Matemática II (Geologia)
Sebenta de Matemática II
Vasco Ribeiro
1
Matemática II (Geologia)
Índice
Funcões e Inversas
. Exponencial e Logaritmo
. Seno e Arco seno
. Coseno e Arco coseno
. Tangente e Arco Tangente
. Resultados trigonométricos
. Quadro de variações trigonométricas
Derivada da função composta
. Derivada da função composta
Teoremas de Rolle e Lagrange
. Teoremas de Rolle e Lagrange
Cálculo Integral
. Primitivas
. Propriedades das primitivas
. Primitivas imediatas
. Primitivação por partes
. Primitivação por substituição
. Primitivação de funções racionais
. Propriedades dos logaritmos
. Integrais
. Propriedades dos integrais
. Teorema fundamental do cálculo integral
. Regra de Barrow
. Particularização da integração por substituição
. Áreas
. Derivada do integral
. Comprimento de linha
. Integrais impróprios
. Integrais impróprios
2
Matemática II (Geologia)
. Cálculo de volumes de sólidos de revolução
. Cálculo de volumes de sólidos de revolução
Fórmula de Taylor
. Séries de Taylor
. Séries de MacLaurin
Introdução aos campos Escalares e Vectoriais
. Linhas de Nível
. Plano Tangente
. Derivadas Parciais
. Gradiente
. Derivada segundo um vector
Fórmula de Taylor de uma função f ( x, y)
. Fórmula de Taylor
. Fórmula de MacLaurin
3
Matemática II (Geologia)
Funções e Inversas
Exponencial
f ( x) = e x
D f = ℜ ; CD f = ]0,+∞[
lim e x = 0
x →−∞
lim e x = +∞
x →+∞
Logaritmo
f ( x ) = log( x )
D f = ]0,+∞[ , CD f = ℜ
lim log( x ) = 0
x →−∞
lim log( x ) = +∞
x →+∞
4
Matemática II (Geologia)
O Logaritmo e a Exponencial são funções inversas uma da outra, logo têm a
seguinte propriedade:
log(e x ) = x
e log( x ) = x
e y = x ⇔ y = log( x )
Note-se que o domínio de uma é o contradomínio da outra.
Seno
Df = ℜ
CD f = [ −11
,]
lim sen( x )
x →∞
não existe.
Comportamento da função seno.
5
Matemática II (Geologia)
Arco Seno é a função inversa do seno.
f ( x ) = arcsen( x ) , x ∈[ −11
,]
,
f ( x ) ∈[ −
π π
, ]
2 2
Propriedades
sen(arcsen( x )) = x
arcsen( sen( x )) = x
sen( x ) = y ⇔ x = arcsen( y )
Coseno
lim cos( x )
x →∞
Não existe.
Df = ℜ
CD f = [ −11
,]
6
Matemática II (Geologia)
Comportamento da função
Arco Coseno é a função inversa do coseno.
f ( x ) = arccos( x )
,
x ∈[ −11
,]
,
f ( x ) ∈[0, π ]
Propriedades
cos(arccos( x )) = x
arccos(cos( x )) = x
cos( x ) = y ⇔ x = arccos( y )
7
Matemática II (Geologia)
Tangente
Comportamento da função
O arco tangente é a função inversa da função tangente.
f ( x ) = arctg ( x ) x ∈ℜ
,
⎡ π π⎤
f ( x ) ∈ ⎢− , ⎥
⎣ 2 2⎦
8
Matemática II (Geologia)
Propriedades
tg (arctg ( x )) = x
arctg (tg ( x )) = x
tg ( x ) = y ⇔ x = arctg ( y )
Resultados
Fórmula Fundamental da Trigonometria
cos2 ( x ) + sen 2 ( x ) = 1
Outras fórmulas trigonométricas
1
cos2 ( x )
1
1 + cot 2 ( x ) =
sen 2 ( x )
1
= sec 2 ( x )
2
cos ( x )
1
= cosec 2 ( x )
sen 2 ( x )
1 + tg 2 ( x ) =
Uma função f diz-se Injectiva sse:
∀x , y ∈ D: x ≠ y ⇒ f ( x ) ≠ f ( y )
Uma função f diz-se Sobrejectiva sse:
∀y ∈ CD ∃x ∈ D: f ( x ) = y
Uma função f diz-se Bijectiva sse, for Injectiva e Sobrejectiva.
9
Matemática II (Geologia)
Quadro dos ângulos principais
10
Matemática II (Geologia)
Derivada da função composta
Uma função tem derivada (finita) num ponto do seu domínio se, e só se;
∃
lim
x → x0
f ( x ) − f ( x0 )
=k
x − x0
e
k ∈ℜ .
Seja f(x) e g(x) duas funções contínuas e diferenciáveis. Define-se derivada de
uma função (fog)´(x) da seguinte forma:
( fog )( x ) = f ( g ( x ))
( fog ) ′ ( x ) = f ′ ( g ( x )). g ′ ( x ) = ( f ′ og ). g ′ ( x )
Exemplo :
f ( x ) = sen( x 2 )
g( x) = e2 x
( fog )( x ) = f ( g ( x )) = sen(e 4 x )
Utilizando a derivada da função composta temos:
( fog )′ ( x ) = f ′ ( g ( x )). g ′ ( x ) = 2e 2 x .cos(e 4 x ).2e 2 x = 4e 4 x cos(e 4 x )
Mais simplesmente, pelas regras usuais :
[ sen(e 4 x )]′ = 4e 4 x cos(e 4 x )
Derivadas importantes
[arcsen( x )]′ =
[arccos( x )]′ = −
[arctg ( x )]′ =
1
1− x2
1
1− x2
1
1+ x2
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Matemática II (Geologia)
Teoremas de Rolle & Lagrange
Teorema de Rolle: Seja f(x) uma função contínua em [a,b], a<b ; a,b ∈ℜ e
diferenciável em ]a,b[ então se:
f (a ) = f (b) ⇒ ∃c ∈]a , b[: f ′ (c) = 0
Interpretação geométrica.
Vamos partir do princípio que f(x) goza das condições acima referidas e que
f(a)=f(b).
Note-se que f´(c)=0 não é mais que dizer; a tangente no ponto c é 0, isto é,
tem um extremo relativo. ( Lembrar que fazer f´(x)=0 é encontrar os
extremos relativos ( máximos e mínimos)).
12
Matemática II (Geologia)
Corolário 1: Seja f(x) uma função contínua e diferenciável num intervalo
I ⊆ ℜ . Entre dois zeros consecutivos da função existe pelo menos um
zero da derivada.
Exemplo:
Corolário 2 : Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função
diferenciável existe, no máximo, um zero da função.
13
Matemática II (Geologia)
Teorema de Lagrange : Seja f(x) uma função contínua em [a,b] e
diferenciável em ]a,b[, então:
∃c ∈]a , b[: f ′ (c) =
Note-se que
f (b) − f (a )
b−a
f (b) − f (a )
b−a
não é mais que o declive (tangente) da recta que passa
pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).
Interpretação geométrica.
Começamos por ver o que é a tangente ( declive ) de uma recta.
Sabemos que o ângulo que a recta faz com o eixo dos xx pode ser dada pela
tangente desse ângulo. Como sabemos;
Tg(α)=
Cateto oposto
f (b) − f (a )
=
Cateto adjacente
b−a
14
Matemática II (Geologia)
Então como a tangente de um angulo dá-nos o declive, temos a interpretação
geométrica seguinte do teorema de Lagrange.
Quer isto dizer que existe um ponto C que pertence a uma recta com o
mesmo declive (tangente) que a recta que passa por (a,f(a)) (b,f(b)).
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Matemática II (Geologia)
Cálculo Integral
Primitivas e Integrais
Primitivas
Sejam I um intervalo de ℜ que contenha mais do que um ponto e f : I → ℜ .
