Extensivo – Matemática B – Volume 2
01)A
se cos α= 3/5 , então, a representação em um triângulo retângulo será:
Como α está no primeiro quadrante, seu valor é positivo.
02) E
4555 360
-360
12
955
- 720
235
235° está no 3º quadrante.
4195 360
- 360
11
595
- 360
235
A primeira determinação positiva de 4555° e 4195° é 235°, logo,
eles são côngruos.
03) E
sec x = 1
= -5
cos x -3
3
5
cos x
5
PITÁGORAS
4
5
X
3
α
3
Como o arco x tem extremidades no segundo quadrante, 0 seno é
positivo e a tangente é negativa, logo:
4) E
No triângulo △ OBP temos :
( AB )2 + ( OB )2 = ( OP )2 , mas BP = OA
(І)
Também temos que BÔP = 30° , logo:
(ІІ)
Substituindo ( ІІ) em (І ) temos:
05) D
sen x
cos2x
sen2
+
x
( cos x + sen x . tg x) = cos x + sen x .
cos x
=
cos x
cos x
cos x
=1 . 1 =
1 =
cos x cos x cos x
cos x
sec2 x
06) A
cos2x = m2
e tg2 x = 6m2
sen2 x = 6m2
cos2x
sen2x = 6m2
m2
sem2 x = 6m2
sen2 x + cos2 x = 1
6m4 + m2 =1
6m4 + m2 – 1 = 0 → m2= y
6y2 + y – 1 = 0
Y = -1±√1 + 24 = -1± 5
12
12
y' = 1 → m2 = 1
3
3
y"→ m2= - 1
2
=
07)
1=
( sen x + cos x)2 – 1
2(1 – sen2 x) . (sen2x +cos2x)
=
sen2x + 2sen x . cos x + cos2x –
2 . (cos2x) . ( 1 )
= 1 + 2sen x . cos x – 1 = 2 sen x . cos x = sen x = tg x
2 cos2 x
2 cos2x
cos x
GABARITO: A
08) E
160°
20
°
200
°
340°
tg 20° = -tg160°
tg 20° = tg 200°
tg 20° = -tg 340°
tg 160° + tg 340° = ( -a) + (-a) = -2a = - 2
tg 200°
a
a
09) D
tg2x + sen2x
sec2x – 1 + sen2x
sec2x – 1 + sen2x
sec2x – cos2x
10) Correção da questão
Para todo
11) C
sen α = 12
13
12
13
α
PITÁGORAS
12
13
α
cos α= -5
( negativo pois está no 2º quadrante)
13
12) B
F (x) = ( sem x + cos x )2 + 9 sem x – cos x)2
=(sen2 x + 2sen x . cos x + cos2x) + (sen2x – 2sen x . cos x
+ cos2x)
= 2sen2x + 2 cos2x
=2(sen2x + 2 cos2x)
=2 . (1)
F (x) = 2
O gráfico é uma reta paralela ao eixo, que intercepta o eixo y no ponto
2.
13) B
2 sen2x + 2 cos2x – 5
2(sen2x + cos2x) – 5
2(1) – 5 = -3
14) D
15)cos x = 2
sec x= m – 1
m–1
2
tg x = √m – 2
tg2x + 1 = sec2x
(√m – 2)2 + 1= (m – 1)2
2
2
m – 2 + 1 = m – 2m + 1
4
2
4m – 4 = m – 2m + 1
m2 – 6m + 5 = 0
s=6
p=5
m1 = 1
m2 = 5 Como m=1 não satisfaz as condições de
existência então m=5
16) 0
Log [tg (π/5)] + log [tg(3π/10)] = log[tg36°] + log[tg54°]=log(tg36° .
tg54°)=
=log(sen36° . sen54°) mas,como 36° e 54° são complementares, sen
°=cos54° e cos36°=
cos36° cos54°
sen54°.
Logo:
log(sen36° . sen54°)= log 1 = 0
cos36° cos54°
17) A
α e β são replementares, ou seja, α + β = 360° = 2π rad.
18)
a)
A
A
A
A
A
retang.
=b.h
retang. = ( 2cos ϴ) . (2sen ϴ)
retang.=4 . senϴ . cosϴ
retang.=2 . (2senϴ . cos ϴ)
retang.= 2 . sen 2ϴ
2P=4senϴ+4cosϴ
2P=4(senϴ+cosϴ)
b) A=2.sen2ϴ
Área máxima: seno máximo
2ϴ=π
2
ϴ=π
4
c)2P= 4.(senϴ + cosϴ)
y= 4 . (senϴ + cosϴ)
y2=16. (senϴ + cosϴ)2
y2=16 . (sen2ϴ + 2 . senϴ . cosϴ +
cos2ϴ)
y2= 16 . (1 + sen 2ϴ)
O valor que dá o y máximo é também o valor que dá y2 máximo.Para
y2 ser máximo, sen 2ϴ deve ser máximo:
2ϴ=π ϴ=π
2
4
19) B
e α ∈ 2° quadrante.
20) D
Como cos x = cos(-x), então sec x = sec(-x)
21)
22) D
23) E
I
sen310°= -sen50°
sen50°= -sen310
VERDADEIRO
(II) seja sen x = y
sen x= -1
y2 + 4y + 3=0
s= -4
p=0
y1=-1
y2=-3
x = 270°
sen x=-3 (impossível)
FALSO
(III) -1≤sen x≤1
-1≤ k -1≤1
0≤k≤2
VERDADEIRO
π
(IV) A= sen 2 + 2 . sen 0 . sen 2
cos π . sen π + cos2π
2
4
π
= 1+2.0.1 = 1 = 1
0 . √2 + (-1)2 1
2
VERDADEIRO
24) D
(I) sen2x + cos2x=1
(√1-k2)2 + (k +2)2=1
1 – k2 + k2 + 4k +4 = 1
4k=-4
k=-1
VERDADEIRO
(II) 21π
4
-16π
4
8π
cos 5π= -cos π = -√2
4
4
2
n° de voltas
sen π = +√2
2
5π
4
2
FALSO
4
(III) 840° 360°
- 720°
2
120°
n° de voltas
sec 840°= sec 120°
-cossec 30°=
1
sen30°
sec 840°=
sec 840°=
1
cos 120°
1
-1/2
-cossec 30° = - 1
½
-cossec 30° = -2
sec 840°= -2
(IV)
sec α= 2
cos α= ½
Se α ϵ [0°,460°] então α= 60° ou α = 300°
VERDADEIRO
25) 9
VERDADEIRO
VERDADEIRO
02)
sen(25π + a)= -sen a = -1
3
sen( 88π – a)= -sen a = -1
3
sen(25π + a) –sen(88π – a)= -1 –(-1 ) = 0
3
FALSO
04)
P= 2π
3
|m|
P= 2π
4
P= π
2
g(x)= - 2x + π (função de primeiro grau)
3
4
Coeficiente linear: π ≅ 3,14 < 1
4
4
Ponto em que a reta corta o eixo: -2x + π= 0 2x= π
3
4
x 3π
3
4
8
VERDADEIRO
08) tg x . sec x <0
tg x
tg . sec
-
sec x
+
-
+
+
+
+
-
-
+
-
-
Logo, x deve estar localizado no 3° ou 4° quadrante.
FALSO
26)
Como
K=1,2 então+{x1,x2} e B={y2,y2}
A⋃B= {x1,x2,y1,y2}
Soma =
x1 + x2 + y1 + y2
Soma=
Soma=
Como
são complementares
Soma=
↑
1
↑
Soma=
Soma=
Soma=
Soma= 2
GABARITO: C
27) A soma envolve apenas ângulos pares,medidos em graus.Tome ao acaso
um deles para analise no ciclo.Escolherei um ângulo de 12°.
168°
192°
Este ângulo possui uma determinação em cada quadrante com os mesmos
valores de seno e cosseno, alterando apenas o sinal. Veja que estes ângulos
aparecem na soma e como em toda expressão cosseno está elevado ao
quadrado a soma pode ser escrita com o:
S= cos2 0° +cos2+90°+ cos2180°+cos2270°+cos2360° + 4.(cos22°+cos24°+...
