Física: Energia
Professor Marcos Roberto Rossini
1. Trabalho e potência
ASSISTA: Noção de trabalho mecânico de uma força constante
http://www.youtube.com/watch?v=sx-fykI3pTQ
ASSISTA: Mec: a lei de Hooke.wmv
http://www.youtube.com/watch?v=tuCHACltI7k&feature=related
ASSISTA: Lei de Hooke
http://www.youtube.com/watch?v=IKXhLDIBnEg&feature=related
1.1 Trabalho realizado por uma força constante
Gosto de pensar no trabalho de uma força como o custo para se realizar
uma transformação. Por exemplo, quando empregamos a energia elétrica para
aquecermos a água do chuveiro, certa quantidade de “kWh” é empregada neste
processo. Digamos que o chuveiro tenha potência de 4000W ou 4,000kW, e
durante um mês tenha ficado ligado por 15h. O trabalho necessário nesta operação
foi 4,000kW vezes 15h, ou seja, 60kWh.
Quando digo que gosto de pensar no
trabalho de uma força como o custo, o preço, da transformação, é porque podemos
converter esta grandeza em dinheiro. Na conta de luz está o valor da tarifa, ou
seja, está informado quanto custa um quilowatt-hora. Observe que não
convertemos metros por segundo em dinheiro, tampouco newtons.
Pense em um problema simples: encher uma caixa d’água. O custo desta
operação dependerá de três parâmetros: da altura da caixa em relação ao solo, da
quantidade de água que iremos levar até a caixa, e da aceleração gravitacional
Todos estes parâmetros são diretamente proporcionais ao custo. Dobrou a altura,
dobra o preço, dobrou a massa de água a ser transportada, dobrou o preço, e
dobrou a aceleração da gravidade, dobrou o preço. Os foguetes que saíam da Terra
para a Lua eram enormes na saída e minúsculos na volta porque é necessário
muito combustível para sair da Terra e relativamente pouco para se escapar do
campo gravitacional da Lua.
Expressamos matematicamente o trabalho da força feita por um operador
que eleva de uma altura “h” certa quantidade de massa “m”, em um local onde a
aceleração da gravidade vale “g” como:

O produto “m.g” é a força peso, então faz sentido definirmos o trabalho, “”,
de uma força constante, F, na direção do deslocamento, S, como
‖ ‖‖
U1.1-1
‖
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neste caso o trabalho é positivo, e denominado trabalho motor, cujo efeito é
aumentar o módulo da velocidade. A unidade do trabalho é
J = joule = newton x metro = N.m.
Amadureceremos a ideia do trabalho de uma força constante considerando
ainda duas outras situações: força oposta ao deslocamento e força normal ao
deslocamento. No primeiro caso, força oposta o deslocamento, a força provoca
redução do módulo da velocidade, e o trabalho é resistente. Contudo, quando
a força é normal ao deslocamento, o módulo da velocidade não é alterado,
muda apenas a sua direção, e por definição, dizemos que o trabalho é nulo.
Quando a força formar um ângulo “” qualquer com o deslocamento,
somente a componente da força na direção do deslocamento realizará trabalho, ou
seja,
James Prescott Joule
(Salford, 24 de dezembro de 1818 — Sale, Trafford, 11 de outubro de 1889)
Joule (pronuncia-se /ˈdʒuːl/[Jule]) foi um físico britânico, estudou a natureza do
calor, e descobriu relações com o trabalho mecânico. Isso direcionou para a teoria da
conservação da energia (a Primeira Lei da Termodinâmica). A nomenclatura joule, para
unidades de trabalho no SI só veio após sua morte, em homenagem. Joule trabalhou com
Lorde Kelvin, para desenvolver a escala absoluta de temperatura, também encontrou
relações entre o fluxo de corrente através de uma resistência elétrica e o calor dissipado,
agora chamada Lei de Joule.
As idéias de Joule sobre energia não foram primordialmente aceitas, em partes por que elas dependiam de
medições extremamente precisas, o que não era tão comum em física. No seu experimento mais bem conhecido (que
envolvia a queda de um corpo que fazia girar uma haste com pás dentro de um recipiente com água, cuja temperatura ele
mediu), era necessária a precisão de 1/200 graus Fahrenheit, o que seus contemporâneos não achavam possível. Os
trabalhos de Joule complementam o trabalho teórico de Rudolf Clausius, que é considerado por alguns como co-inventor do
conceito de energia.
