UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Licenciatura em Matemática
História da matemática a partir das tentativas de demonstração do Último
Teorema de Fermat
Thaís Leal de Andrade Muniz
ANÁPOLIS
2014
1
Thaís Leal de Andrade
História da matemática a partir das tentativas de demonstração do Último
Teorema de Fermat
Trabalho de Curso apresentado a Coordenação
Adjunta de TC, como parte dos requisitos para
obtenção do título de Graduado no Curso de
Licenciatura em Matemática da Universidade
Estadual de Goiás sob a orientação da
Professora: Ma. Cejana Macedo Alkmim.
ANÁPOLIS
2014
2
3
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho primeiramente a Deus, por ser essencial em minha vida,
autor de meu destino, meu guia e socorro, presente na hora da angústia e da felicidade, me
dando coragem para questionar realidades е propor sempre um novo mundo de possibilidades.
Ao Renan Faria Muniz de Andrade, pessoa a quem amo partilhar а vida. Contigo
tenho me sentido mais viva. Obrigado pelo carinho, а paciência е por sua capacidade em
trazer paz na correria de cada adversidade.
Agradeço especialmente minha professora orientadora, Cejana Macedo Alkmim,
pela paciência е pela ajuda sem igual para concluir este trabalho, agradeço também aos meus
professores que durante muito tempo me ensinaram.
Dedico principalmente aos meus pais com enorme carinho, gratidão, pelo amor
incondicional, pela ausência muitas vezes dolorosa. Posso dizer que а minha formação,
inclusive pessoal, não teria sido а mesma sem vocês.
Aos professores que compõe a banca examinadora, é um prazer tê-los presente.
A todos aqueles que alguma forma estiveram е estão próximos de mim, fazendo
esta vida valer cada vez mais а pena.
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“Se A é o sucesso, então A é igual a X mais Y mais Z. O trabalho é X;
Y é o lazer; e Z é manter a boca fechada.”
Albert Einstein
5
LISTAS DE FIGURAS
1 Retrato de Pierre de Fermat.................................................................................................33
2 Jackob Bernoulli ..................................................................................................................33
3 Johann Bernoulli..................................................................................................................34
4 Retrato de Leonhard Euler...................................................................................................34
5 Sophie Germain....................................................................................................................35
6 Carl Gauss.............................................................................................................................35
7 Gabriel Lamé.......................................................................................................................36
8 Selo para correpondência, Augustin Cauchy........................................................................36
9 Ernst Kummer.......................................................................................................................37
10 Andrew Wiles......................................................................................................................37
6
RESUMO
O Último Teorema de Fermat, como ficou conhecido, tornou-se o santo graal da matemática, intrigando os
matemáticos mais notórios por mais de trezentos anos. Este trabalho tem como desígnio fazer um apanhado
histórico do Último Teorema de Fermat, explanando sua origem e os acontecimentos relacionados ao mesmo ao
longo das tentativas de demonstração, assim como uma breve biografia dos célebres matemáticos que tentaram
com muito esmero solucionar este problema aparentemente simples, cuja comprovação do mesmo é mais
relevante do que se poderia supor a princípio. Evidenciou-se a sua importância para o desenvolvimento da
matemática nos últimos trezentos anos, visto que trata-se de um dos problemas mais instigantes da história da
matemática e que levou matemáticos de todas as épocas a tentar solucioná-lo. Esta investigação revela-se como
uma revisão bibliográfica, cujo procedimento metodológico oferece ao leitor uma possibilidade de ampliar o
conhecimento histórico-científico acumulado ao longo de séculos.
Palavras-chave: Último Teorema de Fermat; História da matemática; Leonhard Euler; Sophie
Germain; Gabriel Lamé; Augustin Cauchy.
7
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 8
1. PIERRE DE FERMAT E SUAS CONTRIBUIÇÕES ....................................................... 11
1.1 O criador de enigmas .................................................................................................. 11
1.2 Das contribuições de Fermat para Matemática ............................................................ 13
1.2.1 Teoria das Probabilidades .................................................................................... 13
1.2.2 Cálculo Infinitesimal ........................................................................................... 14
1.2.3 Teoria dos Números............................................................................................. 15
2. TENTATIVA DE DEMONSTRAÇÃO LEONHARD EULER ........................................ 19
2.1 Consequências dos estudos de Euler ante ao Último Teorema de Fermat .................... 22
3. TENTATIVA DE DEMONSTRAÇÃO DE SOPHIE GERMAIN .................................... 23
4. TENTATIVA DE DEMONSTRAÇÃO DE GABRIEL LAMÉ, AUGUSTIN CAUCHY,
ERNST KUMMER. ............................................................................................................. 27
CONCLUSÃO ..................................................................................................................... 30
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................. 32
ANEXOS ............................................................................................................................. 33
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INTRODUÇÃO
No início do século XVII, a matemática ainda se recuperava da Idade das Trevas e
não era um assunto muito respeitado. Os matemáticos não dispunham de prestígio e a maioria
tivera de custear seus próprios estudos. Portanto, a maioria dos matemáticos do século XVII
eram amadores, e Pierre de Fermat era um desses, um caso extremo.
Fermat era um gênio tímido, retraído e travesso, uma vez que se comunicava com
os demais matemáticos unicamente para caçoar deles. Expunha seus teoremas, mas sem a
respectiva demonstração, desafiando os contemporâneos a encontrarem as provas deles. Das
contribuições de Fermat para a matemática podemos ressaltar: cálculo infinitesimal, teoria das
probabilidades e teoria dos números. Na área da teoria dos números, Fermat criou o maior dos
enigmas da história da matemática, conhecido como o Último Teorema de Fermat. Durante
seus estudos da Aritmética, de Diofante, Fermat se deparou com uma série de observações,
problemas e soluções com relação ao teorema de Pitágoras e os trios pitagóricos. E durante
seu estudo observava e pensava o que poderia acrescer àquele assunto, e começou a brincar
com a equação de Pitágoras, tentando descobrir alguma coisa que escapara à atenção dos
gregos. Em um momento de genialidade que o imortalizaria, criou uma equação que embora
fosse muito semelhante à de Pitágoras, parecia não ter solução. No lugar da equação
𝑥² + 𝑦² = 𝑧², Fermat reformulou a equação, segundo ele parecia não existir um trio de
números que se encaixassem perfeitamente na equação mudando a potência de quadrado para
𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎, 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 , onde 𝑛 representa números inteiros maiores que 2. Na margem de
sua Aritmética, Fermat escreveu uma nota sobre sua observação: “Eu tenho uma
demonstração realmente maravilhosa para esta proposição, mas esta margem é muito estreita
para contê-la”.
Durante os três séculos seguintes, as tentativas de demonstração deste teorema
alavancaram o desenvolvimento da matemática. E matemáticos realmente brilhantes, como
Leonhard Euler, Sophie Germain, Gabriel Lamé, Augustin Cauchy, trabalharam na tentativa
desta demonstração do “Último Teorema de Fermat”. Essas tentativas foram objetos de estudo
desse trabalho e estão descritas ao longo dos capítulos conforme o seu tempo.
Metodologicamente, este trabalho adotou o tipo de revisão bibliográfica no
contexto de produção de conhecimento. Segundo Gil (2008, p.50), “é desenvolvida a partir do
material já elaborado, constituído de livros e artigos científicos”. Apresentando esta pesquisa
como um procedimento metodológico que oferece ao pesquisador uma possibilidade de
acrescer o conhecimento histórico-científico acumulado ao longo de séculos. Para tanto,
9
postula que trabalhar com a pesquisa bibliográfica significa realizar um movimento
incansável de apreensão dos objetivos, de observância das etapas, de leitura, de
questionamentos e de interlocução crítica com o material bibliográfico, e que isso exige
vigilância epistemológica.
