EE240/2009
Planejamento Fatorial
Completo
EE-240/2009
Planejamento Fatorial Completo
EE-240/2009
Determinação de fatores que influenciam a
durabilidade de um dado componente.
•
Fatores:
 A = Temperatura
 B = Vibração

Níveis:
 Temperatura: 20oC, 60oC
 Vibração: 5 m/s2 (rms), 15 m/s2 (rms)

Saída:
 y = Tempo de falha
EE-240/2009
Planejamento Fatorial Completo (22)
(Exemplo)
Fator A
Fator B
Temperatura (oC)
Vibração (m/s2 rms)
1
20
5
2
20
15
3
60
5
4
60
15
Tratamento
EE-240/2009
Codificação dos níveis: Baixo: - 1, Alto: +1
Fator A
Fator B
Temperatura
Vibração
1


2


3


4


Tratamento
EE-240/2009
FF2N
Two-level full-factorial design.
X = FF2N(N) creates a two-level full-factorial design, X.
N is the number of columns of X. The number of rows is 2^N.
>> ff2n(2)
ans =
0
0
1
1
0
1
0
1
EE-240/2009
FRACFACT generates a two-level fractional factorial design.
X = FRACFACT(GEN) produces the fractional factorial
design defined by the generator string GEN. GEN must be
a sequence of "words" separated
by spaces.
If the
generators string consists of P words using K letters of
the alphabet, then X will have N=2^K rows and P columns.
>> M = fracfact('A B')
M =
-1
-1
-1
1
1
-1
1
1
EE-240/2009
y = 50 – 10 x1 – 10 x2 + e
Exemplo Sintético (Ground Truth):
e ~ N(0, s2) , s = 5
Tratamento
A
B
Resposta y
(unidades de tempo)
1


74
68
65
2


50
48
51
3


46
44
40
4


34
32
26
EE-240/2009
y = 50 – 10 x1 – 10 x2 + e
Exemplo Sintético (Ground Truth):
e ~ N(0, s2) , s = 5
Tratamento
A
B
Resposta y
(unidades de tempo)
1


74
68
65
69
2


50
48
51
50
3


46
44
40
43
4


34
32
26
31
Média
EE-240/2009
x2
Vibração
(m/s2)
15
+1
50
31
+1
-1
69
5
x1
43
-1
20
60
Temp
(oC)
Tratamento
A
B
Resposta y
(unidades de tempo)
1


74
68
65
69
2


50
48
51
50
3


46
44
40
43
4


34
32
26
31
Média
EE-240/2009
Efeito Principal da Temperatura
x2
Vibração
(m/s2)
15
50
+1
– 19
31
+1
-1
x1
– 26
5
69
20
-1
43
60
Temp
(oC)
EE-240/2009
Efeito Principal da Temperatura
x2
Vibração
(m/s2)
15
50
+1
31
(1/2) (– 26 – 19) = – 22.5
+1
-1
5
69
20
-1
x1
43
60
Temp
(oC)
EE-240/2009
Efeito Principal da Temperatura
x2
Vibração
(m/s2)
15
50

(1/2) [(43 + 31) – (69 + 50)]
31

= – 22.5
-1
5
+1
69
20
-1
+1
x1
43
60
Temp
(oC)
EE-240/2009
Efeito Principal da Vibração
x2
Vibração
(m/s2)
15
+1
50
– 12
– 19
+1
-1
5
69
20
31
-1
x1
43
60
Temp
(oC)
EE-240/2009
Efeito Principal da Vibração
x2
Vibração
(m/s2)
15
50
+1

31
(1/2) (– 19 – 12) = – 15.5
-1
5
69
20
(1/2) [(50 + 31) – (69 + 43)]
-1

+1
x1
43
60
Temp
(oC)
EE-240/2009
Efeito de Interação Temperatura + Vibração
x2
Vibração
(m/s2)
15
50
+1


31
(1/2) [(31 + 69) – (50 + 43)]
+1
-1
5
69
20
-1
x1
43
60
Temp
(oC)
EE-240/2009
Resumo do Cálculo dos Efeitos
Tratamento
A
B
AB
Resposta média
1
2
3
4












69
50
43
31
 y1  y 2  y 3  y 4
 22 .5
2
 y1  y 2  y 3  y 4
ef ( B) 
 15.5
2
y  y 2  y3  y 4
ef (AB)  1
 3.5
2
ef ( A ) 
EE-240/2009
Matriz de Coeficientes de Contraste
Tratamento
A
B
AB
Resposta média
1
2
3
4












