UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Vibrações e Ruído
1º Exame 2012/2013 - 17 de Janeiro de 2013
(sem consulta)
Problema 1 (6 val.)
Figura 1
Considere o mecanismo de 1 grau de liberdade representado na figura 1, em que a barra BC é
rígida e articulada nas extremidades e a componente de inércia J também se admite rígida. As
oscilações são de pequena amplitude. Responda às seguintes questões:
estabeleça o sistema equivalente na coordenada x e escreva a respectiva equação de
equilíbrio dinâmico;
b) a partir da figura 1, deduza a equação de equilíbrio dinâmico na coordenada x ,
aplicando o princípio dos trabalhos virtuais;
a)
Admitindo m = 0.5 kg , J = 0.01 kg m 2 , k = 50 N / m , kt = 10 Nm / rad , a = 0.1 m e b = 0.15 m ,
c) calcule a frequência natural não amortecida, em rad/s;
d) calcule o valor do coeficiente de amortecimento c, sabendo que em vibração livre as
amplitudes se reduzem 5 vezes ao fim de 3 ciclos;
e) se f(t) for uma força harmónica, de amplitude igual a 1 N e relação de frequências 1.1,
calcule o aumento percentual que a amplitude da reposta em regime permanente teria se
o amortecedor fosse suprimido;
f) dos apoios A, D, E, F e G, determine qual é o mais solicitado e qual a força máxima
correspondente.
Problema 2 (6 val.)
A figura 2 representa um sistema que vibra na direcção vertical, devido ao movimento z(t)
imposto pela rotação do excêntrico. Admitindo deslocamentos de pequena amplitude,
responda às seguintes questões:
a) escreva as expressões:
(i)
(ii)
(iii)
da energia cinética;
da energia potencial elástica;
da função-dissipação de Rayleigh.
b) determine as equações de equilíbrio dinâmico, usando as equações de Lagrange.
Apresente todos os passos de forma detalhada;
Admitindo m = 1 kg, k = 104 N/m e c = 10 Ns/m,
c) calcule as frequências naturais não amortecidas e os correspondentes modos de vibração;
d) rescreva as equações de equilíbrio nas coordenadas principais, incluindo o
amortecimento;
e) calcule a resposta do sistema em regime permanente nas coordenadas x, supondo que o
movimento de z(t) é harmónico, com uma amplitude de 0.01 m e frequência de 150
rad/s.
Figura 2
Problema 3 (4 val.)
Na figura 3 está representada uma viga, homogénea e de secção constante, com um apoio
simples na extremidade esquerda e um encastramento na extremidade direita.
Figura 3
a) Calcule a equação de frequências;
b) a raiz nula terá neste caso significado físico? Justifique;
c)
sabendo que as duas primeiras soluções não nulas da expressão que obteve na alínea a)
são 3.926602 e 7.068583, respectivamente e sabendo ainda que A = 2x10-4 m2, I =
4x10-10 m4, E = 2x1011 N/m2, ρ = 7800 kg/m3 e l = 1 m, calcule o valor das duas
primeiras frequências naturais da viga;
d) calcule a distância a onde se poderia acrescentar uma massa concentrada m=0.3 kg,
sem alterar o valor da 2ª frequência natural.
Problema 4 (4 val.)
Uma máquina, assente num chão perfeitamente reflector, a meio de uma sala, emite uma
determinada potência sonora à frequência de 230 Hz. À distância r mede-se um nível sonoro
de 85 dB(A), ficando um trabalhador sujeito a essas condições durante dois dias.
Nos dois dias seguintes, à mesma distância, fica sujeito ao ruído de uma outra máquina que
emite uma potência sonora dupla da primeira, à mesma frequência, num ambiente semelhante
ao anterior.
No fim da semana de trabalho, o indivíduo ficou sujeito ao máximo admitido por lei, estando
no último dia nas mesmas condições dos dois primeiros dias, mas à distância de 10 m.
Calcule a potência sonora de cada uma das máquinas e a distância a que se encontrava nos
quatro primeiros dias.
