X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
INTRODUÇÃO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO
Leandra Gonçalves dos Santos
PM Vitória
PM Cariacica
[email protected]
Vânia Maria Santos-Wagner
Universidade Federal do Espírito Santo - UFES
[email protected]
Resumo: Neste artigo refletimos sobre uma investigação de mestrado de cunho qualitativo
(SANTOS, 2007). Os estudos de Coxford e Shulte (1988/1995), Usiskin (1988/1995),
Kieran (1992) e Bittencourt (1993) nos auxiliariam no desenvolvimento de nosso trabalho.
Examinamos na pesquisa de campo, durante sete meses, a influência dos livros didáticos
na concepção algébrica e nas ações pedagógicas de três professores que atuavam em
turmas de 5ª à 7ª séries do ensino fundamental. Estudamos também a introdução do
pensamento algébrico em coleções de livros didáticos de matemática usados por estes
professores. O exame de duas coleções de livros didáticos, entrevistas e diálogos com os
autores das coleções, observações das aulas de três professores, questionários e entrevistas
semi-estruturadas com professores e seus alunos formaram o corpo de informações desta
pesquisa. Da análise de dados evidenciaram-se alguns aspectos de como os docentes
pesquisados concebem a álgebra, seu ensino, suas crenças e concepções algébricas e de
como estas estão impregnadas de mitos, conjecturas e preconceitos devido à formação
acadêmica que tiveram e à forma simplificada como a álgebra lhes foi apresentada. As
ações pedagógicas desses professores refletem um currículo prescrito e/ou influenciado
pelo livro didático.
Palavras-chave: Pensamento algébrico; Álgebra; Livro didático; Matemática; Currículo.
INTRODUÇÃO
Desenvolvemos, em 2007, uma pesquisa de campo em duas escolas públicas uma
de Vitória e outra de Cariacica. A investigação focalizou a introdução do pensamento
algébrico nos livros didáticos [LD] e a influência que a abordagem e o discurso de seus
autores causam no ensino e aprendizagem de álgebra em sala de aula. Os sujeitos
participantes da pesquisa foram: três professores de matemática de 5ª a 7ª séries (dois de
Vitória e um de Cariacica), alguns de seus alunos e os autores de duas coleções de livros
didáticos adotados por estes professores. A análise de conteúdo e discurso dos autores:
Imenes e Lellis (2006); Andrini e Vasconcelos (2002) nos fizeram perceber que a
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problemática das dificuldades de alunos e professores no campo algébrico perpassa pelo
campo sócio-cultural em que está inserida a escola. Notamos ainda que muitas vezes o
ensino de matemática, e em particular de álgebra, se encontram desassociados da realidade
de alunos e professores. Isto se dá devido ao distanciamento da educação algébrica e do
fazer matemática comparando-as com as políticas educacionais (COXFORD; SHULTE,
1995; LINS; GIMENEZ, 1997; BRASIL [Parâmetros Curriculares Nacionais, PCN],
1998).
As dificuldades encontradas no ensino e aprendizagem de álgebra perpassam a
forma como ela é tratada pelos LD e o modo como é abordada em sala de aula pelo
professor (KIERAN, 1992). Alguns LD ainda trazem a álgebra de maneira simplificada e
não dão o suporte necessário ao trabalho do professor em sua prática pedagógica. Além do
mais, muitos professores trabalham o conteúdo desassociado da realidade social e lógica
do aluno, enfatizando a memorização, os “macetes” e as regras. Percebemos também que,
algumas vezes, o conteúdo de matemática é apresentado de forma tradicional e rigorosa em
LD e em aulas de matemática, cobrando-se dos estudantes excessivamente memorização e
rigor em situações de avaliação (SANTOS, 1997). Ou seja, ainda continuamos utilizando a
disciplina de matemática para filtrar, selecionar e decidir que estudantes podem seguir
estudando matemática. Parece que continuamos, ainda no início do século XXI, como já
afirmava Kline (1976), acreditando na memorização de processos, procedimentos e provas
em aulas de matemática como fornecedores de evidências de aprendizagem.