+cos286°+cos288°)
Extremos
Reduções
ao 1°Q
S= 1+0+1+0+1+4.(cos22°+cos24°+...+cos286°+cos288°)
Veja que 2° 2 88° são complementares logo cos88°= sen2°. O mesmo
acontece com os ângulos 4° e 86° assim como todos ângulos da expressão:
S= 3+4.(cos22°+cos24°+...+sen24°+sen22°)
↑
↑
↑
↑
S= 3+4.(1+1+…+1)
22 vezes
S= 3+4.22=91
GABARITO: E
28) Período seno: P=
GABARITO: B
29) f(x) =
a)
Imagem: sen máx.=1
Y=1+1=2
sen mín.=-1
y=1-1=0
Ιm=[0,2]
b) y = 1
1 + sen
sen
Se k= 0 então x = ¼
S = ¼ , ¾}
Se k= 1 então x = ¾
30) Gráficos:
-4
-2π
Pseno =
GABARITO: C
31)
y
16
2
-
x
Logo, temos dois pontos de intersecção.
Se T = 0 então f (0)= cos π = 0
2
Se T= π então f ( π )= cos π = -1
2
2
Se T= π então f (π) = cos 3π = 0
2
Se T= 3π então f ( 3π ) cos2π = 1
2
2
Esboçando o gráfico teremos:
1
-
f
π/2 π 3π/2 2π
t
GABARITO: D
32)
f (t ) = 2 sen [3t – (π/3)]
2 . (- 1 ) = -2
Ιm
Ιm = [ -2,2]
2.(1)= 2
Esboçando o gráfico:
2 f(t)
t
GABARITO: A
-2
33)
A observação que P=4π provém do gráfico (quanto leva para repetir)
•Dm →valores de x
Dm= ℝ
•Im → valores de y
Im= [- 3 ,]
•Sobre a paridade, verifica-se que o gráfico é simétrico em relação à origem
do sistema cartesiano. Portanto, a função ímpar.
• Esboçando o gráfico de y= 3sen
figura,logo a função descrita é y= 3sen
GABARITO: E
notamos que o gráfico é igual ao da
34) A variação do número de clientes é dado pela imagem da função f(x).
Calcularemos o mínimo e o máximo do seno.
sen mín.= -1 y= 900 – 800 . (-1) = 900 + 800= 1700
sen máx.= 1 y= 900 -800 . ( 1) = 900 – 800= 100
A diferença entre os valores máximo e mínimo da função é 1700 – 100=1600
GABARITO: E
35) 01) -1≤cos x ≤1
-1≤2k-4≤1
3≤2k-4≤5
3 ≤k≤ 5
{k ∉ ℝ/ 3 ≤ k 5 }
2
2
2
2
(Falso)
02) f(x)=cos
Dm→ conjunto dos valores de x que satisfazem as condições de existência.
Dm= {x ϵ ℝ/ x ≠ 0}
Dm= ℝ*
(Verdadeiro)
04) Valor mínimo: cos= -1
Y= 2+5.(-1)
Y=2-5
Y=-3
(Verdadeiro)
08)
(Falso)
16) Os valores de cos x variam entre -1 e 1.
Portanto, Ιm=[-1,1]
(Verdadeiro)
GABARITO: 22
36)
Esboço do gráfico:
y
-
+
-
4
-
+
2π
x
GABARITO: D
37) d→eixo médio
a→ amplitude
a =50
c→altera o período
A função é: Q(t) = 50
Pelo gráfico se t = 2 então Q(2) = 120
Q (2) = 50
120 = 50
50 = 50
Se
então
Portanto, Q ( t ) = 50
Q ( 0 ) = 50 . 1/2 + 70
Q ( 0 ) = 50
Q(0)=
Q ( 0 ) = 25 + 70 = 95
GABARITO: C
38) P = 100 + 20sen ( 2π . t )
Se t = 0 então P ( 0 ) = 100 +20 . sen ( 0 )
P ( 0 ) = 100
Para t = 0, a pressão sanguínea é de 100mm de mercúrio.//
Se t = 0,75 então P (0,75 ) = 100 +20 .sen (2π 0,75)
Para t = 0,75 , a pressão sanguínea é de 80mm de mercúrio.//
b) Conforme o enunciado a pressão atinge seu menor valor em
P = 80mm. Mas no item a descobrimos que P ( 0,75 ) = 80 , logo
t = 0,75s fornece o menor valor da pressão no primeiro segundo.Como o
período desta função é de 1 s , este fato só se repetirá no próximo segundo.//
39) Esboço do gráfico:
3T
2
2
-16
Início:
-10
t
Final:
1) Temperatura às 6 horas ( t = 0 ) :
(VERDADEIRO)
2) Período:
(Verdadeiro)
3) Observando o gráfico verifica-se que a maior temperatura foi de 31°C//
(Falso)
4)Pelo gráfico observamos que a temperatura máxima ocorre em t = 8. Como t
= o corresponde à 6:00 então t=8 corresponde à 14:00//
(Verdadeiro)
5) Pelo gráfico observamos que T( t ) é crescente em {0,8]//
(Verdadeiro)
40) Os ângulos estão medidos em radianos.Sabemos que 1 radiano vale
aproximadamente 57°.
a) 7 rad ≅ 7 . 57° = 399°
399° ϵ 1° Q
sen(7) > 0 (Verdadeiro)
b) 8 rad ≅ 8 . 57° = 456°
456° ϵ 2° Q
sen(8) > 0 (Falso)
c) √5 ≅ 2,2
√5 rad ≅ 2,2 . 57° = 125,4°
125,4° ϵ 2° Q
cos(√5) < 0 (Falso)
d) Observando os itens b e c temos que cos(√5) < 0 e sen(8) > 0.
Logo cos(√5) < sen(8)
(Falso)
GABARITO: A
41) Para descobrir a posição nos extremos tomamos os valores extremos de
cos x.
cos máx. = 1
r=
cos mín. = -1
r=
S = 6900 + 5100
S = 12.000
GABARITO: B
42) Esboço do gráfico da função:
h
3
0,0
1
t
Como a função começa de seu máximo então é uma função cosseno.
h(t) = a + b . cos(m . t)
a → eixo médio
a=
b → amplitude
b=
Além disso
Com os valores de a,b e m temos
GABARITO: A
43) Esboço do gráfico:
f
20,1
18,8
17
t
91,25 182,5
Ι)
(Falso)
ΙΙ) Por do sol mais cedo: t = 91,25
Admitindo que cada mês possui 30 dias então t = 91,25 já se passaram 3
meses (janeiro,fevereiro e março) e já entramos no mês de abril.
(Verdadeiro)
ΙΙΙ) f(t) mínimo vale 17,5h que equivale à 17h30min.
(Verdadeiro)
GABARITO: D
44) f(x) = cos x
P é ponto de ordenada máxima da função. Como o maior valor que cos x
pode assumir, a ordenada de P vale 1.
Q é o ponto em que o gráfico toca o eixo x, ou seja, y = 0. Mas, para que cos x
= 0 , x deve assumir seu primeiro valor em
P(0,1)
Q
t
GABARITO: B
45)
Ι) 4330° 360°
-360
12
730
-720
10°
A divisão indica que o arco percorre 12 voltas acrescido de 10° que deverá ser
percorrido no sentido negativo do ciclo, parando assim no quarto quadrante
do ciclo trigonométrico.
Observe que ao percorrer o quarto quadrante a função seno aumenta o seu
valor, portanto neste quadrante, a função seno é crescente.
(Verdadeiro)
ΙΙ) 34π
5
-30π
5
4π
5
-10π
5
3
A divisão indica que o aro percorre 3 voltas acrescido de 4π rad = 144° ,
parando assim
5
no segundo quadrante do ciclo trigonométrico. Observe que ao percorrer o
segundo quadrante a função cosseno diminui o seu valor, portanto neste
quadrante, a função cosseno é decrescente.