O trabalho foi construído a partir das seguintes etapas: pesquisa exploratória de
fontes, coleta de dados, análise e interpretação dos dados. Na primeira etapa, foi feito uma
pesquisa visando obter fontes para a consolidação deste, fazendo uma breve leitura dos
artigos, e excluindo aqueles que não atingem a temática. No que diz respeito à coleta de
dados, foi feito uma leitura exploratória do material, posteriormente uma leitura aprofundada
e em seguida um registro por meio de fichamento das informações coletadas. Na etapa de
análise e interpretação de dados foi realizada uma leitura analítica dos dados coletados com a
finalidade de ordenar e sumariar as informações, bem como interpretá-las de acordo com o
tempo e espaço, possibilitando assim a obtenção de nosso objetivo.
Os principais objetivos a serem atingidos com a realização desse trabalho será a
construção de novos conhecimentos, como conhecer a vida e obra de Pierre de Fermat, que
elaborou o enigma que desafiou os matemáticos de muitas gerações, assim como a
compreensão da importância do Último Teorema de Fermat no desenvolvimento da
matemática através das tentativas de demonstração.
Este trabalho foi dividido em quatro capítulos. O primeiro capítulo discorre sobre
Pierre de Fermat, trazendo uma breve biografia e suas contribuições para a matemática na
teoria das possibilidades e no cálculo infinitesimal. Contudo, o que mais interessava a Fermat,
era um ramo da Matemática chamado teoria dos números, com poucas aplicações práticas
claras. É nesta teoria dos números que se engloba o seu famoso teorema, conhecido como
Último Teorema de Fermat. É também neste capítulo que relatamos como Fermat teve a
genial observação, que intrigou matemáticos de todo o mundo por séculos. O segundo
capítulo Leonhard Euler, descreveremos as contribuições de Euler na tentativa de
demonstração do Último Teorema de Fermat, além de uma breve bibliografia. Já no terceiro
capítulo abordaremos sobre as dificuldades encontradas por Sophie Germain, cujo
pseudônimo Monsieur Le Blanc tornou-se necessário devido ao preconceito encontrado na
época em relação ao estudo formal de mulheres, principalmente na matemática, área até então
dominada pelo sexo masculino. Também serão apresentados os aportes de Sophie Germain na
tentativa de demonstração do Último Teorema de Fermat. E o quarto e último capítulo
apresenta a disputa por um prêmio oferecido pela Academia Francesa de Ciências, que
ofereceu uma série de prêmios, incluindo uma medalha de ouro e três mil francos, ao
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matemático que terminasse com o mistério do Último Teorema de Fermat, tendo como
principais participantes: Gabriel Lamé, Augustin Cauchy e Ernst Kummer.
11
1. PIERRE DE FERMAT E SUAS CONTRIBUIÇÕES
Neste capítulo serão abordadas a vida e obra de Pierre de Fermat, visando situar o
leitor ao contexto histórico, bem como a importância deste gênio amador no desenvolvimento
da matemática a partir das tentativas da demonstração de seu teorema.
1.1 O criador de enigmas
Pierre de Fermat nasceu em agosto de 1601, na cidade de Beaumont-de-Lomagne,
no sudoeste da França. Filho de comerciante, um rico mercador de peles, recebeu educação
esmerada no monastério franciscano de Grandselve, frequentou posteriormente a
Universidade de Toulouse, formando-se em direito pela Universidade de Orleans (1631).
Voltando para Toulouse, durante toda sua vida naquela cidade, ele trabalhou como advogado
e funcionário público. Não há nenhum registro que o jovem Pierre de Fermat mostrasse algum
talento especial para a matemática.
Pressões familiares levaram Pierre para o serviço público, tornando-se um
magistrado muito conceituado. E em 1631 foi nomeado conseiller au Parlament de Toulouse,
conselheiro do Rei no parlamento de Toulouse. Os conselheiros formavam um elo vital entre
a província e Paris. Caso algum cidadão quisesse fazer um requerimento ao Rei, sobre
qualquer natureza, primeiro tinha de convencer aos conselheiros da importância do seu
pedido. Outra função dos conselheiros era tomar providências para que os decretos reais
fossem implementados nas regiões da província. Relatos dizem que Fermat realizava um
trabalho público eficiente, de modo atencioso e humano.
Pierre teve uma ascensão rápida em sua carreira como servidor público e logo se
tornou membro da elite, o que lhe permitia usar o de como parte do seu nome. Sua promoção
rápida foi oriunda de uma praga que devastara a Europa, aqueles que sobreviviam à praga
eram promovidos em prol dos que haviam morrido, essa praga até então desconhecida é a
doença hoje conhecida por Tuberculose. Até mesmo Fermat ficou seriamente doente e em
1652 piorou tanto que chegou a ser anunciada a sua morte.
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Esta era uma época de muita trama e intriga, todos envolvidos com o governo
tinham que ser cautelosos para não se envolverem em maquinações do Cardeal Richelieu,
então primeiro-ministro da França. Fermat adotou a estratégia de cumprir suas funções de
modo eficiente sem chamar atenção. Dedicava toda a energia que lhe restara à matemática,
seu hobby. Pierre era um estudioso amador, chegou a ser apelidado de “Príncipe dos
Amadores”. Julian Coolidge 1 escreveu Matemática dos Grandes Amadores, excluindo Fermat
com a justificativa de que ele “fora tão grande que devia ser considerado profissional”.
Um detalhe importante sobre Fermat é que ele era considerado um matemático
amador, apesar da qualidade de sua produção ter sido excelente, assim sendo não havia uma
preocupação por parte do mesmo de documentar o seu trabalho, visto que seu interesse pela
matemática não era profissional, isto com certeza dificultou o estudo de sua obra, de excelente
qualidade, mas feita de forma amadora. Essa característica da personalidade de Fermat ajudou
a criar o mistério em torno do seu último teorema que não pode ser solucionado de imediato.
Vivendo longe da capital, estava isolado da pequena comunidade de matemáticos
de Paris, entre eles Pascal2, Gassendi3, Roberval4, Beugrand e Padre Marin Mersenne. Embora
Mersenne (1588-1648) tenha produzido poucos avanços científicos, ele desempenhou um
grande papel na matemática do século XVII, servindo como centro de distribuição de
informação. Padre Mersenne era contra o costume de sigilo, tradicional nos matemáticos da
época. O monge organizava encontros regulares entre os matemáticos e chegou a formar o
núcleo do que posteriormente seria a Academia Francesa. Quando alguém se recusava a
comparecer, contava ao grupo o que podia, do trabalho da pessoa em questão, divulgando
inclusive cartas e documentos que lhes foram enviados com pedido de sigilo. O que não era
um comportamento ético para um homem do clero, mas sempre justificava que a troca de
informações beneficiaria a humanidade e a matemática. Mersenne viajava pela França e pelo
exterior divulgando as mais novas descobertas, em suas viagens ele tentou encontrar com
1
Coolidge era um professor de matemática de Harvard e autor de livros, foi vice-presidente do Mathematical
Association of America(MAA) em 1924, quando foi eleito presidente. MAA é a maior organização profissional
que se concentra em matemática, acessíveis em nível de graduação. Os membros incluem universidade, e os
professores. Congratulando com todos os que estão interessados em ciências matemáticas.
2
Blaise Pascal (1623-1662) , foi um físico, matemático, e teólogo francês. Em 1653 descreveu uma apresentação
tabular conveniente para os coeficientes binomiais, agora chamado de triângulo de Pascal.