Para prosseguirmos convidando o leitor a nos acompanhar nas reflexões sobre a
investigação desenvolvida e trazermos nosso exame para as questões sócio-culturais que
envolvem o ensino de álgebra, organizamos o texto em três partes. Inicialmente abordamos
o que tem sido discutido na literatura sobre os LD, sobre a álgebra e o pensamento
algébrico. Posteriormente comentamos em linhas gerais sobre os procedimentos
metodológicos de coleta e análise de dados. Finalizamos comentando alguns dos resultados
da pesquisa e propondo questionamentos relativos aos direitos fundamentais para qualquer
cidadão ter acesso ao saber matemático.
ENQUADRAMENTO TEÓRICO
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Bittencourt (1993) nos informa que ocorreram diversas mudanças, desde 1938,
quando o Ministério da Educação, através da Comissão Nacional do Livro Didático
(CNLD), estabeleceu condições para a produção, importação e utilização do livro didático
no Brasil. Segundo a autora o livro passou por algumas transformações que, de certa
forma, influenciaram o ensino e aprendizagem na escola e fora dela. A partir de 1938
iniciou-se um processo efetivo de exigências político-ideológicas para produção e
divulgação de manuais didáticos no Brasil. No período de 1938 a 1994 as políticas
educacionais no Brasil passaram por modificações consideráveis, contextualizadas
conforme a vigência dos governos políticos e de seus regimes. Por exemplo, no governo
republicano a meta principal do governo foi a alfabetização como condição prioritária para
a população, para que esta pudesse participar da vida política da nação, conforme
Bittencourt (1993, p. 37). Em 1994 foram instituídos pelo Ministério da Educação e
Cultura (MEC) critérios para avaliação dos manuais didáticos produzidos e utilizados no
Brasil. O critério de avaliação do MEC, em nosso entendimento, não deixou de perpassar a
lógica de uniformizar o conhecimento nas escolas públicas brasileiras, tal como nos
governos anteriores, e a lógica da política assistencialista. Acreditamos que, para a visão de
muitos políticos, ainda é mais viável existir no Brasil esta política do que procurar
encontrar outros caminhos para sanar a situação socioeconômica das classes menos
favorecidas do país.
A álgebra tem lugar significativo no currículo escolar atual do Brasil,
principalmente na grade curricular do ensino fundamental de quinta a oitava séries
(atualmente do sexto ao nono ano escolar). D`Ambrosio (1996), Silva (2000) e Morin
(2004), ao discutirem a questão do currículo escolar, enfatizam a necessidade de um ensino
que forme o cidadão. Ou seja, um ensino valorizando as necessidades dos alunos, a relação
dialógica docente-discente, a adoção de uma educação como produção de conhecimentos e
a relevância de produzir e validar conhecimentos na prática educativa. Mas apesar dos
vários debates em torno do currículo de matemática e das diversas pesquisas sobre o
assunto, muitos LD disponíveis no mercado ainda trazem basicamente técnicas e
algoritmos com seqüências de exercícios. Ainda encontra-se, em alguns manuais didáticos,
o perfil do currículo tradicional e mecanicista. E, infelizmente, essas características são
observadas como incutidas em ações pedagógicas de professores em diversas escolas, visto
que o LD continua sendo um dos principais instrumentos utilizado em sala de aula. Kieran
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(1992) ao revisar estudos sobre o ensino e aprendizagem de álgebra nos Estados Unidos e
Canadá já comentava sobre isto dizendo que
os alunos experimentam dificuldades com a álgebra que é ensinada em sala de
aula por seus professores e os professores ensinam a álgebra que é apresentada nos
livros-texto. [...] Presentemente, o conteúdo da maioria dos livros-texto de álgebra
não incorpora uma perspectiva procedimental-estrutural de aprendizagem de
matemática pelos alunos, nem parece refletir como a álgebra evoluiu
historicamente (p. 413).