(Verdadeiro)
ΙΙΙ) 1000° 360°
-720
2
280°
A divisão indica que o arco percorre duas voltas acrescido de 280°, parando
assim no quarto quadrante. No quarto quadrante a tangente é negativa.
(Falso)
GABARITO: A
46) Queremos saber t tal que c = 4 :
Primeiro seno que vale
GABARITO: B
47)
Ι)
A única função que repete em um intervalo de aproximadamente 3,14 é a
alternativa B.
ΙΙ)
Como
esta função é par. Entre as alternativas a única que possui
gráfico simétrico em relação ao eixo y é a alternativa C.
ΙΙΙ)
Estudando o ciclo observa-se que
aparece na alternativa A.
GABARITO: D
48)
e o gráfico de
Isso quer dizer que o atleta repete o movimento a cada
Segundos
s.
Repetições
1
!
6
Em 6 segundos o atleta realiza 8 repetições.
GABARITO: 08
49)
Os valores máximo e mínimo do custo correspondem aos valores máximo e
mínimo de seno.
sen mín. = -1
GABARITO: D
50) K → amplitude
K=2
m→ altera o período
sen máx. = 1
Portanto,
29π
8π
4
4
-24π
3→n° de voltas
4
5π
4
GABARITO: B
51) Como a função cos ! é para saber-se que cos(!) = cos(-!).Como a
função sen ! é ímpar sabe-se que sen (-!) = -sen (!).Então a função f pode
ser escrita como:
f ( ! ) = 1 . (sen ! + cos ! + sen ! – cos !)
2
f( ! ) = 1 . 2sen !
2
f( ! ) = sen !
O esboço do gráfico da função sen ! está no item e.
GABARITO: E
51)Como a função cos ! é par Sab e-se que cos(!) = cos(-!).Como a
função sen ! é ímpar sabe-se que sen(-!) = -sen(!). Então a função f pode
ser escrita como:
f(!) =
½
. (sen! +cos! + sen! –cos!)
f(!) =½ . 2sen!
f(!) = sen!
O esboço do gráfico da função sen! está no item e.
GABARITO: E
52) Queremos saber o valor de t tal que h = 12.
O seno vale 1/2 nos seguintes arcos:
150°=
5π/6
1/230°=π/6
ou
ou
Então o navio pode permanecer no porto entre 2 e 10 horas.
GABARITO: C
53) esboço do gráfico:
h(t)
1
8
4
6 12 18 24
t
01) valor mínimo: cos mínimo
h =8 + 4 . (-1)
h=8–4=4
(Falso)
02) Observando o gráfico verifica-se que a maré baixa acontece às 18h.
(Falso)
04)
(Verdadeiro)
08) O gráfico não informa quando h = 10, descobriremos isto algebricamente.
150°=5π/6
1/2
30°=π/6
t = 2 ou t = 10
Logo o navio pode permanecer entre 2 e 10 horas.
(Verdadeiro)
GABARITO: 12
54) a → eixo médio
a=-1
b → amplitude
b=2
c → altera o período
P=
01) Com os valores de a, b e c temos que f(!) = -1 +2sen(2!)
(Verdadeiro)
02) Observando o gráfico verifica-se que y varia entre -3 e 1, portanto, Ιm =
[-3,1]
(Verdadeiro)
04) Analisando o gráfico verifica-se que o período é de π.
(Falso)
(Verdadeiro)
GABARITO: 11
Como
então
13π
6
-12π
6
π
6
12π
6
1→n° de voltas
Com isso,
b) As alturas mínima e máxima dependem dos valores
mínimo e máximo de sen !
h=11,5 + 10 . (-1)
h=11,5 – 10
h=1,5m//
sen mín.= -1
2π
h=11,5 + 10 . (1)
h=11,5 + 10
h=21,5m//
sen máx.=1
m
P= 2π
π
P=
P= 24 s//
12
Portanto, as alturas mínima e máxima valem 1,5m e 21,5m respectivamente e
o período de repetição vale 24s.//
56) Suponha a função da forma y= a + b . cos(m . t)
a→ eixo médio
a=3
b → amplitude
b=1
m→ altera o período.
P=
GABARITO: D
57)
Como o lucro é dado em milhares de reais o lucro é de R$ 1.000,00.
GABARITO: C
58) Esboço do gráfico
P
100
5
0
π⁄ π3π⁄ 2π5π⁄2
A função atinge o mínimo em t = 2π.
GABARITO: D
59)
Gráfico:
+3
0
B
8
A
-3
Para que o triângulo possua a maior área é necessário que ele possua a
maior,ou seja, h = 3.
GABARITO: B
60)
Primeiro trimestre: ! = 1, 2, 3
Total de vendas: 102 + 103,55 +104,5 = 310,05
GABARITO: D
61) Os gráficos a seguir esboçam as funções sen ! e cos !.
y
2π !
sen
-2π
y
2π!
cos
2
O módulo apenas provoca um rebatimento na parte negativa do gráfico em
relação ao eixo !.
Representando os gráficos de
no mesmo sistema temos:
y
-2π -3π/2 -π
cos!
sen
-π/2 !!
Pontos de intersecção: 8
GABARITO: B
62) Pontos em que o gráfico corta o eixo !:! = 0
ou
Se
Se
Se
Se
Se
k
k
k
k
k
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
então
então
então
então
então
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
2/3
4/3
2
8/3
10/3
Todos os pontos possuem abcissas maiores que 1.
Observando este fato sabemos que:
CONTINUAÇÃO MTM VOL 2 FRENTE B 26 À 62
26)
Como
K=1,2 então+{x1,x2} e B={y2,y2}
A⋃B= {x1,x2,y1,y2}
Soma =
x1 + x2 + y1 + y2
Soma=
Soma=
Como
são complementares
Soma=
↑
Soma=
Soma=
1
↑
Soma=
Soma= 2
GABARITO: C
27) A soma envolve apenas ângulos pares,medidos em graus.Tome ao acaso
um deles para analise no ciclo.Escolherei um ângulo de 12°.
168°
192°
Este ângulo possui uma determinação em cada quadrante com os mesmos
valores de seno e cosseno, alterando apenas o sinal. Veja que estes ângulos
aparecem na soma e como em toda expressão cosseno está elevado ao
quadrado a soma pode ser escrita com o:
S= cos2 0° +cos2+90°+ cos2180°+cos2270°+cos2360° + 4.(cos22°+cos24°+...
+cos286°+cos288°)
Extremos
Reduções
ao 1°Q
S= 1+0+1+0+1+4.(cos22°+cos24°+...+cos286°+cos288°)
Veja que 2° 2 88° são complementares logo cos88°= sen2°. O mesmo
acontece com os ângulos 4° e 86° assim como todos ângulos da expressão:
S= 3+4.(cos22°+cos24°+...+sen24°+sen22°)
↑
↑
↑
↑
S= 3+4.(1+1+…+1)
22 vezes
S= 3+4.22=91
GABARITO: E
28) Período seno: P=
GABARITO: B
29) f(x) =
a)
Imagem: sen máx.=1
Y=1+1=2
sen mín.=-1
Ιm=[0,2]
y=1-1=0
b) y = 1
1 + sen
sen
Se k= 0 então x = ¼
S = ¼ , ¾}
Se k= 1 então x = ¾
30) Gráficos:
-4
-2π
Pseno =
GABARITO: C
31)
y
16
2
-
x
Logo, temos dois pontos de intersecção.
Se T = 0 então f (0)= cos π = 0
2
Se T= π então f ( π )= cos π = -1
2
2
Se T= π então f (π) = cos 3π = 0
2
Se T= 3π então f ( 3π ) cos2π = 1
2
2
Esboçando o gráfico teremos:
1
-
f
π/2 π 3π/2 2π
t
GABARITO: D
32)
f (t ) = 2 sen [3t – (π/3)]
2 . (- 1 ) = -2
Ιm
Ιm = [ -2,2]
2.(1)= 2
Esboçando o gráfico:
2 f(t)
t
GABARITO: A
-2
33)
A observação que P=4π provém do gráfico (quanto leva para repetir)
•Dm →valores de x
Dm= ℝ
•Im → valores de y
Im= [- 3 ,]
•Sobre a paridade, verifica-se que o gráfico é simétrico em relação à origem
do sistema cartesiano. Portanto, a função ímpar.
