Descontos Simples (Relação entre os descontos) – Prof. Wagner Carvalho
Olá, amigos concursandos de todo o Brasil!
Falaremos hoje sobre a relação entre os descontos simples e como essa relação é
abordada por algumas bancas de concursos públicos. Esse assunto que será estudado em nosso
curso (em breve).
Antes veremos alguns conceitos de descontos, juntamente com conceitos básicos de juros
simples e fator de correção.
O desconto ocorre quando o detentor do título necessita de disponibilidade financeira,
dinheiro vivo, e resolve resgatá-lo antes de seu vencimento. A instituição financeira que antecipar
o título cobrará juro, na forma de desconto.
Nosso exemplo será o seguinte: você possui um cheque pré-dadato no valor de R$
1.000,00 para daqui a seis meses, mas necessita do dinheiro hoje. Então, você resolve recorrer a
um banco para resgatar, descontar, antecipadamente, esse cheque.
O banco aceita descontar esse cheque antecipadamente para você, mas cobra, a título de
desconto, o valor de R$ 300,00. Então, quanto sobra na sua mão?
Fazendo uma simples subtração (1.000 − 300 = 700) , concluímos que o valor resgatado,
ou valor descontado, é de R$ 700,00.
Antes de prosseguirmos, definiremos alguns conceitos:
-Valor nominal (N) ou valor de face: corresponde ao valor do título na data do vencimento. No
nosso exemplo, é o valor preenchido no cheque pré-datado, ou seja, R$ 1.000,00. Esse é o valor
nominal do título, ou seja, o valor na data do vencimento.
-Valor atual (A), valor descontado ou valor líquido: valor do título na data do desconto, data do
resgate. No nosso exemplo, é de R$ 700,00, que é o valor resgatado hoje.
-Desconto: O desconto propriamente dito é sempre a diferença entre o valor nominal e o valor
atual:
desconto = N − A
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No nosso exemplo, o desconto é R$ 300,00, que é a diferença entre R$ 1.000,00 e R$
700,00:
desconto = N − A ⇒ desconto = 1.000 − 700 ⇒ desconto = 300
São dois tipos de descontos simples: Desconto Comercial (D) e Desconto Racional (d).
O Desconto Comercial Simples (D) é um percentual do valor nominal:
D = p% × N
Vejamos como determinar o percentual de juros, no regime de juros simples, assunto que
será estudado na aula 2.
Percentual de juros, a juros simples, é o produto da taxa (i ) com o tempo (t ) :
p% = i × t
Vejamos dois exemplos. Para cada taxa e seu respectivo período de capitalização simples,
determinaremos o percentual de juros correspondente:
a) i
= 2% ao mês ∴ t = 3 meses
p% = i × t ⇒ p% = 2% × 3 ⇒ p% = 6%
b) i
= 15% ao ano ∴ t = 2 anos
p% = i × t ⇒ p% = 15% × 2 ⇒ p% = 30%
Exemplo 1: Um título de valor de face R$ 1.400,00 foi descontado 2 anos antes do seu
vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 20% ao ano.
a) Qual o valor do desconto?
Solução:
Organizando os dados do problema → N = 1.400 ∴ t = 2 a ∴ i = 20% a a
Primeiramente, acharemos o percentual de desconto → p% = i × t ⇒ p% = 20% × 2 = 40%
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E, depois, o próprio desconto → D = p % × N ⇒ D = 40% × 1.400 ⇒ D = 560
b) Qual o valor atual do título?
Solução:
Como nós vimos anteriormente, o desconto é sempre a diferença entre o valor nominal e o valor
atual. Portanto, como temos o valor nominal e o desconto, determinaremos o valor atual.
desconto = N − A ⇒ A = N − desconto ⇒ AD = 1.400 − 560 ⇒ AD = 840
O Desconto Racional Simples (d) é um percentual sobre o valor atual para esse
desconto:
d = p% × Ad
Aplicar desconto racional simples corresponde a descapitalizar o valor nominal para data
do desconto, ou seja, dividir o valor nominal pelo fator de correção do percentual. Então, antes de
determinarmos o valor atual, vamos ver como determinar o fator de correção f .
Fator de correção ( f ) , ou de atualização, relacionado ao percentual de juros ( p % ) .
f = 1+
p
100
Vejamos dois exemplos. Para cada percentual abaixo, determinaremos o fator de correção
correspondente:
a) p % = 20% ⇒ f = 1 +
20
= 1 + 0,2 = 1,2
100
b) p % = 18% ⇒ f = 1 +
18
= 1 + 0,18 = 1,18
100
E, finalmente, a maneira de determinar o valor atual do desconto racional simples:
Ad =
N
f
, ou seja,
N = Ad × f
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Exemplo 2: Um título de valor de face R$ 1.400,00 foi descontado 2 anos antes do seu
vencimento, a uma taxa de desconto racional simples de 20% ao ano.
a) Qual o valor atual?
