas do gás no ambiente e que
não há mais uma concentração de partículas no centro da matriz como visto nas figuras 5 e 6.
Figura 8 – Distribuição das partículas do gás no processo de expansão, após decorridos 200 instantes de tempo.
Conclusão.
Neste trabalho, objetivou-se a criação de banco e dados para a produção de software
capaz de representar um gás ideal, além gerar figuras que mostram a expansão desse gás em
função do tempo. Assim, de acordo com os gráficos mostrados nas figuras 3 e 4 pode-se concluir o
sistema criado apresenta um comportamento ideal. De maneira análoga, como pode ser visto nas
figuras 5 a 8 o sistema mostrou resultados similares ao esperado para a expansão de livre de gás,
uma vez que as partículas efundiram aleatoriamente e uniformemente pelo ambiente.
Como é de se esperar estas simulações estão distante de representar um sistema real, uma vez que
foi usado neste trabalho AC 2D e fenômenos similares ocorrem em ambientes tridimensionais .
Contudo, a partir desse trabalho é possível implementar mais um parâmetro e gerar imagem em três
dimensões para assim aproximar-se de sistema real.
Referencial Bibliográfico.
ATKINS, Peter. Físico-Química: Fundamentos. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 464 p.
ATKINS, Peter; PAULA, Julio de. ATKINS: Físico-Química. 7ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 1 V e 2
V.
a
BROWN, Theodore L. et al. Química: A Ciência Central. 9 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2005. 972 p. (ISBN 85-87918-42-7).
CASTELLAN, Gilbert. Fundamentos de Físico-Química. Rio de Janeiro: LTC, 1986. 528 p.
JUAN
LI.
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HUT.
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<http://www.control.hut.fi/hyotyniemi/publications/04_report145/chapter7.pdf> Acesso em: 27 abril.
2009.
®
MATSUMOTO, Élia Yathie. MATLAB 6.5: Fundamentos de Programação. 2ª Ed. São Paulo: Érica,
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NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica: Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor. 3. ed. São
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PASCOAL, Fábio Sant´Ana. et al. Sociedade Artificial fight4life: Automata Celular Modelando Vida
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Disponível
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RESNICK, Robert; et al. Física. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 1 V e 2 V.
SCHATTEN,
Alexander.
Cellular
Automata
Tutorial.
Disponível
em:
<http://www.shcatten.info/info/ca/ca.html> Acesso em: 27 abril. 2009.
SOMMERFELD, Arnold. Thermodynamics and Statistical Mechanics. New York: Academic Press,
1964. Volume V.
Agradecimentos.
Os autores agradecem ao CVT (Centro Vocacional Tecnológico) de Crateús, pelo
suporte dado ao desenvolvimento desse trabalho.