Caderno de Provas
ÁLGEBRA LINEAR E
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Edital Nº. 04/2009-DIGPE
10 de maio de 2009
INSTRUÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA
 Use apenas caneta esferográfica azul ou preta.
 Escreva o seu nome completo e o número do seu documento de identificação no espaço indicado
nesta folha.
 A prova terá duração máxima de 4 (quatro) horas, incluindo o tempo para responder a todas as
questões do Caderno de Provas e preencher as Folhas de Respostas.
 Ao retirar-se definitivamente da sala, entregue as Folhas de Respostas ao fiscal.
 O Caderno de Provas somente poderá ser levado depois de transcorridas 3 (três) horas do início
da aplicação da prova.
 Confira, com máxima atenção, o Caderno de Provas, observando o número de questões contidas e
se há defeito(s) de encadernação e/ou de impressão que dificultem a leitura.
 Esta prova contém a seguinte numeração e pontuação de questões:
Tipo de questão
Discursiva
Múltipla escolha
Total de
questões
02 questões
20 questões
Pontuação por
questão
15 pontos
3,5 pontos
Total de
pontuação
30 pontos
70 pontos
 Confira, com máxima atenção, se os dados constantes nas Folhas de Respostas para as questões
discursivas e para as questões de múltipla escolha estão corretos.
 Em havendo falhas em quaisquer das Folhas de Respostas, dirija-se ao fiscal responsável dentro
do prazo destinado previamente.
 As Folhas de Respostas para as questões discursivas estão identificadas com um código que
sinaliza a inscrição do candidato. A capa dessas Folhas de Respostas deverá ser assinada no
espaço apropriado e, quando solicitado, deverá ser destacada e entregue ao fiscal de sala.
 As questões discursivas deverão ser respondidas unicamente no espaço destinado para cada
resposta. Respostas redigidas fora do espaço reservado serão desconsideradas.
 Assine, no espaço apropriado, a Folha de Respostas para as questões de múltipla escolha.
 As Folhas de Respostas não poderão ser rasuradas, dobradas, amassadas ou danificadas. Em
hipótese alguma, serão substituídas.
 Para cada questão de múltipla escolha, existe apenas uma resposta certa.
 Transfira as respostas para a Folha de Respostas das questões de múltipla escolha somente
quando não mais pretender fazer modificações. Não ultrapassando o limite dos círculos.
NOME COMPLETO:
DOCUMENTO DE IDENTIFICAÇÃO:
_____________________________
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QUESTÕES DISCURSIVAS
ESTAS QUESTÕES DEVERÃO SER RESPONDIDAS NAS FOLHAS DE RESPOSTAS DAS QUESTÕES
DISCURSIVAS, MANTENDO O MEMORIAL DE CÁLCULO, QUANDO FOR O CASO.
1.
(15 pontos) Considere F uma função real definida no intervalo [ a, b ] por F(x )=
x
a
f (t )dt ,para
alguma função real contínua f definida em [ a, b ]. Demonstre que F é uma função limitada em
[ a, b ].
2.
3
(15 pontos) Considere o espaço vetorial V = R sobre R e seja T: V → V um operador linear
-1
definido por T(x, y, z) = (2x – y, y, z). Demonstre que T é um isomorfismo e determine T .
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QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA
AS RESPOSTAS DESTAS QUESTÕES DEVERÃO SER ASSINALADAS NA FOLHA DE RESPOSTAS
DAS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA.
1.
3
(3,5 pontos) Seja R o corpo dos números reais e considere o espaço vetorial V =R ={ ( x, y, z ) / x, y ,z
R } sobre R. Sejam W = [ ( 1, 1, 1), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2 )], o subespaço de V gerado pelos vetores ( 1,
1, 1), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2 ), e S = { (x + y, y, x) / x, y
R } também subespaço de V. O subespaço
intersecção de W e S é dado por
a) [( 1, -1, 1)].
b) [( 2, 1, 1)].
c) [( 1, 1, 1), ( 0, 1, 1 )].
d) [( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2, )].
2.
(3,5 pontos) Seja f uma função real definida por f(x) =
x
x
2
2
. Sobre lim x
2
f ( x ) , é correto afirmar
que
a) o limite existe e é igual a
2.
b) o limite existe e é igual a 2 2 .
c) o limite não existe, face a função não ser definida no ponto x = 2.
d) o limite não existe em virtude dos limites laterais para a função f embora existindo não serem iguais.
3.
(3,5 pontos) Sendo f : R → R uma função diferenciável, é correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
4.
f é uma função contínua e limitada.
f possui ponto de máximo ou mínimo absoluto.
f é uma função contínua.
Necessariamente f possui pontos críticos.
2
(3,5 pontos) Considerando o espaço vetorial V = R sobre R, α = { ( 1, 2 ), ( 2, -1) } e
δ = { ( 1, 0), ( 1, 1 ) } bases de V, a matriz de transição de α para δ corresponde a
a)
b)
c)
d)
1 3
2
1
2
1
3
1
1
3
2
1
1
3
2 1
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5.
(3,5 pontos) Seja f: R
df
2
(x) – 3x + sen(x) = 1. Assinale a
dx
R uma função real diferenciável tal que
alternativa correta para f(x) sabendo que f(0) = 1.
a)
b)
c)
d)
6.
R
S é um conjunto de vetores linearmente dependentes.
S gera o espaço vetorial V.
V é um espaço de dimensão finita.
S é um conjunto de vetores linearmente independentes.
(3,5 pontos) Considerando f e g funções reais de uma variável tal que o lim x
correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
8.