Solução:
Organizando os dados do problema → N = 1.400 ∴ t = 2 a ∴ i = 20% a a
Primeiramente, acharemos o percentual de desconto → p % = i × t ⇒ p% = 20% × 2 = 40%
Em seguida, determinaremos o fator de correção dos 40%:
f = 1+
p
40
⇒ f =1+
⇒ f = 1 + 0,4 ⇒ f = 1,4
100
100
Com o valor nominal e o fator de correção, calcularemos o valor atual.
Ad =
N
1.400
⇒ Ad =
⇒ Ad = 1.000
f
1,4
b) Qual o valor do desconto?
Solução:
Não podemos esquecer que o desconto é sempre a diferença entre o valor nominal e o valor
atual:
desconto = N − A ⇒ d = 1.400 − 1.000 ⇒ d = 400
Acabamos de ver como determinar o valor do desconto e o valor atual para as duas
modalidades de desconto simples. Agora, veremos como relacionar esses dois descontos. Esse
estudo é importante, pois, muitas vezes, as bancas de concurso abordam essas duas
modalidades de desconto num mesmo problema, e utilizar essa relação aumenta bastante a
velocidade na resolução. Vejamos:
Considerando os descontos vistos anteriormente, chegamos aos valores de N e de Ad ,
em função dos descontos:
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Descontos Simples (Relação entre os descontos) – Prof. Wagner Carvalho
D
⎧
⎪ Deconto comercial simples (D ) → D = p % × N ⇒ N = p%
⎪
⎨
⎪ Desconto racional simples (d ) → d = p% × A ⇒ A = d
d
d
⎪⎩
p%
Substituindo N =
D
d
e Ad =
na equação N = Ad × f , oriunda do desconto
p%
p%
racional simples, temos:
N = Ad × f ⇒
D
d
=
×f
p% p%
E, finalmente, simplificando p% dos dois lados da igualdade, chegamos à relação entre
os descontos:
D=d× f
Essa relação é muito utilizada em resoluções de questões nas provas da banca ESAF.
Vejamos um exemplo:
Exemplo 3 (AFRF): O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses
antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto
comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o
mesmo prazo.
a) R$ 960,00
b) R$ 666,67
c) R$ 973,32
d) R$ 640,00
e) R$ 800,00
Solução:
Foi dado o desconto racional simples, d = 800 , e é pedido o desconto comercial simples (D ) :
Primeiramente, acharemos o percentual de desconto:
p% = i × t ⇒ p% = 4% × 5 ⇒ p% = 20%
Em seguida, o fator de correção:
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Descontos Simples (Relação entre os descontos) – Prof. Wagner Carvalho
f =1+
p
20
⇒ f = 1+
⇒ f = 1,2
100
100
Utilizando a relação entre os descontos, calcularemos D :
D = d × f ⇒ D = 800 × 1,2 ⇒ D = 960 → LETRA A
Veja que, utilizando a relação entre os descontos, a solução é bem rápida, e velocidade na
resolução das questões é fundamental para ter sucesso em diversos concursos, principalmente
da área fiscal.
Apesar de ser assunto bastante cobrado nas provas da ESAF, a relação entre os
descontos também é explorada por outras bancas. Vejamos um exemplo de um estilo de prova
bem diferente, o da prova de Contador Júnior da Petrobrás, realizada no dia 05/08/2007, da
banca CESPE-UNB:
Exemplo 4 (Contador Jr. Petrobrás): Um título de valor nominal igual a N reais será
descontado em uma instituição financeira cinco meses antes do seu vencimento, à taxa de
juros simples de 5% ao mês. Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes.
Se a diferença entre o desconto comercial e o racional for de R$ 400,00, então N será
inferior a R$ 8.500,00.
Solução:
Foi dada a diferença entre o desconto comercial simples e o desconto racional
simples →
D − d = 400 .
Primeiramente, acharemos o percentual de desconto:
p% = i × t ⇒ p% = 5% × 5 = 25%
Em seguida, o fator de correção
f =1+
p
25
⇒ f = 1+
⇒ f = 1,25
100
100
Utilizando a relação entre os descontos, chegamos a:
D = d × f ⇒ D = d × 1,25 ⇒ D = 1,25d
Portanto, estamos com duas incógnitas e duas equações, vamos montar o sistema:
6
Descontos Simples (Relação entre os descontos) – Prof. Wagner Carvalho
⎧ D − d = 400
⎨
⎩ D = 1,25d
Substituindo a segunda equação,
D = 1,25d , na primeira, D − d = 400 , acharemos
D − d = 400 ⇒ 1,25d − d = 400 ⇒ 0,25d = 400 ⇒ d =
d:
400
⇒ d = 1.600
0,25
E, posteriormente, D :
D = 1,25d ⇒ D = 1,25 × 1.600 ⇒ D = 2.000
Como D é um percentual de N , finalmente calcularemos o valor de N :
D = p % × N ⇒ 2.000 = 25% × N ⇒ N =
2.000
⇒ N = 8.000
0,25
R$ 8.000,00 é menor do que 8.500, logo o item CERTO
Nós acabamos de estudar um dos assuntos que estarão no nosso curso de TEORIA DE
MATEMÁTICA FINANCEIRA, COM EXERCÍCIOS.
Até lá!
Abraços, Wagner Carvalho.
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