Operações com funções: Uma proposta didática
Rinon Nascimento de Paula
Especialista em Matemática - Professor de Matemática da ESUDA
Professor de Introdução à Econometria da ESUDA
RESUMO
Sugerir uma prática didática aos educandos mais jovens, por intermédio de recursos didáticos
(demonstrações algébricas), para promover a motivação dos alunos a conhecer algumas
peculiaridades dos princípios básicos da Álgebra e sua aplicação em seu cotidiano, bem como sua
importância no Ensino Médio.
Palavras - chave: operações; funções; propriedades de funções.
Key - Words: operations; functions; properties of the functions.
ABSTRACT
To suggest a didactic practice to the youngest students, through didactic resources (algebraic
demonstrations), to promote the students' motivation to know some peculiarities of the basic
beginnings of the Algebra and your application in your daily one, as well as your importance in the
High School.
INTRODUÇÃO
Determinadas argumentações pedagógicas levaram-nos a escrever este Artigo, dentre elas
destacamos: a) Nosso reconhecimento e gratidão àqueles colegas nossos que se dedicaram à tarefa
pedagógica do ensino da Álgebra Abstrata (ou Álgebra Moderna); b) Um sentimento de
responsabilidade didática para registrar estas considerações; e c) Convidar o leitor a fazer uma
reflexão mais detalhada e profunda sobre os
demonstrações algébricas no Ensino Médio.
valores que foram atribuídos à Álgebra e às
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(Continuação do Artigo: Operações com funções: Uma proposta didática...............................)
Nossa fundamentação teórica visa, tão-somente, estimular os novos educandos e educadores
mais jovens a repensarem sobre a importância do papel educacional exercido pela Álgebra,
diuturnamente, em nossas diversas atividades escolares e sociais, mesmo que tratemos de questões
bastante simples; bem como estimular nosso aluno a suportar os rigores doutrinários e
científicos impostos pela Ciência Matemática.
Machado indicou a seguinte definição de função real: “Denominamos de função real toda
função f: A → ¡ , sendo A um conjunto qualquer pertencente a ¡ o Conjunto dos Números
Reais”. Duas decorrências imediatas desta definição: a) Para todo elemento x de A, a imagem f(x)
de x pela função f é um número real, f(x) ∈ ¡ , ∀ x ∈ A; e b) A função constante OA : A → ¡
definida por OA (x) = 0, ∀ x ∈ A chama-se função nula de A.
Aref et. al. nos forneceram os subsídios seguintes (1985): "AS OPERAÇÕES DA
ARITMÉTICA.
Sejam as funções f e g reais e de variável real.
Nome da função Notação
Domínio
Contradomínio Sentença aberta que a define
¡
Soma
f + g D(f) ∩ D(g )
( f + g ) (x) = f(x) + g(x)
¡
Diferença
f – g D(f) ∩ D(g )
( f – g ) (x) = f(x) - g(x)
¡
Produto
f.g
D(f) ∩ D(g )
( f .g ) (x) = f(x) . g(x)
¡
Quociente
f / g
D(f) ∩ D(g)
( f / g ) (x) = f(x) / g(x)
(g ≠ 0)
Seguem-se alguns exemplos." (Faremos diversas abordagens sobre essas operações).
Machado sugeriu, também, as seguintes informações (1988): "1. SOMA,
PRODUTO E
QUOCIENTE. A partir de duas funções dadas, f: A → ¡ e g: B → ¡ , podemos construir outras
funções. Para isso, vamos representar por D o conjunto dos x para os quais são definidas f(x) e
g(x) simultaneamente. Logo, D = A ∩ B." As denominações serão discriminadas a seguir.
A) FUNÇÃO SOMA
Denominamos soma de f e g à função h: D → ¡ , que é definida por h (x) = f(x) + g(x),
∀ x ∈ D. Indicamos h = f + g.
B) PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UMA FUNÇÃO
Sendo c um número real dado, representamos por c.f a função h: A → ¡ , que é definida por
h(x) = c.f (x), ∀ x ∈ A.
C) FUNÇÃO PRODUTO
Denominamos produto de f e g à função h: D → ¡ , que é definida por h(x) = f(x) . g(x),
∀ x ∈ D. Indicamos h = f. g.