A álgebra tem sido um dos campos da matemática responsáveis pelas dificuldades
que os alunos têm em aprender a disciplina. Quando os alunos chegam no 2º ciclo do
ensino fundamental, onde a introdução do pensamento algébrico é iniciada, eles não
compreendem e não conseguem manipular adequadamente os símbolos. Mesmo sendo um
dos objetivos do estudo da álgebra, ir além da manipulação de símbolos, a maioria dos
alunos tem dificuldade ao lidar e ao procurar fazer relações com eles. Percebemos que
muitos alunos não tiveram a preparação para a introdução da álgebra nessas séries.
Estavam habituados a lidar com a manipulação de números e estabelecerem relações
matemáticas somente com números (LINS; GIMENEZ, 1997). Por isso, quando os alunos
chegam à quinta série e se deparam com generalizações na matemática ou até com a
manipulação de letras no lugar de números, alguns deles não compreendem e passam a agir
com atitudes negativas frente à matemática.
A compreensão do desenvolvimento da matemática, particularmente da álgebra, é
permeado por várias vertentes. Uma delas discute o processo histórico sobre o simbolismo
algébrico na aprendizagem da álgebra. Bekken (1994) indica que a aprendizagem em
matemática pode ser melhorada se for explorada toda a etapa histórica dos assuntos que
fazem parte da problemática na aprendizagem. Uma das dificuldades apontadas por
Bekken (1994) é a dificuldade do aluno em entender ou contextualizar os símbolos. Para
ajudar a compreender as dificuldades no ensino da matemática, no ensino da álgebra é
preciso estudar a história dos símbolos algébricos ou da Simbologia na Álgebra (p. 7). O
autor percebe a relevância de se entender os estágios da Álgebra: (1) pré-simbólico, antes
de 1600 A.D., (2) simbólico-numérico 1600 – 1800, (3) simbólico-abstrato após 1800. A
linguagem dos símbolos está caracterizada, pelos historiadores em três fases que devem ser
consideradas em nossos estudos: a retórica, a sincopada e a simbólica. Além disso, para o
desenvolvimento do pensamento algébrico consideramos seus principais elementos em
nossa análise de dados: a introdução de símbolos; sublinhar a importância da relação
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entre os símbolos e não o conteúdo –, abstração em vez de intuição; a diferença entre
receita e fórmula (BEKKEN, 1994, p. 86).
Usiskin (1988/1995) fala sobre quatro concepções de álgebra como: aritmética
generalizada, estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas, estudo de
relações entre grandezas e estudo das estruturas matemáticas (p. 25). Interessa-nos
analisar e comparar em quais séries e como está sendo evidenciada ou não as propostas de
ensino da álgebra nos livros didáticos de matemática, como por exemplo, as de Usiskin nos
livros didáticos de matemática. Segundo Lins & Gimenez (1997) a educação algébrica
necessita passar por uma reformulação para que ocorra produção de significados no ensino.
Percebemos no LD que os alunos têm dificuldade em entender a linguagem matemática
produzida pelo livro e, isso, acaba por gerar uma dificuldade em produzir significados
desses objetos de estudos da álgebra. A deficiência na linguagem gera a possibilidade de
deficiência no conhecimento algébrico. Ponte (2005) comenta que algumas das
dificuldades encontradas na aprendizagem de álgebra ocorrem, pois trata-se de questões
que envolvem dependências funcionais entre variáveis, padrões e regularidades e aspectos
matemáticos da mudança, e que surgem numa variedade de representações, simbólicas,
algébricas, gráficas, tabulares e geométricas (p. 38). Destacando ainda que algumas das
dificuldades dos alunos são na transição da aritmética para álgebra. Dificuldades
em usar letras para representarem variáveis e incógnitas, traduzir informação da
linguagem natural para a linguagem algébrica e compreender as mudanças de
significados, na aritmética e na álgebra (PONTE, 2005, p. 39).