3
Pierre Gassendi (1592-1655) foi um filósofo, cientista e matemático francês. Recebeu o doutorado em Avignon
e foi ordenado padre no ano seguinte. Persuadido por seu amigo Mersenne a abandonar os estudo matemática e
dedicar-se exclusivamente à filosofia.
4
Gilles Perssone de Roberval (1602-1675) foi um matemático e físico francês. Inventor da balança de Roberval,
além de outras contribuições na matemática.
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Pierre de Fermat e tantos outros matemáticos. Acabou se tornando o contato de Fermat com
os outros matemáticos. Apesar dos esforços do padre, Fermat se recusava a revelar suas
demonstrações. Fermat sentia-se satisfeito em criar novos teoremas. Contudo, não estava em
busca de fama, glória e reconhecimento. O gênio tímido e retraído tinha um toque travesso,
quando combinado ao sigilo, se comunicava com os demais matemáticos unicamente para
zombar deles. Uma vez que expunha seus teoremas, mas sem a respectiva demonstração,
desafiando os contemporâneos a encontrarem a prova do seu teorema. Renné Descartes
chamou Fermat de “fanfarrão”, enquanto John Wallis5 se referia a ele como “aquele maldito
francês”.
1.2 Das contribuições de Fermat para Matemática
1.2.1 Teoria das Probabilidades
Blaise Pascal pressionou Fermat para que publicasse alguns de seus trabalhos, e o
príncipe dos amadores respondeu: “Eu não quero que meu nome apareça em qualquer
trabalho meu que seja considerado digno de ser publicado.”. Essa troca de cartas com Pascal
levou Fermat a discutir ideias com outra pessoa que não Mersenne.
Juntos, discutiram a criação de um novo ramo da matemática, a teoria da
probabilidade, a partir de um problema apresentado a Pascal por um jogador profissional
parisiense, Antoine Gombaud,o jogo de azar, chamado pontos. Este, consistia em ganhar
pontos em um jogo de dados onde o primeiro jogador ao acumular certo número de pontos é o
vencedor e leva todo o dinheiro. Em uma dada situação Gombaud foi forçado a sair no meio
da partida. Surgiu então a questão do que fazer com o dinheiro, a solução mais simples era dar
todo o dinheiro ao jogador com o maior número de pontos. Entretanto, Gombaud perguntou a
Pascal se haveria uma forma mais justa de dividir o dinheiro. Pascal deveria calcular a
probabilidade de cada jogador vencer, presumindo-se que tivessem chances iguais. De modo,
que a quantia envolvida fosse divida conforme as probabilidades calculadas. Pascal começou
a troca de correspondências com Fermat com objetivo de descobrir as leis matemáticas que
mais precisamente descrevessem as leis do acaso. Pascal e Fermat eram capazes de resolver
independentemente o problema de Goumbaud, no entanto essa questão corroborou na
5
John Wallis (1616- 1703) foi um matemático britânico cujos trabalhos sobre o cálculo foram precursores aos de
Isaac Newton.
14
descoberta de uma solução e os indicou o novo ramo da matemática a mais recente descoberta
teoria da probabilidade, tão logo eram capazes de questões das mais sutis e sofisticadas
relacionadas à probabilidade. As questões da probabilidade às vezes provocam polêmicas
porque a resposta matemática é frequentemente contrária ao que a intuição sugeriria. Um dos
problemas clássicos de probabilidade contra intuitiva é a chance de partilhar com outra pessoa
o mesmo dia de aniversário.
Imagine-se um campo de futebol com 23 pessoas, dois times de 11 jogadores
e o juiz. Qual a probabilidade de que duas dessas 23 pessoas façam
aniversário no mesmo dia?
R: A Probabilidade de se compartilhar o aniversário com alguém com grupo
de 23 pessoas é exatamente 50,7%.
Pascal e Fermat definiram as regras essenciais que regem todos os jogos de azar
que podem ser usados pelos jogadores para estabelecerem melhores estratégias e jogadas
perfeitas. As leis da probabilidade encontraram suas aplicações em uma série de questões,
desde as especulações no mercado de ações, à estimativa da possibilidade de ocorrer um
acidente nuclear e hoje seu uso é indispensável à indústria farmacêutica, entre outras
incontáveis aplicações.
1.2.2 Cálculo Infinitesimal
Fermat ainda esteve envolvido em estudos de outro campo matemático, o Cálculo
Diferencial e Integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente Cálculo.
Cálculo é a capacidade de se calcular a taxa com que uma quantidade muda em relação à
outra. Exemplo disso é a velocidade, a taxa com que a distância muda em relação ao tempo.
Os estudos de Fermat permitiram que cientistas entendessem melhor os conceitos
fundamentais como velocidade e aceleração (baseados na taxa de variação).
Durante muito tempo acreditou-se que Isaac Newton tinha inventado o cálculo
independentemente e sem conhecimento do trabalho de Fermat. Até que em 1934, Louis
Trenchard Moore descobriu uma nota que decidiu esse impasse e deu a Fermat o crédito que
lhe era de direito. Newton escreveu que tinha desenvolvido seu cálculo baseado no “método
de monsieur Fermat para estabelecer tangentes.”. Desde o século XVII o cálculo tem se
desenvolvido e sido usado para descrever a Lei da Gravidade, suas leis mecânicas, grandezas
que envolvem campos escalares, vetoriais, e muitas outras grandezas.
15
Os trabalhos de Pierre de Fermat no desenvolvimento do cálculo e da teoria da
probabilidade já eram o bastante para dar um lugar na galeria de honra da matemática. No
entanto, suas maiores realizações emergem de outro campo da matemática.
1.2.3 Teoria dos Números
Fermat era fascinado em compreender as propriedades e relações entre os
números. Está é a forma mais antiga e pura da matemática que tivera esquecida desde a época
de Pitágoras. Não há registros que Fermat tenha adquirido o interesse pela matemática sob a
influência de algum tutor. Foi a cópia da Aritmética que se tornou seu mestre. A Aritmética
de Diofante6 apresentava cerca de mil anos de conhecimento matemático, através de uma
série de problemas e soluções, onde se encontrava conhecimento de gênios como Pitágoras e
Euclides. A Aritmética que inspirava Fermat era uma tradução para o latim, feita por Claude
Gaspar Bachet de Méziriac 7, diga-se por passagem o homem mais culto da França. Além de
um excepcional linguista, poeta e estudioso dos clássicos, Bachet era fascinado por problemas
matemáticos. Embora tivesse esse fascínio pela matemática, Bachet percebeu que os
problemas de Diofante estavam em um nível elevado e mereciam um estudo mais profundo.
Razão pela qual resolveu traduzir o livro de Diofante e publicá-lo, afim de que as técnicas dos
gregos fossem retomadas.
A Aritmética era constituída por problemas, e para cada um deles Diofante
apresentava uma solução detalhada. Cuidado esse que Fermat jamais tivera, ele não estava
interessado em escrever um livro-texto para futuras gerações. Ele só buscava a satisfação
pessoal em ter resolvido um problema. Ao tempo que estudava os problemas e as soluções de
Diofante, Fermat era instigado a pensar em outras questões mais sutis e enfrentá-las. Mas para
tanto se limitava a escrever o que achava necessário para convencer a si mesmo de que tinha
uma solução e então não se importava em registrar o resto da demonstração. Usualmente,
atirava suas anotações ao lixo e passava aos problemas seguintes. Para felicidade dos
6
"Arithmética" está escrita em grego, e contempla um tratado analítico de teoria algébrica dos números e é
constituída por 13 livros, uma coleção de 150 problemas que o autor resolve por operações puramente
numéricas. Importante originalidade de Diofanto que faz desaparecer a antiga distinção entre a logística (arte de
cálculo com a resolução de problemas sobre números concretos) e a aritmética propriamente dita (tratamento
teórico das propriedades abstratas dos números).