Cotação:
Prob.\Alínea
a
1.25
1
1 (0.25+0.5+0.25)
2
1
3
---4
b
1
1
1
----
c
0.5
1
0.5
----
d
1
1.5
1.5
----
e
1
1.5
-------
f
1.25
----------
Total
6
6
4
4
Formulário
∫
Sistemas discretos
d
(T + V ) = Fnc ⋅ r&
dt
δW forças + δW forças
reais
t2 ⎛
t1
⎜ δL +
⎜
⎝
x(t ) = e −ξω nt ( A1 cos ω a t + A2 senω a t ) +
Força centrífuga = meω 2
x(t ) =
cω
k − mω
2
(1 − β )
1
F
k
2 2
1
ωa m
k =1
k
k
⎞
⎟dt = 0 , δq k (t1 ) = δq k (t 2 ) = 0 , k = 1,... N
⎟
⎠
ωa = ωn 1 − ξ 2
c cr = 2mω n
X =
N
d ⎛⎜ ∂ T ⎞⎟ ∂ T ∂ V ∂ F
−
+
+
= Qj
dt ⎜⎝ ∂ q& j ⎟⎠ ∂ q j ∂ q j ∂ q& j
=0
de inércia
α = tg −1
∑ Q δq
= tg −1
2ξβ
1− β
∫ 0 f (τ )e
t
−ξωn (t −τ )
[ M ]{&&x} + [C ]{ x&} + [ K ]{ x} = { f }
r =1
2 2
X
=
μe
β2
(1 − β )
2 2
⇒
1
ml 2
12
sen(ωt − α )
δ=
xi
x i +1
x
ξ
1
ln i = 2π
n xi+n
1−ξ 2
TR =
+ (2ξβ )2
sen [ωa (t − τ )] dτ
Momento de inércia de uma barra : J cg =
Mtl
GI p
+ (cω )2
⎡[ K ] − ω 2 [ M ]⎤ { X } = {0}
⎣
⎦
{ x} = ∑ Cr {u (r ) } cos(ωr t + φr ) = [u ]{ p}
N
(k − mω )
F
Taxa amort. =
2
+ (2ξβ )2
θ=
j = 1,...N
1 + (2ξβ )2
(1 − β )
2 2
+ (2ξβ )2
{ X } = [ Z ]−1 {F }
[`M` ]{ &&p} + [`K ` ]{ p} = {P } ou em certos casos [`M` ]{ &&p} + [`C ` ]{ p& } + [`K ` ]{ p} = {P }
[`M` ] = [u ]T [ M ] [u ] [`K ` ] = [u ]T [ K ] [u ] [`C ` ] = [u ]T [C ] [u ] {P } = [u ]T { f }
{u}T [ K ]{u}
{u}
2 ⎤
2
⎡
M
`
=
⇒
=
u
I
K
ω
ω
`
`
=
=
{ }N
[ `] [ ] [ `] ⎣ n`⎦
{u}T [ M ]{u}
{u}T [ M ]{u}
{ x(t )} = ∑ ⎜⎜ ⎜⎜ {u ( r ) } [ M ] ⎜ { x0 } cos ωr t + { x&0 }
N
⎛⎛
r =1 ⎝ ⎝
T
N
⎛
⎝
{ }N ⎟⎟
⎞⎞
senωr t ⎟ ⎟⎟ u ( r )
ωr
⎠⎠
1
⎞
⎠
Sistemas contínuos:
Cordas:
∂ 2 w( x, t ) ∂ 2 w( x, t )
=
c
∂ x2
∂ t2
2
c=
ρ
P
w( x, t ) = φ ( x) T(t)
φ ( x) = A cos
Barras:
∂ 2u ( x, t ) ∂ 2u ( x, t )
=
c2
∂ x2
∂ t2
c=
E
c=
G
ρ
u( x, t ) = φ ( x) T(t)
φ ( x) = A cos
Veios:
∂ 2θ ( x, t ) ∂ 2θ ( x, t )
c2
=
∂ x2
∂ t2
ρ
θ ( x, t ) = φ ( x) T(t)
φ ( x) = A cos
ω
c
ω
c
ω
c
+ B sen
ω
+ B sen
ω
+ B sen
ω
c
c
c
∫0 (φ '( x) ) dx
l
ρ ∫ φ 2 ( x) dx
0
l
ω =
P
ω =
E
∫0 (φ '( x) ) dx
l
ρ ∫ φ 2 ( x) dx
0
ω =
G
∫0 (φ '( x) ) dx
l
ρ ∫ φ 2 ( x) dx
0
2
2
2
l
l
2
2
2
Vigas:
∂ 4 w( x, t ) ∂ 2 w( x, t )
EI
c=
w( x, t ) = φ ( x) T(t)
+
=0
4
2
ρA
∂x
∂t
φ ( x) = C1 cos βx + C 2 senβx + C3 cosh βx + C 4 senhβx
φ ' ( x) = −C1 βsenβx + C 2 β cos βx + C3 βsenhβx + C 4 β cosh βx
c2
φ ' ' ( x) = −C1 β 2 cos βx − C 2 β 2 senβx + C3 β 2 cosh βx + C 4 β 2 senhβx
φ ' ' ' ( x) = C1 β 3 senβx − C 2 β 3 cos βx + C3 β 3 senhβx + C 4 β 3 cosh βx
T (t ) = A cos ωt + Bsenωt
ρAω 2
β =
4
ω = ( βl)
EI
∫0 EI ( x) (φ "( x) )
l
ω2 =
∫0 ρ A( x)φ
l
Ruído:
L p = 20 log
I=
ρAl 4
2
∑ mr (φ ( xr ))2 + ∑ Js (φ '( xs ))2
j
r
W0 = 10
Potência sonora p 2
=
ρc
Área
I = I1 + I 2 + ...