• Esboçando o gráfico de y= 3sen
notamos que o gráfico é igual ao da
figura,logo a função descrita é y= 3sen
GABARITO: E
34) A variação do número de clientes é dado pela imagem da função f(x).
Calcularemos o mínimo e o máximo do seno.
sen mín.= -1 y= 900 – 800 . (-1) = 900 + 800= 1700
sen máx.= 1 y= 900 -800 . ( 1) = 900 – 800= 100
A diferença entre os valores máximo e mínimo da função é 1700 – 100=1600
GABARITO: E
35) 01) -1≤cos x ≤1
-1≤2k-4≤1
3≤2k-4≤5
3 ≤k≤ 5
{k ∉ ℝ/ 3 ≤ k 5 }
2
2
2
2
(Falso)
02) f(x)=cos
Dm→ conjunto dos valores de x que satisfazem as condições de existência.
Dm= {x ϵ ℝ/ x ≠ 0}
Dm= ℝ*
(Verdadeiro)
04) Valor mínimo: cos= -1
Y= 2+5.(-1)
Y=2-5
Y=-3
(Verdadeiro)
08)
(Falso)
16) Os valores de cos x variam entre -1 e 1.
Portanto, Ιm=[-1,1]
(Verdadeiro)
GABARITO: 22
36)
Esboço do gráfico:
y
-
+
-
4
-
+
2π
GABARITO: D
37) d→eixo médio
a→ amplitude
a =50
c→altera o período
x
A função é: Q(t) = 50
Pelo gráfico se t = 2 então Q(2) = 120
Q (2) = 50
120 = 50
50 = 50
Se
então
Portanto, Q ( t ) = 50
Q ( 0 ) = 50 . 1/2 + 70
Q ( 0 ) = 50
Q ( 0 ) = 25 + 70 = 95
GABARITO: C
38) P = 100 + 20sen ( 2π . t )
Se t = 0 então P ( 0 ) = 100 +20 . sen ( 0 )
P ( 0 ) = 100
Para t = 0, a pressão sanguínea é de 100mm de mercúrio.//
Se t = 0,75 então P (0,75 ) = 100 +20 .sen (2π 0,75)
Q(0)=
Para t = 0,75 , a pressão sanguínea é de 80mm de mercúrio.//
b) Conforme o enunciado a pressão atinge seu menor valor em
P = 80mm. Mas no item a descobrimos que P ( 0,75 ) = 80 , logo
t = 0,75s fornece o menor valor da pressão no primeiro segundo.Como o
período desta função é de 1 s , este fato só se repetirá no próximo segundo.//
39) Esboço do gráfico:
3T
2
2
-16
Início:
-10
t
Final:
1) Temperatura às 6 horas ( t = 0 ) :
(VERDADEIRO)
2) Período:
(Verdadeiro)
3) Observando o gráfico verifica-se que a maior temperatura foi de 31°C//
(Falso)
4)Pelo gráfico observamos que a temperatura máxima ocorre em t = 8. Como t
= o corresponde à 6:00 então t=8 corresponde à 14:00//
(Verdadeiro)
5) Pelo gráfico observamos que T( t ) é crescente em {0,8]//
(Verdadeiro)
40) Os ângulos estão medidos em radianos.Sabemos que 1 radiano vale
aproximadamente 57°.
a) 7 rad ≅ 7 . 57° = 399°
399° ϵ 1° Q
sen(7) > 0 (Verdadeiro)
b) 8 rad ≅ 8 . 57° = 456°
456° ϵ 2° Q
sen(8) > 0 (Falso)
c) √5 ≅ 2,2
√5 rad ≅ 2,2 . 57° = 125,4°
125,4° ϵ 2° Q
cos(√5) < 0 (Falso)
d) Observando os itens b e c temos que cos(√5) < 0 e sen(8) > 0.
Logo cos(√5) < sen(8)
(Falso)
GABARITO: A
41) Para descobrir a posição nos extremos tomamos os valores extremos de
cos x.
cos máx. = 1
r=
cos mín. = -1
r=
S = 6900 + 5100
S = 12.000
GABARITO: B
42) Esboço do gráfico da função:
h
3
0,0
1
t
Como a função começa de seu máximo então é uma função cosseno.
h(t) = a + b . cos(m . t)
a → eixo médio
a=
b → amplitude
b=
Além disso
Com os valores de a,b e m temos
GABARITO: A
43) Esboço do gráfico:
f
20,1
18,8
17
t
91,25 182,5
Ι)
(Falso)
ΙΙ) Por do sol mais cedo: t = 91,25
Admitindo que cada mês possui 30 dias então t = 91,25 já se passaram 3
meses (janeiro,fevereiro e março) e já entramos no mês de abril.
(Verdadeiro)
ΙΙΙ) f(t) mínimo vale 17,5h que equivale à 17h30min.
(Verdadeiro)
GABARITO: D
44) f(x) = cos x
P é ponto de ordenada máxima da função. Como o maior valor que cos x
pode assumir, a ordenada de P vale 1.
Q é o ponto em que o gráfico toca o eixo x, ou seja, y = 0. Mas, para que cos x
= 0 , x deve assumir seu primeiro valor em
P(0,1)
Q
t
GABARITO: B
45)
Ι) 4330° 360°
-360
12
730
-720
10°
A divisão indica que o arco percorre 12 voltas acrescido de 10° que deverá ser
percorrido no sentido negativo do ciclo, parando assim no quarto quadrante
do ciclo trigonométrico.
Observe que ao percorrer o quarto quadrante a função seno aumenta o seu
valor, portanto neste quadrante, a função seno é crescente.
(Verdadeiro)
ΙΙ) 34π
5
-30π
5
4π
5
-10π
5
3
A divisão indica que o aro percorre 3 voltas acrescido de 4π rad = 144° ,
parando assim
5
no segundo quadrante do ciclo trigonométrico. Observe que ao percorrer o
segundo quadrante a função cosseno diminui o seu valor, portanto neste
quadrante, a função cosseno é decrescente.
(Verdadeiro)
ΙΙΙ) 1000°
360°
-720
2
280°
A divisão indica que o arco percorre duas voltas acrescido de 280°, parando
assim no quarto quadrante. No quarto quadrante a tangente é negativa.
(Falso)
GABARITO: A
46) Queremos saber t tal que c = 4 :
Primeiro seno que vale
GABARITO: B
47)
Ι)
A única função que repete em um intervalo de aproximadamente 3,14 é a
alternativa B.
ΙΙ)
Como
esta função é par. Entre as alternativas a única que possui
gráfico simétrico em relação ao eixo y é a alternativa C.
ΙΙΙ)
Estudando o ciclo observa-se que
aparece na alternativa A.
e o gráfico de
GABARITO: D
48)
Isso quer dizer que o atleta repete o movimento a cada
Segundos
6
s.
Repetições
1
!
Em 6 segundos o atleta realiza 8 repetições.
GABARITO: 08
49)
Os valores máximo e mínimo do custo correspondem aos valores máximo e
mínimo de seno.
sen mín. = -1
GABARITO: D
sen máx. = 1
50) K → amplitude
K=2
m→ altera o período
Portanto,
29π
8π
4
4
-24π
3→n° de voltas
4
5π
4
GABARITO: B
51) Como a função cos ! é para saber-se que cos(!) = cos(-!).Como a
função sen ! é ímpar sabe-se que sen (-!) = -sen (!).Então a função f pode
ser escrita como:
f ( ! ) = 1 . (sen ! + cos ! + sen ! – cos !)
2
f( ! ) = 1 . 2sen !
2
f( ! ) = sen !
O esboço do gráfico da função sen ! está no item e.
GABARITO: E
51)Como a função cos ! é par Sab e-se que cos(!) = cos(-!).Como a
função sen ! é ímpar sabe-se que sen(-!) = -sen(!). Então a função f pode
ser escrita como:
f(!) =
½
. (sen! +cos! + sen! –cos!)
f(!) =½ . 2sen!
f(!) = sen!