7
Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) foi teólogo, matemático, poeta latinista, francês. Méziriac
falava hebraico, grego, latim, italiano, espanhol e francês.
16
matemáticos a edição da Aritmética de Bachet, tinha uma grande margem em torno do texto, e
por vezes Fermat escrevia comentários e fórmulas apressadamente nessas bordas.
Uma das descobertas são os chamados números amistosos, ou números amigos.
Eles estão ligados aos números perfeitos, números estes que haviam fascinado Pitágoras.
Números amigáveis são pares de números onde um deles é a soma dos divisores do outro. Os
pitagóricos tinham feito a descoberta extraordinária do par 220 e 284. Até 1636 não se
descobriu nenhum outro par amigável. Foi quando Fermat anunciou sua descoberta, os
amigáveis 17.296 e 18.416. Ainda que não fosse uma descoberta profunda, demonstra a
familiaridade de Fermat com os números.
Fermat descobriu ainda que 26 era o único número preso entre um quadrado ( 25
= 5² = 5x5) e um cubo ( 27 = 3³ = 3x3x3). Pierre anunciou essa propriedade única do número
26 para a comunidade matemática e os desafiou a provar que era verdadeira tal propriedade,
admitindo abertamente que tinha uma demonstração. Embora parecesse relativamente
simples, a demonstração dessa propriedade é tremendamente complicada. E o príncipe dos
amadores se divertia desafiando os matemáticos ingleses Wallis e Digby 8, que por fim
admitiram-se derrotados.
O criador de Enigmas, Pierre de Fermat, ainda estudara sobre outros assuntos, os
quadrados mágicos. Que consistem em uma matriz numérica quadrada em que as somas das
linhas, das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas. Se os dígitos forem
colocados aleatoriamente na matriz, o tempo necessário para a formação destas matrizes
especiais era calculado em 40 dias de trabalho ininterrupto para a conclusão da tarefa. De
qualquer forma parece natural que os primeiros interessados em resolver este problema
tenham procurado soluções menos demoradas. Todavia, com o aparecimento dos
computadores, essa procura não fez mais sentido, pois eles calculam facilmente matrizes de
ordem grande.
Uma de suas obras mais inspiradas, o que hoje é conhecido como o Pequeno
Teorema de Fermat, surgiu a partir de seus estudos sobre os números primos. Fermat
formulou ainda um processo de verificação de não primalidade. E sabia, baseado em seu
estudo dos números primos, que estes (exceto o 2) podem ser escritos da forma 4𝑛 + 1 ou
4𝑛 − 1. Além disso, por sua insistência em não demonstrar os teoremas que enunciara, alguns
de seus teoremas acabaram por serem reconhecidos pelo nome de quem os demonstrou. O
8
Kenelm Digby ( 1603 - 1665 ) foi um filósofo Inglês , cortesão e diplomata. Sem se formar, participou da
Universidade de Oxford, ensinado por Thomas Allen.
17
caso do “Teorema dos Quatro Quadrados de Lagrange”, demonstrado em 1770. “Todo o
inteiro positivo é a soma de no máximo quatro quadrados perfeitos.”
Durante seus estudos da Aritmética, Fermat se deparou com uma série de
observações, problemas e soluções com relação ao teorema de Pitágoras e os trios pitagóricos.
E durante seu estudo observava e pensava o que poderia acrescer àquele assunto, e começou a
brincar com a equação de Pitágoras, tentando descobrir alguma coisa que escapara à atenção
dos gregos. Em um momento de genialidade que imortalizaria o Príncipe dos Amadores, criou
uma equação que embora fosse muito semelhante à de Pitágoras, que parecia não ter solução.
No lugar da equação 𝑥² + 𝑦² = 𝑧², Fermat reformulou a equação mudando a potência de
quadrado para cubo 𝑥³ + 𝑦³ = 𝑧³. No entanto, sua nova equação aparentemente não teria
solução para qualquer inteiro. A partir de tentativas e erros logo mostrou dificuldade em
encontrar dois números que elevados ao cubo e somados, produzam outro número elevado ao
cubo. Fermat, alterou novamente sua equação, trocando a potência para números maiores que
3 e descobrindo novamente que sua busca por soluções era igualmente difícil. Segundo Pierre
parecia não existir um trio de números que se encaixassem perfeitamente na equação 𝑥 𝑛 +
𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 , onde 𝑛 representa números inteiros maiores que 2. Novamente na margem de sua
Aritmética, Fermat escreveu uma nota sobre sua observação. ‘‘É impossível para um cubo ser
escrito como a soma de dois cubos ou quarta potência ser escrita como soma de dois números
elevados a quatro, ou, em geral, para qualquer número que seja elevado a uma potência maior
do que dois ser escrito como a soma de duas potências semelhantes.’’(SINGH, 2008, p.80)
Depois da primeira nota na margem, esboçando sua teoria, Fermat em seu
momento de genialidade adicionou o comentário que assombraria gerações de matemáticos:
“Cuius rei demostrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas
non caperet.
Eu tenho uma demonstração realmente maravilhosa para esta proposição mas
esta margem é muito estreita para contê-la. ” (SINGH, 2008, p.80)
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FIGURA 1: Página que contém a célebre observação de Pierre de Fermat
Fonte: (SINGH, 2008, p.83)
Fermat nunca falou sobre a sua prova a ninguém, o Último Teorema de Fermat,
como mais tarde seria nomeado. Tornar-se-ia o teorema mais famoso no mundo inteiro pelos
séculos seguintes, e intrigariam inúmeros matemáticos durante muitas gerações.
O mérito da descoberta desta proposição se deve ao seu filho mais velho, que
percebeu várias notas de Fermat em um livro de Aritmética que pertencia a este, pois o
mesmo tinha o hábito de fazer anotações em livros. Após a descoberta pelo filho, essas notas
foram publicadas no livro Arithmetica de Diofanto Contendo Observações por P. de Fermat,
em 1670, o livro apresentava 48 observações sem, no entanto, solucionar as demonstrações,
que foram provadas ao longo do tempo, menos uma que justamente por ter sido a última,
ficou conhecida como o último teorema de Fermat.
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2. TENTATIVA DE DEMONSTRAÇÃO LEONHARD EULER
Nesta seção descreveremos as contribuições de Leonard Euler na tentativa de
demonstração do Último Teorema de Fermat, além de uma breve bibliografia.
Filho de Paul Euler, pastor calvinista, nasceu em Basiléia, cidade francesa, em
1707. Foi seu pai quem lhe introduziu nos primeiros estudos de matemática. Basiléia era o lar
da família Bernoulli, a mais matemática das famílias, tendo produzido oito das mentes mais
brilhantes da Europa em apenas três gerações.
Quando chegou à adolescência, Euler mudou-se para Basel para estudar,
preparando-se para o curso de teologia na Universidade. Embora fosse muito religioso, Euler
não se acalorou com o estudo da teologia. Daniel e Nikolaus Bernoulli eram muito amigos de
Euler e foram os mesmos que perceberam que o mais brilhante dos matemáticos estava sendo
transformado no mais medíocre dos teólogos. Juntos, os Bernoulli intercederam ante a Paul,
para que Leonhard deixasse o clero em favor dos números, consentindo que Euler mudasse
para a matemática. François Aragoum, acadêmico francês, disse a respeito de Leonhard:
“Euler calcula sem qualquer esforço aparente, como os homens respiram e as águias se
sustentam nos ventos.”.
Terminado o curso, foi convidado a assumir a cadeira de um professor falecido na
Universidade de São Petersburgo. Como não fora selecionado para a cadeira de física da
Universidade de Basel, aceitou o primeiro convite e, em 1727, mudou-se para a Rússia. Época
em que acreditavam que os matemáticos estavam perdendo tempo com enigmas ingênuos.