Resistências vieram, pois o trabalho de Joule contrariava o que todos da época acreditavam, que o calor era um
fluido, o "calórico", e esse fluido não podia ser destruído nem mesmo criado. Joule, no entanto, dizia que o calor era apenas
uma das formas de energia, e somente a soma de todas as formas é que permanecia conservada. Hoje em dia pode ser
difícil entender tal atração na teoria do calórico, na época, essa teoria aparentava ter algumas vantagens óbvias. Joule
estava propondo uma teoria cinética do calor, que viria a requer um conceito a mais: se o calor é devido a agitação das
moléculas, por que então essa agitação não perdia sua intensidade gradualmente? As idéias de Joule necessitavam que se
acreditasse que as colisões entre as moléculas seriam perfeitamente elásticas, mas devemos lembrar que os conceitos de
U1.1-2
átomos e moléculas ainda não eram completamente aceitos. A teoria de máquinas de calor de Carnot funcionava
perfeitamente e era baseada no fato da existência do calórico, e somente depois foi provado por Lorde Kelvin que a
matemática de Carnot seria igualmente válida sem se assumir a existência do calórico.
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Eles viam a energia no universo como sendo um processo que poderia ser repetido
indefinidamente através da reciclagem da mesma energia. Essa idéia, no entanto, só veio a cair com a
descoberta da Segunda Lei da Termodinâmica, que diz que a energia percorre um único sentido, e a
descoberta da entropia.
http://pt.wikipedia.org/wiki/James_Prescott_Joule
1.2 Potência
Para uma força constante qualquer, que forma um ângulo “” com o
deslocamento, sempre é possível escrevê-la em termos dos versores e analisarmos
o trabalho realizado por cada componente separadamente. Assim, a componente
“x” da força só realiza trabalho nesta direção, porque é perpendicular a direção “y”
e a direção “z”. De modo análogo, o mesmo ocorre com as outras componentes.
Sendo assim, para uma força constante
no deslocamento
o trabalho é definido como
ou, em termos de produto escalar,
Recordamos que se define o produto escalar entre dois vetores como
‖ ‖‖ ‖
sendo AB o ângulo entre os vetores A e B.
U1.1-3
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O produto escalar é um operador linear que associa um escalar a dois
vetores. Sendo o cos 90° = 0 e cos 0° = 1, aplicando-se a definição de produto
escalar aos versores i, j e k, que possuem módulo igual a 1, teremos
Exemplo 1-1: Determine o trabalho da força F = 2Ni + 3Nj + 2Nk no
deslocamento S = -2mi + 1mj + 5mk.
SOLUÇÃO:

[
]
[
]
1.2 Trabalho realizado por uma força qualquer em uma trajetória qualquer
Durante um deslocamento, o valor da força pode variar. Nestre caso,
dividimos a trajetória em pequeninos deslocamentos dS e determinamos o trabalho
da força em cada pequeno deslocamento, d = F.dS, somando algebricamente
todos os trabalhos infinitesimais:
∫
U1.1-4
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A integral definida na equação (1-10) é uma integral de linha e pode
depender da trajetória escolhida. Apenas para uma classe especial de forças
que estudaremos a seguir, denominadas forças conservativas, o trabalho não
depende do caminho escolhido e o trabalho é nulo em um caminho fechado.
Quando a integral definida é uma soma de Riemann, como ocorre no cálculo do
deslocamento a partir da velocidade, sempre teremos ∫
, mas não é o
caso aqui.
Exemplo 1-2: Calcule o trabalho da força peso em pequenas altitudes,
considerando-a constante, quando se desloca um corpo de massa “m” do ponto
(xA; yA; zA) até o ponto (xB; yB; zB), considerando que a aceleração gravitacional
seja g = - g k.
SOLUÇÃO: Analisemos o trabalho da força peso num deslocamento infinitesimal
qualquer:
[
][
]
e portanto, considerando A = (xA; yA; zA) e B = (xB; yB; zB),
∫
∫
∫
A interpretação do trabalho da força peso, que acabamos de obter, é que o
trabalho da força peso não depende do caminho escolhido, mas depende apenas
das diferença de cotas entre os pontos A e B, z = zB – zA. Se o ponto B for “mais
alto” que o ponto A, o trabalho da força peso será negativo porque é um trabalho
resistente. Veja a figura:
U1.1-5
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Exemplo 1-3: Considere que o extremo de uma mola relaxada encontre-se na
origem do eixo X. Calcule o trabalho da força elástica quando o extremo da mola é
deslocado da posição xA até a posição xB. Admita que a constante elástica da mola
seja “k”.