O esboço do gráfico da função sen! está no item e.
GABARITO: E
52) Queremos saber o valor de t tal que h = 12.
O seno vale 1/2 nos seguintes arcos:
150°=
5π/6
1/230°=π/6
ou
ou
Então o navio pode permanecer no porto entre 2 e 10 horas.
GABARITO: C
53) esboço do gráfico:
h(t)
1
8
4
6 12 18 24
t
01) valor mínimo: cos mínimo
h =8 + 4 . (-1)
h=8–4=4
(Falso)
02) Observando o gráfico verifica-se que a maré baixa acontece às 18h.
(Falso)
04)
(Verdadeiro)
08) O gráfico não informa quando h = 10, descobriremos isto algebricamente.
150°=5π/6
1/2
t = 2 ou t = 10
Logo o navio pode permanecer entre 2 e 10 horas.
(Verdadeiro)
GABARITO: 12
54) a → eixo médio
a=-1
b → amplitude
b=2
30°=π/6
c → altera o período
P=
01) Com os valores de a, b e c temos que f(!) = -1 +2sen(2!)
(Verdadeiro)
02) Observando o gráfico verifica-se que y varia entre -3 e 1, portanto, Ιm =
[-3,1]
(Verdadeiro)
04) Analisando o gráfico verifica-se que o período é de π.
(Falso)
(Verdadeiro)
GABARITO: 11
Como
então
13π
6
-12π
6
π
6
Com isso,
12π
6
1→n° de voltas
b) As alturas mínima e máxima dependem dos valores
mínimo e máximo de sen !
h=11,5 + 10 . (-1)
h=11,5 – 10
h=1,5m//
sen mín.= -1
2π
h=11,5 + 10 . (1)
h=11,5 + 10
h=21,5m//
sen máx.=1
m
P=
P= 24 s//
P= 2π
π
12
Portanto, as alturas mínima e máxima valem 1,5m e 21,5m respectivamente e
o período de repetição vale 24s.//
56) Suponha a função da forma y= a + b . cos(m . t)
a→ eixo médio
a=3
b → amplitude
b=1
m→ altera o período.
P=
GABARITO: D
57)
Como o lucro é dado em milhares de reais o lucro é de R$ 1.000,00.
GABARITO: C
58) Esboço do gráfico
P
100
5
0
π⁄ π3π⁄ 2π5π⁄2
A função atinge o mínimo em t = 2π.
GABARITO: D
59)
Gráfico:
+3
B
0
8
A
-3
Para que o triângulo possua a maior área é necessário que ele possua a
maior,ou seja, h = 3.
GABARITO: B
60)
Primeiro trimestre: ! = 1, 2, 3
Total de vendas: 102 + 103,55 +104,5 = 310,05
GABARITO: D
61) Os gráficos a seguir esboçam as funções sen ! e cos !.
y
2π !
sen
-2π
y
2
2π!
cos
O módulo apenas provoca um rebatimento na parte negativa do gráfico em
relação ao eixo !.
Representando os gráficos de
no mesmo sistema temos:
y
-2π -3π/2 -π
cos!
sen
-π/2 !!
Pontos de intersecção: 8
GABARITO: B
62) Pontos em que o gráfico corta o eixo !:! = 0
ou
Se
Se
Se
Se
Se
k
k
k
k
k
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
então
então
então
então
então
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
2/3
4/3
2
8/3
10/3
Todos os pontos possuem abcissas maiores que 1.
Observando este fato sabemos que:
CONTINUAÇÃO MTM VOL 2 FRENTE B 26 À 62
26)
Como
K=1,2 então+{x1,x2} e B={y2,y2}
A⋃B= {x1,x2,y1,y2}
Soma =
x1 + x2 + y1 + y2
Soma=
Soma=
Como
são complementares
Soma=
↑
1
↑
Soma=
Soma=
Soma=
Soma= 2
GABARITO: C
27) A soma envolve apenas ângulos pares,medidos em graus.Tome ao acaso
um deles para analise no ciclo.Escolherei um ângulo de 12°.
168°
192°
Este ângulo possui uma determinação em cada quadrante com os mesmos
valores de seno e cosseno, alterando apenas o sinal. Veja que estes ângulos
aparecem na soma e como em toda expressão cosseno está elevado ao
quadrado a soma pode ser escrita com o:
S= cos2 0° +cos2+90°+ cos2180°+cos2270°+cos2360° + 4.(cos22°+cos24°+...
+cos286°+cos288°)
Extremos
Reduções
ao 1°Q
S= 1+0+1+0+1+4.(cos22°+cos24°+...+cos286°+cos288°)
Veja que 2° 2 88° são complementares logo cos88°= sen2°. O mesmo
acontece com os ângulos 4° e 86° assim como todos ângulos da expressão:
S= 3+4.(cos22°+cos24°+...+sen24°+sen22°)
↑
↑
↑
↑
S= 3+4.(1+1+…+1)
22 vezes
S= 3+4.22=91
GABARITO: E
28) Período seno: P=
GABARITO: B
29) f(x) =
a)
Imagem: sen máx.=1
Y=1+1=2
sen mín.=-1
y=1-1=0
b) y = 1
1 + sen
sen
Ιm=[0,2]
Se k= 0 então x = ¼
S = ¼ , ¾}
Se k= 1 então x = ¾
30) Gráficos:
y
16
2
-4
-2π
x
-
Pseno =
GABARITO: C
Logo, temos dois pontos de intersecção.
31)
Se T = 0 então f (0)= cos π = 0
2
Se T= π então f ( π )= cos π = -1
2
2
Se T= π então f (π) = cos 3π = 0
2
Se T= 3π então f ( 3π ) cos2π = 1
2
2
Esboçando o gráfico teremos:
1
-
f
π/2 π 3π/2 2π
t
GABARITO: D
32)
f (t ) = 2 sen [3t – (π/3)]
2 . (- 1 ) = -2
Ιm
Ιm = [ -2,2]
2.(1)= 2
Esboçando o gráfico:
2 f(t)
t
GABARITO: A
-2
33)
A observação que P=4π provém do gráfico (quanto leva para repetir)
•Dm →valores de x
Dm= ℝ
•Im → valores de y
Im= [- 3 ,]
•Sobre a paridade, verifica-se que o gráfico é simétrico em relação à origem
do sistema cartesiano. Portanto, a função ímpar.
• Esboçando o gráfico de y= 3sen
notamos que o gráfico é igual ao da
figura,logo a função descrita é y= 3sen
GABARITO: E
34) A variação do número de clientes é dado pela imagem da função f(x).
Calcularemos o mínimo e o máximo do seno.
sen mín.= -1 y= 900 – 800 . (-1) = 900 + 800= 1700
sen máx.= 1 y= 900 -800 . ( 1) = 900 – 800= 100
A diferença entre os valores máximo e mínimo da função é 1700 – 100=1600
GABARITO: E
35) 01) -1≤cos x ≤1
-1≤2k-4≤1
3≤2k-4≤5
3 ≤k≤ 5
{k ∉ ℝ/ 3 ≤ k 5 }
2
(Falso)
2
2
2
02) f(x)=cos
Dm→ conjunto dos valores de x que satisfazem as condições de existência.
Dm= {x ϵ ℝ/ x ≠ 0}
Dm= ℝ*
(Verdadeiro)
04) Valor mínimo: cos= -1
Y= 2+5.(-1)
Y=2-5
Y=-3
(Verdadeiro)
08)
(Falso)
16) Os valores de cos x variam entre -1 e 1.