69
50
43
31
 1
 1
M
 1

 1
 1  1  1
 1  1  1
 1  1  1

 1  1  1
A
B
AB
 y1  y 2  y 3  y 4
 22 .5
2
 y1  y 2  y 3  y 4
ef ( B) 
 15.5
2
y  y 2  y3  y 4
ef (AB)  1
 3.5
2
ef ( A ) 
EE-240/2009
Matriz de Coeficientes de Contraste
 1
 1
MT  
 1

 1
 1
 1
M
 1

 1
 1  1  1
 1  1  1 A
 1  1  1 B

 1  1  1 AB
 1  1  1
 1  1  1
 1  1  1

 1  1  1
A
B
AB
 y1 
y 
 2
 y3 
 
 y4 
 y1  y 2  y 3  y 4
 22 .5
2
 y1  y 2  y 3  y 4
ef ( B) 
 15.5
2
y  y 2  y3  y 4
ef (AB)  1
 3.5
2
ef ( A ) 
EE-240/2009
Matriz de Coeficientes de Contraste
 1
 1
MT  
 1

 1
 1  1  1
 1  1  1 A
 1  1  1 B

 1  1  1 AB
 y1 
y 
 2
 y3 
 
 y4 
>> M=fracfact('AA A B AB')
>> 4*inv(M)
M =
ans =
1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
1
1
EE-240/2009
Tratamento
A
B
AB
Resposta média
1
2
3
4












69
50
43
31
 y   1 / 4
 ef (A)   1 / 2


 ef (B)   1 / 2

 
ef (AB)  1 / 2
 1 / 4  1 / 4  1 / 4 69  48.5 
 1 / 2  1 / 2  1 / 2 50  22.5




 1 / 2  1 / 2  1 / 2 43   15.5 
  

 1 / 2  1 / 2  1 / 2 32  3.5 
MT
 y1  y 2  y 3  y 4
 22 .5
2
 y1  y 2  y 3  y 4
ef ( B) 
 15 .5
2
y  y 2  y3  y 4
ef (AB)  1
 3.5
2
ef ( A ) 
EE-240/2009
Comparação com “Ground Truth”
y = 50 – 10 x1 – 10 x2 + 0x1x2 + e
 y   48.5 
 ef (A )   22.5



 ef (B)    15.5 

 

ef
(
AB
)
3
.
5

 

x2
x2
x2
EE-240/2009
Diagrama de Pareto dos Efeitos
0
5
10
15
20
25
A
B
AB
Calculado
Ground Truth
EE-240/2009
Na prática, “ground truth” não é disponível...
0
5
10
15
20
25
A
B
AB
Significativo?
Calculado
Ground Truth
EE-240/2009
Análise de Significância dos Efeitos
Estimativa da variância do erro experimental
Cálculo do erro padrão das respostas médias para cada tratamento
Cálculo do erro padrão dos efeitos
Teste t de significância para os efeitos
EE-240/2009
Estimativa da variância do erro experimental (s2)
Tratamento
Resposta y
1
74
68
65
2
50
48
51
3
46
44
40
4
34
32
26
EE-240/2009
Estimativa da variância do erro experimental (s2)
Tratamento
Média y
(n)
Resposta y
1
74
68
65
y1 = 69
(n1 = 3)
2
50
48
51
y2 = 50
(n2 = 3)
3
46
44
40
y3 = 43
(n3 = 3)
4
34
32
26
y4 = 31
(n4 = 3)
n = No. replicações
EE-240/2009
Estimativa da variância do erro experimental (s2)
Tratamento
Resposta y
Média y
(n)
Desvio s
()
1
74
68
65
y1 = 69
(n1 = 3)
s1 = 4.6
(1 = 2)
2
50
48
51
y2 = 50
(n2 = 3)
s2 = 1.5
(2 = 2)
3
46
44
40
y3 = 43
(n3 = 3)
s3 = 3.1
(3 = 2)
4
34
32
26
y4 = 31
(n4 = 3)
s4 = 4.2
(4 = 2)
 = No. graus de liberdade
EE-240/2009
No. Tratamentos
sˆ 2  s 2 
g
 s
i 1
g
2
i i

i 1
No. Graus de Liberdade
i
1s12   2s 22  3s32   4s 24 2  4.62  2 1.52  2  3.12  2  4.22
s 

 12.7
1   2  3   4
2222
2
s2
s 
ni
2
yi
s 2y1  s 2y 2  s 2y 3  s 2y 4 
 y1  y 2  y 3  y 4
ef (A) 
2
1 2
1
2
2
2
2
s ef

(
s

s

s

s
)

