Trabalho Força Variável
Uma caixa é puxada por uma força constante de 10N,
movendo a caixa para direita de 5,0m:
F=10N
d=5,0 m
F(N)
10,0
W F =F⋅d
W F =F⋅d⋅cos 0 °
W F =F⋅d
W F =10 N⋅5,0 m=50 N⋅m=50 J
5,0
0,0
10 N⋅5,0 m
50 N⋅m
50 J
2,0
4,0
Definição Gráfica: Trabalho é igual a área abaixo do
gráfico força x deslocamento.
6,0
x (m)
Força Variável
Em alguns problemas específicos, o trabalho pode ser
calculado pela área pode de figuras geométricas simples
W 06 =W 04 +W 45 +W 56
F(N)
F
10,0
(1+4)⋅10
1⋅5
W 06 =
+0+
2
2
F
5,0
W 06 =25+2,5
F
0,0
2,0
4,0
6,0
x (m)
W 06 =27,5 J
F
Força Variável
No entando em situações mais gerais isto é pouco
provável.
F(N)
xi
xf
x (m)
Força Variável
No entando em situações mais gerais isto é pouco
provável.
F(N)
xi
xf
x (m)
Força Variável
No entando em situações mais gerais isto é pouco
provável.
̄ (x)⋅Δ x
Δ W j= F
F(N)
W if F ≃∑ Δ W j
j
̄ (x)⋅Δ x
W if F ≃∑ F
j
xi
xf
x (m)
Força Variável
No entando em situações mais gerais isto é pouco
provável.
̄ ( x)⋅Δ x
W if F = lim ∑ F
F(N)
Δ x →0
j
xf
W if F =∫ F (x )⋅dx
xi
xi
xf
x (m)
Força Variável
Existem duas diferenças conceituais entre as duas somas
apresentadas:
̄ (x)⋅Δ x
W if F ≃∑ F
j
Soma de elementos que variam
discretamente;
W if F ≃ 25,4 + 32,5 + 45,6 + ⋯
xf
W if F =∫ F (x )⋅dx
xi
Soma de elementos que variam
continuamente.
W if F =27,34004 + 27,34005 + 27,3400501 + ⋯
Integral
O processo descrito é conhecido como integral. Podendo
ser empregado para o calculo de:
●
Comprimento de caminhos;
●
Áreas (como empregado aqui);
●
Volumes;
●
Entre outros.
Em poucas palavras, a integral faz o caminho contrário da
derivação sobre uma função:
d
f (x )=g( x) ⇒
dx
∫ g (x)dx=f ( x)
Integral
Alguns exemplos de integração:
d
sen x=cos x ⇒ ∫ cos x dx=sen x + C
dx
onde C é uma constante que aqui será omitida.
d 3
x =3 x 2 ⇒ ∫ 3 x 2 dx=x 3
dx
d
tan x=sec 2 x ⇒ ∫ sec 2 x dx=tan x
dx
d
cosh x=senh x ⇒ ∫ senh x dx=cosh x
dx
d
ln∣sec x∣=tan x ⇒ ∫ tan x dx=ln∣sec x∣
dx
⋯
Integral
Para o restante desta disciplina necessito apenas da regra
de integração de polinômios:
d m
m−1
m−1
m
x =m x
⇒ ∫ m x dx=x
sendo m uma constante
dx
m−1
m
m∫ x dx=x
m
x
m−1
x
∫ dx= m
fazendo:
{
m−1=n ⇒
m=n+1
n
x
∫ dx=
n+1
x
n+1
Integral
Algumas aplicações:
3
5
x
x
3
5
x
dx=
x
dx=
∫
∫
3
5
1
2
x
x
0
dx=
x
dx=
=x
x
dx=
∫
∫
∫
1
2
No entanto esta regra não serve para n = -1:
0
x
−1
x
dx≠
∫
0
Indeterminado. Neste caso a integração é a definição
para a função logaritmo natural:
1
∫ x dx=∫ x dx=ln x +C com x>0.
Portanto logaritmo natural é a área abaixo da curva 1/x.
−1
Força Elástica
Força Elástica é a força criada por dispositivos elásticos
como molas, onde, no limite elástico, sua força respeita a
Lei de Hooke:
F ( x)=−k x
onde k é a constante elástica da mola e x o deslocamento
do extremo da mola de seu ponto de repouso.