Chama-se primitiva de f em I a qualquer função F: I → ℜ tal que
F ′ ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ I . Diz-se que f é primitivável em I quando f possui pelo
menos uma primitiva em I.
Exemplo:
Seja
m( x ) = x 3 ,
Seja
c ∈ℜ
temos
( x 3 ) ′ = 3x 2 ,
então concluímos que a primitiva de
3x 2
é
x3 .
(constante) temos os seguinte resultado:
[ F ( x ) + c]′ = F ′ ( x ) + c′ = f ( x ) + 0 = f ( x ) ,
são da forma,
note-se então que todas as primitivas de f
F ( x) + c .
Vamos considerar P(f(x))=F(x) como a primitiva de f(x).
Propriedades das Primitivas
P(a. f ( x )) = a. P ( f ( x )) = a[ F ( x ) + c] ∀a , c ∈ℜ
P( g ( x ) + f ( x )) = P( g ( x )) + P( f ( x )) = [G ( x ) + c1 ] + [ F ( x ) + c2 ] = G ( x ) + F ( x ) + c ∀c = c1 + c2 ∈ℜ
P( g ( x ) − f ( x )) = P( g ( x )) − P( f ( x )) = [G ( x ) + c1 ] − [ F ( x ) + c2 ] = G ( x ) − F ( x ) + c ∀c = c1 − c2 ∈ℜ
Algumas Primitivas imediatas
Seja
f ( x ) = log( x )
, temos que
f ′ ( x) =
1
,x > 0
x
então temos que
⎛ 1⎞
P⎜ ⎟ = log| x|+ c .
⎝ x⎠
Em regra geral temos a seguinte Primitiva imediata :
⎛ f ′ ( x) ⎞
P⎜
⎟ = log| f ( x )|+ c
⎝ f ( x) ⎠
16
Matemática II (Geologia)
Exemplos:
⎛ 2x ⎞
P⎜ 2
⎟ = log| x 2 + 1|+ c = log( x 2 + 1) + c
⎝ x + 1⎠
Note-se que, a derivada do denominador
está no numerador.
⎛ x 2 ⎞ 1 ⎛ 3x 2 ⎞ 1
P⎜ 3 ⎟ = P⎜ 3 ⎟ = log| x 3 − 1|+ c
⎝ x − 1⎠ 3 ⎝ x − 1⎠ 3
⎛ cos( x ) ⎞
P(Cotg ( x ) ) = P⎜
⎟ = log| sen( x )|+ c .
⎝ sen( x ) ⎠
Seja α ∈ℜ \ { − 1} então
[ f ( x )]α +1
P[ f ( x ) f ′ ( x )] =
α +1
α
.
Exemplos:
x6
P[ x ] = P[ x ] =
+c
6
5
5
P[cos( x ). sen 4 ( x )] =
sen5 ( x )
+c
5
1
log5 ( x )
P[ .log 4 ( x )] =
+c
x
5
P[e x ] = e x + c
P[cos( x ). e sen ( x ) ] = e sen ( x ) + c
f ′ ( x)
então
Sabemos que [arctan( f ( x))]′ =
1 + f 2 ( x)
⎡ f ′ ( x) ⎤
P⎢
⎥ = arctan( f ( x ))
2
⎣1 + f ( x ) ⎦
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Matemática II (Geologia)
Exemplos:
⎤
⎡
2
⎡ 2 ⎤
P⎢
2 ⎥ = arctan( 2 x ) + c
2 ⎥ = P⎢
⎣1 + 4 x ⎦
⎣1 + ( 2 x ) ⎦
⎡ 1
⎢ 3
1
⎤
⎡
⎢
P⎢
2 ⎥ = P
2
⎣3 + 4x ⎦
⎢ 3 + 4x
⎢⎣ 3
⎤
⎥
⎥=
⎥
⎥⎦
⎡ 1
⎢ 3
P⎢
4x 2
⎢
⎢⎣1 + 3
⎡
⎤
⎡
⎤
2
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎥ 1
1 3 ⎢
1
3
⎢
⎥
⎥ = 3 arctan⎛ 2 x ⎞ + c
⎥= P
P
=
.
⎜ ⎟
2
2
⎝ 3⎠
⎥ 3 ⎢ ⎛ 2x ⎞ ⎥ 3 2 ⎢ ⎛ 2x ⎞ ⎥ 6
⎢
⎥
⎢
⎥
1
1
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎥⎦
⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
⎡
⎤
⎡ sen( x ) ⎤
sen( x )
1 ⎡ − 2 sen( x ) ⎤
1
⎢
⎥
⎥ = − arctan(2 cos( x ) ) + c
P⎢
=
−
=
P
P⎢
⎥
2
2
2
2 ⎢⎣1 + (2 cos( x ) ) ⎥⎦
2
⎣1 + 4 cos ( x ) ⎦
⎢⎣1 + (2 cos( x )) ⎥⎦
O mesmo acontece para
arc cot( f ( x ) ; arcsen( f ( x )) ; arccos( f ( x )) .
Primitivação por Partes
Teorema: Se u e v são funções diferenciáveis em I, o produto (u´v) é
primitivável em I se, e só se, o produto uv´o for, e tem-se:
P(u′ v ) = uv − P(uv ′ )
Note-se que é equivalente a :
P(uv ) = P(u)v − P( P(u)v ′ ) = Uv − P(Uv ′ )
Demonstração: Sabemos que (uv )′ = u′ v + v ′ u então ambos os termos têm
primitiva, então aplicando Primitiva aos dois termos, vem:
P((uv ) ′ ) = P(u′ v ) + P (v ′ u) ⇔ uv = P (u′ v ) + P (v ′ u) ⇔ P (u′ v ) = uv − P(v ′ u) ,
c.q.m
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Matemática II (Geologia)
Exemplos:
P( x. e x ) = P(e x ). x − P( P (e x ). x ′ ) = e x . x − P(e x .1) = e x . x − e x = e x ( x − 1) + c
P(arctan( x )) = P(1.arctan( x )) = P(1).arctan( x ) − P( P(1).{arctan( x )}′ ) =
1 ⎞
⎛
⎛ x ⎞
= x.arctan( x ) − P⎜ x.
⎟=
2 ⎟ = x.arctan( x ) − P ⎜
⎝ 1+ x ⎠
⎝ 1 + x2 ⎠
= x.arctan( x ) −
1 ⎛ 2x ⎞
1
P⎜
log(1 + x 2 ) + c
2 ⎟ = x.arctan( x ) −
2 ⎝1+ x ⎠
2
Primitivação por substituição
Teorema: Sejam I e J dois intervalos de ℜ , f : I → ℜ primitivável em I e
φ: J → ℜ uma bijeccção diferenciável. Nestas condições a função (fo φ) φ´ é
primitivável em J e designando por τ uma sua primitiva, τo φ−1 é uma
primitiva de f em I, isto é;
τ = P((fo φ))φ´ em J ⇒ P(f) = τo φ−1 , em I.
Exemplo:
⎛ sen( x ) ⎞
⎟
P⎜
x ⎠
⎝
Neste caso a substituição é
então temos:
substituição:
t = x ⇒ x = t 2 ⇒ x ′ = 2t .
t= x
Nestas condições vamos fazer a
⎛ sen( x ) ⎞
⎛ sen(t ) ⎞
⎟ = P⎜
P⎜
.2t ⎟ = P(2 sen(t ) ) = 2 P( sen(t )) = −2 cos(t ) + c
⎝ t
⎠
x ⎠
⎝
Repare que a nossa primitiva está em ordem a t, mas queremos em ordem a
x. Como tal voltamos a usar a igualdade :
⎛ sen( x ) ⎞
⎟ = −2 cos( x ) + c
P⎜
x ⎠
⎝
19
Matemática II (Geologia)
Algumas Integrações (primitivas) podem ser simplificadas com as
seguintes substituições:
1. Se o integrando contém o termo
apropriada é x = a. sen(t ) .