Além de analisar e comparar as propostas de ensino e abordagem da introdução à
álgebra nos livros didáticos, percebemos a possibilidade de investigar com os autores a
partir de que série eles introduzem a álgebra no LD e em que atividades eles acham que
desenvolvem o pensamento algébrico do aluno. Com isto, concordamos com o
posicionamento do autor de que é necessário repensar a abordagem do currículo da
álgebra, entendendo a álgebra de uma forma ampla e multifacetada, valorizando o
pensamento algébrico (PONTE, 2005, p. 40-41). A relevância do desenvolvimento do
pensamento algébrico do aluno seria uma das justificativas para estudo da álgebra, como é
apontado por Pontes (2005, p. 37), pois possibilita estruturar as capacidades cognitivas e
manipulativas do aluno ao lidar com os entes matemáticos.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
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Como já mencionado, nós realizamos uma investigação de cunho qualitativo envolvendo
duas escolas municipais, três professores, seus alunos, e os autores de duas coleções de
livros didáticos. As observações de sala de aula, as conversas informais com os professores
e outros profissionais de educação das duas escolas, os documentos obtidos (pautas,
cadernos de alunos, listas de exercícios e avaliações), os questionários, entrevistas, E-mails
e conversas com os autores dos livros didáticos nos possibilitaram coletar dados e
informações em nosso estudo. Seguimos procedimentos sistemáticos de transcrição,
organização e interpretação dos dados e informações obtidas sempre relendo os autores que
nos auxiliaram a contextualizar e implementar a pesquisa. Além disso, esta forma
sistemática de organizar e interpretar informações nos auxiliou a buscar compreender as
visões e concepções de álgebra de professores e autores. E ainda procurar compreender as
influências que identificávamos em aulas. Após termos completado as análises, referentes
ao que foi observado em sala de aulas e sobre o que os professores nos falaram em
diversos pontos do estudo, ocorreram momentos de retorno e de confirmação de nossas
interpretações com os sujeitos. Procedimentos semelhantes aconteceram com respeito aos
dados obtidos pelas mensagens de E-mail e conversas com os autores dos livros didáticos.
Para analisar as coleções de livros didáticos de Imenes e Lellis (2006) e de Andrini
e Vasconcellos (2002) iniciamos examinando pelo índice ou sumário do livro. Procuramos
identificar os assuntos que podiam servir para introduzir a álgebra. Em seguida
identificamos, nos conteúdos, quais deles que deixava implícita ou explícita a introdução
do pensamento algébrico. Após isso partimos para uma análise mais profunda desses
assuntos, dialogando sempre com os autores mencionados no enquadramento teórico. A
análise foi feita procurando responder às seguintes indagações:
1) O autor insere conceitos algébricos de forma implícita ou explícita?
2) O autor articula a álgebra, a aritmética e geometria? Como é feita essa articulação?
3) A introdução do pensamento algébrico - a linguagem, noções e argumentações do autor
– possibilitam orientar o aluno (mostrar as utilidades da álgebra, suas aplicações e
desenvolver a cognição do aluno)?
4) No LD há uma relação entre os conhecimentos algébricos e os de outras áreas de
conhecimento, de maneira a preparar o aluno para utilizar a álgebra na vida escolar?
5) No manual pedagógico (livro do professor) os autores explicitam suas concepções de
álgebra?
Na análise das entrevistas via E-mails com os dois autores de livro didático de matemática,
procuramos verificar se o autor:
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i Evidencia suas concepções algébricas para a abordagem da álgebra na escola;
ii Discursa de forma a evidenciar suas concepções em relação ao desenvolvimento do
pensamento algébrico;
iii Valoriza em sua narrativa o estímulo ao desenvolvimento da capacidade do aluno
em analisar, argumentar e generalizar;
iv Contribui para o desenvolvimento do pensamento algébrico no cotidiano escolar do
aluno.