Portanto, Ιm=[-1,1]
(Verdadeiro)
GABARITO: 22
36)
Esboço do gráfico:
y
-
+
-
4
-
+
2π
x
GABARITO: D
37) d→eixo médio
a→ amplitude
a =50
c→altera o período
A função é: Q(t) = 50
Pelo gráfico se t = 2 então Q(2) = 120
Q (2) = 50
120 = 50
50 = 50
Se
então
Portanto, Q ( t ) = 50
Q ( 0 ) = 50 . 1/2 + 70
Q ( 0 ) = 50
Q(0)=
Q ( 0 ) = 25 + 70 = 95
GABARITO: C
38) P = 100 + 20sen ( 2π . t )
Se t = 0 então P ( 0 ) = 100 +20 . sen ( 0 )
P ( 0 ) = 100
Para t = 0, a pressão sanguínea é de 100mm de mercúrio.//
Se t = 0,75 então P (0,75 ) = 100 +20 .sen (2π 0,75)
Para t = 0,75 , a pressão sanguínea é de 80mm de mercúrio.//
b) Conforme o enunciado a pressão atinge seu menor valor em
P = 80mm. Mas no item a descobrimos que P ( 0,75 ) = 80 , logo
t = 0,75s fornece o menor valor da pressão no primeiro segundo.Como o
período desta função é de 1 s , este fato só se repetirá no próximo segundo.//
39) Esboço do gráfico:
3T
2
2
-16
-10
t
Início:
Final:
1) Temperatura às 6 horas ( t = 0 ) :
(VERDADEIRO)
2) Período:
(Verdadeiro)
3) Observando o gráfico verifica-se que a maior temperatura foi de 31°C//
(Falso)
4)Pelo gráfico observamos que a temperatura máxima ocorre em t = 8. Como t
= o corresponde à 6:00 então t=8 corresponde à 14:00//
(Verdadeiro)
5) Pelo gráfico observamos que T( t ) é crescente em {0,8]//
(Verdadeiro)
40) Os ângulos estão medidos em radianos.Sabemos que 1 radiano vale
aproximadamente 57°.
a) 7 rad ≅ 7 . 57° = 399°
399° ϵ 1° Q
sen(7) > 0 (Verdadeiro)
b) 8 rad ≅ 8 . 57° = 456°
456° ϵ 2° Q
sen(8) > 0 (Falso)
c) √5 ≅ 2,2
√5 rad ≅ 2,2 . 57° = 125,4°
125,4° ϵ 2° Q
cos(√5) < 0 (Falso)
d) Observando os itens b e c temos que cos(√5) < 0 e sen(8) > 0.
Logo cos(√5) < sen(8)
(Falso)
GABARITO: A
41) Para descobrir a posição nos extremos tomamos os valores extremos de
cos x.
cos máx. = 1
r=
cos mín. = -1
r=
S = 6900 + 5100
S = 12.000
GABARITO: B
42) Esboço do gráfico da função:
h
3
0,0
1
t
Como a função começa de seu máximo então é uma função cosseno.
h(t) = a + b . cos(m . t)
a → eixo médio
a=
b → amplitude
b=
Além disso
Com os valores de a,b e m temos
GABARITO: A
43) Esboço do gráfico:
f
20,1
18,8
17
t
91,25 182,5
Ι)
(Falso)
ΙΙ) Por do sol mais cedo: t = 91,25
Admitindo que cada mês possui 30 dias então t = 91,25 já se passaram 3
meses (janeiro,fevereiro e março) e já entramos no mês de abril.
(Verdadeiro)
ΙΙΙ) f(t) mínimo vale 17,5h que equivale à 17h30min.
(Verdadeiro)
GABARITO: D
44) f(x) = cos x
P é ponto de ordenada máxima da função. Como o maior valor que cos x
pode assumir, a ordenada de P vale 1.
Q é o ponto em que o gráfico toca o eixo x, ou seja, y = 0. Mas, para que cos x
= 0 , x deve assumir seu primeiro valor em
P(0,1)
Q
GABARITO: B
t
45)
Ι) 4330° 360°
-360
12
730
-720
10°
A divisão indica que o arco percorre 12 voltas acrescido de 10° que deverá ser
percorrido no sentido negativo do ciclo, parando assim no quarto quadrante
do ciclo trigonométrico.
Observe que ao percorrer o quarto quadrante a função seno aumenta o seu
valor, portanto neste quadrante, a função seno é crescente.
(Verdadeiro)
ΙΙ) 34π
5
-30π
5
4π
5
-10π
5
3
A divisão indica que o aro percorre 3 voltas acrescido de 4π rad = 144° ,
parando assim
5
no segundo quadrante do ciclo trigonométrico. Observe que ao percorrer o
segundo quadrante a função cosseno diminui o seu valor, portanto neste
quadrante, a função cosseno é decrescente.
(Verdadeiro)
ΙΙΙ) 1000° 360°
-720
2
280°
A divisão indica que o arco percorre duas voltas acrescido de 280°, parando
assim no quarto quadrante. No quarto quadrante a tangente é negativa.
(Falso)
GABARITO: A
46) Queremos saber t tal que c = 4 :
Primeiro seno que vale
GABARITO: B
47)
Ι)
A única função que repete em um intervalo de aproximadamente 3,14 é a
alternativa B.
ΙΙ)
Como
esta função é par. Entre as alternativas a única que possui
gráfico simétrico em relação ao eixo y é a alternativa C.
ΙΙΙ)
Estudando o ciclo observa-se que
aparece na alternativa A.
e o gráfico de
GABARITO: D
48)
Isso quer dizer que o atleta repete o movimento a cada
Segundos
Repetições
s.
1
!
6
Em 6 segundos o atleta realiza 8 repetições.
GABARITO: 08
49)
Os valores máximo e mínimo do custo correspondem aos valores máximo e
mínimo de seno.
sen mín. = -1
GABARITO: D
50) K → amplitude
K=2
m→ altera o período
Portanto,
sen máx. = 1
29π
8π
4
4
-24π
3→n° de voltas
4
5π
4
GABARITO: B
51) Como a função cos ! é para saber-se que cos(!) = cos(-!).Como a
função sen ! é ímpar sabe-se que sen (-!) = -sen (!).Então a função f pode
ser escrita como:
f ( ! ) = 1 . (sen ! + cos ! + sen ! – cos !)
2
f( ! ) = 1 . 2sen !
2
f( ! ) = sen !
O esboço do gráfico da função sen ! está no item e.
GABARITO: E
51)Como a função cos ! é par Sab e-se que cos(!) = cos(-!).Como a
função sen ! é ímpar sabe-se que sen(-!) = -sen(!). Então a função f pode
ser escrita como:
f(!) =
½
. (sen! +cos! + sen! –cos!)
f(!) =½ . 2sen!
f(!) = sen!
O esboço do gráfico da função sen! está no item e.
GABARITO: E
52) Queremos saber o valor de t tal que h = 12.
O seno vale 1/2 nos seguintes arcos:
150°=
5π/6
1/230°=π/6
ou
ou
Então o navio pode permanecer no porto entre 2 e 10 horas.
GABARITO: C
53) esboço do gráfico:
h(t)
1
8
4
6 12 18 24
t
01) valor mínimo: cos mínimo
h =8 + 4 . (-1)
h=8–4=4
(Falso)
02) Observando o gráfico verifica-se que a maré baixa acontece às 18h.
(Falso)
04)
(Verdadeiro)
08) O gráfico não informa quando h = 10, descobriremos isto algebricamente.
150°=5π/6
1/2
30°=π/6
t = 2 ou t = 10
Logo o navio pode permanecer entre 2 e 10 horas.
(Verdadeiro)
GABARITO: 12
54) a → eixo médio
a=-1
b → amplitude
b=2
c → altera o período
P=
01) Com os valores de a, b e c temos que f(!) = -1 +2sen(2!)
(Verdadeiro)
02) Observando o gráfico verifica-se que y varia entre -3 e 1, portanto, Ιm =
[-3,1]
(Verdadeiro)
04) Analisando o gráfico verifica-se que o período é de π.