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(Continuação do Artigo: Operações com funções: Uma proposta didática...............................)
D) FUNÇÃO QUOCIENTE
Seja agora D' = { x ∈ D | g (x) ≠ 0 }. Denominamos quociente de f por g à função
h : D' → ¡ , que é definida por h(x) = f(x) / g(x), ∀ x ∈ D’. Indicamos h = f / g.
Quando f e g são funções polinomiais, a função f / g é também chamada de função racional.
Nosso Artigo é, também, decorrente de um compromisso antigo com nossos alunos que
pretendemos resgatá-lo agora. Portanto, trata-se de uma questão verídica vivenciada por nós,
quando evitávamos abordar este assunto, qual seja: demonstrações de operações com funções, em
sala de aula, deixando-o para resolvê-lo pelos corredores do colégio, quando sobrava algum tempo
para isso. Ressalte-se que resolvíamos apenas os problemas da proposta inicial contida nos livrostexto, dentro do horário normal de aula. A rigor, naquela ocasião, não tínhamos em nossa Grade
Curricular, efetivamente, disponibilidade pedagógica destinada para essa atividade didática.
Resolução dos problemas. Tendo as demonstrações algébricas como tese, estamos
compulsionados a explorar tais recursos didáticos nos termos abaixo apresentados.
E) PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM FUNÇÕES REAIS INTEIRAS (São as
mesmas do Conjunto dos Números Inteiros ( ¢ ), e, conseqüentemente, do Conjunto dos Números
Reais
( ¡ ). Apresentaremos as propriedades fundamentais da adição e da multiplicação do
Conjunto dos Números Inteiros, demonstrando apenas aquelas mais ligadas ao tema proposto).
a) PROPRIEDADES DA ADIÇÃO:
a 1)
a 2)
a 3)
a 4)
a 5)
a 6)
a + (b + c) = (a + b) + c, ∀ a, b, c ∈ ¢ (Associativa);
a + b = b + a, ∀ a, b ∈ ¢ (Comutativa);
a + 0 = a, ∀ a ∈ ¢ (0 é o elemento neutro da adição);
a + (- a) = 0, ∀ a ∈ ¢ (- a é o simétrico aditivo de a);
Se a, b, c ∈ ¢ , então a + b = c ∈ ¢ (fechamento); e
Se a = a' e b = b' e a, b ∈ ¡ , então, a + b = a' + b' (Unicidade).
b) PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO:
b1)
b2)
b3)
b4)
b5)
b6)
b7)
b8)
a(bc) = (ab)c, ∀ a, b, c ∈ ¢ (Associativa);
ab = ba, ∀ a, b ∈ ¢ (Comutativa);
a.1 = a, ∀ a ∈ ¢ (1 é o elemento neutro, também unidade 1 ≠ 0 , da multiplicação);
ab = 0, ⇒ a = 0 ou b = 0 (Lei do anulamento do produto);
ab = 1, ⇒ a = ± 1 e b = ± 1 ;
a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ ¢ (A multiplicação é distributiva em relação à adição);
Se a, b, c ∈ ¢ , então a. b = c ∈ ¢ (Fechamento); e
Se c ≠ 0 e ac = bc, então a = b (Cancelamento).
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(Continuação do Artigo: Operações com funções: Uma proposta didática...............................)
c) SOMA DE FUNÇÕES REAIS
Definição: Denomina-se soma de duas funções reais f, g : B →
¡ , ambas definidas no
mesmo conjunto B ∈ ¡ , a função real de B em ¡ , que seja indicada por h = f + g, também definida
em ¡ , representada de maneira mais usual pela expressão: (f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀ x ∈ B.
JUSTIFICATIVA: Consideremos que existam três funções reais f, g e h, todas pertencentes ao
conjunto B ∈ ¡
. Se a soma das funções f + g = h está contida em
¡ , então podemos afirmar que essas
três funções pertencem, realmente, a ¡ (fechamento). Esta justificativa é válida, também, para a
soma dos números reais inteiros.
d) ELEMENTO NEUTRO (ZERO) DAS FUNÇÕES REAIS
JUSTIFICATIVA: Consideremos f uma função real definida no conjunto B, também pertencente a
¡ , e o número ZERO pertencente a ¡ . A conseqüência imediata para qualquer valor dessa
função de variável x ∈ B, somado o número ZERO a essa função, será igual: f(x). Em termos
técnicos mais usuais, temos:
(f + 0B) (x) = f(x) + 0B(x) = f(x) + 0 = f(x) (0 é o elemento neutro da adição).
e) ELEMENTO NEUTRO (ZERO) DOS NÚMEROS REAIS
Conceituação. Consideremos que o Conjunto dos Números Reais contenha um elemento 0 (ZERO)
tal que: a + 0 = a para todo a pertencente a ¡ .
JUSTIFICATIVA: Consideremos que exista para o elemento a um elemento x com
a + x = 0. Assim sendo, teremos para cada a, o conjunto ¡ contém uma, e somente uma,
solução x da equação a + x = 0. Esta resolução é usualmente indicada por x = - a. A regra pode então ser
escrita como a + (-a) = 0.
f) DIFERENÇA ENTRE FUNÇÕES REAIS
Definição: Denomina-se diferença entre duas funções reais f, g : B → ¡ , ambas definidas no
mesmo conjunto B, a função real de B em ¡ , que seja indicada por h = f
-
g pertencente a ¡ ,
representada de maneira mais usual pela expressão: (f - g)(x) = f(x) - g(x), ∀ x ∈ B.
JUSTIFICATIVA: Consideremos que existam três funções reais f, g e h, todas pertencentes ao
conjunto B ∈ ¡ . Se a diferença de f - g = h está contida em ¡ , então podemos afirmar que essas
três funções pertencem, realmente, a ¡ . (fechamento). Esta justificativa é válida, também, para a
diferença de números reais inteiros.
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(Continuação do Artigo: Operações com funções: Uma proposta didática )
OBSERVAÇÃO: ATENÇÃO AO INVERSO ADITIVO SOBRE AS FUNÇÕES REAIS
Deveremos ter cuidado com esta operação para não cometermos um deslize, tal como:
(f + (-f)) (x) = f(x) + (-f)(x) = f(x) - f(x) = 0 = 0B (x). Noutros termos, observe como obtivemos o
valor da subtração das funções reais igual a ZERO!
g) COMUTATIVA DA SOMA DAS FUNÇÕES REAIS
Definição: Denomina-se comutativa da soma de duas funções reais f, g : B →
¡ , ambas
definidas no mesmo conjunto B ∈ ¡ , a função real de B em ¡ , que seja indicada por
h = f + g, representada de maneira mais usual pela expressão: (f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀ x ∈ B.
Ao invertemos a ordem das parcelas desta soma e estabelecermos uma igualdade, estamos
aplicando outra propriedade das funções chamada de "comutativa". Representação: f + g = g + f.
JUSTIFICATIVA 1: Consideremos a seguinte disposição algébrica: (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) +
f(x) = (g + f )(x). Onde se constata a veracidade da afirmação acima. Todavia, percebe-se que ela é
árida e técnica. Vejamos se a disposição abaixo é menos rigorosa e convincente.
JUSTIFICATIVA 2: Consideremos que existam dois números reais inteiros a e b, todos
pertencentes ao conjunto B ∈ ¡
. Se a adição de
a + b = b + a está contida em ¡ , então podemos
afirmar que esses dois números reais inteiros a e b pertencem, realmente, a ¡ (Comutativa).
h) ASSOCIATIVA DA SOMA DE FUNÇÕES REAIS
.
Definição: Denomina-se associativa da soma de três funções reais f, g, h : B →
¡ , todas
definidas no mesmo conjunto B ∈ ¡ , a aplicação real de B em ¡ , que seja indicada por
h + ( f + g) = ( h+ f) + g, representada de maneira mais usual pela expressão: (h + (f + g))(x) =
= (h + f)(x) + g(x), ∀ x ∈ B.
JUSTIFICATIVA 1: Consideremos a seguinte disposição algébrica: (f + (g + h))(x) = ((f + g)(x)) +
h(x) = f(x) + (g + h)(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x) = (f+ g)(x) + h(x) =((f+ g) (x)+
h)(x). Onde se constata a veracidade da afirmação acima. Todavia, percebe-se que ela é árida e
técnica. Vejamos se a disposição abaixo é menos rigorosa e convincente.