1ª SOLUÇÃO: Empregando a definição de trabalho:
∫
∫
2ª SOLUÇÃO: Análise do gráfico da força em função do deslocamento este caso
que que a força é paralela ao deslocamento:
∫‖ ‖ ‖
‖
∫
e o cálculo da integral acima pode ser feito através da área sob o gráfico da força
em função do deslocamento:
ou
U1.1-6
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(
)
como antes.
U1.1-7
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EXEMPLO 1-4: Um corpo de 20 kg de massa desloca-se, de A para B, ao longo de
uma superfície horizontal sob a ação de uma força
de intensidade de 100 N, num
percurso de 5 m. O coeficiente de atrito entre o corpo e a superfície é 0,3. Adote
g = 10 m/s² e determine o trabalho :
a)
da força
;
b)
da força de atrito que se opõe ao movimento;
c) o trabalho da força peso e da força normal.
Solução:
Iniciamos representando as forças:
a)
 = F.d.cos 0°
 = 100N.5 m.1 = 500 J
b)
Fat = μ. Fnormal = μ. Mg
Fat = 0,3.200 N = 60 N
 = F.d.cos 180°
 = - 60 N. 5 m = - 300 J
c)  = N.d.cos 90° = 0
e P = P.d.cos 90° = 0
1.3 Potência
Em inglês a palavra para potência é power, e para poderoso é powerful,
literalmente: cheio de poder. Eu penso que em inglês a idéia é muito apropriada
para o conceito de potência: poder. Máquinas poderosas são capazes de realizar
grandes trabalhos em pequeno tempo. Um pessoa até pode realizar o mesmo
trabalho que um trator, mas precisará de um tempo maior.
Considerando estas coisas, definimos a potência média como
EXEMPLO 1-5: Um celular de 100g é elevado, com velocidade constante.
Determine:
a) O trabalho necessário para elevá-lo de 1,0m, num local onde a aceleração
gravitacional vale 10m/s/s;
b) A potência necessária para se realizar este trabalho em 1,0s.
U1.1-8
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Solução:
a) Como o aparelho sobe com velocidade constante, a força resultante é nula,
e a força motora deve ser oposta ao peso: de mesmo módulo, mesma
direção e sentido oposto, logo:
b) A potência desenvolvida foi
EXEMPLO 1-6: Em um episódio da série “Zorro”, o herói fica pendurado em um
penhasco, segurando-se pelas rédeas do corcel negro. Após um assovio, o animal
puxa o lendário mascarado, que sobe verticalmente, com velocidade constante,
erguendo-se de 1,0m em 1,0s. Considere g = 9,8m/s/s e determine a potência
desenvolvida pela força tensora na corda que eleva o Zorro.
Solução: A potência é
Com base neste resultado podemos ter uma ideia do que significa a potência
de 1,0Hp (horse-power).
EXEMPLO 1-7: Considere que um adulto consuma, diariamente, uma quantidade
de alimentos que possuam 2000kcal,
e as empregue totalmente em suas
atividades. Determine a potência média deste homem, considerando que 1,00cal =
4,18J.
Solução:
Este resultado mostra como o organismo humano é um sistema bastante
eficiente.
Partindo
instantânea:
da
potência
média,
equação
U1.1-9
(1-16),
obtemos
a
potência
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‖ ‖‖ ‖
EXEMPLO 1-8: Uma motocicleta move-se a 108km/h, enquanto seu motor fornece
uma potência útil de 25Hp. Faça uma estimativa da força de resistência do ar,
considerando que o veículo move-se com velocidade constante e desconsidere o
atrito do pneu dianteiro com o solo, sabendo que a tração do veículo é traseira.
Solução: A força motora, que a a força de atrito dos pneus traseiros com o solo,
deve equilibrar a força de resistência do ar para que a velocidade da moto
permaneça constante. Encontrando a força motora, encontraremos a força de
atrito:
http://wwwblogtche-auri.blogspot.com.br/2012/07/moto-jaguar.html
‖ ‖‖ ‖
então a força de resistência do ar deve ser da mesma magnitude: 612N, ou
65,5kgf.