(4.2  4.2  4.2  4.2)  4.2
(A)
y
y2
y3
y4
4 1
4
12 .7
 4.2
3
sef ( A)  4.2  2.0
EE-240/2009
 y1  y 2  y3  y 4
ef (A) 
= 22.5
2
t ef ( A ) 
ef (A )
 11.2
s ef ( A )
 y1  y 2  y 3  y 4
= 15.5
2
t ef ( B) 
ef (B)
 7 . 7
s ef ( B)
ef (B) 
ef (AB ) 
y1  y 2  y 3  y 4
= 3.5
2
sef ( A)
t ef ( AB ) 
ef (AB)
 1 .7
s ef ( AB )
ef
t ef 
s ef
 sef ( B)  sef ( AB)  2.0
8
EE-240/2009
t = [-4:0.01:4]; ft = tpdf(t,8);
alpha = 0.05; tcrit = tinv(1 - alpha/2,8)
O efeito é significativo se
| t ef | t crit
t crit  2.3
(  0.05)
/2
/2
| t ef ( A ) |  11 .2
sim
| t ef ( B ) |  7.7
sim
| t ef ( AB ) |  1.7
não
tcrit = 2.3
EE-240/2009
Teste de Significância dos Efeitos
0
5
10
15
20
25
A
B
AB
s ef  t crit  4.6
EE-240/2009
Planejamento Fatorial Completo 23
•
Fatores:
 A = Temperatura
 B = Vibração
 C = Umidade

Níveis (- , +):
 Temperatura: 20oC e 60oC
 Vibração: 5 m/s2 e 15 m/s2 [rms]
>> M = fracfact('A B C')
M =
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
 Umidade relativa: 5% e 30%
EE-240/2009
y = 50 – 10 x1 – 10 x2 – 8 x3 – 5 x1x3 + e
Exemplo Sintético (Ground Truth):
e ~ N(0, s2)
s=5
Tratamento
A
B
C
1
2
3
4
5
6
7
8
























Resposta y
(unidades de tempo)
82
63

68
64
74
55
62
48
43
49
41
65
68

34
44

48
49
41
23
8
23
EE-240/2009
8
4
B

18
44
B

7
3
46
55
C
2


6
1

5


C
69

39
73
A

67


Tratamento
A
B
C
y
n
1
2
3
4
5
6
7
8
























73
69
55
44
67
39
46
18
2
3
3
3
2
2
3
3

A
EE-240/2009
ef(A) = (1/4) (46 + 18 + 67 + 39 – 55 – 44 – 73 – 69) = – 17.8
18
18
44
44
B

46
46
55
55


69
69

73
73
39
39



67
67

C
A
EE-240/2009
ef(AC) = (1/4) (55 + 18 + 73 +39 – 44 – 46 – 69 - 67) = 10.25
18
44
B

46
55


69

73

C
39

67


A
EE-240/2009
Tratamento
A
B
C
AB
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Média
BC ABC
+
+
+
+
+
+
+
+
Efeitos
EE-240/2009
A
B
C
AB
AC
BC
ABC
Tratamento
1
2
3
4
5
6
7
8
y
73
69
55
44
67
39
46
18
EE-240/2009
A
B
C
AB
AC
BC
ABC
x2
y = 50 – 10x1 – 10x2 – 8x3 + 0x1x2 – 5x1x3 + 0x2x3 + 0x1x2x3 + e
EE-240/2009
Diagrama de Pareto dos Efeitos Calculados
0
5
10
15
20
25
B
A
C
AC
BC
ABC
AB
Calculado
Ground Truth
EE-240/2009
Estimativa da variância (s2)
Tratamento
Média y Desvio s
(n)
(dof )
Resposta y
73 (2)
13.4 (1)
64

74
69 (3)
5.0 (2)
55
62
48
55 (3)
7.0 (2)
4
43
49
41
44 (3)
4.2 (2)
5
65
68

67 (2)
2.1 (1)
6
34
44
39 (2)
7.1 (1)
7
48
49

41
46 (3)
4.4 (2)
8
23
8
23
18 (3)
8.7 (2)
1
82
63
2
68
3
EE-240/2009
8
sˆ  s 
2
2
 s
i 1
8
2
i i
 i
8
 46.8
    i  13
i 1
i 1
s2
s 
ni
2
yi
s 2y1  s 2y5  s 2y 6 
46.8
 23.4
2
1 8 2
1
s   s yi  (3  23.4  5 15.6)  9.3
16
16 i 1
2
ef
s 2y 2  s 2y3  s 2y 4  s 2y7  s 2y8 
46.8
 15.6
3
sef  9.3  3.0
EE-240/2009
0
5
10
15
20
25
B
A
C
AC
BC
ABC
AB
s ef  t crit  6.5
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Muito Obrigado!
EE-240/2009