2. Se o integrando contém o termo
apropriada é x = a.tan(t ) .
3. Se o integrando contém o termo
apropriada é x = a.sec(t ) .
a2 − x2
, a substituição
a2 + x2
, a substituição
x2 − a2
, a substituição
Primitivação de fracções racionais
Seja
f ( x) =
a + bx + cx 2 +...℘x n
a * + b* x +...+℘* x m
reais distintos então
f ( x) =
com
m>n
em que o denominador tem m zeros
℘
A
B
+
+...+
( x − x1 ) ( x − x2 )
( x − xm )
, ou seja,
(Tipo 1)
⎡ A
⎡ A ⎤
⎡ ℘ ⎤
⎡ a + bx + cx 2 +...℘x n ⎤
℘ ⎤
B
+
+...+
P⎢ * *
⎥ = P⎢
⎥ +...+ P ⎢
⎥
* m ⎥ = P⎢
( x − xm ) ⎦
⎣ a + b x +...+℘ x ⎦
⎣ ( x − x1 ) ( x − x2 )
⎣ ( x − x1 ) ⎦
⎣ ( x − xm ) ⎦
(Tipo 2)
Quando m ≤ n faz-se a divisão pelo algoritmo simplificando a fracção.
Se o denominador tem uma ou mais raizes com multiplicidade maior que 1,
então;
(Tipo 3)
⎡ A
⎡ a + bx + cx 2 +...℘x n ⎤
℘ ⎤
B
C
D
+
P⎢ * *
⎥
* m ⎥ = P⎢
2 +
3 +...+
k +...+
( x − x1 )
( x − x1 )
( x − xm ) ⎦
⎣ a + b x +...+℘ x ⎦
⎣ ( x − x1 ) ( x − x1 )
Se o denominador tiver uma ou mais raizes complexas distintas, então;
(Tipo 4)
⎡ Ax + B Cx + D Dx + E
⎡ a + bx + cx 2 +...℘x n ⎤
℘x + ϑ ⎤
+
+
+...+
P⎢ *
⎥
*
* m ⎥ = P⎢
( x − xm ) ⎦
⎣ a + b x +...+℘ x ⎦
⎣ ( x − x1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 )
Nota: Pode juntar-se Tipos
20
Matemática II (Geologia)
Exemplos:
(Tipo 1)
Seja f ( x ) =
3x + 1
.
x + x−2
2
Note-se que o grau do denominador é maior que o grau
do numerador. Começamos por determinar as raízes do denominador.
x2 + x − 2 = 0 ,
com a ajuda da formula resolvente temos
vamos escrever f(x) da senguinte forma:
f ( x) =
x =1
e
x = −2 .
Então
A
B
A( x + 2) + B( x − 1) Ax + 2 A + Bx − B
3x + 1
=
+
=
=
x + x − 2 ( x − 1) ( x + 2)
x2 + x − 2
( x − 1)( x + 2)
2
Ora, duas fracções são iguais se os seus elementos fracionários são iguais,
então:
Ax + 2 A + Bx − B ( A + B) x + 2 A − B
3x + 1
=
= 2
2
2
x + x−2
x + x−2
x + x−2
Então temo o seguinte sistema:
4
⎧
A=
⎪
A
+
B
=
3
⎧
⎪
3
⇔⎨
⎨
⎩2 A − B = 1 ⎪ B = 5
⎪⎩
3
então ,
4
5
3x + 1
A
B
3
3 ,
=
+
=
+
x 2 + x − 2 ( x − 1) ( x + 2) ( x − 1) ( x + 2)
5 ⎤ 4 ⎡ 1 ⎤ 5 ⎡ 1 ⎤ 4
⎡ 4
5
⎡ 3x + 1 ⎤
3 +
3 ⎥= P
⎢
=
+ P⎢
= log| x − 1|+ log| x + 2|+ c
P⎢ 2
P
⎢
⎥
⎥
⎥
3
⎣x + x − 2⎦
⎢⎣ ( x − 1) ( x + 2) ⎥⎦ 3 ⎣ ( x − 1) ⎦ 3 ⎣ ( x + 2) ⎦ 3
21
Matemática II (Geologia)
(Tipo 2)
Seja
3x 2 + 1
f ( x) = 2
x + x−2
, como o grau do numerador é igual ao grau do
denominador, então vamos fazer a divisão.
3x 2 + 1 = ( x 2 + x − 2).3 − 3x + 7
então
3x 2 + 1
3x + 7
= 3− 2
.
2
x + x−2
x + x−2
⎛ 3x 2 + 1 ⎞
3x + 7 ⎞
⎛ 3x + 7 ⎞
⎛
P⎜ 2
⎟
⎟ = P(3) − P⎜ 2
⎟ = P⎜ 3 − 2
⎝ x + x − 2⎠
⎝
x + x − 2⎠
⎝ x + x − 2⎠
Temos aqui um caso do Tipo 1. Resolvendo da mesma forma que o
exemplo anterior temos a seguinte primitiva;
10
⎧
=
A
⎪⎪
⎧A + B = 3
3
⇔⎨
⎨
−
=
2
7
A
B
⎩
⎪B = − 1
⎪⎩
3
então;
1
⎛ 3x + 7 ⎞
⎧10
⎫
P(3) − P⎜ 2
⎟ = 3x − ⎨ log| x − 1|− log| x + 2|⎬ + c .
⎝ x + x − 2⎠
3
⎩3
⎭
(Tipo 3)
Seja
f ( x) =
x +1
,
( x − 4 x + 4).( x − 1)
2
vamos
calcular
os
zeros
(raízes)
do
denominador.
( x 2 − 4 x + 4).( x − 1) = 0 ⇔ ( x 2 − 4 x + 4) = 0 ∨ ( x − 1) = 0 ⇒ x = 2( com multiplicidade 2) ∨ x = 1
então;
x +1
A
B
C
A( x − 1)( x − 2) + B( x − 1) + C ( x − 2) 2
=
+
+
=
( x 2 − 4 x + 4).( x − 1) ( x − 2) ( x − 2) 2 ( x − 1)
( x 2 − 4 x + 4).( x − 1)
22
Matemática II (Geologia)
Continuando;
x +1
A( x 2 − 3x + 2) + Bx − B + C ( x 2 − 4 x + 4) ( A + C ) x 2 + ( B − 3 A − 4C ) x + 2 A − B + 4C
=
=
( x − 4 x + 4).( x − 1)
( x 2 − 4 x + 4).( x − 1)
( x 2 − 4 x + 4).( x − 1)
2
Temos o seguinte sistema;
⎧A + C = 0
⎧ A = −2
⎪
⎪
⎨ B − 3 A − 4C = 1 ⇒ ⎨ B = 3
⎪2 A − B + 4C = 1 ⎪C = 2
⎩
⎩
então;
x +1
2
3
2
=−
+
2 +
x − 2 ( x − 2)
x −1
( x − 4 x + 4).( x − 1)
2
x +1
2 ⎞
3 ⎞
⎛
⎞
⎛
⎛
⎛ 2 ⎞
⇒ P⎜ 2
⎟ + P⎜
⎟=
⎟ = P⎜ −
2 ⎟ + P⎜
⎝ x − 2⎠
⎝ x − 1⎠
⎝ ( x − 4 x + 4).( x − 1) ⎠
⎝ ( x − 2) ⎠
( x − 2) −1
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
−2
= −2. P⎜
+ 2 log| x − 1|+ c =
⎟ + 3 P(( x − 2) ) + 2. P⎜
⎟ = −2 log| x − 2|+3
⎝ x − 2⎠
⎝ x − 1⎠
−1
= −2 log| x − 2|−
3
+ 2 log| x − 1|+ c
( x − 2)
(Tipo 4)
Seja f ( x ) =
x +1
.
( x − 2 x + 5)( x − 1)
2
Calculando os zeros do denominador, deparamo-
nos com duas raizes Complexas e uma raiz real.
x = 1 ± 2i ∨ x = 1
A factorização de
( x 2 − 2 x + 5)
é ( x − 1) 2 + 2 2 .
23
Matemática II (Geologia)
Análogamente, temos;
f ( x) =
x +1
Ax + B
C
+
=
2
2
( x − 2 x + 5)( x − 1) ( x − 1) + 2
x −1
2
Ax + B
C
Ax + B
C
( Ax + B).( x − 1) + C ( x 2 − 2 x + 5)
+
=
+
=
=
( x − 1) 2 + 2 2 x − 1 ( x 2 − 2 x + 5) x − 1
( x 2 − 2 x + 5)( x − 1)
=
( Ax + B).( x − 1) + C ( x 2 − 2 x + 5) ( A + C ) x 2 + ( B − A − 2C ) x + 5C − B
=
( x 2 − 2 x + 5)( x − 1)
( x 2 − 2 x + 5)( x − 1)
Temos o seguinte sistema;
⎧A = − 1
⎧A + C = 0
4
⎪
⎪
⎪
⎨ B − A − 2C = 1 ⇒ ⎨ B = 5 4
⎪5C − B = 1
⎪
⎩
⎪⎩C = 1 4
Então;
f ( x) =
1
− 14 x + 5 4
x +1
4
=
+
( x 2 − 2 x + 5)( x − 1) ( x − 1) 2 + 2 2 x − 1
⎛ 1 ⎞
⎛ − 1 x+5 ⎞
⎛
⎞
x +1
4
4⎟ + ⎜ 4 ⎟
⎜
P
P⎜ 2
⎟ = P⎜
2
2⎟
⎜ x − 1⎟
⎝ ( x − 2 x + 5)( x − 1) ⎠
⎝
⎠
⎝ ( x − 1) + 2 ⎠
=−
=
⎞ 5 ⎛
⎞ 1 ⎛ 1 ⎞
x
1 ⎛
1
P⎜
+ P⎜
+ P⎜
⎟=
2
2
2⎟
2⎟
4 ⎝ ( x − 1) + 2 ⎠ 4 ⎝ ( x − 1) + 2 ⎠ 4 ⎝ x − 1⎠
Vou analizar as primitivas separadamente para simplificar a compreensão.
⎛
⎞
⎛ x −1+1 ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
x
x −1
1
P⎜
⎟ = P⎜
⎟ = P⎜
⎟ + P⎜
⎟=
2
2
2
2
2
2
2
2
⎝ ( x − 1) + 2 ⎠
⎝ ( x − 1) + 2 ⎠
⎝ ( x − 1) + 2 ⎠
⎝ ( x − 1) + 2 ⎠
⎞
⎛
⎟
⎜
1
⎛
⎞
x −1
4
⎟ = 1 log| ( x − 1) 2 + 2 2 |+ 1 arctan⎛⎜ x − 1⎞⎟
⎜
P
= P⎜
+
⎟
2
2
⎜ ⎛ x − 1⎞ ⎟ 2
⎝ 2 ⎠
2
⎝ ( x − 1) + 2 2 ⎠
⎜1+ ⎜
⎟ ⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
24
Matemática II (Geologia)
⎛
⎞ 1
1
⎛ x − 1⎞
P⎜
= arctan⎜
⎟
2
2⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ ( x − 1) + 2 ⎠ 2
⎛ 1 ⎞
P⎜
⎟ = log| x − 1|
⎝ x − 1⎠
Então;
⎛
⎞
x +1
P⎜ 2
⎟=
⎝ ( x − 2 x + 5)( x − 1) ⎠
=−
1 ⎧1
1
⎛ x − 1⎞ ⎫ 5 ⎧ 1
⎛ x − 1⎞ ⎫ 1
2
2
⎟ ⎬ + ⎨ arctan⎜
⎟ + log| x − 1|+ c =
⎨ log| ( x − 1) + 2 |+ arctan⎜⎝
⎠
⎝ 2 ⎠ ⎬⎭ 4
4 ⎩2
2
2 ⎭ 4 ⎩2
1
1
⎛ x − 1⎞ 5
⎛ x − 1⎞ 1
2
= − log|( x − 1) + 2 2 |− arctan⎜
⎟ + arctan⎜
⎟ + log| x − 1|+ c =
⎝ 2 ⎠ 8
⎝ 2 ⎠ 4
8
8
1
1
⎛ x − 1⎞ 1
2
= − log|( x − 1) + 2 2 |+ arctan⎜
⎟ + log| x − 1|+ c =
⎝ 2 ⎠ 4
8
2
=
4
x −1
1
⎛ x − 1⎞
arctan⎜
+c =
⎟ + log
8
⎝ 2 ⎠
2
( x − 1) 2 + 2 2
( x − 1)
1
⎛ x − 1⎞
= arctan⎜
+c
⎟ + log 8
⎝ 2 ⎠
( x − 1) 2 + 2 2
2
2
Algumas Propriedades dos Logaritmos :
log c (a ) + log c (b) = log c (ab)
⎛ a⎞
log c (a ) − log c (b) = log c ⎜ ⎟
⎝ b⎠
log c (a n ) = log c (a. a. a... a n ) = n.log c (a )
log h (a ) =
log e (a )
log e ( k )
25
Matemática II (Geologia)
Exercício Resolvido:
Seja
df
= f ′ ( x ) = xe 2 x .
dx
Calcule uma
f ( x)
que passe pelo ponto
a = (0,1) .
f ′ ( x ) = xe 2 x ⇒ P( f ′ ( x )) = P( xe 2 x ) ⇔ f ( x ) = P( xe 2 x ) .
Vou calcular a Primitiva.
P( xe 2 x ) =
=
1 2x
1
1
1
e . x − P( e 2 x . x ′ ) = e 2 x . x − P(e2 x ) =
2
2
2
2
1 2x
1 1 2x
1⎤
⎡1
e .x −
e + c = e2 x ⎢ x − ⎥ + c
2
22
4⎦
⎣2
Então a função é:
1⎤
⎡1
f ( x) = e2 x ⎢ x − ⎥ + c
4⎦
⎣2
Queremos que f(x) passe por a, então:
a = (0,1)
ou seja, queremos que
f (0) = 1 .
1⎤
1
5
⎡1
f (0) = e 0 ⎢ 0 − ⎥ + c = − + c = 1 ⇒ c =
4⎦
4
4
⎣2
Por fim, temos a função que passa por a,
1⎤ 5
⎡1
f ( x) = e2 x ⎢ x − ⎥ +
4⎦ 4
⎣2
6
5
4
3
2
1
-1
-0.5
0.5
1
1.5
(Note-se que f(x) passa por a)
2
26
Matemática II (Geologia)
Integrais
O integral de uma função f ≥ 0 num intervalo [a,b] de ℜ pode interpretar-se
intuitivamente como sendo a area da parte do plano Oxy limitada pelo
gráfico de f, o eixo Ox e as rectas verticais x=a e x=b.
b
Representa-se por: ∫ f ( x )dx
a
Propriedades dos integrais em
b
b
a
a
ℜ:
∫ c. f ( x)dx = c∫ f ( x)dx Para f integrável e
b
b
b
a
a
a
∀c ∈ℜ .
∫ ( f + g )( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g( x)dx Para f e g integrável.
Se
f1 ( x) ≤ f 2 ( x)
∀k ∈]a , b[
b
b
a
a
e as funções são integráveis então; ∫ f1 ( x )dx ≤ ∫ f 2 ( x)dx
b
k
b
a
a
k
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
Para f integrável e
b
em [a,b] então, ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
f ( x) ≤ M
a
b
a
Para f integrável em [a,b] ; ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx
a
b
b
b
a
a
Para f integrável em [a,b] ; ∫ f ( x)dx ≤ ∫
f ( x ) dx
27
Matemática II (Geologia)
Existe uma relação entre Primitiva e Integral, na qual a primeira é necessário
para o cálculo da segunda.
Teorema Fundamental do Cálculo Integral
Seja f integrável em ℜ e seja [a,b] um intervalo de
F:[a , b] → ℜ definida por;
ℜ.
Então a função
b
F ( x) =
∫ f (t )dt
a
é continua em [a,b]. Também, se f for continua em
diferenciável em x0 e tem-se;
x0 ∈[a , b] ,
F é
F ′ ( x0 ) = f ( x 0 )
Regra de Barrow
b
Se f for uma função continua, podemos calcular ∫ f ( x )dx , calculando
a
primeiro uma primitiva F de f em [a,b] e em seguida o número F(b)-F(a). A
esta técnica é costume chamar Regra de Barrow e escreve-se da seguinte
maneira;
b
∫ f ( x)dx = [ F ( x)]
b
a
= F (b) − F (a )
a
Exemplo:
3
3
1
1
⎡1 ⎤
∫1 e dx = ⎢⎣ 2 e2 x ⎥⎦1 = 2 e6 − 2 e2 ≈ 198.02
2x
28
Matemática II (Geologia)
Como se vê a integração de uma função depende da sua primitiva, logo, os
modos de integração são iguais aos modos de primitivação, isto é, resolvemse da mesma maneira que as primitives, tendo agora em conta o intervalo
[a,b].
Portanto podemos falar em, integração por partes, por substituição, etc.
Particularidade da integração por Substituição.
Quando se faz a subsituição deve ter-se em atenção os extremos de
integração, os quais mudam consuante a substituição feita.
Vamos calcular o seguinte integral, o qual tem o seguinte aspecto
gráficamente;
2
∫
− 2
x
4 − x2
dx .
Vou fazer a seguinte substituição
x = 2 cos(t ) ⇒ x ′ = −2 sen(t ) .
Mas
repare-se que;
x
t = arccos( ) .
2
Então os extremos de integração, passam a;
π
2
)⇒t =
2
4
2
3π
t = arccos( −
)⇒t =
2
4
t = arccos(
29
Matemática II (Geologia)
Então o integral fica;
π
4
∫π
.−2 sen(t )dt = − ∫
4 − (2 cos(t )) 2
3
4
π
∫π
4 cos(t ) sen(t )
4 − 4 cos2 (t )
3π
4
dt =
4 − (2 cos(t )) 2
∫π
4 cos(t ) sen(t )
4(1 − cos2 (t ))
3π
4
dt =
4
4
3π
4
=
2 cos(t )
.−2 sen( t )dt =
4
3π
4
=
3π
4
2 cos(t )
∫π
4 cos(t ) sen(t )
dt =.
2 sen(t )
4
3π
4
3π
4
∫π 2 cos(t )dt = 2 ∫π cos(t )dt = −2[sen(t )]π
=
4
4
4
3π
π ⎫
⎧
= −2⎨sen( ) − sen( ) ⎬ = 0
4
4 ⎭
⎩
O que era de esperar. Pois graficamente temos duas áreas iguais em valor
absoluto, mas com valores simétricos.
Integrais e Àreas limitadas por duas ou mais funções
Sejam f e g duas funções primitiváveis no intervalo [a,b] então a área limitada
por essas duas funções é dada por;
c
b
a
c
Área = ∫ f ( x ) − g ( x )dx + ∫ g ( x ) − f ( x )dx
Note-se que {a,b,c} são pontos de intersecção da função f e g. Por vezes é
necessário a utilização de módulos pois o integral pode ser negativo em
alguns intervalos.
30
Matemática II (Geologia)
Sejam f,g e w funções integráveis em [a,c], então a área limitada pelas três
funções é:
b
c
a
b
Área = ∫ w( x ) − g ( x)dx + ∫ f ( x) − g ( x )dx
Exemplo:
Seja y = x 5 e
linhas nos
y=x
duas funções. Vou calcular a área limitada por estas duas
seus pontos de intersecção e com o eixo dos xx.
O gráfico das duas linhas é o seguinte;
31
Matemática II (Geologia)
Vamos calcular os pontos de intersecção das funções;
⎧ y = x5
⇔ x = x 5 ⇔ x 5 − x = 0 ⇔ x ( x 4 − 1) = 0
⎨
⎩y = x
⇒ x = 0 ∨ x = −1 ∨ x = 1
Note-se que
x ≤ x5
no intervalo de [-1,0] e
x ≥ x5
no intervalo [0,1]
Então a nossa área é dada pelo seguinte integral;
0
1
⎡ x6 x2 ⎤
⎡ x2 x6 ⎤
1 2
⎧1 1 ⎫ ⎧1 1⎫
⎧1 1⎫
A = ∫ ( x − x )dx + ∫ ( x − x )dx = ⎢ − ⎥ + ⎢ − ⎥ = − ⎨ − ⎬ + ⎨ − ⎬ = 2 ⎨ − ⎬ = 1 − =
2 ⎦ −1 ⎣ 2
6 ⎦0
3 3
⎩6 2 ⎭ ⎩2 6⎭
⎩2 6⎭
⎣6
0
−1
0
1
5
5
Podiamos ter também o seguinte raciocínio: A área pertencente ao 3º
quadrante é igual à
área que pertence ao 1º quadrante, então;
1
⎡ x2 x6 ⎤
1 2
⎧1 1⎫
A = 2 ∫ ( x − x )dx = 2. ⎢ − ⎥ = 2⎨ − ⎬ = 1 − =
6 ⎦0
3 3
⎩2 6⎭
⎣2
0
1
5
Nota importante: Se pedissem só o integral e não a área, o integral seria
zero, porque;
1
⎡ x2 x6 ⎤
⎧ 1 1 ⎛ 1 1⎞ ⎫
x
−
x
dx
=
(
)
⎢ 2 − 6 ⎥ = ⎨ 2 − 6 − ⎜⎝ 2 − 6 ⎟⎠ ⎬ = 0
∫−1
⎭
⎣
⎦ −1 ⎩
1
5
32
Matemática II (Geologia)
Derivada do Integral
Sabemos pelo teorema fundamental do cálculo integral que;
x
F ( x) =
∫ f (t )dt .
0
Então,
⎞
df ⎛
⎜ ∫ f (t )dt ⎟ = f ( x ) .
dx ⎝ a
⎠
x
F ′ ( x) = f ( x) =
De um modo geral temos;
M ( x)
⎞
df ⎛
⎜ ∫ f (t )dt ⎟ = M ′ ( x ). f ( M ( x )) − m′ ( x ). f (m( x ))
F ′ ( x) = f ( x) =
⎟
dx ⎜⎝ m( x )
⎠
x
df ⎛
1 ⎞ ⎞
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎟
⎜ ∫ log⎛⎜
⎟
2 ⎟ dt ⎟ = 2 x.log⎜
4 ⎟ − 1.log⎜
⎜
⎝ 1+ x ⎠
⎝ 1+ t ⎠ ⎠
⎝ 1+ x2 ⎠
dx ⎝ x
2
Exemplo;
Comprimento de linha
Para uma abordagem sucinta vamos ter em conta o seguinte gráfico.
O comprimento de um arco AB de uma curva é, por definição, o limite da
soma dos comprimentos de um conjunto consecutivos de cordas,
A, p1 , p2 ,..., pn −1 , B , ligando pontos no arco, quando o número de pontos cresce
indefinitivamente, de tal modo que o comprimento de cada corda tenda
para zero.
33
Matemática II (Geologia)
Então A e B são dois pontos da curva y = f ( x) , onde f ( x) e a sua derivada
são contínuas no intervalo [a,b], o comprimento do arco AB é dado por;
b
s=
∫ ds = ∫
AB
a
2
b
2
⎛ dy ⎞
1 + ⎜ ⎟ dx = ∫ 1 + ( f ′ ( x )) dx
⎝ dx ⎠
a
Exemplo: Qual o comprimento do arco cuja curva é dada por
no intervalo, [2,4].