R
(3,5 pontos) Considere V = { f : R → R / f é função contínua } o espaço vetorial das funções contínuas
sobre R. Seja S o conjunto formado pelas funções f e g definidas por f(x) = sen(x) e
g(x) = cos(x). Assinale a alternativa correta.
a)
b)
c)
d)
7.
3
f(x) = x + cos(x) + x + k , k
3
f(x) = x + cos(x) + x
3
f(x) = x + sen(x) + x + k , k
3
f(x) = x + sen(x) + x
a (f ( x ).g ( x ))
existe, é
as funções f e g são limitadas.
pode não existir um dos limites: lim x a f ( x ) ou lim x a g ( x ) .
os limites das funções f e g existem no ponto x = a.
necessariamente as funções são continuas no ponto x = a.
(3,5 pontos) Considere f : R → R uma função definida por f( x ) =
x2
5
px
3 se x
2
se x
2
. O valor de p
para que f seja contínua no ponto x = 2 corresponde a
a)
b)
c)
d)
9.
-1.
1.
2.
3.
(3,5 pontos) Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e T: V → W uma transformação linear.
Se dim(V) > dim(W), é correto afirmar que
a) T transforma base em base.
b) Se α e δ são bases de V e W, respectivamente, a matriz associada a T, T
quadrada.
c) N(T) ≠ { 0 }, ( N (T) = núcleo de T ).
d) T necessariamente é sobrejetiva.
10. (3,5 pontos) Sendo f: R → R uma função real definida por f(x) =
, é uma matriz
1 3
2
x – 4x + 12x + 1, é correto afirmar
3
que
a)
b)
c)
d)
x = 2 e x = 4 são pontos críticos de f.
x = 2 é um ponto de máximo relativo de f.
x = 6 é um ponto de máximo relativo de f.
(6, 1) é um ponto de inflexão do gráfico de f.
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11. (3,5 pontos) Seja V = M2x2(F) o espaço das matrizes de ordem 2 sobre o corpo F. Considere o
t
subespaço vetorial W = { A V; A = –A } de V, formado pelas matrizes anti-simétricas. Em relação à
dimensão de W é correto afirmar que o seu valor é
a)
b)
c)
d)
1.
2.
3.
4.
12. (3,5 pontos) Considere o sistema de equações lineares:
x
2x
3x
y
2z
0
y
z
0
2y
3z
0
Seja S o espaço solução deste sistema. É correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
A dimensão de S é 2.
S = { (0,0,0) }.
S = [ ( -1, 3, 1 )].
S = [ ( 1, -3, -1), ( 2, 6, 2 )].
3
13. (3,5 pontos) A área da região compreendida entre as curvas y = x e y = 3x – 2 corresponde a
a) 4 u.a.
b) 6 u.a.
c)
25
u.a.
4
d)
27
u.a.
4
+
14. (3,5 pontos) Seja R = { x
A função derivada,
+
R; x > 0} e considere f: R → R uma função definida por f(x) =
x
1
1
dt .
t
df
(x), de f corresponde a
dx
a) x – 1
b)
c)
d)
1
–1
x
1
x
1
x2
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3
2
15. (3,5 pontos) Considere a função real, y = f(x), dada implicitamente por x + y = 2, cujo gráfico passa
pelo ponto ( 1, 1 ). A derivada da função f no ponto x = 1 corresponde a
a) 3
b)
3
2
3
2
c)
d)
5
2
2
3
16. (3,5 pontos) Seja V = R e W = R espaços vetorias sobre o corpo R e T : V → W uma transformação
linear tal que T( 1, 1 ) = ( 1, 2, 0 ) e T ( -1, 0 ) = ( 3, -1, 2 ). É correto afirmar que
a) T( 2, 3 ) = ( 5, 4, 1 ).
1 3
b)
= 2
T
0
1 , com α = { ( 1, 1), ( -1, 0 ) } e δ = { ( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ), ( 0, 0, 1 ) } .
2
c) N(T ) ≠ { 0 }.
d) Im(T ) = [ ( 1, 2, 0 ), ( 3, 1, 2 ) ], sendo Im(T) = conjunto imagem de T.
3
17. (3,5 pontos) Considere o espaço vetorial V = R sobre o corpo R, e sejam E, F e G bases de V.
Sabendo-se que a matriz de transição da base E para a base F é P e que a matriz de transição da base
E para a base G é Q, é correto afirmar que a matriz de transição da base F para a base G é
a)
b)
c)
d)
-1
Q.P
P.Q
-1
-1
P .Q
Q.P
18. (3,5 pontos) O volume de um tronco de cone que tem como geratriz a função real definida por f(x) = x,
obtido por uma rotação do gráfico de f em torno do eixo x, e raios de base inferior e superior,
respectivamente, 1 cm e 2 cm corresponde a
a) 7 cm
b)
c)
d)
3
.
3
3
cm .
7
3
cm
3
.
7
3
cm .
3
4
2
19. (3,5 pontos) A reta tangente à curva y = – x + 2x + x no ponto ( –1, 0 ) é também tangente à essa
mesma curva em outro ponto P. É correto afirmar que P corresponde a
a) ( 0, 0 )
b) ( 2, –6 )
c) ( 1, 2 )
d) ( –2, –10 )
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20. (3,5 pontos) Seja T : V → V um operador linear definido num espaço vetorial V sobre o corpo R de
dimensão finita. Supondo que exista um autovalor c = 0 de T, é correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
T é um isomorfismo.
T é injetivo.
T é sobrejetivo.
T é não-injetivo.
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