(Falso)
(Verdadeiro)
GABARITO: 11
Como
então
13π
6
-12π
6
π
6
12π
6
1→n° de voltas
Com isso,
b) As alturas mínima e máxima dependem dos valores
mínimo e máximo de sen !
h=11,5 + 10 . (-1)
h=11,5 – 10
h=1,5m//
sen mín.= -1
2π
h=11,5 + 10 . (1)
h=11,5 + 10
h=21,5m//
sen máx.=1
m
P=
P= 24 s//
P= 2π
π
12
Portanto, as alturas mínima e máxima valem 1,5m e 21,5m respectivamente e
o período de repetição vale 24s.//
56) Suponha a função da forma y= a + b . cos(m . t)
a→ eixo médio
a=3
b → amplitude
b=1
m→ altera o período.
P=
GABARITO: D
57)
Como o lucro é dado em milhares de reais o lucro é de R$ 1.000,00.
GABARITO: C
58) Esboço do gráfico
P
100
5
0
π⁄ π3π⁄ 2π5π⁄2
A função atinge o mínimo em t = 2π.
GABARITO: D
59)
Gráfico:
+3
B
0
8
A
-3
Para que o triângulo possua a maior área é necessário que ele possua a
maior,ou seja, h = 3.
GABARITO: B
60)
Primeiro trimestre: ! = 1, 2, 3
Total de vendas: 102 + 103,55 +104,5 = 310,05
GABARITO: D
61) Os gráficos a seguir esboçam as funções sen ! e cos !.
y
2π !
sen
-2π
y
2
2π!
cos
O módulo apenas provoca um rebatimento na parte negativa do gráfico em
relação ao eixo !.
Representando os gráficos de
no mesmo sistema temos:
y
-2π -3π/2 -π
cos!
sen
-π/2 !!
Pontos de intersecção: 8
GABARITO: B
62) Pontos em que o gráfico corta o eixo !:! = 0
ou
Se
Se
Se
Se
Se
k
k
k
k
k
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
então
então
então
então
então
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
2/3
4/3
2
8/3
10/3
Todos os pontos possuem abcissas maiores que 1.
Observando este fato sabemos que:
CONTINUAÇÃO MTM VOL 2 FRENTE B 26 À 62
26)
Como
K=1,2 então+{x1,x2} e B={y2,y2}
A⋃B= {x1,x2,y1,y2}
Soma =
x1 + x2 + y1 + y2
Soma=
Soma=
Como
são complementares
Soma=
↑
1
↑
Soma=
Soma=
Soma=
Soma= 2
GABARITO: C
27) A soma envolve apenas ângulos pares,medidos em graus.Tome ao acaso
um deles para analise no ciclo.Escolherei um ângulo de 12°.
168°
192°
Este ângulo possui uma determinação em cada quadrante com os mesmos
valores de seno e cosseno, alterando apenas o sinal. Veja que estes ângulos
aparecem na soma e como em toda expressão cosseno está elevado ao
quadrado a soma pode ser escrita com o:
S= cos2 0° +cos2+90°+ cos2180°+cos2270°+cos2360° + 4.(cos22°+cos24°+...
+cos286°+cos288°)
Extremos
Reduções
ao 1°Q
S= 1+0+1+0+1+4.(cos22°+cos24°+...+cos286°+cos288°)
Veja que 2° 2 88° são complementares logo cos88°= sen2°. O mesmo
acontece com os ângulos 4° e 86° assim como todos ângulos da expressão:
S= 3+4.(cos22°+cos24°+...+sen24°+sen22°)
↑
↑
↑
↑
S= 3+4.(1+1+…+1)
22 vezes
S= 3+4.22=91
GABARITO: E
28) Período seno: P=
GABARITO: B
29) f(x) =
a)
Imagem: sen máx.=1
Y=1+1=2
sen mín.=-1
y=1-1=0
b) y = 1
1 + sen
sen
Ιm=[0,2]
Se k= 0 então x = ¼
S = ¼ , ¾}
Se k= 1 então x = ¾
30) Gráficos:
y
16
2
-4
-2π
x
-
Pseno =
GABARITO: C
Logo, temos dois pontos de intersecção.
31)
Se T = 0 então f (0)= cos π = 0
2
Se T= π então f ( π )= cos π = -1
2
2
Se T= π então f (π) = cos 3π = 0
2
Se T= 3π então f ( 3π ) cos2π = 1
2
2
Esboçando o gráfico teremos:
1
-
f
π/2 π 3π/2 2π
t
GABARITO: D
32)
f (t ) = 2 sen [3t – (π/3)]
2 . (- 1 ) = -2
Ιm
Ιm = [ -2,2]
2.(1)= 2
Esboçando o gráfico:
2 f(t)
t
GABARITO: A
-2
33)
A observação que P=4π provém do gráfico (quanto leva para repetir)
•Dm →valores de x
Dm= ℝ
•Im → valores de y
Im= [- 3 ,]
•Sobre a paridade, verifica-se que o gráfico é simétrico em relação à origem
do sistema cartesiano. Portanto, a função ímpar.
• Esboçando o gráfico de y= 3sen
notamos que o gráfico é igual ao da
figura,logo a função descrita é y= 3sen
GABARITO: E
34) A variação do número de clientes é dado pela imagem da função f(x).
Calcularemos o mínimo e o máximo do seno.
sen mín.= -1 y= 900 – 800 . (-1) = 900 + 800= 1700
sen máx.= 1 y= 900 -800 . ( 1) = 900 – 800= 100
A diferença entre os valores máximo e mínimo da função é 1700 – 100=1600
GABARITO: E
35) 01) -1≤cos x ≤1
-1≤2k-4≤1
3≤2k-4≤5
3 ≤k≤ 5
{k ∉ ℝ/ 3 ≤ k 5 }
2
(Falso)
2
2
2
02) f(x)=cos
Dm→ conjunto dos valores de x que satisfazem as condições de existência.
Dm= {x ϵ ℝ/ x ≠ 0}
Dm= ℝ*
(Verdadeiro)
04) Valor mínimo: cos= -1
Y= 2+5.(-1)
Y=2-5
Y=-3
(Verdadeiro)
08)
(Falso)
16) Os valores de cos x variam entre -1 e 1.
Portanto, Ιm=[-1,1]
(Verdadeiro)
GABARITO: 22
36)
Esboço do gráfico:
y
-
+
-
4
-
+
2π
x
GABARITO: D
37) d→eixo médio
a→ amplitude
a =50
c→altera o período
A função é: Q(t) = 50
Pelo gráfico se t = 2 então Q(2) = 120
Q (2) = 50
120 = 50
50 = 50
Se
então
Portanto, Q ( t ) = 50
Q ( 0 ) = 50 . 1/2 + 70
Q ( 0 ) = 50
Q(0)=
Q ( 0 ) = 25 + 70 = 95
GABARITO: C
38) P = 100 + 20sen ( 2π . t )
Se t = 0 então P ( 0 ) = 100 +20 . sen ( 0 )
P ( 0 ) = 100
Para t = 0, a pressão sanguínea é de 100mm de mercúrio.//
Se t = 0,75 então P (0,75 ) = 100 +20 .sen (2π 0,75)
Para t = 0,75 , a pressão sanguínea é de 80mm de mercúrio.//
b) Conforme o enunciado a pressão atinge seu menor valor em
P = 80mm. Mas no item a descobrimos que P ( 0,75 ) = 80 , logo
t = 0,75s fornece o menor valor da pressão no primeiro segundo.Como o
período desta função é de 1 s , este fato só se repetirá no próximo segundo.//
39) Esboço do gráfico:
3T
2
2
-16
-10
t
Início:
Final:
1) Temperatura às 6 horas ( t = 0 ) :
(VERDADEIRO)
2) Período:
(Verdadeiro)
3) Observando o gráfico verifica-se que a maior temperatura foi de 31°C//
(Falso)
4)Pelo gráfico observamos que a temperatura máxima ocorre em t = 8. Como t
= o corresponde à 6:00 então t=8 corresponde à 14:00//
(Verdadeiro)
5) Pelo gráfico observamos que T( t ) é crescente em {0,8]//
(Verdadeiro)
40) Os ângulos estão medidos em radianos.Sabemos que 1 radiano vale
aproximadamente 57°.
a) 7 rad ≅ 7 . 57° = 399°
399° ϵ 1° Q
sen(7) > 0 (Verdadeiro)
b) 8 rad ≅ 8 . 57° = 456°
456° ϵ 2° Q
sen(8) > 0 (Falso)
c) √5 ≅ 2,2
√5 rad ≅ 2,2 . 57° = 125,4°
125,4° ϵ 2° Q
cos(√5) < 0 (Falso)
d) Observando os itens b e c temos que cos(√5) < 0 e sen(8) > 0.