F ( x 1)>0
0
0
x
F ( x 0 )<0
x0 x
x1 0
x
Limite Elástico
Uma visão atômica, simplista, do Limite Elástico:
Considere um fio metálico formado por um arranjo
bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:
Limite Elástico
Uma visão atômica, simplista, do Limite Elástico:
Considere um fio metálico formado por um arranjo
bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:
Limite Elástico
Uma visão atômica, simplista, do Limite Elástico:
Considere um fio metálico formado por um arranjo
bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:
Dentro do limite elástico a cadeia atômica deforma sem
que se rompa (significativamente) as ligações com os
átomos vizinhos.
Limite Elástico
Uma visão atômica, simplista, do Limite Elástico:
Considere um fio metálico formado por um arranjo
bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:
Dentro do limite elástico a cadeia atômica deforma sem
que se rompa (significativamente) as ligações com os
átomos vizinhos.
Quanto ultrapassado o limite elástico estas ligações são
severamente comprometidas gerando rupturas
irreversíveis na cadeia atômica.
Trabalho da
Força Elástica
Portando, dentro do limite elástico, qual o trabalho
realizado pela força de mola, quando está é movida de
uma posição xi para a posição xf?
x
f
W if e =∫ F ( x)dx
xi
xf
xi 0 x f
W if e =∫ (−k x)dx
x
xi
xf
W if e =−k ∫ x dx
xi
2 xf
x
W if e =−k
2
∣
xf
∣
1 2
=− k x
2
x
x
i
⇒
i
{
1
1
2
W if e =− k x f − k x i2
2
2
}
Trabalho da
Força Resultante
Suponha que sobre um corpo de massa m, inicialmente
parado, são aplicadas diversas forças, constantes e/ou
variáveis.
∑ F=m a
xi
vi
xf
a(t )
∑ F=m a
dv
a(t)=a=
dt
vf
Para simplificar tome como eixo
x a direção do movimento.
xf
W if =∫ ( ∑ F )dx
xi
xf
W if =∫ m a dx
xi
xf
W if =m∫ a dx
xi
Trabalho da
Força Resultante
usando a definição de aceleração
xf
W if =m∫
xi
xf
Aqui ocorre uma mudança na
variável de integração, de
posição para velocidade.
dv
dx
dx=m∫ dv
dt
x dt
i
vf
2 vf
i
i
∣
vf
∣
v
1
W if =m∫ v dv= m
= m v2
2 v 2
v
v
i
1
1
W if = m v f 2− m v i 2
2
2
1
K = m v2
2
Energia Cinética de Translação
W if =K f −K i ou W if =Δ K
Teorema Trabalho-Energia
Teorema
Trabalho-Energia
Este teorema afirma que toda vez que se fizer um
trabalho total diferente de zero sobre um sistema, isto
resultará em uma variação da energia cinética do
sistema.
No Exemplo 1 foram realizadas os trabalhos:
W F =400 J
W N =0
W f =−25 J
W if =∑ W F =125 J =Δ K
i
W P =−125 J
Isto significa que a energia cinética do corpo
aumentou em 125J durante o seu movimento, rampa
acima.
Teorema
Trabalho-Energia
Portanto, se o corpo estivesse inicialmente em
repouso e sua massa for de 10kg, sua velocidade terá
aumentado para:
Δ K =125 J
K F − K i =125
0
1
1
m v f 2 − m v i 2=125
2
2
v f 2=
2⋅125
⇒
10
v f =5,0 m/ s
Potência
Taxa com que o trabalho é realizado:
̄= W
P
Δt
Potência Média
Unidade:
Outras unidades:
[W ]
[ P]=
=J / s=W (Watt )
[Δ t ]
1 hp=1 horsepower=745,7 W
Conta de Luz:
kW h
⇒
̄⋅Δ t
W =P
1 hp=550 ft⋅lb/ s
Potência
A potência instantânea
P= lim
Δ t →0
ΔW
Δt
⇒
P=
dW
dt
ou ainda, usando a definição de trabalho:
W F = ∫ F dx
⇒
dW =F dx
F dx
dx
P=
= F =F v x
dt
dt
com um pouco de formalismo vetorial é fácil demonstrar:
P=F⋅v