JUSTIFICATIVA 2: Consideremos que existam três números reais inteiros a, b e c, todos
pertencentes ao conjunto B ∈ ¡ . Se a adição de a + (b + c) = (a + b) + c está contida em ¡ ,
estão podemos afirmar que esses três números a, b e c pertencem, realmente, a ¡ . (Associativa).
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(Continuação do Artigo: Operações com funções: Uma proposta didática...............................)
i) PRODUTO DAS FUNÇÕES REAIS
Definição: Denomina-se produto de duas funções reais f, g : B → ¡ , ambas definidas no
mesmo conjunto B ∈ ¡ , a função real de B em ¡ , que seja indicada por h = f. g, representada de
maneira mais usual pela expressão: (h)(x) = f(x). g(x), ∀ x ∈ B. Pode, também, ser representada
por: (f. g)(x) = f(x) . g(x).
JUSTIFICATIVA: Consideremos que existam três números reais inteiros a, b e c, todos
pertencentes ao conjunto B ∈ ¡
. Se a multiplicação de a. b = c está contida em
¡ , então
podemos afirmar que esses três números reais inteiros pertencem, realmente, a ¡ . (fechamento).
j) ASSOCIATIVA DO PRODUTO DAS FUNÇÕES REAIS
Definição: Denomina-se associativa do produto de três funções reais f, g, h : B → ¡ , todas
definidas no mesmo conjunto B ∈ ¡ , a aplicação real de B em ¡ , que seja representada por
(f(g.h))(x) = f(x).(g.h)(x). ∀ x ∈ B.
JUSTIFICATIVA 1: Consideremos a seguinte disposição algébrica, quando fazemos (f(g.h))(x) =
f(x). (g.h)(x) = f(x) .(g(x).h)(x)) = (f(x).g(x)).h(x) = (f.g)(x).h(x) =((f.g)h)(x). Onde se constata a
veracidade da afirmação acima. Todavia, percebe-se que ela é árida e técnica. Vejamos se a
disposição abaixo é menos rigorosa e convincente.
JUSTIFICATIVA 2: Consideremos que existam três números reais inteiros a, b e c, todos
pertencentes ao conjunto B ∈ ¡
. Se a multiplicação de a.(b.c) = (a.b). c está contida em
¡ ,
estão podemos afirmar que esses três números reais inteiros a, b e c pertencem, realmente, a ¡ .
(Associativa).
k) COMUTATIVA DO PRODUTO DAS FUNÇÕES REAIS
Definição: Denomina-se comutativa do produto de duas funções reais f, g : B → ¡ , todas
∈ ¡
¡
definidas no mesmo conjunto B
, a aplicação real de B em
, que seja representada por
( f )( x ).(g )(x) = ( g )(x).( f )(x), ∀ x ∈ B.
JUSTIFICATlVA 1: Consideremos a seguinte disposição algébrica, quando fazemos
(f .g)(x) = f(x).g(x) = g(x).f(x) = (g.f)(x). Onde se constata a veracidade da afirmação acima.
Todavia, percebe-se que ela é árida e técnica. Vejamos se a disposição abaixo é menos rigorosa e
convincente.
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(Continuação do Artigo: Operações com funções: uma proposta didática................................)
JUSTIFICATIVA 2: Consideremos que existam dois números reais inteiros a e b, todos
pertencentes ao conjunto B ∈ ¡ . Se a multiplicação de a.b = b.a está contida em ¡ , então
podemos afirmar que esses dois números reais inteiros a e b pertencem, realmente, a ¡ .
(Comutativa).
l) DISTRIBUTIVA DA MULTIPLICAÇÃO PARA A SOMA DE FUNÇÕES REAIS
Definição: Denomina-se distributiva do produto de três funções reais f, g, h : B → ¡ ,
todas definidas no mesmo conjunto B ∈ ¡ , a aplicação real de B em ¡ , que seja representada
por f(x)(g + h)(x) = f(x).(g)(x) + f(x).h(x), ∀ x ∈ B.