EXEMPLO 1-9: (Uniube-MG) Para verificar se o motor de um elevador forneceria
potência suficiente ao efetuar determinados trabalhos, esse motor passou pelos
seguintes testes:
I –Transportar 1 000 kg até 20 m de altura em 10 s.
II –Transportar 2 000 kg até 10 m de altura em 20 s.
III – Transportar 3 000 kg até 15 m de altura em 30 s.
IV –Transportar 4 000 kg até 30 m de altura em 100 s.
O motor utilizará maior potência ao efetuar o trabalho correspondente ao:
U1.1-10
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a) teste III
b) teste II
c) teste I
d) teste IV
Solução: Alternativa C.
EXEMPLO 1-10: (Fafeod-MG) 6000 litros de água pura, de densidade
1,0.10³ kg/m³, foram bombeados na vertical para uma caixa situada a 4,0 m de
altura em 10 min. Qual a potência dissipada pela bomba e o trabalho que ela
realizou, respectivamente?
Solução:
U1.1-11
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EXEMPLO 1-11: (Cesupa-PA) Uma pessoa pretende substituir seu carro, capaz de
desenvolver potência média de 40 000 W em 10 segundos, por um outro mais
potente. Para isso, consulta revistas especializadas que oferecem dados que
possibilitam a comparação de qualidades técnicas. Considere que alguns desses
dados estão representados no gráfico abaixo, indicando o módulo da velocidade em
função do tempo, para um carro cuja massa é 1 000 kg. A pessoa conclui que o
carro analisado no gráfico é melhor que o seu, pois desenvolve, no mesmo
intervalo de tempo, a potência média de?
Solução:
EXEMPLO 1-12 Um elevador de carga, com massa m = 2 000 kg, é suspenso por
um cabo na parte externa de um edifício em construção. O motor fornece a
potência P = 100 kW. Determine a velocidade máxima, em m/s, com que o
elevador pode subir quando puxado pelo motor. Adote g=10m/s2.
Solução:
U1.1-12
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Naturalmente, este resultado está desconsiderando as perdas por
resistências nas polias e tampouco a potência necessária para se elevar o cabo.
EXEMPLO 1-13 Um carro de corrida de massa m=800kg, percorre uma pista de
prova plana com velocidade constante Vo=60m/s Nessa situação, observa-se que a
potência desenvolvida pelo motor P1=120kW, é praticamente utilizada para vencer
a resistência do ar (situação 1, pista horizontal).
Prosseguindo com os testes, faz-se o carro descer uma ladeira, com o motor
desligado, de forma que mantenha a mesma velocidade Vo e que enfrente a mesma
resistência do ar (situação 2, inclinação )
Finalmente, faz-se o carro subir uma ladeira, com a mesma velocidade Vo,
sujeito à mesma resistência do ar (situação 3, inclinação )
a) Estime, para a situação 1, o valor da força de resistência do ar FR, em newtons,
que age sobre o carro no sentido oposto a seu movimento.
b) Estime, para a situação 2, o seno do ângulo de inclinação da ladeira, sen , para
que o carro desça a ladeira com velocidade=60m/s, constante.
c) Estime, para a Situação 3, a potência P3 do motor, em kW, para que o carro
suba uma ladeira de inclinação dada por sen =0,3, mantendo a velocidade
Vo=60m/s.
Solução:
a) Considerando que a velocidade é constante, a força resultante deve ser
nula, e a força motora deve equilibrar a força de resistência:
U1.1-13
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b) Equilibraremos a força de resistência com a componente tangencial do peso
do carro:
c) A força motora deve equilibrar a soma da força de resistência do ar com a
componente tangencial do peso:
Multiplicando-se os termos pela velocidade de veículo:
EXEMPLO 1-14 (Ufpe) Um elevador de massa me = 200 kg tem capacidade
máxima para 6 pessoas, cada uma com massa mp = 70 kg.
Como forma de economizar energia, há um contrapeso de massa
mcp = 220 kg. Calcule a potência mínima que o motor deve desenvolver para fazer
com que o elevador possa subir com a carga máxima e velocidade constante
v = 0,5 m/s. Expresse o resultado em kW. Considere g = 10 m/s2.
Solução: Considerando que o elevador suba com velocidade constante, o torque
aplicado pelo motor somado ao torque da tração no fio vertical deve ser igual ao
torque do fio horizontal:
U1.1-14
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U1.1-15