p=
∂
M ( x, t )
∂x
j
i
s
L p = LW − 10 log Área
I 0 = 10 −12 W/m 2
W
= 10 log
W0
V ( x, t ) =
∑ ki (φ ( xi ))2 + ∑ k t (φ '( x j ))2
dx +
( x)dx +
∂ 2 w( x, t )
∂x 2
p 0 = 20 μPa
p
p0
I
L I = 10 log
I0
LW
2
2
M ( x, t ) = EI ( x)
EI
−12
L eq
Ei =
W
ρ = 1,21 Kg/m 3 c = 340 m/s
1
= 10 log
T
∫
T
0
Δti 0.1( L pi − 67)
10
40
Leq = 67 + 10 log
p12 + p 22 + ...
⎛ p(t ) ⎞
⎜
⎟
⎜ p ⎟ dt
⎝ 0 ⎠
( ∑ Ei )
Resposta relativa [dB]
10
0
‐10
‐20
‐30
‐40
A
‐50
10
100
1000
freq.[Hz]
10000
2
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Vibrações e Ruído
2º Exame 2012/2013 - 2 de Fevereiro de 2013
(sem consulta)
Problema 1 (6 val.)
x(t)
c
xcg (t)
kt O
y(t)
m
θ
mb , J cg
k
z(t)
l /4
l /4
l
Figura 1
m = 0.5 kg
mb = 3 kg J cg =
1
mb l 2 k = 100 N / m
12
Figura 2
kt = 100 Nm / rad
l = 1m
No mecanismo representado na figura 1, que se encontra na sua posição inicial de equilíbrio
estático, existe um deslocamento imposto conhecido z(t); consideram-se oscilações de pequena
amplitude. Responda às seguintes questões:
a)
escreva as expressões da energia cinética, da energia potencial elástica e da funçãodissipação de Rayleigh;
b) usando o formalismo de Lagrange, deduza a equação de equilíbrio dinâmico
relativamente à coordenada y;
c) usando os valores numéricos dados, calcule o valor da frequência natural não
amortecida;
d) calcule o valor do coeficiente de amortecimento c e da frequência natural amortecida,
sabendo que em vibração livre as amplitudes se reduzem a metade do seu valor ao fim
de 2 ciclos.
e) Se z(t) tiver a variação representada na figura 2, calcule a resposta x(t) (s/
amortecimento) no instante t , para 0 ≤ t ≤ 2 s e para t = 4 s .
Problema 2 (6 val.)
O sistema representado na figura 3 está na sua posição inicial de equilíbrio estático; as barras
supõem-se infinitamente rígidas. Existe uma força aplicada na coordenada xcg . Os
deslocamentos são de pequena amplitude.
Figura 3
São dados: m = 0.5 kg
mb = 3 kg J cg =
1
mb l 2 k = 100 N / m
12
l = 1m
Responda às seguintes questões:
a)
relativamente às coordenadas x2 e x3 , escreva as expressões da energia cinética, da
energia potencial elástica, da função-dissipação de Rayleigh e das forças generalizadas
aplicadas;
b) estabeleça as equações de equilíbrio nas coordenadas x2 e x3 , usando as equações de
Lagrange, detalhando todos os passos e apresente-as na forma matricial;
c)
d)
e)
calcule as frequências naturais não amortecidas e os respectivos modos de vibração;
desprezando o amortecimento, determine a resposta do sistema em vibração livre,
quando são dadas as seguintes condições iniciais: x2 ( 0 ) = 0.01, x3 ( 0 ) = 0,
x&2 ( 0 ) = x&3 ( 0 ) = 0 ;
Calcule a resposta forçada, em regime permanente (mas desprezando o
amortecimento), a uma força harmónica de amplitude 100 N e frequência 18 rad/s.