Precisamos de
f ( x) e f ′ ( x) ,
24 xy = x 4 + 48 ,
então;
x 4 + 48
24 xy = x + 48 ⇔ y =
= f ( x)
24 x
x 4 − 16
f ′ ( x) =
8x 2
4
Utivizando a fórmula vem;
4
1 ⎛
16 ⎞
17
s = ∫ ⎜ x 2 + 2 ⎟ dx =
unidades.
x ⎠
82⎝
6
Integrais Impróprios
Na teoria de integração exigiamos que a função f definida e limitada no
intervalo fechado [a,b] em ℜ . Aos integrais de funções que não verifiquem
estas condições chamam-se integrais impróprios.
Quer isto dizer;
b
t
∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx
a
t →b −
a
Quando esse limite existe e é finito diz-se que o integral impróprio é
convergente, caso contrário diz-se que o integral impróprio é divergente.
34
Matemática II (Geologia)
Exemplo:
Seja
1
f ( x) =
1 + x2
+∞
+∞
1
vamos calcular, ∫
dx .
1 + x2
0
1
1
π
t
2 dx = lim [arctan( x ) ]0 = lim {arctan( t ) − arctan( 0)} = lim arctan( t ) =
∫0 1 + x 2 dx = tlim
∫
→+∞ 1 + x
t →+∞
t →+∞
t →+∞
2
0
t
,
logo é convergente.
Exemplo
Seja
+∞
1
f ( x) =
x
t
+∞
1
vou calcular ∫ dx , ou seja vou calcular a área do gráfico,
x
1
1
1
t
dx = lim [log| x|]1 = lim { log(t ) − log(1)} = +∞ ,
∫1 xdx = tlim
∫
→+∞
t →+∞
t →+∞
x
1
logo o integral é
divergente, isto é, é impossível determinar a área sombreada.
35
Matemática II (Geologia)
Cálculo de volumes de sólidos de revolução
Consideremos uma região plana, A, definida por,
a ≤ x ≤ b ∧ 0 ≤ f ( x) ≤ y ≤ g( x) ,
sendo f e g funções contínuas em [a,b]. Suponhamos, agora, que a região A
efectua uma rotação de 2π, em torno do eixo dos xx. Vai assim ser descrito
um sólido, que se chama de revolução.
Imaginemos que se faz um corte no sólido por um plano perpendicular ao
eixo dos xx. A seccção obtida é uma coroa circular, cuja fronteira é formada
por duas circunferências concêntricas de raios r e R. Se for x, o ponto onde o
plano secciona o eixo dos xx, então r = f ( x ) e R = g ( x ) . A área desta coroa
circular é portanto,
S ( x ) = πR 2 − π r 2 = π ( R 2 − r 2 ) = π ( g 2 ( x ) − f 2 ( x ) )
O volume do sólido de revolução será quando esse toro circular “varre” o
intervalo de [a,b], ou seja, o volume é dado por;
b
∫ S ( x)dx ,
a
portanto,
b
Volume = π ∫ ( g 2 ( x ) − f 2 ( x ) )dx
a
36
Matemática II (Geologia)
Exemplo:
Seja A a região definida por:
0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ ex − 1
Calcule o volume de revolução gerado pela rotação de 2π da região A em
torno dos eixo dos xx.
Neste caso f(x)=0, logo,
1
1
1
Volume = π ∫ ( g 2 ( x ) − f 2 ( x ))dx = π ∫ g 2 ( x )dx = π ∫ ( e x − 1) dx =
2
0
0
0
1
⎛e
⎤
⎡e
5⎞
= π ∫ ( e2 x − 2e x + 1)dx = π ⎢
− 2e x + x ⎥ = π ⎜ − 2e + ⎟
2
2
2
⎠
⎝
⎦0
⎣
0
1
2x
2
37
Matemática II (Geologia)
Fórmula de Taylor
Séries de Taylor
Seja f(x) uma função com derivadas finitas no seu domínio então admite série
de Taylor num ponto do seu domínio.
Seja então g(x) a aproximação de f(x) num ponto a, pelo polinómio de Taylor
descrito da seguinte forma.
g ( x ) ≅ f (a ) + f ′ (a )( x − a ) + f ′′ (a )
onde
a ≤℘ < x .
( x − a) 2
+f
2!
′′′
(a )
Chama-se também a
( x − a) 3
+...+ f
3!
f
( n)
( n −1)
( x − a) n
(℘)
n!
(a )
( x − a ) n −1
+f
(n − 1)!
(n)
(℘)
( x − a) n
n!
Resto de Lagrange.
Note-se que a Série de Taylor no ponto a é dada pelo somatório,
∑f
(n)
n≥0
( x − a)n
(a )
n!
Se a=0 dá-se o nome de Série de MacLaurin.
x2
x3
x n −1
xn
′′′
( n −1)
( n)
g ( x ) ≅ f (0) + f (0) x + f (0) + f (0) +...+ f
(0)
+ f (℘)
2!
3!
(n − 1)!
n!
′
onde
′′
0 ≤℘ < x
Note-se que a Série de MacLaurin é dada pelo somatório,
∑
f ( n ) (0)
n≥0
xn
n!
Sendo o Polinómio uma série de Potências então a seguinte igualdade é
válida.
∫ g ( x)dx ≈ ∫ f ( x)dx = ∫ ∑ f ( n) (a )
n≥0
( x − a)n
( x − a)n
dx = ∑ ∫ f ( n ) (a )
dx
n!
n!
n≥0
38
Matemática II (Geologia)
Exemplos:
Seja f(x) a seguinte função de variável real e tomemos os intervalo I=[-1,1].
, ])
Note-se que f ( x ) ∈ C 4 ([ −11
f ( x) = e2 x
Quero o Polinómio de Taylor, no ponto 0, de ordem 4.
Logo precisamos de calcular as derivadas no ponto 0, até à 4ª ordem.
f (0) = 1
f ′ ( x ) = 2e 2 x ⇒ f ′ (0) = 2
f ′′ ( x ) = 4e 2 x ⇒ f ′′ (0) = 4
f ′′′ ( x ) = 8e 2 x ⇒ f ′′′ (0) = 8
f
( x ) = 16e 2 x ⇒ f
IV
IV
(℘) = 16e 2℘
Aplicando a fórmula de Taylor a f(x) com os dados anteriores, temos a
seguinte função g(x)
x2
x3
′′′
g ( x ) = f (0) + f (0) x + f (0)
+ f (0)
+f
2!
3!
′
′′
g( x) = 1 + 2 x + 4
( IV )
x4
(℘)
4!
x2
x3
x4
+ 8 + 16e 2℘
2!
3!
4!
Desprezando o último monómio temos
g( x) = 1 + 2 x + 2 x 2 + 4
x3
3
.
39
Matemática II (Geologia)
Comparando com f(x) vimos que g(x) se aproxima em 0 de f(x).
(Se a série de Taylor fosse de ordem 100 a aproximação seria melhor, tornado o resto de
Lagrange (erro menor))
Seja
f ( x ) = sen( x ) ,
a qual sabemos que é infinitamente derivável.
Vamos fazer g(x) (polinómio de Taylor em torno de 0), observando
graficamente g(x) e f(x).
f (0) = 0
f ′ ( x ) = cos( x ) ⇒ f ′ (0) = 1
f ′′ ( x ) = − sen( x ) ⇒ f ′′ (0) = 0
∴ g( x) = 0 + x
40
Matemática II (Geologia)
Continuando
f ′′′ ( x ) = − cos( x ) ⇒ f ′′′ (0) = −1
f
IV
( x ) = sex ( x ) ⇒ f
IV
(0) = 0
(Note-se que as derivadas repetem-se a partir da 4ª ordem)
Então ∴ g ( x ) = x −
x3
3!