JUSTIFICATlVA 1: Consideremos a seguinte disposição algébrica, quando fazemos
f(x)(g +h)(x) = f(x).(g +h)(x) = f(x).(g(x) +h(x)) = (f(x).g(x) + f(x).h(x) = (f.g)(x) +(f.h)(x) =
= (f.g + f.h)(x). Onde se constata a veracidade da afirmação acima. Todavia, percebe-se que ela é
árida e técnica. Vejamos se a disposição abaixo é menos rigorosa e convincente.
JUSTIFICATIVA 2: Consideremos que existam três números reais inteiros a, b e c, todos
pertencentes ao conjunto B ∈ ¡
. Se a multiplicação de a.(b + c) = a.b + a.c está contida em ¡ ,
estão podemos afirmar que esses três números reais inteiros a, b e c pertencem, realmente, a ¡ .
(Distributiva).
m) UNIDADE DE UMA FUNÇÃO REAL
Conceituação 1. Consideremos que exista um número real inteiro igual a 1 (UM), pertencente a
¡ , tal que 1 ≠ 0 .
Conceituação 2. Consideremos uma função real f: B → ¡ , sendo B pertencente ao Conjunto
dos Números Reais Inteiros e ¡ o Conjunto dos Números Reais.
JUSTIFICATIVA: Consideremos a função acima sendo igual a f(x) = a, e um número igual a 1
(UNIDADE) do Conjunto dos Números Reais Inteiros. Façamos, então, as igualdades a seguir,
substituindo f(x) por a, onde teremos as identidades: 1) l.a = a.l; 2) a.1 = l.a; e 3) 1.a = a.
A conseqüência imediata que constatamos é que a UNIDADE é elemento neutro na operação de
multiplicação (Unidade).
n) PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UMA FUNÇÃO REAL
Inserimos aqui uma sugestão de nossa fundamentação teórica, visando uma deferência ao
Professor Machado.
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(Continuação do Artigo: Operações com funções: uma proposta didática................................)
"Sendo c um número real dado, representamos por c.f a função h: A →
¡ , que é definida
por h(x) = c. f(x), ∀ x ∈ A.” Deixaremos de justificar esta questão, em virtude do item acima já nos
parecer haver garantido esse entendimento.
o) QUOCIENTE ENTRE DUAS FUNÇÕES REAIS
Definição: Denomina-se quociente de duas funções reais f, g : B → ¡ , ambas definidas no
mesmo conjunto B ∈ ¡ , a função real de B em ¡ , que seja indicada por h = f / g, com g(x) ≠ 0
, representada de maneira mais usual pela expressão: (h)(x) = f(x) / g(x), ∀ x ∈ B. Pode. também,
ser representada por: (f / g)(x) = f(x) / g(x).
JUSTIFICATIVA: Consideremos que existam três funções reais inteiras f, g e h, todas pertencentes
ao conjunto B ∈ ¡
. Se a aplicação de f / g = h está contida em ¡ , com a função g(x) ≠ 0 , então podemos
afirmar que essas três funções reais inteiras pertencem, realmente, a ¡ . (fechamento).
p) OUTRAS INFORMAÇÕES OPERATÓRIAS COMPLEMENTARES
p1) FUNÇÕES IGUAIS
Definição: Sejam as funções f : A → B e g : C → D. Diz-se que se f(x) = g(x) são iguais e
representa-se também f = g, se e somente se: A = C e f(x) = g(x) para todo x ∈ A.
Observamos duas decorrências imediatas:
a) Se f = g, então f(A) = g(A) ⊂ B I D ; e
b) Se as funções f e g não são iguais, dizem-se diferentes, e escreve-se f ≠ g. Obviamente, se
f e g são diferentes, se e somente se: A ≠ C ou A = C e f(x) ≠ g(x) para x ∈ A.
p2) PRODUTOS DE FUNÇÕES REAIS COM NÚMEROS REAIS
Sejam f e g funções reais definidas num mesmo conjunto C e a e b números reais
quaisquer. Demonstrar que:
a) a(f + g) = af + ag ; b) (a + b )f = af + bf; e c) a(bf) = (ab)f.