Problema 3 (4.5 val.)
Figura 4
A viga representada na figura 4 tem uma massa concentrada de valor m = 0.5 kg na
extremidade livre e tem as seguintes características: A = 2 x10−4 m 2 , I = 1.6 x10 −9 m 4 ,
E = 210 x109 N / m 2 , ρ = 7800 kg / m3 e l = 1 m ; aplicando o quociente de Rayleigh, calcule:,
a) o valor da frequência natural fundamental usando um polinómio do 2º grau;
b) o valor da frequência natural fundamental usando um polinómio do 3º grau;
c) o valor da frequência natural fundamental usando uma função trigonométrica
apropriada;
d) qual das três soluções será a mais próxima da exacta? Justifique.
Problema 4 (3.5 val.)
Uma análise espectral ao ruído emitido por uma máquina, com uma potência sonora de 0.4 W
(assente num chão perfeitamente reflector, no meio de uma sala) revelou que as principais
componentes do ruído aconteciam a 250 Hz, 500 Hz e 1000 Hz, às quais correspondem os
níveis de pressão sonora de 92 dB, 89 dB e 85 dB, respectivamente. Calcule qual o tempo
máximo que um trabalhador deverá permanecer naquela sala durante uma semana de trabalho,
de modo a não ficar sujeito a um nível sonoro superior ao legal e qual a distância mínima a
que deve estar.
Cotação:
Prob.\Alínea
1
2
3
4
a
1
1.5
1
----
b
1
1
1
----
c
1
1
1
----
d
1.5
1
1.5
----
e
1.5
1.5
-------
Total
6
6
4.5
3.5
Formulário
∫
Sistemas discretos
d
(T + V ) = Fnc ⋅ r&
dt
δW forças + δW forças
reais
t2 ⎛
t1
⎜ δL +
⎜
⎝
x(t ) = e −ξω n t ( A1 cos ω a t + A2 senω a t ) +
Força centrífuga = meω 2
x(t ) =
cω
k − mω
= tg −1
2
(1 − β )
F
k
k =1
k
k
ωa = ωn 1 − ξ 2
c cr = 2mω n
X =
⎞
⎟dt = 0 , δq k (t1 ) = δq k (t 2 ) = 0 , k = 1,... N
⎟
⎠
N
d ⎛⎜ ∂ T ⎞⎟ ∂ T ∂ V ∂ F
−
+
+
= Qj
dt ⎜⎝ ∂ q& j ⎟⎠ ∂ q j ∂ q j ∂ q& j
=0
de inércia
α = tg −1
∑ Q δq
1
2 2
ωa m ∫ 0
1
t
2ξβ
1− β
(k − mω )
F
2 2
Taxa amort. =
2
X
=
μe
+ (2ξβ )2
θ=
β2
(1 − β )
2 2
Momento de inércia de uma barra : J cg =
Mtl
GI p
+ (cω )2
xi
x i +1
j = 1,...N
1
ml 2
12
sen(ωt − α )
δ=
+ (2ξβ )2
x
1
ln i = 2π
n xi +n
TR =
ξ
1−ξ 2
1 + (2ξβ )2
(1 − β )
2 2
+ (2ξβ )2
f (τ )e−ξωn (t −τ ) sen [ωa (t − τ ) ] dτ
⎡[ K ] − ω 2 [ M ]⎤ { X } = {0}
{ X } = [ Z ]−1 {F }