Enquanto a matemática deveria ser aplicada ao mundo físico, conforme pensava Sir Isaac
Newton.
Em 1736-37 Euler publicou seu livro Mechanica, que tratou extensivamente da
análise matemática da dinâmica newtoniana pela primeira vez. Na mesma época que seus
problemas de saúde iniciaram. Euler era constantemente atormentado por fortes crises febris,
e desenvolveu catarata, que acabou por lhe tirar a visão. Embora sua saúde tivesse abalada,
sua reputação se firmava cada vez mais. E sua obra chegou a lhe render dois prêmios da
Academia de Paris, em 1738 e 1740, que culminaram na oferta de trabalho em Berlim. Ele era
tão entusiasmado com a matemática inovadora e engenhosa, que sua paixão o levava a
20
escrever inúmeros trabalhos em um único dia. E diziam que durante o primeiro e o segundo
chamado para o jantar, tentava esboçar os cálculos mais complexos e dignos de serem
publicados. Euler não desperdiçava um momento sequer, enquanto segurava um bebê em uma
das mãos com a outra estava escrevendo uma demonstração em um pedaço de papel.
Chegou à Alemanha como diretor de uma matemática inovadora. Os aportes de
Euler para a Academia foram notáveis. Ele supervisionava o observatório e o jardim botânico,
selecionava pessoal,
gerenciava
várias questões financeiras. Coordenou também a
publicação de mapas geográficos, uma fonte financeira para a Academia. Trabalhou na
publicação de trabalhos científicos através de comitês. Não o bastante, trabalhou ainda em sua
própria produção científica que neste período foi excepcional. Durante os 25 anos que morou
em Berlim, Leonhard escreveu cerca de 380 artigos, livros sobre cálculo de variações e
órbitas dos planetas, sobre artilharia e balística, construção naval e navegação, sobre o
movimento da Lua, cálculo diferencial e uma obra científica para leigos: Letters to a Princess
of Germany (Cartas a uma Princesa da Alemanha).
Quando Euler deparou-se com o Último Teorema de Fermat, lhe pareceu tão
simples quanto ao problema das pontes9, tentando resolvê-lo com uma estratégia similar.
Imaginou que se pudesse provar que uma das equações não tinha solução, poderia extrapolar
o resultado para todas as outras restantes, tento em vista que se trata de um conjunto finito de
equações para 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 , para n inteiro e maior que 2. Seu trabalho frente a essa questão
alavancou ao descobrir uma pista ainda não revelada nas anotações de Fermat. Que descrevia
uma demonstração disfarçada para o caso específico 𝑛 = 4. Esta demonstração trata-se de um
dos cálculos mais completos apresentado pelo criador de enigmas, embora os detalhes fossem
vagos e incompletos, onde claramente ilustram uma prova por contradição conhecida por
Método da Descida Infinita.
Uma demonstração pelo Método da Descida Infinita é um tipo particular de prova
por contradição, que assenta no princípio da boa ordenação dos números inteiros positivos. É
na maioria das vezes aplicado quando se pretende provar que não existe uma solução com
uma determinada propriedade. Primeiro assumimos que existe um número inteiro positivo 𝑥
que satisfaz a propriedade em questão. De seguida deduz-se que existe um outro inteiro
positivo 𝑥1 , com 𝑥1 < 𝑥, que também verifica a mesma propriedade. Repetindo este
9
Sete pontes de Königsberg, é um famoso problema histórico da matemática resolvido por Leonhard Euler em
1736, cuja solução negativa originou a teoria dos grafos.
21
procedimento construímos uma sequência infinita decrescente de valores positivos 𝑥 > 𝑥1 ⋯,
o que é impossível. Este método foi desenvolvido por Fermat e utilizado nas demonstrações
de várias proposições relativas a propriedades de números inteiros.
Fermat poderia demonstrar que para esta suposição 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 existente, então
existiria uma solução menor (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ). E para a segunda solução existisse uma solução
ainda menor (𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 ), e assim em diante. Teria então descoberto uma escadaria
descendente de solução que, teoricamente, gerariam soluções cada vez menores. No entanto,
𝑥, 𝑦, 𝑒 𝑧 devem ser números inteiros e, por sua vez a escadaria infinita é um absurdo. Usando
a mesma técnica, Fermat tinha demonstrado que a equação com 𝑛 = 4 não poderia ter
qualquer solução, pois se tivesse as consequências seriam ilógicas.
Euler utilizou isso como ponto inicial para construir uma demonstração para todas
as equações possíveis, ou seja, 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 , ainda criar uma prova para 𝑛 = ∞ e 𝑛 = 3,
sendo o primeiro degrau para baixo que tentara. Em carta ao matemático Christian
Goldbach10, divulgou um método adaptado com sucesso da descida infinita de Fermat para o
caso 𝑛 = 3, em 4 de agosto de 1753. O primeiro passo para a demonstração do último
teorema nos últimos cem anos. Para fazer tal demonstração Euler teve de incorporar um novo
conceito, conhecido como números imaginários, uma entidade que fora descoberta pelos
europeus do século XVI. Leonhard mostrou que ao incorporar o i em sua prova, ele poderia
tapar os buracos na demonstração e forçar o método da descida infinita a funcionar para o
caso 𝑛 = 3. Foi uma realização admirável, mas uma realização que ele não conseguira repetir
para os demais casos englobados para o Último Teorema de Fermat. Fora em vão as tentativas
de utilizar deste método para os outros casos, pois quando descendo infinitamente terminavam
no fracasso. E o mais brilhante matemático fora humilhado ante ao desafio de Fermat.
Todavia, continuara a criar uma matemática brilhante. E sua perda da visão foi
avançando, quando a Academia de Paris ofereceu um prêmio pela solução de um problema da
Astronomia. O problema era tão difícil que a comunidade matemática pediu vários meses para
produzir uma solução, mas não era preciso para Euler. Que se tornou obcecado pelo
problema, trabalhando continuamente por três dias. Mas as péssimas condições de trabalho
concomitante a tensão custaram a ele a visão de um dos olhos aos vinte e poucos anos.
Contudo não se abatera, afirmava que “agora teria menos distrações”. Posteriormente aos
10
Christian Goldbach (Königsberg, Brandemburgo-Prússia, 1690 - 1764) foi um matemático prussiano.
Goldbach é reconhecido por suas contribuições à resolução de problemas no domínio da matemática. É
conhecido pela conjectura de Goldbach.
22
sessenta anos, sua situação se agravou consideravelmente, quando uma catarata no olho
perfeito indicou que se tornaria completamente cego. Porém, estava determinado a não se
entregar e desenvolveu a prática da escrita com o olho fechado, e dentro de poucas semanas
estava completamente cego. E continuou com suas produções matemáticas pelos dezessete
anos seguintes sendo mais produtivo que nunca. Seus colegas comentavam que a cegueira lhe
teria ampliado os horizontes da imaginação. E continuara trabalhar até 18 de setembro de
1783, quando “Euler deixou de viver e calcular”, nas palavras do filósofo e matemático
Marquês Condorcet.
2.1 Consequências dos estudos de Euler ante ao Último Teorema de Fermat
Embora o avanço feito pelos matemáticos fosse lento, a situação não era tão ruim
quanto parecia. A demonstração para o caso 𝑛 = 4 também serve de prova para os casos
𝑛= 8, 12, 16, 20,... . Qualquer número que possa ser escrito como uma potência de 8 (ou de
12, 16, 20, . . . ) pode também ser reescrito como potência de 4. O número 256 é igual a 28,
mas também é potência de 44. Usando o mesmo método, a demonstração de Euler também
prova as hipóteses 𝑛 = 6, 9, 12, 15. ..