Para procurar identificar e compreender algumas concepções dos professores, nós
fomos interpretar as informações provenientes de questionários, conversas informais,
entrevistas semi-estruturadas e aulas observadas. O questionário do professor teve questões
sobre o(s) livro(s) didático(s) adotado(s) pela escola/professor e sobre a abordagem da
álgebra nesse(s) livro(s). Nas análises dos dados coletados através de questionários e
entrevistas com os três professores nós tentamos identificar os seguintes itens:
A.
B.
C.
D.
A opinião/concepção sobre a linguagem algébrica utilizada pelos livros;
Como professores e alunos definem a álgebra;
A “visão algébrica” do professor diante da abordagem do livro didático.
Até que ponto a abordagem do livro didático e o discurso do autor interferem no
ensino da álgebra pelo professor em sala de aula;
E. Se há propostas que ajudam o desenvolvimento do pensamento algébrico sem que
aluno e professor sejam dependentes do livro, de forma que estes o utilizem como
um instrumento de trabalho dentre outros.
Algumas evidências puderam ser apontadas a partir da análise de dados, tais como
as formas como os professores concebem a álgebra e seu ensino, e as formas como
abordam este conteúdo. Percebemos que as crenças e concepções algébricas dos
professores estão impregnadas de alguns mitos, conjecturas e preconceitos devido à
formação acadêmica que tiveram e à forma simplificada como a álgebra lhes foi
apresentada. As ações pedagógicas desses profissionais refletem um currículo prescrito
e/ou influenciado pelo livro didático. Os procedimentos metodológicos até então expostos
pretendem fornecer ao leitor uma panorâmica do que realizamos em nosso estudo (Ver
SANTOS, 2007). Por isso, optamos em iniciar a seguir um dos desdobramentos da
pesquisa priorizando a discussão relativa ao ensino de álgebra e os direitos de informação a
estes conhecimentos na educação básica.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
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Diante disso, percebe-se que o LD de matemática influenciou e ainda influencia o
trabalho pedagógico dos professores. Percebemos que há a necessidade de investigações
cuidadosas acerca de como os professores interpretam e apresentam os conteúdos de
álgebra inseridos nos LD em suas aulas de matemática (COXFORD; SHULTE, 1995;
KIERAN, 1992; PINTO, 1999). Em nosso estudo, realizado em 2007, constatamos que isto
ainda persiste por uma série de motivos. Nos diálogos com os professores participantes da
pesquisa percebemos que eles possuíam muitas de nossas inquietações sobre a educação
algébrica. Inquietações estas que tinham perpassado a formação estudantil de ensino
fundamental e médio e a formação acadêmica universitária para nos tornarmos professores
de matemática. Percebemos que estas inquietações influenciavam as ações e decisões
pedagógicas. Por exemplo, alguns aspectos que achamos relevantes destacar nas falas dos
professores são:
- a importância de se trabalhar com os alunos a resolução de problema;
- na maioria das vezes, somos acostumados à mecanização e a receitas prontas, fato que
ocorre na maioria das graduações de ciências exatas. Com isso, achamos que aprendemos
certo e propagamos tal metodologia, como se fosse a melhor. Percebemos que a maturação
do profissional em sua prática, se este não for um “acomodado” na profissão, o fará buscar
caminhos e metodologias diversificadas não se contentando apenas com o que aprendeu na
graduação;
- nós educadores temos que perceber em uma atividade algébrica que cada aluno
contextualiza um problema segundo sua visão cotidiana e, a partir daí, forma um
modelo/algoritmo próprio para resolução do seu problema. Esses tipos de atividades em
sala de aula geram bastante participação e discussão em sala de aula, gerando uma
assimilação melhor do conteúdo.