JUSTIFICATIVAS para todo x ∈ C, temos:
a) (a(f + g)) (x) = a((f + g)(x)) = a.(f(x) + g(x)) = a.f(x) + a.g(x) = (af)(x) + (ag)(x) = (af +ag)(x).
b) ((a + b)f)(x) = (a + b). f(x) = a.f(x) + b.f(x) = (af)(x) + (bf(x) = (af + bf) (x).
c) (a.(bf))(x) = a.((bf)(x)) = a(b.f(x)) = (ab).f(x) = ((ab).f)(x).
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(Continuação do Artigo: Operações com funções: uma proposta didática................................)
p3) APLICAÇÕES
Definição: Seja f uma relação de E em F. Dizemos que f é uma aplicação de E em F
se:
a) D(f) = E ; e
b) Dado a ∈ D(f), é único o elemento b ∈ F.
Torna-se relevante registrarmos, mais uma vez, que nosso principal objetivo neste Artigo é
procurar implementar uma postura didática facilitadora, socializante, abrangente. Com propósito
puramente pedagógico, inserimos uma apresentação “árida” no item “INFORMAÇÕES
OPERATÓRIAS COMPLEMENTARES”. Observe o leitor a definição de Aplicações que
mencionamos acima com múltiplos objetivos didáticos! Noutras palavras, na proporção que
evoluirmos para “Relações” e “Operações” já estaremos entrando na Álgebra Abstrata (ou Álgebra
Moderna); e, consequentemente, fugindo de nosso foco central da proposta inicial deste trabalho, e
ingressando no Ensino do Terceiro Grau, na área específica da graduação em Matemática.
Por outro lado, acreditamos haver “suavizado” a aridez e o rigor matemáticos exigidos nas
demonstrações, quando vinculamos as propriedades da operações da funções reais inteiras com o
Conjunto dos Números Inteiros
( ¢ ) e o Conjunto dos Números Reais
( ¡ ), conforme
apresentado na letra E). Este era nosso interesse maior, segundo nosso entendimento pedagógico.
Consideramos oportuno, mais por questão de conveniência didática de que o desestimulante
exagero de usar o espaço físico disponível, apresentarmos alguns esclarecimentos, conforme a
discriminação a seguir: a) Evitamos a resolução de problemas clássicos por entendermos que esta
prática foge do centro de nossa proposta, que é essencialmente teórica; bem como estimular
a capacidade cognitiva de nosso leitor. Nosso objetivo, também, é motivar sua perspicácia e
explorar seu desenvolvimento de abstração algébrica; b) Deixamos de explorar e aprofundar alguns
conceitos básicos, referentes ao tema, tais como: 1) Aplicação; 2) Relação; 3) Operações e 4)
Omitimos outras propriedades das funções reais, também, mais por de questão de prática
pedagógica.
Convidamos o leitor para fazermos, em nossas considerações finais, uma análise das
informações que apresentamos nesta proposta, buscando uma resposta de seu privilegiado grau de
abstração matemática, bem como exortá-lo para uma reflexão mais detalhada sobre seu
entendimento da necessidade deste assunto nos conteúdos curriculares do Ensino Médio.
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(Continuação do Artigo: Operações com funções: Uma proposta didática...............................)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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DOMINGUES, H. H. Álgebra moderna. 2ª. edição. Ed. ATUAL. São Paulo: 1982.
HEFEZ, A. Curso de álgebra. Vol. I. Ed. IMPA-CNPq. Rio de Janeiro: 1993.
MACHADO, A . S. Matemática - temas e metas. 2a edição. Vol. I. Ed. ATUAL São Paulo: 1988.
________________ .Matemática - na escola do segundo grau. Vol. I. Ed. ATUAL. São Paulo:
1996.
MONTEIRO, L. H. J. Elementos de álgebra. 2 ª.Edição. Ed. Livros Técnicos e Científicos. Rio
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NETO, A. A. et. al. Noções de matemática. VOL. I. Ed. Moderna. São Paulo: 1979.
_______________ .Noções de matemática. VOL. 8. Ed. Moderna. São Paulo:. 1985.
RINON NASCIMENTO DE PAULA
PROFESSOR DE MATEMÁTICA