41
Matemática II (Geologia)
Se utilizarmos o polinómio de Taylor até à ordem 12 teremos uma melhor
aproximação.
Temos então
Seja
x 3 x 5 x 7 x 9 x 11
g( x) = x − + − + −
.
3! 5! 7! 9! 11!
f ( x ) = arctg ( x )
Vamos calcular o Polinómio de Taylor em torno do Ponto
ordem 3)
x = 1.
(Até á
f (1) = 0.7854
1
1
′
2 ⇒ f (1) =
1+ x
2
2x
2
1
′′
f ′′ ( x ) = −
=−
2 2 ⇒ f (1) = −
(1 + x )
4
2
f ′ ( x) =
6x 2 − 2
6℘2 − 2
′′′
f ( x) = −
⇒ f (℘) = −
(1 + x 2 ) 3
(1 +℘2 ) 3
′′′
42
Matemática II (Geologia)
Então temos o seguinte polinómio g(x).
1
1 ( x − 1) 2 6℘2 − 2 ( x − 1) 3
∴ g ( x ) = 0.7854 + ( x − 1) −
+
2
2 2!
(1 +℘2 ) 3 3!
Desprezando o último termo temos o seguinte gráfico.
43
Matemática II (Geologia)
Introdução aos campos escalares e vectoriais
Vamos passar ao estudo das funções reais de variável real
e m números naturais. Tem-se;
y = f ( x) ,
com
x = ( x1 , x2 ,..., xn )
e
f :ℜ n → ℜ m ,
com n
y = ( y1 , y2 ,..., yn ) .
Chamam-se Campos escalares às funções reais (m=1) de variável vectorial,
ou seja,
f :ℜ n → ℜ
Chamam-se Campos vectoriais às funções vectoriais de variável vectorial, ou
seja,
f :ℜ n → ℜ m .
É sempre necessário ter em conta os domínios destas funções, para não cair
em erros grosseiros.
Exemplo:
Determinar analíticamente e geométricamente, o domínio de ;
f ( x, y) =
x
+ − x2 + y
y − 4x
2
{
(
)
D f = { ( x , y ) ∈ℜ 2 : y 2 − 4 x ≠ 0 ∧ − x 2 + y ≥ 0} = ( x , y ) ∈ℜ 2 : y ≠ 2 x ∨ y ≠ −2 x ∧ y ≥ x 2
}
Vamo determinar o gráfico do domínio.
44
Matemática II (Geologia)
Recordemos que o gráfico de uma função real de variável real, y = f ( x ) , é um
conjunto de pontos ( x , y ) ∈ℜ 2 tais que x ∈ D f e y = f ( x ) , o que muitas vezes
constitui uma linha plana. No caso de duas variáveis reais temos, z = f ( x , y ) , o
gráfico será um conjunto de pontos ( x, y , z) ∈ℜ 3 tais que ( x, y ) ∈ D f e z = f ( x , y ) .
Nem sempre é fácil desenhar o gráfico de z = f ( x , y ) , no entanto, existe um
método mais simples de o visualizar através das linhas de nível. É o que se
passa com os mapas topográficos: linhas que unem pontos com a mesma
altitude , sabendo-se que duas linhas consecutivas correspondem, por
exemplo, a uma diferença de 10 metros em altitude. A sua maior
concentração corresponde a uma região mais íngreme.
Para uma função z = f ( x , y ) chamamos linha de nível de cota k ao lugar
geométrico dado por;
{( x, y) ∈ D: f ( x, y) = k }
Exemplo:
A função que representa a temperatura num ponto (x,y) duma placa plana P é
uma função f : P ⊂ ℜ2 → ℜ . Seja;
f ( x, y) = x 2 + y 2
e seja P o domínio
P = { ( x , y ) ∈ℜ 2 : f ( x , y ) ≤ 9}
Vamos ver que representação é ;
z = f ( x, y) = 9
que é igual à representação:
x + y −z=9
2
2
é uma circunferência centrada em (0,0)com raio 3, é a linha de nível
nos quais a temperatura é constante (9), isto é,
x2 + y2 = 9
45
Matemática II (Geologia)
Se calcularmos
x2 + y2 = 4
temos;
e assim sucessivamente até (neste caso zero);
Logo o gráfico sai facilmente;
46
Matemática II (Geologia)
Exemplo:
f ( x, y) = 1 − x 2 − y 2
z = 1 − x2 − y2 ⇔ z2 = 1 − x2 − y2 ⇔ x2 + y2 + z2 = 1
ora não é mais que uma esfera centrada na origem com raio igual a 1, mas no
entanto o domínio de f obriga a que −1 ≤ x ≤ 1 e −1 ≤ y ≤ 1 o que faz com que
0 ≤ z ≤ 1.
Logo o gráfico de f(x,y) é uma semiesfera;
Mas através das linhas de nível seria;
f ( x, y) = k ⇔ 1 − x 2 − y 2 = k ⇔ 1 − x 2 − y 2 = k 2 ⇔ x 2 + y 2 = 1 − k 2 ,
linas de nível são circunferências com raio
1− k 2
ou seja que as
.
47
Matemática II (Geologia)
Exercício resolvido
Considere o comapo de pressões definido por
f ( x , y ) = 5x 2 + y 2 .
Determine:
a) As lindas de nível (isobáricas) de f. Esboce algumas dessas linhas.
b) A Região na qual 1 ≤ f ( x , y ) ≤ 9 .
Respostas:
a)
x2 y2
5x 2 + y 2
= 1⇔
+
= 1 . Note-se
k
k
k
5
Ananilzando as curvas em ℜ2 temos,
f ( x , y ) = k ⇔ 5x 2 + y 2 = k ⇔
nível são elípses.
que as linhas de
Sempre que o k aumenta as elipses são maiores, quer isto dizer que sempre
que o z aumenta as elípses vão aumentando.
c) A região é umas coroa elíptica, limitada por z=1 e z=9.
48
Matemática II (Geologia)
Derivadas Parciais
Vamos estudar as derivadas parciais para funções do tipo, z = f ( x , y ) onde x e
y são variáveis independentes, como tal podemos fazer x variar fixando y e
vise versa.
Se fixarmos x então z é uma função de y e a sua derivada com relaçãoa y é;
∂z ∂f
f ( x , y + h) − f ( x , y )
=
= lim
∂y ∂y h→0
h
(derivada parcial de 1ª ordem de z em relação a y)
Se fixarmos y então z é uma função de x e a sua derivada com relação a x é;
∂z ∂f
f ( x + h, y ) − f ( x , y )
=
= lim
∂x ∂x h→0
h
(derivada parcial de 1ª ordem de z em relação a x)
A interpretação geométrica é de fácil entendimento,
A derivada em x, é o coeficiente angular da tangente à curva mpn no ponto
p.
A derivada em y, é o coeficiente angular da tangente à curva kpc no ponto p.
49
Matemática II (Geologia)
A derivada parcial
∂z
∂x
e
∂z
∂y
de
z = f ( x, y)
pode ser, por sua vez, diferenciável
em relação a x e y, conduzindo às derivadas parciais de segunda ordem.
∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞
∂2 z
∂ ⎛ ∂z ⎞
= ⎜ ⎟
=
e
⎟
⎜
2
∂x
∂x ⎝ ∂x ⎠
∂x∂y ∂x ⎝ ∂y ⎠
∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞
∂2 z
∂ ⎛ ∂z ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟ e
2 =
∂y
∂y ⎝ ∂y ⎠
∂y∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠
Teorema: Se
z = f ( x, y)
e as suas derivadas parciais são contínuas, podemos
permutar a ordem da derivação, isto é;
∂2 z
∂2 z
.
=
∂x∂y ∂y∂x
Exemplo:
Seja
f ( x , y ) = 2 xy 2 + e xy
vou calcular,
∂2 f
∂x 2
,
∂2 f ∂2 f
,
∂y 2 ∂x∂y
e
∂2 f
.
