Profª Cristiane Guedes
CÁLCULO A UMA VARIÁVEL
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Ementa do Curso
2
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Funções Reais
Limites
Continuidade
Derivada – Taxas Relacionadas - Funções Crescentes e
Decrescentes – Máximos e Mínimos – Construção de
Gráficos – Convexidade Integrais – Integrais Definidas – Técnicas de
Integração – Áreas e Volumes.
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Bibliografia
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STEWART, James. Cálculo. Vol 1.
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte.
LEITHOLD. O Cálculo.
MUNEM, FOULIS. Cálculo.
FLEMING, GONÇALVES. Cálculo A.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo.
Vol 1.
SIMMONS, George. Cálculo Com Geometria
Analitica 1
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Função real de uma variável real
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1.1) O conjunto dos números reais
Existe uma correspondência biunívoca entre
os pontos da reta e o conjunto  .
Reta numérica : - origem
- unidade de medida
- sentido de leitura
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Intervalos Reais
(a, b)  {x   / a  x  b}
a
a
a
b
Intervalo aberto
(a, b]  {x   / a  x  b}
b
Intervalo semi aberto
b
b
[a, b]  {x   / a  x  b}
(, b]  {x   / x  b}
  (,)
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1) Função Constante
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f(x) = c, c
R
O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas.
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2) Função do 1º grau (Função Afim)
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Toda função polinomial da forma f(x) = ax + b,
com a ≠ 0 , é dita função do 1° grau.
 Casos Especiais
 Função linear:
b = 0, Ex: f(x) = 3x
Representa grandezas diretamente proporcionais.

Função Identidade b = 0 e a = 1, ou seja, f(x) = x
Reta bissetriz do 1º e 3º quadrantes.
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a - Coeficiente angular;
declividade da reta; taxa
de variação da função;
está relacionado ao
ângulo de medida α
(determinado pelo gráfico
da função) e a horizontal
(o eixo x).
b - Coeficiente linear;
ordenada do ponto
em que o gráfico
da função corta o
eixo y.
a<0
a>0
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Cálculo do coeficiente angular (inclinação da reta):
P1P
P1
P2
P2
a = tg 



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y  y0
mr 
 y  y0  mr .( x  x0 )  y  y0  mr .( x  x0 )
x  x0
Onde mr é o coeficiente angular da reta r e (x0 , y0)
são as coordenadas de um ponto dado,
pertencente à reta r.
y  y0  mr .( x  x0 )
y  ax  b
b – coeficiente linear (onde a reta intercepta o eixo y)
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Raiz ou zero de uma função → é o valor de x que
anula a função. É a abscissa do ponto onde a reta
intercepta o eixo x.
Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular.
y
a>0
y
a<0
5
5
x
x
-5
-5
5
-5
-5
11
5
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Estudo do sinal – Inequação do 1º grau:
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+++++++
---------
-b/a
f(x) = a x +b
++++++++
-b/a
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---------
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3) Gráfico de uma função definida
por mais de uma sentença
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 x  1, se x  1
f ( x)  
2, se x  1
f ( x)  x  1, se x  1
X
Y
1
2
2
3
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4) Função do 2º grau
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Chama-se FUNÇÃO QUADRÁTICA qualquer função de R em R
dada por uma lei da forma:
f x   ax 2  bx  c
com a, b e c números reais e
Domínio  D ( f ) = R
Conjunto Imagem é o conjunto formado por todos as ordenadas y,
que representam imagens das abscissas x, por meio da função.
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Zeros da função → Resolver a equação do 2º
grau:
 b  b  4ac
f ( x)  0  ax  bx  c  0  x 
2a
2
2
b
S 
a
c
Produto das raízes - P 
a
Soma das raízes -
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 ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes
 ∆ < 0 → não tem raiz real
 ∆ = 0 → duas raízes reais e iguais
a → concavidade da parábola
∆>0
∆<0
a>0
a<0
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∆=0
TERMO INDEPENDENTE - c
y
Exemplo :
y = x2 - 2x + 4
c
y
x
4
x
y = ax2 + bx + c
Ponto em que a parábola toca no eixo y
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Vértice da parábola:
b
xV  
2a

yV  
4a
Se a > 0 → ponto máximo
Se a < 0 → ponto mínimo
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Estudo do sinal da função:
∆>0
+
a>0
∆=0
+
X1
∆<0
+
+
+
X2
+
+
X1=X2
X1=X2
a<0
21
-
-
+
-X
1
X2
-
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-
-
Função Exponencial
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f ( x)  a , com 0  a  1
x
Propriedades da potenciação:
m
a .a
a
m
(a
:a
m
)
a
n
n
n
m n
a
a
mn
m.n
a
a
m
m/n
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 1/ a

n
a
m
m
Gráfico da Função Exponencial
Características:
f ( x)  a x
•
Está todo acima do eixo x
•
Corta o eixo y no ponto de ordenada 1
Função Descrescente
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Im(f) = (0, ∞ )
(0, 1)
Função Crescente
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y = ax
0<a1
y = ax
y
Ex:
y = (1/2 )x
a>1
Ex:
y = 2x
x
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Função Logarítmica
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Logaritmo
Logaritmando
log b a  x
Base do logaritmo
Condição de Existência:
a0
1 b  0
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log b a  x  b x  a
Consequências da definição:
log b 1  0
log b b  1
log b b  n
n
log b a  log b c  a  c
b
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logb a
a
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Propriedades Operatórias:
log c a  b  log c a  log c b, a  0 e b  0
a
log c    log c a  log c b, a  0 e b  0
b
log b a   n  log b a, a  0
n
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Mudança de Base
log c a
log b a 
log c b
log c a
log b a 
 log c a  log c b
log c b
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Função Logarítmica:
f :R R
*

Domínio
*

R
D f   R
*

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f x   log b x
Imagem
R
Im f   R
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Representação Gráfica
f x   log 2 x
Base > 1
y
1
1
2
0
1
2
1
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x
Representação Gráfica
g x   log 1 x
y
2
0 < Base < 1
1
2
0
1
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1
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x
y = loga x
0<a1
y = loga x
y = log1/2 x
a>1
y
y = log2 x
1
x
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f(x) = ax
f -1(x) = loga x
a>1
Crescente
Função Inversa:
Os gráficos são simétricos em relação à
bissetriz do 1º e 3º quadrantes
y=x
y = ax
x
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y = loga x
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f(x) = ax
f -1(x) = loga x
0<a1
Decrescente
y = ax
y
y=x
y = loga x
1
x
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