[ M ]{&&x} + [C ]{ x&} + [ K ]{ x} = { f }
⎣
⎦
{ x} = [u ]{ p} ⇒ [`M` ]{ &&p} + [`K ` ]{ p} = {P } ou em certos casos [`M` ]{ &&p} + [`C ` ]{ p& } + [`K ` ]{ p} = {P }
[`M` ] = [u ]T [ M ] [u ] [`K ` ] = [u ]T [ K ] [u ] [`C ` ] = [u ]T [C ] [u ] {P } = [u ]T { f }
{u}T [ K ]{u}
{u}
⇒ [`M` ] = [ I ] [`K ` ] = ⎡`ωn2` ⎤
ω2 =
{u}N =
⎣
⎦
{u}T [ M ]{u}
{u}T [ M ]{u}
{ x(t )} = ∑ ⎜⎜ ⎜⎜ {u ( r ) } [ M ] ⎜ { x0 } cos ωr t + { x&0 }
N
⎛⎛
⎛
T
r =1 ⎝ ⎝
⎝
N
{ }
⎞
⎞⎞
senωr t ⎟ ⎟⎟ u ( r ) ⎟
N⎟
ωr
⎠⎠
⎠
1
Sistemas contínuos:
Cordas:
c
2
2 ∂ w( x, t )
∂ x2
=
Barras:
c
2
2 ∂ u ( x, t )
∂ x2
=
Veios:
c
2
∂ 2θ ( x, t )
∂ x2
=
∂ 2 w( x, t )
∂ t2
∂ 2 u ( x, t )
∂ t2
∂ 2θ ( x, t )
∂ t2
c=
c=
ρ
P
ρ
E
w( x, t ) = φ ( x) T(t)
u( x, t ) = φ ( x) T(t)
φ ( x) = A cos
φ ( x) = A cos
ω
c
ω
c
x + B sen
ω
x + B sen
ω
c
c
x
x
ω =
2
ω =
2
P
∫0 (φ '( x) ) dx
l
ρ ∫ φ 2 ( x) dx
0
l
2
E ∫ (φ '( x) ) dx
l
2
ρ ∫ φ 2 ( x) dx
0
l
0
c=
ρ
G
θ ( x, t ) = φ ( x) T(t)
φ ( x) = A cos
ω
c
x + B sen
ω
c
x
ω =
2
G
∫0 (φ '( x) ) dx
l
ρ ∫ φ 2 ( x) dx
0
l
2
Vigas:
∂ 4 w( x, t ) ∂ 2 w( x, t )
EI
w( x, t ) = φ ( x ) T(t)
c=
+
=0
4
2
ρ
A
∂x
∂t
φ ( x) = C1 cos βx + C 2 senβx + C3 cosh βx + C 4 senhβx
φ ' ( x) = −C1 βsenβx + C 2 β cos βx + C3 βsenhβx + C 4 β cosh βx
c2
φ ' ' ( x ) = −C1 β 2 cos βx − C 2 β 2 senβx + C3 β 2 cosh βx + C 4 β 2 senhβx
φ ' ' ' ( x) = C1 β 3 senβx − C 2 β 3 cos βx + C3 β 3 senhβx + C 4 β 3 cosh βx
T (t ) = A cos ωt + Bsenωt
ρAω
β =
4
ω = ( βl )
2
EI
∫0 EI ( x) (φ "( x) )
l
ω2 =
∫
l
0
∫0 ρ A( x)φ
l
2
2
M ( x, t ) = EI ( x)
EI
ρAl 4
2
∂ 2 w( x, t )
∂x 2
V ( x, t ) =
∂
M ( x, t )
∂x
∑ ki (φ ( xi ))2 + ∑ k t (φ '( x j ))2
dx +
( x)dx + ∑ m r (φ ( xr ))2 + ∑ Js (φ '( xs ))2
j
i
j
cos 2 (π x l ) dx = ∫ sen 2 (π x l ) dx = l 2
L p = 20 log
p 0 = 20 μPa
p
p0
I
L I = 10 log
I0
I=
s
0
Ruído:
LW
r
l
L p = LW − 10 log Área
I 0 = 10 −12 W/m 2
W
= 10 log
W0
W0 = 10
Potência sonora p 2
=
ρc
Área
I = I1 + I 2 + ...
p=
−12
L eq = 10 log
Ei =
W
ρ = 1,21 Kg/m 3 c = 340 m/s
1
T
∫
T
0
Δti 0.1( L pi − 67)
10
40
Leq = 67 + 10 log
p12 + p 22 + ...
⎛ p (t ) ⎞
⎜
⎟
⎜ p ⎟ dt
⎝ 0 ⎠
( ∑ Ei )
Resposta relativa [dB]
10
0
‐10
‐20
‐30
‐40
A
‐50
10
100
1000
freq.[Hz]
10000
2