∂y∂x
Então,
∂2 f
∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂
⎜ ⎟ = (2 y 2 + ye xy ) = y 2 e xy
2 =
∂x
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x
∂2 f
∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂
⎜ ⎟ = (4 xy + xe xy ) = 4 x + x 2 e xy
2 =
∂y
∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂y
∂2 f
∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂
= ⎜ ⎟ = (4 xy + xe xy ) = 4 y + xye xy
∂x∂y ∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂x
∂2 f
∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂
= ⎜ ⎟ = (2 y 2 + ye xy ) = 4 y + xye xy
∂y∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y
50
Matemática II (Geologia)
Plano Tangente
A interpretação geométrica do plano tangente é a seguinte.
→
→
Seja u e v os vectores orientadores das respectivas rectas r e s , a equação do
plano tangente ao gráfico é dado por;
⎛ ∂f (a , b) ⎞
⎛ ∂f (a , b) ⎞
z − f ( a , b) = ⎜
⎟ ( x − a) + ⎜
⎟ ( y − b)
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂y ⎠
Exemplo:
Seja
z = f ( x , y ) = x 2 − xy 2 + e 2 x
vou determinar o plano tangente no ponto
P = (0,2, f (0,2)) .
Vou começar por calcular as derivadas parciais de 1ª ordem.
∂f
∂f
= 2 x + y 2 + 2e 2 x ⇒
(0,2) = 6
∂x
∂x
∂f
∂f
= −2 xy ⇒
(0,2) = 0
∂y
∂x
f (0,2) = 1
Logo a equação do plano tangente ao gráfico no ponto
P = (0,2,1)
é;
z − 1 = 6( x − 0) + 0( y − 2)
z − 6x − 1 = 0
51
Matemática II (Geologia)
Gradiente
Dado um campo escalar f : D ⊂ ℜ n → ℜ e a ∈int D , chama-se gradiente de f no
ponto a a um vector de ℜn cujas componentes são derivadas parciais de f em
a. Pode representar-se por grad f(a) e é definido simplesmente pelo conjunto
das derivadas parciais de 1ª ordem no ponto a, isto é;
⎛ ∂f ∂f
∂f ⎞
⎟
gradf (a ) = ⎜
,
,...,
∂xn ⎠ ( a )
⎝ ∂x1 ∂x2
⎛ ∂ ∂
∂ ⎞
⎟
,
,...,
∂xn ⎠
⎝ ∂x1 ∂x2
Note-se que sendo 1 ∇ = ⎜
o operador diferencial o gradiaente de
f no ponto a, pode ser também, representado por;
∇f (a ) .
Derivada segundo um vector
Sejam
f : D ⊂ ℜ N → ℜ P , a ∈ int D
e
→
u um vector de ℜ N . Chama-se derivada de f, no ponto a,
→
segundo o vector u , ao limite (se existir)
→
f (a + t u ) − f (a )
lim
t →0
t
Designa-se esta derivada por, f → ′ (a ) .
u
Teorema: Se f : D ⊂ ℜ N → ℜ P é diferenciável em a ∈int D , então f admite
deivada segundo qualquer vector, no ponto a,que é dada por,
f → ′ (a ) =
u
1
∂f
∂f
∂f
(a )u1 +
(a )u2 +...+
(a )u N = gradf (a )| u
∂x1
∂x2
∂x N
∇ (nabla)
52
Matemática II (Geologia)
Exemplo:
Consideremos
f ( x, y) = 2 x + 5y 2
e
→
u = (2,1) .
Então;
, ) + t (2,1)) − f (11
,)
,)
f ((11
f (1 + 2t ,1 + t ) − f (11
f → ′ (11
, ) = lim
= lim
=
t
t
t →0
t →0
u
2(1 + 2t ) + 5(1 + t )2 − 7
= lim
= lim (14 + 5t ) = 14
t
t →0
t →0
ou,
Calculando o gradiente de f no ponto (1,1) vem;
f → ′ (11
, ) = gradf (11
, )|(2,1) = (2,10)|(2,1) = 14
u
Se f não for diferenciável, a fórmula devidenciada no Teorema pode não ser
válida.
Exemplo:
se x ≠ y
⎧0,
f ( x, y) = ⎨
⎩ x + y , se x = y
e
→
u = (11
,)
f → ′ (0,0) = lim
u
t →0
f ((0,0) + t (11
, )) − f (0,0)
f (t , t ) − 0
2t
= lim
= lim = 2
t →0
t →0 t
t
t
∂f
∂f
.
.
+ 01
=0
(0,0)u1 + (0,0)u2 = 01
∂x
∂y
53
Matemática II (Geologia)
Fórmula de Taylor de uma função do tipo f ( x, y)
Se uma função f ( x , y ) tenha na vizinhança do ponto (a,b) derivadas parciais
contínuas até à ordem n+1 . Então, nessa vizinhança é válida a fórmula de
taylor:
f ( x , y ) = f ( a , b) +
+
⎫
⎛ ∂f
⎞
1 ⎧⎛ ∂f
⎞
⎨⎜⎝ (a , b)⎟⎠ ( x − a ) + ⎜ (a , b)⎟ ( y − b) ⎬ +
1! ⎩ ∂x
⎝ ∂y
⎠
⎭
⎫
⎞
⎛ ∂2 f
⎞
⎛ ∂2 f
⎞
1 ⎧⎛ ∂ 2 f
2
(
a
,
b
)
(
x
a
)
(
a
,
b
)
(
x
a
)(
y
b
)
−
+
−
−
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 2 (a , b)⎟ ( y − b) 2 ⎬+...
⎨
2
2! ⎩⎝ ∂x
⎠
⎝ ∂x∂y
⎠
⎝ ∂y
⎠
⎭
n
...
Sendo
1⎧
∂
∂⎫
+ ⎨( x − a ) + ( y − b) ⎬ f (a , b) + Rn ( x , y ) .
n! ⎩
∂x
∂y ⎭
1 ⎧
∂
∂⎫
Rn ( x , y ) =
⎨( x − a ) + ( y − b) ⎬
∂x
∂y ⎭
(n + 1)! ⎩
n +1
f (a +℘( x − a ), b +℘( y − b))
com
0 <℘ < 1 .
Se (a,b)=(0,0) estamos perante a fórmula de MacLaurin.
Exemplo:
Seja, f ( x , y ) = e x sen( y ) e (a,b)=(0,0), vou desenvolver pela fórmula de Taylor,
até à 2ª ordem, f(x,y) em torno do ponto (a,b);
Vou precisar de:
f (0,0) = 0
∂f
∂x
∂f
∂y
= sen( y )e x = 0
( 0,0)
= e x cos( y ) = 1
( 0,0)
∂ f
∂x 2
=
∂ ⎛ ∂f ⎞
∂
= ( sen( y )e x )( 0,0) = ( sen( y )e x )( 0,0) = 0
⎜ ⎟
∂x ⎝ ∂x ⎠ ( 0,0) ∂x
=
∂ ⎛ ∂f ⎞
∂
= (cos( y )e x )( 0,0) = (− sen( y )e x )( 0,0) = 0
⎜ ⎟
∂y ⎝ ∂y ⎠ ( 0,0) ∂y
2
∂ f
∂y 2
( 0,0 )
2
( 0,0 )
∂ f
∂ ⎛ ∂f ⎞
∂
= ⎜ ⎟
= (cos( y )e x )( 0,0) = (cos( y )e x )( 0,0) = 1
∂x∂y ( 0,0) ∂x ⎝ ∂y ⎠ ( 0,0) ∂x
2
54
Matemática II (Geologia)
Então
f ( x, y) = 0 +
1
1
0.( x − 0) + 1.( y − 0)} + { 0.( x − 0) 2 + 1( x − 0)( y − 0) + 0.( y − 0) 2 }
{
1!
2!
Ou seja:
f ( x, y) = y +
xy
2
Graficamente temos;
55