Comprovamos em nossa pesquisa que há um grande obstáculo entre aprender e
ensinar matemática, contribuindo para a sedimentação das concepções dos professores,
conforme Pinto (1999) já havia comprovado em seu estudo. No entanto, notamos também
que uma postura crítica do professor, sabedor de suas limitações, tem sido buscar em suas
ações pedagógicas formas de explorar metodologias mais eficazes para o ensino da
matemática. Em relação à álgebra, as limitações por causa da formação do professor são
diversas e estas fazem com que o docente, mesmo com postura crítica, se conforme em
utilizar o LD como um dos recursos mais confiáveis para o ensino e aprendizagem.
Observamos que havia um discurso comum dos profissionais das duas unidades de ensino,
mesmo pertencentes a órgãos públicos diferentes. A semelhança ocorreu na discussão do
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currículo das disciplinas visando à aprendizagem de fato com a valorização do cotidiano
do aluno e das diversidades que se encontram no espaço escolar. Por um período,
vivenciamos conversas dos professores sobre a vida cotidiana e a violência nos bairros,
onde as escolas estão inseridas e, percebemos como esses aspectos interferiam no
rendimento escolar na visão desses professores.
Com a universalidade do saber e da escola, bem como as validações de políticas
públicas educacionais de inclusão, temos que perceber a universalidade tomando cuidado
para não cairmos na armadilha de elaborarmos discursos discriminatórios formando
escolas onde sejam todos negros, ou todos brancos, ou todos índios, ou todos ciganos, etc.
Espero que nesse ensaio tenhamos iniciado um debate em relação ao ensino da matemática,
procurando destacar que esta não é neutra, como já foi considerado no passado.
Lembramos ainda que este conhecimento está se desenvolvendo e construindo por homens
e mulheres ao longo dos tempos. Devemos estar conscientes de que necessitamos ter
acesso a uma educação matemática básica para todos os alunos e segundo os aportes legais
todos têm direitos a esse saber e devem ter acesso a estas informações. Aportes legais
provenientes das diretrizes e regulamentos curriculares das secretarias municipais e
estaduais, documentos como Constituição Federal de 1988, LDB de 1996, PCN (1998),
Plano Nacional de Educação em Direitos Humanos (2007) e outros documentos de
políticas públicas educacionais determinam isto. E que a escola pode e deve oportunizar a
universalidade desse saber matemático e em questão saber algébrico, sem restringir e sem
excluir, tornando o conhecimento aberto e amplo para professores e alunos que queiram
enveredar-se por ele. Concluímos que, atualmente, a matemática permeia todo o contexto
sociocultural de nossa sociedade e a escola precisa adequar-se a essa nova perspectiva
legal. Ter um olhar sobre as influências do contexto sócio-histórico-econômico da escola
nos permitiu observar e fazer alguns questionamentos. Esperamos estar finalizando este
texto iniciando um diálogo com os leitores sobre algumas indagações, que têm nos
provocado reflexões, tais como pensar em investigar:- sobre os “limites” impostos na
formação do professor. Ou seja, até que ponto os professores foram respeitados em seus
direitos de aprender álgebra construindo significados que possam ser utilizados
apropriadamente em diferentes momentos de seus estudos de matemática e posteriormente
em seus procedimentos de ensino e de avaliação?
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- De que forma a concepção algébrica e a educação algébrica destes professores vão
perpetuando a problemática de aprendizagem de seus alunos de ensino fundamental?
- Que papel o estudo de álgebra e a educação algébrica têm na formação matemática de um
professor?
- Como os futuros professores e professoras de matemática foram e vão se apropriando dos
significados e das concepções sobre álgebra presente em livros estudados nos cursos
universitários?
- Como nos apropriarmos das considerações da educação em direitos humanos para a
educação matemática, onde consideramos a educação e a educação matemática como
práticas sociais?
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