Subitamente os números estavam rolando e Fermat parecia vulnerável.
A
demonstração para o caso 𝑛 = 3 é um exemplo de número primo. Outros números primos são
5, 7, 11, 13, ⋯ . Todos os números não-primos são múltiplos de números primos e recebem o
nome de números compostos. Deste modo as equações restantes são reduzidas. Por exemplo,
para os valores de 𝑛 𝑎𝑡é 20, teríamos de demonstrar apenas seis casos. A demonstração de
que existe uma infinidade de números primos vêm da época de Euclides, com sua clássica
demonstração que existe uma finita lista de números primos conhecidos e então mostrou que
deve existir um número infinito de acréscimos a esta lista.
Existem 𝑛 números primos na lista finita de Euclides, que são chamados de
𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , … , 𝑝𝑛 ). Euclides então pôde gerar um novo número 𝑄𝑎 de modo que:
𝑄𝑎 = (𝑝1 ∗ 𝑝2 ∗ 𝑝3 ∗ ⋯ ∗ 𝑝𝑛 ) + 1.
23
3. TENTATIVA DE DEMONSTRAÇÃO DE SOPHIE GERMAIN
Nesta seção discorreremos sobre as dificuldades encontradas por Sophie Germain,
cujo pseudônimo Monsieur Le Blanc tornou-se necessário devido ao preconceito encontrado
na época em relação ao estudo formal de mulheres principalmente na matemática, área até
então dominada pelo sexo masculino. Também serão apresentados os aportes de Sophie
Germain na tentativa de demonstração do Último Teorema de Fermat.
Muitos matemáticos, de ambos os sexos, são de famílias de matemáticos,
originando a brincadeira sobre a existência do gene matemático. Mas no caso das mulheres a
porcentagem é particularmente alta, a explicação mais provável é que se a mulheres com
potencial nunca teve contato com a disciplina ou fora encorajada a estudá-la, seria diferente
frente às filhas de professores que não puderam evitar a viverem rodeadas de números.
Sophie nasceu em 1º de abril de 1776, filha do comerciante Ambroise-François
Germain. Sua vida fora dominada pelas agitações da Revolução Francesa, ano em que
descobriu seu amor pelos números, foi o mesmo da Queda da Bastilha. Seus pais eram
financeiramente bem-sucedidos, porém, não pertenciam à aristocracia. Ainda que as mulheres
da classe social de Germain não fossem estimuladas a estudar matemática, elas deveriam ter
conhecimentos suficientes do assunto para poder debatê-lo.
O despertar de Sophie para a matemática aconteceu quando encontrou na
biblioteca de seu pai o livro de Jean-Étienne Montucla11, A história da matemática. O capítulo
em que mais lhe despertou interesse foi a respeito das descobertas de Arquimedes,
principalmente ao que disse respeito a sua morte. Diz a lenda que, durante a invasão (do
Exército Romano), Arquimedes estava tão entretido, estudando uma figura geométrica
desenhada na areia da praia que deixou de responder a uma pergunta de um soldado romano.
E o soldado o matou com uma lança.
Sophie concluiu que, se alguém pudera morrer por estar tão envolvido a um
problema de geometria, então a matemática deveria ser o assunto mais interessante do mundo.
Desse dia em diante passou a aprender o básico sobre teoria dos números e cálculo, tão logo
passou a dormir tarde para estudar os trabalhos de Euler e Newton.
11
Jean-Étienne Montucla (Lyon, 1725 - 1799) foi um matemático e escritor francês. Ficou conhecido por ter
elaborado uma história da matemática em vários volumes.
24
No entanto, este interesse subido para um assunto pouco feminino deixou seus
pais preocupados. Até que o pai de Sophie lhe tomou as velas, agasalhos e removeu todo o
equipamento de aquecimento de seu quarto a fim de impedi-la de estudar. E Germain reagiu
mantendo um estoque secreto de velas e enrolando em roupas de cama. Algumas noites eram
tão frias que a tinta da caneta congelava dentro do tinteiro, e nem o frio a deteve. Diante da
determinação de Sophie, seus pais foram vencidos e deram seu apoio, até custeando suas
pesquisas. Por muitos anos, ela estudara sozinha, uma vez que não havia matemáticos na
família para que lhes trouxessem as últimas ideias e descobertas. E não obstante, seus
professores não a levara a sério e negavam ajuda.
Até que em 1794, a École Polytechnique foi inaugurada em Paris. Uma academia
de elite para treinamento de cientistas e matemáticos para o país. Ante sua timidez que a
impedia de enfrentar corpo de diretores da academia, passou a estudar secretamente na École,
assumindo a identidade de um ex-aluno Monsieur Antoine-August Le Blanc. Germain
imprimia tudo que era destinado a Le Blanc, resumos das aulas e problemas, e a cada semana
entregava as respostas dos problemas através deste pseudônimo.
Tudo ocorrera bem até que o supervisor do curso, Joseph-Louis Lagrange12, não
pode mais ficar indiferente ao talento demonstrado nas respostas de Le Blanc. Pois suas
respostas
eram
maravilhosamente
engenhosas
e
demonstrava
uma
transformação
extraordinária de um estudante antes conhecido pelos seus péssimos cálculos. Até que
Lagrange solicitou um encontro com o estudante recuperado e Germain foi forçada a revelar
sua identidade. Lagrange ficou atônito ante a revelação e imediatamente tornou-se seu amigo
e mentor. Finalmente, Sophie Germain encontrara um professor que poderia lhe abrir
horizontes a respeito de seus talentos e ambições.
Foi quando se tornou interessada na teoria dos números e acabou tomando
conhecimento do Último Teorema de Fermat. Teorema no qual trabalhou durante anos e
acreditava ter feito uma grande descoberta. Porém, precisava debater suas ideias com outro
teórico dos números e resolveu ir direto ao topo, consultando o maior teórico do mundo, Carl
12
Joseph-Louis Lagrange (Turim, 1736 - 1813) foi um matemático italiano. Conhecido por Polinômio de
Lagrange, Função de Lagrange, Mecânica de Lagrange, Multiplicadores de Lagrange, Pontos de Lagrange,
Teorema de Lagrange, foi o primeiro a formular o Teorema do Valor Médio (TVI).
25
Friedrich Gauss13. Em sua carta a Gauss, Germain mostrou sua descoberta, que consistia em
provar vários casos de uma só vez. Tomando como base um número primo 𝑝, de modo que
(2𝑝 + 1) também fosse primo. O que não incluía todos os números primos, mas grande parte
deles.
Germain desenvolveu
um
argumento
ardiloso
para
demonstração
que
provavelmente não existiam soluções para 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 para valores de 𝑛 iguais a esses
primos de Germain. Com o “provavelmente” ela queria dizer que era improvável as soluções
porque se existisse uma solução então 𝑥, 𝑦, 𝑧, seriam múltiplos de 𝑛 e isso colocaria uma série
de exceções em qualquer solução. Seus colegas examinaram sua lista de primos um por um,
tentando provar que 𝑥, 𝑦 e 𝑧 poderiam não ser múltiplos de 𝑛 e acabaram comprovando que
para aqueles valores particulares de 𝑛 não possuía soluções.
Em 1825 o método teve seu primeiro sucesso completo. Gustav LejeuneDirichlet14 e Adrien-Marie Legendre15, dois matemáticos separados por uma geração, de
maneira independente, ambos foram capazes de provar o caso 𝑛 = 5, baseados nos trabalhos
de Sophie Germain. Quatorze anos após o ocorrido, Gabriel Lamé conseguiu a demonstração
do caso 𝑛 = 7. Germain teria mostrado o caminho de como eliminar um conjunto de números
primos e agora os demais esforços caberiam aos seus colegas para a demonstração do Último
Teorema, um caso por vez.
A troca de informações entre Monsieur Le Blanc e Gauss continuou, até que
Sophie teve que revelar sua identidade. Uma vez que ao pedir um favor a um general, amigo
seu, disse a Gauss que ele deveria sua vida a Mademoiselle Sophie Germain, ocasião em que
Napoleão Bonaparte invadiria a Prússia. Em sua próxima carta Sophie revelou sua identidade
e longe de ficar zangado com o engano, Gauss escreveu profundamente encantado á
Mademoiselle Sophie Germain:
Como descrever minha admiração e espanto ao ver meu estimado correspondente,
Monsieur Le Blanc, se transformar na ilustre personagem que dá um exemplo tão
brilhante de algo que eu teria achado difícil de acreditar. O gosto pelas ciências
13
Johann Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 1777- 1855), foi um matemático, astrônomo e físico alemão que
contribuiu muito em diversas áreas da ciência, dentre elas a teoria dos números, estatística, análise
matemática, geometria diferencial, geodésia, geofísica, eletroestática, astronomia e óptica.
14
Johann Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (Düren, 1805 - 1859) foi um matemático alemão, a quem se atribui a
moderna definição formal de função.
15
Adrien-Marie Legendre (Paris, 1752 - 1833) foi um matemático francês. Fez importantes contribuições
à estatística, teoria dos números, álgebra abstrata e análise matemática. A cratera lunar Legendre tem esse nome
em sua homenagem.
26
abstratas em geral, e acima de tudo pelos mistérios dos números, é tão raro que a
admiração é imediata. O charme desta ciência tão sublime se revela apenas para
aqueles que possuem a coragem para nela mergulhar profundamente. Mas quando
uma pessoa de seu sexo, que de acordo com nossos costumes e preconceitos, deveria
encontrar dificuldades infinitamente maiores para se familiarizar com estas
pesquisas espinhosas, consegue superar os obstáculos e penetrar nas partes mais
obscuras, então ela deve, sem dúvida, possuir uma nobre coragem, talentos
extraordinários e gênio superior. De fato, nada seria para mim tão lisonjeiro e menos
equivocado do que saber que as atrações desta ciência, que enriqueceu minha vida
com tantas alegrias, não são quimeras e se igualam na predileção com que a tem
honrado. (SINGH, 2008, p.123)
E as correspondências entre Carl Gauss e Germain continuaram até que em 1808
foi rompido bruscamente. Gauss foi nomeado professor de Astronomia na Universidade de
Göttingen e seus estudos se transferiram da Teoria dos Números para a Matemática Aplicada.
Sem seu mestre, a confiança de Sophie diminuiu e um ano depois, abandonou a
matemática pura. Iniciando uma carreira brilhante na física, tendo um importante trabalho
“Memória sobre as vibrações de placas elásticas”, que fundamentou a teoria da elasticidade.
27
4. TENTATIVA DE DEMONSTRAÇÃO DE GABRIEL LAMÉ,
AUGUSTIN CAUCHY, ERNST KUMMER.
Este capítulo será reservado a descrevermos as contribuições de Gabriel Lamé,
Augustin Cauchy, Ernst Kummer, que desenvolveram seus respectivos trabalhos
simultaneamente e contribuíram expressivamente para a tentativa de demonstração do Último
Teorema de Fermat.
Após as descobertas de Sophie Germain, a Academia Francesa de Ciências
ofereceu uma série de prêmios, incluindo uma medalha de ouro e três mil francos, ao
matemático que terminasse com o mistério do Último Teorema de Fermat. Os salões de Paris
ficaram cheios de boatos, sobre qual estratégia seria adotada, pois além do prestígio de
desvendar o maior dos mistérios matemáticos da história, ainda havia uma valiosa
recompensa.
Até que, no dia 1º de março de 1847, a Academia teve a reunião mais dramática
de sua história. A ata descreve o modo na qual Grabriel Lamé, o mesmo que anos antes
provou o caso de 𝑛 = 7, subiu ao pódio diante dos mais importantes matemáticos de sua
época e anunciou que estava muito próximo da demonstração do Último Teorema de Fermat.
Admitindo que a prova ainda estivesse incompleta, no entanto, delineou o método e previu
que dentro das próximas semanas publicaria a demonstração concluída no Jornal da
Academia.
Toda a audiência ficou perplexa quando Lamé desceu do pódio, e Augustin-Louis
Cauchy pediu a palavra. Cauchy anunciou que estivera trabalhando em uma abordagem
semelhante à de Lamé, e que também estava a ponto de publicar a demonstração completa.
Ambos, Cauchy e Lamé, perceberam que a questão do tempo era crucial, pois aquele que
publicasse primeiro receberia o prêmio mais valioso e de maior prestígio da matemática.
Desse modo, três semanas após o anuncio, ambos depositaram envelopes lacrados no cofre da
Academia. Uma prática muito comum para a época, que permitia aos matemáticos fazerem
um registro sem revelar os detalhes exatos de seu trabalho. Porque, se tardiamente emanasse
uma disputa quanto à originalidade das ideias, os envelopes lacrados forneceriam a evidência
necessária para estabelecer a prioridade.
28
As expectativas frente aos acontecimentos iriam aumentando, à medida que
Cauchy e Lamé publicaram detalhes ainda que vagos, mas fascinantes de suas demonstrações
no Jornal da Academia. Embora toda a comunidade matemática estivesse ansiosa pela
demonstração, muitos torciam para Lamé e não para que Cauchy fosse o vencedor da corrida.
Cauchy era conhecido como um hipócrita, fanático religioso, enfim uma pessoa impopular,
que somente era tolerado por seu talento.
Novamente ocorre um fato inesperado. No dia 24 de maio, Joseph Liouville 16 faz
um anuncio, chocando a comunidade com o assunto, quando leu em voz alta a carta do
matemático Ernst Kummer, após analisar os detalhes que Cauchy e Lamé haviam se atrevido
a publicar. Ficou claro que ambos estavam caminhando para o mesmo beco sem saída da
lógica. Kummer era um dos maiores teóricos dos números de todo o mundo, todavia, durante
boa parte de sua carreira, seu talento foi lesado pelo patriotismo acentuado e um ódio contra
Napoleão Bonaparte. O erro delineado por Kummer em sua carta era um problema
fundamental e diz respeito à propriedade conhecida como fatoração única. A fatoração diz
que só existe uma combinação de números primos que ao serem multiplicados, produzirão
determinado número. Do mesmo modo, os números são unicamente fatorados. A fatoração
única foi descoberta por Euclides, ele provou ser verdade para todos os números naturais e
sua demonstração estava descrita em um dos seus Elementos, que hoje é chamada de teorema
fundamental da aritmética.
A princípio não havia motivos para Cauchy e Lamé não utilizarem deste teorema
como centenas de matemáticos já o tinham feito antes. Excepcionalmente, ambas as
demonstrações envolviam números imaginários, no entanto este argumento havia sido
demonstrado apenas para os números naturais e poderia se tonar falsa quando introduzidos os
números imaginários.
Tal carta teve um efeito devastador sobre Lamé. Na melhor das hipóteses, a
suposição da fatoração única tinha sido excesso de otimismo e, na pior das hipóteses, uma
tremenda tolice. Lamé percebeu que se tivesse sido mais aberto com seu trabalho o erro teria
sido detectado mais cedo. Enquanto Lamé se sentia humilhado, Cauchy recusava a derrota.
16
Joseph Liouville (Saint-Omer, 1809 - 1882) foi um matemático francês. Doutorou-se em matemática em 1836
pela Faculdade de Ciências de Paris. Embora tenha trabalhado em todas as áreas da matemática pura e aplicada,
é, sobretudo conhecido por: o teorema de Liouville, autor da primeira demonstração da existência de números
transcendentes, ter sido a primeira pessoa a demonstrar que certas funções não têm primitivas elementares ( por
2
ex.: 𝑒 𝑥
29
Pois ao comparar ambas as demonstrações, a sua era a que menos dependia do teorema
fundamental da aritmética. E durante várias semanas Kummer continuou a publicar artigos a
respeito do assunto, até que, pelo findar do verão, se calou.
Toda essa situação fora abordado por Cauchy em 1857 quando escreveu o
relatório final da Academia sobre o prêmio para o Último Teorema de Fermat:
Onze trabalhos foram apresentados ao secretário. Nenhum solucionou a questão
proposta. Assim, depois de ser apresentado muitas vezes como objetivo do premio, o
problema continua no ponto em que o Monsieur Kummer o deixou. Contudo, os
matemáticos devem se congratular pelos trabalhos realizados pelos geômetras em
seu desejo de resolver o problema. Em especial o Monsieur Kummer. Os
comissários acreditam que a Academia tomaria uma decisão honrada se retirasse o
problema da competição e entregasse a medalha ao Monsieur Kummer por sua bela
pesquisa sobre os números complexos e integrais. (SINGH, S. p.132)
30
CONCLUSÃO
Durante dois séculos todas as diferentes tentativas de demonstrar o Último
Teorema de Fermat tinham findado no fracasso, embora as contribuições ao desenvolvimento
da matemática tenham sido notórias. Estratégias antes pouquíssimo usadas em demonstrações
matemáticas foram utilizadas e adaptadas; artifícios e argumentos advém desta tentativa de
demonstração.
Dentre as inovações apresentadas, que foram descritas ao longo deste trabalho, é
possível destacar duas, a primeira é a adaptação de Leonhard Euler do método da descida
infinita de Fermat, que acarretou na demonstração para um único caso, para 𝑛 = 3. Método
este muito utilizado em demonstrações por redução ao absurdo de análise matemática e teoria
dos números.
O segundo é a generalização de Sophie Germain dos números primos, adotando
como base um número primo 𝑝, tal que (2𝑝 + 1) também fosse primo. Esse argumento não
incluiria todos os números primos, mas grande parte deles. Assim, Sophie desenvolveu um
engenhoso argumento, conforme pensara ao desenvolver seu argumento provavelmente não
existiam soluções para 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 para valores de 𝑛 iguais a esses primos. Com o
provavelmente” ela queria dizer que era improvável as soluções porque se existisse uma
solução então 𝑥, 𝑦, 𝑧, seriam múltiplos de 𝑛, e isso colocaria uma série de exceções em
qualquer solução.
Durante
a
narrativa,
foi
possível
perceber
que
avanços,
inovações,
desenvolvimento de novos campos de estudo, só foi possível, pois houvera quem divulgasse
os trabalhos. O sigilo não contribuiria em nada, o que evidencia a importância da divulgação e
publicação dos estudos para o avanço matemático. O individualismo, nos fez perceber que
não nos auxilia, pois um novo olhar nos faz identificar possíveis erros, e até mesmo sugestões
para uma abordagem distinta. O que ocorreu com Lamé e Cauchy, que não divulgaram seu
trabalho, pois almejavam o prêmio proposto pela Academia Francesa, e quando Ernst
Kummer analisou brevemente seus trabalhos, percebeu que ambos caminhavam para um beco
sem saída.
Vale ressaltar que um problema relativamente simples, parecia não haver de fato
uma demonstração. Talvez Fermat estivesse errado e, portanto, a razão que ninguém tinha
redescoberto a prova. Até que surge um professor de Princeton, Andrew Wiles, que sonhava
em demonstrar o Último Teorema de Fermat desde que o vira pela primeira vez, ainda
31
criança, na biblioteca de sua cidade. Ao longo de sua adolescência, Andrew Wiles tinha
estudado as obras de Euler, Germain, Cauchy, Lamé e, finalmente, Kummer, almejando
encontrar um provável erro, algo que lhes tivera passado desapercebido. Embora todo o
ceticismo, Wiles continuou em sua busca, inspirado pelo conhecimento de vários casos onde
as demonstrações só tinham sido obtidas após séculos de esforços.
Era provável que todas as ferramentas necessárias já estivessem disponíveis e o
único ingrediente ausente, fosse a engenhosidade. Andrew Wiles ainda não estava preparado
para desistir. E então, um sonho de criança se tornaria uma obsessão, a prova do Último
Teorema de Fermat. Depois de compilado o aprendizado sobre a matemática do século XIX,
Wiles resolveu se equipar com as técnicas do novo século e demonstrou o Último Teorema de
Fermat em 1994. No entanto, esta nova odisseia cabe aos futuros estudos, demandando uma
compreensão mais madura de uma matemática complexa, inovadora e surpreendente.
32
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BELL, E. T. Men of Mathematics; Simon and Schuster, 1937. (Biografia dos maiores
matemáticos da história, incluindo Euler, Fermat, Gauss, Cauchy e Kummer).
BELL, E. T. The Last Problem; Mathematical Association of America, 1990. (Um relato
popular das origens do Último Teorema de Fermat).
DALMÉDICO, A. D. Sophie Germain; Scientifique American, 1991. (Um artigo
descrevendo a vida e o trabalho de Sophie Germain).
EDWARDS, H. M. Fermat Last Theorem – A Genetic Introduction to Algebraic Number
Theory; Springer, 1977. (Uma discussão matemática sobre o Último Teorema de Fermat).
FREY, G. Links between stable ellipctic curves and certain diophantine equations; Ann.
Univ. Sarav. Math. Ser. 1 (1986), 1-40. (Trabalho crucial sugerindo uma ligação entre a
conjectura de Taniyama-Shimura e o Último Teorema de Fermat).
GIL, A. C. Métodos e técnicas para pesquisa social; São Paulo, Editora Atlas, 2008.
MAHONEY, M. The Mathematical Career of Pierre de Fermat; Princeton University Press,
1994. (Uma investigação detalhada da vida e do trabalho de Pierre de Fermat).
POORTEN, A. Notes on Fermat’s Last Theorem; Wiley, 1996. (Uma descrição técnica da
demonstração de Wiles destinada a estudantes de matemática não-graduados).
RIBENBOIN. 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem; Springer, 1980. (Um relato sobre o
Último Teorema de Fermat escrito antes do trabalho de Andrew Wiles e destinado a
estudantes de pós-graduação).
SINGH, S. O Último Teorema de Fermat - A história do enigma que confundiu as maiores
mentes do mundo durante 358 anos; Rio de Janeiro, Editora Record, 2008.
33
ANEXOS
FIGURA 1: Retrato de Pierre de Fermat
Fonte: WIKIPÉDIA
FIGURA 2: Jackob Bernoulli
Fonte: WIPÉDIA
34
FIGURA 3: Johann Bernoulli
Fonte: WIPÉDIA
FIGURA 4: Retrato de Leonhard Euler
Fonte: WIKIPÉDIA
35
FIGURA 5: Sophie Germain
Fonte: WIPÉDIA
FIGURA 6: Carl Gauss
Fonte: WIPÉDIA
36
FIGURA 7: Gabriel Lamé
Fonte: WIPÉDIA
FIGURA 8: Selo para correspondência, Augistin Cauchy
Fonte: Chennai Mathematical Institute
37
FIGURA 9: Ernst Kummer
Fonte: WIPÉDIA
FIGURA 10: Andrew Wiles
Fonte: National Portrait Gallery