Logo cos(√5) < sen(8)
(Falso)
GABARITO: A
41) Para descobrir a posição nos extremos tomamos os valores extremos de
cos x.
cos máx. = 1
r=
cos mín. = -1
r=
S = 6900 + 5100
S = 12.000
GABARITO: B
42) Esboço do gráfico da função:
h
3
0,0
1
t
Como a função começa de seu máximo então é uma função cosseno.
h(t) = a + b . cos(m . t)
a → eixo médio
a=
b → amplitude
b=
Além disso
Com os valores de a,b e m temos
GABARITO: A
43) Esboço do gráfico:
f
20,1
18,8
17
t
91,25 182,5
Ι)
(Falso)
ΙΙ) Por do sol mais cedo: t = 91,25
Admitindo que cada mês possui 30 dias então t = 91,25 já se passaram 3
meses (janeiro,fevereiro e março) e já entramos no mês de abril.
(Verdadeiro)
ΙΙΙ) f(t) mínimo vale 17,5h que equivale à 17h30min.
(Verdadeiro)
GABARITO: D
44) f(x) = cos x
P é ponto de ordenada máxima da função. Como o maior valor que cos x
pode assumir, a ordenada de P vale 1.
Q é o ponto em que o gráfico toca o eixo x, ou seja, y = 0. Mas, para que cos x
= 0 , x deve assumir seu primeiro valor em
P(0,1)
Q
GABARITO: B
t
45)
Ι) 4330° 360°
-360
12
730
-720
10°
A divisão indica que o arco percorre 12 voltas acrescido de 10° que deverá ser
percorrido no sentido negativo do ciclo, parando assim no quarto quadrante
do ciclo trigonométrico.
Observe que ao percorrer o quarto quadrante a função seno aumenta o seu
valor, portanto neste quadrante, a função seno é crescente.
(Verdadeiro)
ΙΙ) 34π
5
-30π
5
4π
5
-10π
5
3
A divisão indica que o aro percorre 3 voltas acrescido de 4π rad = 144° ,
parando assim
5
no segundo quadrante do ciclo trigonométrico. Observe que ao percorrer o
segundo quadrante a função cosseno diminui o seu valor, portanto neste
quadrante, a função cosseno é decrescente.
(Verdadeiro)
ΙΙΙ) 1000° 360°
-720
2
280°
A divisão indica que o arco percorre duas voltas acrescido de 280°, parando
assim no quarto quadrante. No quarto quadrante a tangente é negativa.
(Falso)
GABARITO: A
46) Queremos saber t tal que c = 4 :
Primeiro seno que vale
GABARITO: B
47)
Ι)
A única função que repete em um intervalo de aproximadamente 3,14 é a
alternativa B.
ΙΙ)
Como
esta função é par. Entre as alternativas a única que possui
gráfico simétrico em relação ao eixo y é a alternativa C.
ΙΙΙ)
Estudando o ciclo observa-se que
aparece na alternativa A.
e o gráfico de
GABARITO: D
48)
Isso quer dizer que o atleta repete o movimento a cada
Segundos
Repetições
s.
1
!
6
Em 6 segundos o atleta realiza 8 repetições.
GABARITO: 08
49)
Os valores máximo e mínimo do custo correspondem aos valores máximo e
mínimo de seno.
sen mín. = -1
GABARITO: D
50) K → amplitude
K=2
m→ altera o período
Portanto,
sen máx. = 1
29π
8π
4
4
-24π
3→n° de voltas
4
5π
4
GABARITO: B
51) Como a função cos ! é para saber-se que cos(!) = cos(-!).Como a
função sen ! é ímpar sabe-se que sen (-!) = -sen (!).Então a função f pode
ser escrita como:
f ( ! ) = 1 . (sen ! + cos ! + sen ! – cos !)
2
f( ! ) = 1 . 2sen !
2
f( ! ) = sen !
O esboço do gráfico da função sen ! está no item e.
GABARITO: E
51)Como a função cos ! é par Sab e-se que cos(!) = cos(-!).Como a
função sen ! é ímpar sabe-se que sen(-!) = -sen(!). Então a função f pode
ser escrita como:
f(!) =
½
. (sen! +cos! + sen! –cos!)
f(!) =½ . 2sen!
f(!) = sen!
O esboço do gráfico da função sen! está no item e.
GABARITO: E
52) Queremos saber o valor de t tal que h = 12.
O seno vale 1/2 nos seguintes arcos:
150°=
5π/6
1/230°=π/6
ou
ou
Então o navio pode permanecer no porto entre 2 e 10 horas.
GABARITO: C
53) esboço do gráfico:
h(t)
1
8
4
6 12 18 24
t
01) valor mínimo: cos mínimo
h =8 + 4 . (-1)
h=8–4=4
(Falso)
02) Observando o gráfico verifica-se que a maré baixa acontece às 18h.
(Falso)
04)
(Verdadeiro)
08) O gráfico não informa quando h = 10, descobriremos isto algebricamente.
150°=5π/6
1/2
30°=π/6
t = 2 ou t = 10
Logo o navio pode permanecer entre 2 e 10 horas.
(Verdadeiro)
GABARITO: 12
54) a → eixo médio
a=-1
b → amplitude
b=2
c → altera o período
P=
01) Com os valores de a, b e c temos que f(!) = -1 +2sen(2!)
(Verdadeiro)
02) Observando o gráfico verifica-se que y varia entre -3 e 1, portanto, Ιm =
[-3,1]
(Verdadeiro)
04) Analisando o gráfico verifica-se que o período é de π.
(Falso)
(Verdadeiro)
GABARITO: 11
Como
então
13π
6
-12π
6
π
6
12π
6
1→n° de voltas
Com isso,
b) As alturas mínima e máxima dependem dos valores
mínimo e máximo de sen !
h=11,5 + 10 . (-1)
h=11,5 – 10
h=1,5m//
sen mín.= -1
2π
h=11,5 + 10 . (1)
h=11,5 + 10
h=21,5m//
sen máx.=1
m
P=
P= 24 s//
P= 2π
π
12
Portanto, as alturas mínima e máxima valem 1,5m e 21,5m respectivamente e
o período de repetição vale 24s.//
56) Suponha a função da forma y= a + b . cos(m . t)
a→ eixo médio
a=3
b → amplitude
b=1
m→ altera o período.
P=
GABARITO: D
57)
Como o lucro é dado em milhares de reais o lucro é de R$ 1.000,00.
GABARITO: C
58) Esboço do gráfico
P
100
5
0
π⁄ π3π⁄ 2π5π⁄2
A função atinge o mínimo em t = 2π.
GABARITO: D
59)
Gráfico:
+3
B
0
8
A
-3
Para que o triângulo possua a maior área é necessário que ele possua a
maior,ou seja, h = 3.
GABARITO: B
60)
Primeiro trimestre: ! = 1, 2, 3
Total de vendas: 102 + 103,55 +104,5 = 310,05
GABARITO: D
61) Os gráficos a seguir esboçam as funções sen ! e cos !.
y
2π !
sen
-2π
y
2
2π!
cos
O módulo apenas provoca um rebatimento na parte negativa do gráfico em
relação ao eixo !.
Representando os gráficos de
no mesmo sistema temos:
y
-2π -3π/2 -π
cos!
sen
-π/2 !!
Pontos de intersecção: 8
GABARITO: B
62) Pontos em que o gráfico corta o eixo !:! = 0
ou
Se
Se
Se
Se
Se
k
k
k
k
k
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
então
então
então
então
então
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
2/3
4/3
2
8/3
10/3
Todos os pontos possuem abcissas maiores que 1.
Observando este fato sabemos que: