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CENTRO TECNOLÓGICO
COORDENAÇÃO DO COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
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KELIENE MARIA SOUSA DE JESUS
UMA CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO ELETROMAGNÉTICO DE UM REATOR
ELÉTRICO TRIFÁSICO
2/2005
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UMA CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO ELETROMAGNÉTICO DE UM REATOR
ELÉTRICO TRIFÁSICO
KELIENE MARIA SOUSA DE JESUS
Trabalho de Conclusão de curso
apresentado ao Curso de Graduação
em Engenharia Mecânica da UFPA,
como requisito para obtenção do grau
de Engenheiro, orientado pelo Prof.
Dr.Newton Sure Soeiro.
2/2005
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UMA CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO ELETROMAGNÉTICO DE UM REATOR
ELÉTRICO TRIFÁSICO
Keliene Maria Sousa de Jesus
Avaliado por:
Conceito:______________________________
Prof. Dr Newton Sure Soeiro
_____________________________________
Conceito:_____________________________
Prof Dr Gustavo da Silva Vieira de Melo
_____________________________________
Conceito:______________________________
Eng. Esp. Luiz Otávio Sinimbú de Lima
_____________________________________
Conceito:____________________________
Eng.Alan Rafael Menezes do vale
_____________________________________
Julgado em:
17 /02 / 2006
Conceito:
________________________
1/2005
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Ao meu filho João Vitor, a minha mãe e aos meus irmãos.
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___________________________________________________________________
AGRADECIMENTOS
•
A Deus, que sempre me ilumina e me dá forças para enfrentar certas dificuldades da
vida
•
Ao Professor Doutor Newton Sure Soeiro pela orientação, e contribuições não
apenas na elaboração deste trabalho, como também na minha formação acadêmica.
•
Ao Grupo de Vibrações e Acústica da UFPA.
•
À Banca Examinadora, pela presteza no julgamento deste trabalho.
•
À empresa ELETRONORTE pelo fornecimento de materiais didáticos e de seus
computadores que muito importante na elaboração deste trabalho.
•
Meus familiares que sempre me deram apoio e incentivo.
•
Ao Engº Mecânico Luiz Otávio Sinimbú de Lima pela preocupação em conseguir
recursos tais como computadores e softwares que foram fundamentais na obtenção
dos resultados desse trabalho.
•
A todas as pessoas não citadas, mas que de alguma forma me ajudaram nesses cinco
anos de graduação.
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SUMÁRIO
Pág
CAPÍTULO 1-INTRODUÇÃO
1.1 Introdução Geral...................................................................................................
1
1.2 Objetivo Geral.......................................................................................................
2
1.3 Objetivo Específico...............................................................................................
2
1.4 Estrutura do Trabalho..........................................................................................
3
1.5 Descrição do Objeto de Estudo (Reator Elétrico Trifásico).................................
3
1.5.1
Introdução.................................................................................................
4
1.5.2
Descrição geral..........................................................................................
5
1.5.3
Partes constituintes...................................................................................
6
CAPÍTULO 2 – FUNDAMENTAÇÂO TEÓRICA
2.1
Eletromagnetismo.................................................................................................
8
2.2
Magnetismo...........................................................................................................
9
2.2.1
Campo Elétrico (E) ..................................................................................
10
2.2.2
Campo Magnético (H)..............................................................................
11
2.2.2.a Campo Magnético Produzido por uma Corrente....................... 11
2.2.2.b Campo Magnético e Vetor de Indução.......................................
13
2.2.2.c Campo Magnético (H) em uma Espira Circular........................
14
2.2.2.d Campo Magnético (H) em um Solenóide....................................
15
2.2.3
Densidade Superficial de Fluxo Magnético .............................................
16
2.2.4
Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético.................................
17
2.2.5
Permeabilidade Magnética.......................................................................
18
2.2.5.a Permeabilidade Magnética dos Materiais Ferromagnéticos...... 18
2.2.6
Forças Magnéticas....................................................................................
19
2.2.6.a Regras para Determinar o Sentido das Forças........................... 19
2.2.6.b Força Magnética Sobre Correntes..............................................
21
2.2.6.c Força Magnética Sobre Fios de Comprimento Infinitesimal..... 22
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2.2.6.d Força Magnética Sobre Fios Possuindo Correntes..................... 23
2.2.7
Exemplo de Cálculo da Força Magnética................................................
25
2.3 Magnetostática.......................................................................................................
30
2.3.1
As Equações de Maxwell..........................................................................
30
2.3.2
As Equações de Maxwell na Magnetostática...........................................
r
r
2.3.2.a A Equação rot H = J ...............................................................
r
r
2.3.2.b A Equação div B = 0 .................................................................
r
r
2.2.6.c A Equação rot E = 0 .................................................................
31
31
33
33
CAPÍTULO 3 - MODELAGEM DO REATOR
3.1 Introdução ao Método de Elementos Finitos e Apresentação do Software
Ansys.......................................................................................................................
34
3.1.1
Análise de Elementos Finitos (FEA).........................................................
34
3.1.2
Etapas Básicas da Análise.........................................................................
35
3.2 Análise Magnetoestática Através do Método de Elementos Finitos......................
37
3.3 Análise Magnética Estática para um Modelo Bi-Dimensional..............................
41
3.4 Análise Magnética Estática para um Modelo Tri-Dimensional.............................
48
CAPÍTULO 4 - ANÁLISE MAGNÉTICA PARA O REATOR
4.1 Análise dos Resultados...........................................................................................
54
4.1.1
Definição do Modelo do Reator................................................................
54
4.1.2
Construção do Modelo do Reator............................................................
56
4.1.3
Definição dos Elementos e Propriedades do Material............................
57
4.1.4
Malhagem do Modelo...............................................................................
58
4.1.5
Geração das Bobinas.................................................................................
59
4.1.6
Aplicação das Condições de Carregamento............................................
51
4.1.7
Obtenção da Solução................................................................................
62
4.1.7.a
Método de solução.....................................................................
62
4.2 Modelo Bidimensional do Reator..........................................................................
62
4.2.1
Vetores de Fluxo Magnético......................................................................
62
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___________________________________________________________________
4.2.2
Contornos de Fluxo Magnético................................................................
63
4.2.3
Gráfico do Fluxo de Linha no Modelo.....................................................
63
4.2.4
Distribuição dos Vetores de Força............................................................
64
4.2.5
Contornos de Força...................................................................................
64
4.2.6
Cálculo da Força Total Atuando na Armadura........................................
65
4.3 Modelo Tridimensional do Reator..........................................................................
65
4.3.1
Vetores de Fluxo Magnético......................................................................
65
4.3.2
Contornos de Fluxo Magnético................................................................
66
4.3.3
Distribuição dos Vetores de Força Atuando na Armadura......................
66
CAPÍTULO 3-MODELAGEM DO REATOR
5.1 Conclusões...............................................................................................................
68
5.2 Recomendações para Trabalhos Futuros................................................................
69
BIBLIOGRAFIA..............................................................................................................
70
ANEXO
71
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___________________________________________________________________
LISTA DE FIGURA
Pág
Figura 2.1
Comportamento de limalha de ferro após a retirada de um imã.....................
8
Figura 2.2
Distribuição vetorial do campo elétrico envolvendo uma carga elétrica.......
10
Figura 2.3
(a) Campo magnético gerado por pólos oposto de um imã (b) Campo 11
magnético por pólos de dois imãs..................................................................
Figura 2.4
A Lei de Biot-Sarvat expressa a intensidade e campo magnético dH 12
produzido por um elemento diferencial de corrente de corrente IdL.............
Figura 2.5
Direção do campo usando a regra da mão direita........................................... 12
Figura 2.6
Distribuição de linhas de campo magnético no interior de uma espira..........
13
Figura 2.7
Campo magnético para um solenóide retilíneo..............................................
14
Figura 2.8
Linhas de forças de campo nos espaços compreendidos entre as espiras......
15
Figura 2.9
Condutor retilíneo percorrido por uma corrente............................................. 16
Figura 2.10
Fluxo magnético em superfície S plana.......................................................... 17
Figura 2.11
Fluxo magnético em uma superfície S não – plana........................................
17
Figura 2.12
Regra dos três dedos da mão direita...............................................................
19
Figura 2.13
Regra da palma da mão direita.......................................................................
21
Figura 2.14
Força magnética sobre um fio........................................................................
21
Figura 2.15
Força magnética sobre um segmento. ............................................................ 22
Figura 2.16
Força sobre um fio com qualquer curvatura................................................... 24
Figura 2.17
Solenóide de geometria cilíndrica…………………………………………..
25
Figura 2.18
Gráfico da corrente elétrica variando no tempo e o espectro de freqüência..
29
Figura 2.19
Origem do campo magnético: (1) corrente; (2) Imã permanente...................
30
Figura 2.20
Fio infinito percorrido por uma corrente........................................................
32
Figura 3.1
Entidade de modelos sólidos usados no ANSYS. .........................................
35
Figura 3.2
Representação de um sólido e um modelo malhado no ANSYS. .................. 36
Figura 3.3
Modelo 2-D do solenóide atuador. ................................................................
42
Figura 3.4
Modelo numérico do solenóide atuador. .......................................................
42
Figura 3.5
Geometria do elemento PLANE 13................................................................ 43
Figura 3.6
Definição das propriedades no propriedades no modelo numérico................ 44
Figura 3.7
Modelo malhado.............................................................................................
44
Figura 3.8
Definição da componente armadura...............................................................
45
Figura 3.9
Aplicação do carregamento............................................................................
45
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Figura 3.10 Distribuição das linhas de densidade de fluxo............................................... 46
Figura 3.11
Distribuição dos vetores de densidade de fluxo.............................................
46
Figura 3.12
Distribuição de fluxo no modelo completo do atuador..................................
47
Figura 3.13
Distribuição da força na armadura do atuador................................................ 47
Figura 3.14
Resultados da força total que atua na armadura.............................................
Figura 3.15
Modelo do solenóide atuador.......................................................................... 48
Figura 3.16
Modelo numérico do solenóide atuador sem a região do ar...........................
49
Figura 3.17
Geometria usada na análise considerando a região do ar...............................
49
Figura 3.18
Curva B-H usada para todos os componentes exceto o ar.............................. 50
Figura 3.19
Discretização do modelo................................................................................
50
Figura 3.20
Modelo numérico completo e a bobina..........................................................
51
Figura 3.21
Condições de carregamento na arma..............................................................
51
Figura 3.22
Vetores do fluxo magnético............................................................................
52
Figura 3.23
Contornos do fluxo magnético.......................................................................
53
Figura 3.24
Resultados da força que atua na armadura do solenóide................................
53
Figura 4.1
Modelo numérico da armadura e as chapas de aço silício.............................. 56
Figura 4.2
Modelo numérico representado a região do ar...............................................
Figura 4.3
Geometria do SOLID96.................................................................................. 57
Figura 4.4
Curva B-H do aço silício................................................................................
58
Figura 4.5
Discretização do ar.........................................................................................
58
Figura 4.6
Discretização da armadura e chapas de aço silício......................................... 59
Figura 4.7
Geometria do elemento SOURCE 36.............................................................
60
Figura 4.8
Bobinas usadas na modelagem numérica.......................................................
60
Figura 4.9
Bobinas destacando os sentidos das correntes................................................ 61
Figura 4.10
Condições de carregamento na armadura....................................................... 61
Figura 4.11
Distribuições de vetores de fluxo magnético.................................................. 62
Figura 4.12
Contornos de fluxo magnético........................................................................ 63
Figura 4.13
Fluxo de linhas no modelo.............................................................................
Figura 4.14
Distribuição dos vetores de forças.................................................................. 64
Figura 4.15
Contornos de forças no modelo......................................................................
Figura 4.16
Cálculo da força total...................................................................................... 65
Figura 4.17
Distribuição dos vetores de densidade de fluxo magnético............................ 65
48
57
63
64
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Figura 4.18 Contornos de densidade de fluxo magnético.................................................. 66
Figura 4.19
Distribuição dos vetores de força...................................................................
66
Figura 4.20
Cálculo da força total atuando na armadura...................................................
67
LISTA DE TABELAS
Pág
Tabela 1.1
Especificações técnicas do reator elétrico trifásico................................
5
Tabela 2.1
Relação B-H para materiais ferromagnéticos.......................................... 26
Tabela 3.1
Propriedades dos materiais que constituem o núcleo do reator............... 43
Tabela 4.1
Parâmetros usados para a construção das bobinas..................................
59
LISTA DE FLUXOGRAMA
Pág
Fluxograma 2.1
Diagrama sobre a divisão do eletromagnetismo em domínio de baixas e 10
altas freqüências........................................................................................
LISTA DE FOTOS
Pág
Foto 1.1
Foto de reator derivação trifásico............................................................
4
Foto 4.1
Fotos do reator e do núcleo magnético na fábrica...................................
55
Foto 4.2
Fotos do núcleo magnético......................................................................
55
Foto 4.3
Fotos da chapas de aço silício.................................................................
56
SIMBOLOGIA
φ
Fluxo Magnético
µ
Permeabilidade magnética
ℜT
Relutância Total
ℜg
Relutância do entreferro
ℜs
Relutância da luva
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RESUMO
Dentro do atual cenário do sistema elétrico brasileiro, em que o consumo de energia elétrica
aumenta a cada dia, necessitando de novos e urgentes investimentos em geração e transmissão
de energia, aumenta cada vez mais a importância do domínio e conhecimento operacional dos
equipamentos de potência, evitando assim interrupções (não-programadas e intempestivas) no
fornecimento de energia elétrica (SOEIRO et al. 2005). Em virtude disso, se fez necessário
realizar um estudo a fim de caracterizar o comportamento eletromagnético de reatores
derivações encontrados nas subestações da Região Norte. Nos últimos anos, foram realizados
estudos que comprovaram que os núcleos desses tipos de reatores provocam forças que atuam
nas paredes dos mesmos, fazendo com que, dentre outros fatores sejam responsáveis pelo
elevado nível vibração e ruído transportados via fluido e estrutura, presente nesses
equipamentos. Dessa forma, esse modela um reator através do método de elementos finitos
usando o software ANSYS para a determinação da força eletromagnética, haja vista que a
caracterização do campo magnético é muito importante, pois eventuais falhas podem estar
relacionadas com o comportamento do campo magnético. Além disso, esse trabalho gera
resultados que poderão ser aplicados em uma modelagem vibro-acústica completa, levando
em consideração os efeitos eletromagnéticos.
Palavras – chaves: Reatores, Análise eletromagnética, Elementos Finitos, Força
Eletromagnética,
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
1.1 - Introdução Geral
Nos últimos anos na região norte, assim como em todo o país, o consumo de energia
elétrica vem crescendo em decorrência da necessidade de levar este recurso para áreas que
até então se encontravam desprovidas deste serviço. A ELETRONORTE empresa
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responsável pelo sistema de transmissão de energia na região, vem desenvolvendo
inúmeros trabalhos, a fim de atender a demanda de energia que lhe é exigida, garantindo
qualidade na prestação de seus serviços.
Sabe-se que nas subestações da região, diversos são os equipamentos responsáveis pelo
sistema de transmissão e geração de energia, dos quais pode-se destacar os de potência
como reatores elétricos e transformadores considerados equipamentos essenciais para o
sistema elétrico (SOEIRO et al., 2002).
Neste trabalho tratar-se-á mais especificamente dos reatores elétricos, que são empregados
para controlar as tensões nos barramentos (cabos ou barras que servem para interligar
linhas dentro de uma subestação), em regime permanente e para redução das sobretensões,
provocadas pela formação de um capacitor entre a terra, o ar e a linha de transmissão, além
dos surtos de manobra, que são mudanças bruscas no regime energético. Tais
equipamentos são usados também na compensação de reativos ou redução de corrente de
curto-circuito.
Com base em um levantamento histórico sobre os reatores elétricos da subestação de
Ruropólis, constatou-se que esses equipamentos vêem apresentando problemas
operacionais e estruturais, decorrentes dos elevados níveis de vibrações e ruídos. Tais
problemas estão relacionados com a excitação eletromagnética do núcleo, pois a não
linearidade da lei da magnetostricção explica a presença de harmônicos na vibração do
núcleo. Dessa forma quando um determinado reator é ligado a uma rede elétrica de
freqüência “f”, o núcleo do mesmo fica sujeito a uma vibração mecânica complexa de
freqüência 2f. Essa vibração resulta da superposição de vibrações senoidais cujas
freqüências são harmônicas pares (120-240-480...Hz) da freqüência da linha elétrica em
60Hz (GUARALDO et al., 1997). Vale ressaltar também que o ruído audível é causado
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principalmente pela magnetostricção do núcleo, pois os harmônicos das vibrações podem
ser perceptível ao ouvido humano.
Com base nisso, se faz necessária realizar uma modelagem de um reator elétrico, com o
intuito se caracterizar preliminarmente o comportamento eletromagnético desse
equipamento. Essa modelagem foi feita através o método de elementos finitos (MEF)
usando o software ANSYS. Esse método é um procedimento numérico usado para resolver
problemas da engenharia na área da mecânica dos sólidos, mecânica dos fluidos, campo
elétrico, condução de calor, magnetostática, etc.
Na análise eletromagnética do reator, foi definido um modelo numérico que representa
apenas um quarto da geometria original, considerando as três bobinas, onde por simetria os
resultados serão rebatidos para o modelo completo. A análise estática do modelo foi
baseada nos princípios da magnetostática, usando as equações de Maxwell para determinar
o campo magnético, a densidade de fluxo magnético e a força magnética provocada pelo
núcleo do reator. Dessa forma, os valores obtidos de força são os valores RMS, porém,
como no caso real o reator funciona com corrente é alternada, o valor de pico da força,
pode ser calculado através da formulação ( Fpico = Frms X 2 ) .
1.2 - Objetivo Geral
Este trabalho tem como objetivo fazer um estudo preliminar sobre a caracterização do
comportamento eletromagnético de um reator elétrico trifásico, através do método de
elementos finitos, com o intuito de determinar a força eletromagnética que atua na estrutura
do mesmo.
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1.3 - Objetivos Específicos
Os objetivos específicos do trabalho consistem em:
•
Fazer um breve estudo sobre os fenômenos eletromagnéticos;
•
Definir as principais características físicas do reator e fazer um levantamento das
informações técnicas que serão usadas na modelagem;
•
Definir um modelo numérico que melhor represente o caso a ser analisado,
respeitando os recursos computacionais disponíveis;
•
Realizar uma análise magnética estática, a fim de determinar as forças que atuam na
estrutura do reator, oriundas da excitação eletromagnética.
1.4 - Estrutura do Trabalho
Esse trabalho está disposto de 5 capítulos, os quais serão, a seguir, brevemente
comentados.
Capítulo 1 - Toda a primeira parte desse trabalho é uma introdução. Seu objetivo principal é
despertar o interesse do leitor e deixá-lo a par do tema que será discutido, mostrando ainda a
importância que o trabalho tem para o sistema elétrico da região. Neste capítulo, faz - se um
breve comentário sobre a importância de se fazer um estudo para caracterizar o
comportamento eletromagnético do núcleo dos reatores elétricos, usando o método de
elementos finitos. Além disso, este capítulo define toda a metodologia que será desenvolvida
no trabalho para que se obtenham os resultados esperados. Por fim, será mostrado o
funcionamento dos reatores elétricos trifásicos, com suas partes constituintes, a fim de
esclarecer as dúvidas existentes sobre tais equipamentos.
Capítulo 2 - Neste capítulo, partes dos princípios estudados estarão relacionados com os
fenômenos eletromagnéticos, em particular, o princípio de campo magnético produzido pelas
correntes elétricas em sua definição e efeitos. Esse estudo se faz necessário, pois serve de
base para compreensão da teoria existente na realização de uma análise eletromagnética
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usando o método de elementos finitos, discutida nesse trabalho. Dessa forma, serão mostradas
as equações de Maxwell que sustentam a teoria da magnetostática, considerando as condições
de contorno necessárias para a obtenção dos resultados corretos.
Capítulo 3 - Esta parte constitui verdadeiramente o problema em questão, e está subdividida
em três partes: a primeira, que versa sobre a teoria de elementos finitos voltada para análises
eletromagnéticas, seguindo a parte que destaca dois exemplos para determinação da força
magnética em um problema bidimensional e um segundo tridimensional, ressaltando que
todos esses exemplos foram relevantes para a aplicação do caso real. Em uma última parte
desse capítulo, será mostrada a modelagem completa do reator, definindo sua geometria, a
discretização do modelo e a resolução da análise propriamente dita.
Capítulo 4 - Nesta seção, serão mostrados os resultados da análise eletromagnética através do
método de elementos finitos, usando o software ANSYS. Esses resultados serão ilustrados
com figuras e tabelas possibilitando uma melhor visualização e compreensão dos mesmos.
Capítulo 5 - Este é um capítulo onde serão discutidos os resultados obtidos durante a análise.
As discussões serão feitas com base nas teorias estudadas sobre os fenômenos
eletromagnéticos, de onde sairão conclusões que ajudarão na elaboração de outros trabalhos.
1.5 – Descrição do Objeto de Estudo (Reator Elétrico Trifásico)
1.5.1 - Introdução
Em sistemas de potência, os reatores de derivação são empregados para controlar as
tensões nos barramentos (cabos ou barras que servem para interligar linhas dentro de uma
subestação), em regime permanente e para redução das sobretensões, provocadas pela
formação de um capacitor entre a terra, o ar e a linha de transmissão, além dos surtos de
manobra, que são mudanças bruscas no regime energético. Tais equipamentos são usados
também na compensação de reativos ou redução de corrente de curto-circuito. Isto é
conseguido com reatores com núcleo de ar ou com reatores com núcleo de ferro e
entreferros (Ver Fig 1.1).
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Foto1.1 - Reator derivação trifásico na base de operação.
Os reatores possuem normalmente núcleo de ar, o qual pode estar colocado em um
meio refrigerante de óleo ou mesmo de ar, e podem ser de uso interno ou externo.
Os reatores de núcleo de ar imerso em óleo podem ser usados para qualquer nível de
tensão em instalações internas e externas. Entre as vantagens dos reatores imersos em óleo
estão incluídas:
•
Não produz nenhum campo magnético que cause aquecimento ou forças
magnéticas em reatores adjacentes, ou estruturas de metais no momento que o
curto-circuito é produzido;
•
Alta capacidade térmica.
1.5.2 - Descrição Geral:
•
Características Principais:
Os reatores são previstos para operação ao tempo(ar livre) nas indicadas nas
especificações técnica mostradas na tabela 1.1.
Tabela 1.1 – Especificações técnicas do Reator Elétrico Trifásico
Especificações Técnica
N° de Fases
3
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Potência
30 MVAr
Tensão
242 kV
Freqüência
60 Hz
Normas de Referência
ABNT
Peso Total (com óleo)
63.200 kg
Transporte sem óleo
38.800 kg
Peso do Óleo
17.700 kg
Corrente Nominal
•
Função:
Os reatores são usados para compensação de reativos ou redução de corrente
de curto-circuito.
•
Classificação:
Baseado na sua localização e uso, os reatores podem ser classificados em:
– Reator série;
– Reator shunt;
– Reator de aterramento ou bobina de supressão de arco;
– Reator de amortecimento para bancos de capacitores;
– Reator para filtros;
– Reator de núcleo saturado;
•
Tipos: monofásico x trifásicos.
A escolha entre reatores trifásicos e bancos de unidades monofásicas depende de
estudos técnico–econômicos, que devem considerar os fatores:
• Custos de investimentos;
• Confiabilidade – necessidade de unidade reserva;
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• Limitações de transporte (peso e altura máxima);
• Limitações de capacidade de fabricação.
Em geral, nos sistemas brasileiros, os reatores de alta tensão são formados por
bancos de unidades monofásicas, em estrela aterrada. Os reatores de terciário são trifásicos,
em estrela não aterrada.
1.5.3 - Partes Constituintes:
•
Núcleo e Armaduras:
O núcleo é constituído de chapas de aço-silício de grãos orientados, laminadas a frio,
possuindo como características principais uma alta permeabilidade e baixas perdas
específicas. A principal diferença em relação aos transformadores, é que as colunas com
enrolamentos são laminadas em sentido radial e possuem entreferros. O fluxo nos entreferros
é distorcido e a laminação radial garante que suas linhas estejam sempre contidas nos planos
das lâminas, o que produz as perdas no ferro. Os entreferros provocam, ainda, o aparecimento
de forças nas seções do núcleo, dando origem a vibrações, que são transmitidas ao tanque. A
estrutura de sustentação do núcleo deve levar em conta estas forças e a possibilidade da
ocorrência de ressonâncias.
•
Enrolamentos:
Os condutores utilizados são formados de cobre eletrolítico com cantos
arredondados. Em função das necessidades definidas pelos valores das solicitações
eletrodinâmicas calculadas nas condições de curto-circuito, podem ser utilizados condutores
com vários graus de dureza e, conseqüentemente, com diferentes características mecânicas.
Os enrolamentos dos reatores são semelhantes aos dos transformadores, podendo ser:
em disco, em disco entrelaçado, helicoidal ou em camadas.
•
Isolamento:
O isolamento dos reatores é constituído basicamente de óleo e celulose (papel e
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prespam) e sua estrutura é semelhante àquela do isolamento dos transformadores.
•
Tanque e Conservador:
Em chapas de aço ASTM-A36, com exceção das partes onde se torna necessário o
uso de aço não-magnético para limitar sobre-aquecimentos localizados em presença de
condutores de alta corrente.
•
Sistema de resfriamento:
O sistema de resfriamento utilizado é o mais simples para esta finalidade, utilizando
radiadores com circulação natural de óleo e de ar.
CAPÍTULO 2: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 – Magnetismo
Segundo a História, a palavra magnetismo tem como origem Magnésia, nome de
uma antiga cidade no continente asiático, de onde há registro da descoberta de um mineral
que tinha a propriedade de atrair partículas de ferro. Tal minério é o óxido de ferro (Fe3O4),
chamado de magnetite (MARTIGNONI, 1977).
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O fenômeno do magnetismo está estritamente ligado à eletricidade. Embora em um
ímã comum possa parecer que funciona sem qualquer fonte de corrente elétrica considerando
o aspecto atômico, ele se deve ao movimento de cargas elétricas. A mesma propriedade pode
ser adquirida, por meio de tratamento especial, de maneira notável, pelo ferro, gusa e aço e,
em pequena proporção, pelo níquel, cromo, etc. Estas propriedades particulares e todas as
outras derivadas constituem o complexo dos fenômenos magnéticos. Chamam-se corpos
magnéticos aos que podem adquirir propriedades magnéticas; corpos magnetizantes,
magnetos ou imãs aqueles que já as possuem, por natureza ou por tratamentos especiais a que
forem sujeitos. A propriedade do aço, de ficar magnetizado por muito tempo, torna possível a
construção de imãs aptos ao estudo experimental das ações magnéticas. Ao ser encostado um
destes imãs na limalha de ferro e depois retirado sem sacudi-lo, pode – se observar que nas
suas extremidades fica ligada uma notável quantidade de limalha, a qual vai diminuindo nas
zonas centrais do magneto, até deixar uma zona completamente livre que é chamada linha
neutra de acordo com a Fig. 2.1 (MARTIGNONI, 1997).
Figura 2.1 – Comportamento de limalha de ferro após a retirada de um imã.
A explicação desse fenômeno leva a concluir pela existência de um agente que atua
sobre todos os corpos magnetizados, ou que podem assumir o estado magnético por indução,
cuja essência consiste de um campo de forças denominado de campo magnético, o qual será
mais tarde discutido neste capítulo.
2.2 - Eletromagnetismo
A eletricidade e o magnetismo são aspectos do mesmo fenômeno, o
eletromagnetismo. Uma característica que os distingue: no magnetismo não existe conceito
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equivalente à carga elétrica, embora exista o conceito de pólo magnético com propriedades
parecidas às da carga elétrica; enquanto na eletricidade existem cargas opostas, positivas e
negativas, e partículas elementares portadoras dessas cargas, no magnetismo não há pólos
magnéticos isolados nem partículas portadoras de pólos magnéticos. Dessa forma, quando um
corpo está eletricamente carregado existe um campo elétrico ao seu entorno, da mesma forma
que ao redor de um imã existe um campo magnético (GASPAR, 2002).
O formalismo do eletromagnetismo é extremamente simples e baseado
principalmente nas quatro equações de Maxwell (BASTOS, 1996). Com isso, este trabalho
parte dessa idéia, onde será apresentado o eletromagnetismo em poucas equações.
Existem dois domínios no eletromagnetismo que incluem as equações de Maxwell,
sendo eles:
•
O domínio de alta freqüência, o qual trata de análise de ondas eletromagnéticas e a
propagação de energia pelas mesmas (freqüências superiores a algumas dezenas de
kHz).
•
O domínio das baixas freqüências que estuda a maior parte dos dispositivos
eletromagnéticos como, por exemplo: Motores elétricos, relés, transformadores,
reatores elétricos, disjuntores, e outros.(freqüência não superior a algumas dezenas
de kHz). Sendo este domínio considerado a situação “quase - estácionária”.
Neste trabalho, será feito um estudo sobre o comportamento eletromagnético de um
reator elétrico, o que circunscreve o interesse no domínio de baixas freqüências, ou seja, pelo
eletromagnetismo aplicado à eletrotécnica clássica. A seguir, é mostrado um diagrama no qual
o eletromagnetismo é dividido segundo os domínios apresentados, sendo este trabalho
baseado nas teorias da magnetostática usando as equações de Maxwell.
ELETROMAGNETISMO
(eqs. Maxwell)
ELETROMAGNETISMO
Baixas Freqüências
(Eletrotécnica)
Eletrostática
ELETROMAGNETISMO
Altas Freqüências
(Ondas)
MAGNETISMO
MAGNETOSTÁTICA
MAGNETODINÂMICA
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Fluxograma 2.1 – Diagrama sobre a divisão do eletromagnetismo em domínio de
baixas e altas freqüências.
As equações de Maxwell são um grupo de equações diferenciais lineares sobre o
tempo e o espaço aplicadas às grandezas ditas “eletromagnéticas”. A estas equações são
atribuídos princípios baseados em experiências desenvolvidas sobre o assunto.
Nas equações de Maxwell as grandezas eletromagnéticas usadas são:
•
Campo Elétrico;
•
Campo Magnético e Indução Magnética;
•
Densidade superficial de Corrente;
•
Permeabilidade magnética.
2.2.1 - Campo Elétrico
Campo elétrico é definido como sendo a região que envolve uma carga ou um
conjunto de cargas Q sem movimento no espaço (BASTOS, 1996). O campo elétrico é uma
grandeza vetorial e tem o caráter de um campo de vetores, como mostrado na Fig. 2.2.
Figura 2.2 – Distribuição vetorial do campo elétrico envolvendo uma carga elétrica.
2.2.2 - Campo Magnético
O conceito de campo magnético surgiu com observações feitas em imãs, onde
verificou - se que ao redor deles produziam – se regiões que foram chamadas de campo
magnético. As Figs. 2.3a e 2.3b mostram o comportamento de limalhas de ferro espalhadas
sobre folhas de papel que estão sobre imãs. Na Fig. 2.3a tem-se o campo magnético gerado
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por pólos opostos de um imã em forma de barra e na Fig. 2.3b o campo é gerado por pólos
opostos de dois imãs.
Figura 2.3 – a) Campo Magnético gerado por pólos opostos de um imã. b) Campo Magnético
gerado por pólos de dois imãs.
Portanto, com base nisso, define-se campo magnético como uma zona do espaço
onde os corpos magnetizados tendem apresentar uma orientação fixa e determinada,
revelando a existência de um campo especial de forças que age sobre os corpos magnetizados.
A intensidade de campo magnético é, então, uma grandeza vetorial definida, em cada
ponto, como a força que solicita uma massa magnética unitária colocada neste ponto.
Neste trabalho será usado o conceito de campo magnético estacionário aplicado nas
equações de Maxwell. A fonte de campo Magnético estacionário pode ser um imã
permanente, um campo elétrico variando linearmente com o tempo, ou uma corrente contínua.
No caso do imã permanente os parágrafos anteriores fazem uma breve explicação do seu
comportamento. Já o campo elétrico não será aqui tratado. As relações dizem respeito ao
campo magnético produzido por uma corrente.
2.2.2.a - Cálculo do Campo Magnético (H) Produzido por uma Corrente
Para determinação do campo magnético devido à corrente elétrica, foram
estabelecidas várias leis muito importantes na física. Uma delas é chamada Lei de Biot –
Savart, também chamada de lei elementar de Laplace. Como explicação dessa Lei pode -se
pensar num elemento diferencial de corrente como a pequena seção de um condutor
filamentar, onde o condutor filamentar é o caso limite de um condutor cilíndrico de seção reta
circular quando o raio tende a zero. Supondo-se para esse caso, que a corrente I esteja fluindo
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em um vetor elementar diferencial de comprimento do filamento, dL, a lei experimental de
Biot-Savart estabelece então que, em qualquer ponto P, a intensidade do campo magnético
produzido por um elemento diferencial é proporcional ao produto da corrente pela magnitude
do comprimento diferencial e pelo seno do ângulo que liga o filamento e a linha que conecta o
filamento ao ponto P, onde o campo é desejado.
Figura 2.4 – A lei de Biot-Savart expressa a intensidade e campo magnético dH
produzido por um elemento diferencial de corrente IdL.
A intensidade do campo magnético é inversamente proporcional ao quadrado da
distância do elemento diferencial ao ponto P. A direção da intensidade do campo magnético é
normal ao plano que contém o filamento diferencial e a linha traçada do filamento ao ponto P.
De duas normais possíveis, aquela que deve ser escolhida é a que estiver na direção dada pela
regra da mão direita (ver Fig. 2.5), aplicada de dL para a linha que liga com o filamento até o
ponto P.
P
Figura 2.5 – Direção do campo magnético usando a regra mão direita.
Usando unidades SI, a constante de proporcionalidade é 1/4π. A lei de Biot- Savart
pode ser representada usando a notação vetorial.
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dH =
IdL X a R
4πR 2
(2.1)
As unidades da intensidade de campo magnético H são evidentemente amperé por
metro, (A/m). A geometria está ilustrada na Fig. 2.4. Os índices podem ser usados para
indicar o ponto ao qual as quantidades das equações 2.1 e 2.2 se referem. Se localizar o
elemento de corrente no ponto 1 e descrever o ponto P no qual o campo deve ser determinado
como ponto 2, então:
dH 2 =
I 1 dL 1 Xa R12
4πR 12
2
(2.2)
2.2.2.b - Campo Magnético (H) em uma Espira Circular
Supõe - se agora, de forma semelhante ao que foi tratado para definição de campo
magnético, que a corrente percorra um condutor em forma de espira. Neste caso, para melhor
compreender a distribuição das linhas de força do campo magnético, será considerado cada
elemento infinitesimal do condutor da espira como sendo retilíneo, dessa forma serão usados
os mesmos princípios antes mencionados. Aplicando a regra da mão direita a cada um destes
elementos infinitesimais se verá que eles exercem ações magnéticas igualmente dirigidas em
todos os pontos internos da espira, onde são dirigidos para cima. No interior da espira, sendo
as ações magnéticas concordes, seus efeitos somam-se (MARTIGNONI, 1977). A Fig. 2.6
mostra a distribuição das linhas num plano diametral de uma espira.
Figura 2.6 – Distribuição de linha de campo magnético no interior de uma espira.
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2.2.2.c - Campo Magnético (H) em um Solenóide
Com base no que foi explanado para a distribuição de linhas de força do campo
magnético produzido por uma espira circular, pode-se analisar o campo magnético para um
solenóide, o qual é composto por espiras iguais e próximas umas das outras, coaxiais,
percorridas por correntes de igual intensidade. A linha que une os centros dessas espiras
constitui o eixo do solenóide. Como base de exemplo, será considerado o caso mais simples,
que é constituído pelo solenóide retilíneo, indicado na Fig. 2.7.
H1
H
B
Figura 2.7 – Campo magnético para um solenóide retilíneo.
Se o sentido das correntes, de igual intensidade, que atravessam as espiras é como
indicado na Fig. 2.7, o campo magnético, por ele produzido, é dirigido no sentido H em todos
os pontos internos do solenóide e, no sentidos H1, oposto ao anterior, em todos os pontos
externos.
Aplicando-se a regra da mão direita a todos os elementos, observa-se que estes
produzem linhas de forças, conforme indica a Fig. 2.8. No espaço compreendido entre um
elemento e o sucessivo atuam linhas de forças em sentidos contrários e, portanto, tendem a se
anular. A distribuição das linhas de força procura abraçar o conjunto das espiras, conforme
mostra a Fig. 2.8. As linhas de forças produzidas pelos elementos diametralmente opostos,
isto é, os representados em B, nos quais a corrente que se afasta do observador, tem sentido
contrário ao das anteriores; porém, no interior do solenóide os sentidos de todas as linhas de
forças são concordes.
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Figura 2.8 – Linhas de forças de campo nos espaços compreendidos entre as espiras.
No interior de um solenóide existe um feixe de linhas paralelas que saindo de uma
das extremidades voltam a entrar na extremidade oposta. O eixo do solenóide é uma única
linha de força retilínea que se fecha no infinito. Invertendo a corrente em todos os circuitos do
solenóide, a distribuição do campo magnético é a mesma, mas invertendo o sentido das linhas
de forças.
2.2.2.d -Campo Magnético e Vetor de Indução
Quando um corpo de material magnético é colocado sob a ação de um campo
magnético, este corpo magnetiza-se criando um campo próprio e maior que o já existente.
Assim, as propriedades que fortalecem o campo magnético inicial são inerentes a cada corpo,
variando de um para o outro, sendo notável nos materiais magnéticos (MARTIGNONI,
1977). A equação abaixo determina o valor do campo magnético resultante para a situação
levantada acima.
B = µH
(2.3)
Imagine, por exemplo, um solenóide fechado, em anel, que produz no seu espaço
interno vazio um campo magnético cuja intensidade é dada por:
H=
(2.4)
4 * π NI
10 l
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Ainda no solenóide introduz-se um anel de ferro sob ação do campo inicial H que
magnetiza-se e adquire uma determinada intensidade dada por:
H1 = 4πJ
(2.5)
Sendo J a densidade de corrente
Dentro do solenóide existirá um campo resultante da sobreposição dos dois campos
distintos dados:
B = H + H1
(2.6)
2.2.3 – Densidade Superficial de Corrente
Supõe - se um fio condutor retilíneo e de seção S percorrido de forma uniforme por
uma corrente I, no sentido indicado na Fig. 2.9.
u
I
S
Figura 2.9 – Condutor retilíneo percorrido por uma corrente.
r
Define - se um vetor unitário u perpendicular à seção S. A densidade superficial
média de corrente atravessando a seção é dada por:
r
J =
I
S
(2.7)
Pode - se definir então o vetor
r
sentido dados por u
r
J=
como possuindo um módulo igual e de direção e
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r
r
J = J ⋅ u
(2.8)
r
Desta maneira, o cálculo do fluxo J =através de S fornece I, pois
I =
r
r
J • d s
∫∫
(2.9)
S
r
Sendo d s
uma parcela elementar de superfície, pode - se aqui considerar que J
varia na seção S.
2.2.4 - Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético
No eletromagnetismo, o fluxo de campo magnético está relacionado ao número de
linhas de campo magnético que atravessam determinada superfície de área S, como mostram
as Figs. 2.10 e 2.11. Assim, o fluxo que atravessa a superfície S é dado por:
φ = S
n
⋅ H
(2.10)
Figura 2.10 – Fluxo magnético em uma superfície S plana.
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Figura 2.11 – Fluxo magnético em uma superfície S não – plana.
Quando Sn representa a projeção da superfície sobre o plano perpendicular a H, tem - se:
S n = S ⋅ cos θ
(2.11)
Logo, o fluxo magnético é expresso pela Eq (2.12) baseado na Fig. 2.11.
φ = S ⋅ H ⋅ cos θ
(2.12)
2.2.5 - Permeabilidade Magnética
Quando um corpo magnético é imerso em um campo magnético H, este produz um campo
magnético resultante B, maior que o existente. Dessa forma, a relação entre B e H é
chamada de permeabilidade magnética que é dada por:
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B
µ=
H
(2.13)
De acordo com (MARTIGNONI, 1977), a permeabilidade magnética é uma grandeza
característica de cada material, pois indica a aptidão que um determinado material possui
em reforçar um campo magnético inicial sendo:
B = µH
(2.14)
No caso do ar, gases e em todos materiais não magnéticos em que B = H , a
permeabilidade é 1, já para os matérias magnéticos esse valor se eleva, como será mostrado
na próxima secção.
2.2.5.a - Permeabilidade Magnética dos Materiais Ferromagnéticos
Para o caso de materiais ferromagnéticos, a relação entra B e H não é constante. Na
prática, as propriedades magnéticas dos materiais ferromagnéticos são caracterizadas por
meio de curvas de magnetização, traçadas tomando-se como ordenadas a indução
magnética B, e como abscissas, a intensidade de campo H.
Para uma série de pontos da curva de magnetização de determinado material, por meio da
relação µ = B/H calcula-se a permeabilidade magnética correspondente.
No caso dos solenóides em lugar da intensidade de campo H, tem - se a relação.
H=
(2.15)
4π NI
.
10 l
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A tabela 2.1 mostra a relação µ = B/H para alguns materiais ferromagnéticos para o caso
particular dos solenóides.
2.2.6 - Forças Magnéticas
Antes de explicar qualquer princípio sobre força magnética serão primeiramente definidas
algumas regras que ajudarão a definir melhor o vetor força magnética.
2.2.6.a - Regras para Determinar o Sentido das Forças
a) Regra dos três dedos da mão direita
Dispondo o indicador, o polegar e o médio da mão direita em ângulos retos entre si,
colocando o indicador na direção do campo (fluxo) e o médio na direção da corrente, o
polegar indica a força, de acordo com a Fig. 2.12.
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Figura 2.12 - Regra dos três dedos da mão direita.
Tabela 2.1 – Relação B e H para materiais ferromagnéticos.
Ferro forjado e aço
Ferro fundido
Lâmina de ferro
Lâmina de ferro com
normal
silício
fundido
*B
**Aes
B
Aes
B
Aes
B
Aes
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1000
0,7
1000
2
1000
0,45
1000
0,8
2000
0,9
2000
4,5
2000
0,5
2000
1
3000
1
3000
8
3000
0,6
3000
1,25
4000
1,2
4000
13
4000
0,7
4000
1,45
5000
1,4
5000
20
5000
0,9
5000
1,6
6000
1,7
6000
28
6000
1,3
6000
1,8
7000
2,2
7000
40
7000
1,7
7000
2
8000
2,7
8000
55
8000
2,3
8000
2,5
9000
3,2
9000
80
9000
3,3
9000
3,1
10000
4
10000
110
10000
4,7
10000
4
11000
5
11000
150
11000
6,3
11000
5
12000
6,2
12000
200
12000
8
12000
7
13000
8,5
13000
10,5
13000
12
14000
12
14000
13,5
14000
23
15000
20
15000
18
15000
40
16000
35
16000
31
16000
75
17000
60
17000
52
17000
140
18000
100
18000
90
18000
240
19000
160
19000
148
20000
250
20000
300
21000
400
21000
460
22000
750
22000
670
23000
900
*B = Indução magnética
**Aes = Ampere-espiras
b) Regra da palma da mão direita
Dispondo a mão direita com o polegar aberto e os outros dedos estendidos no sentido da
corrente, o sentido da força eletromagnética é indicado pelo polegar, quando a mão é
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colocada de maneira que a palma seja investida pelas linhas de força, como mostra a Fig.
2.13.
Figura 2.13 - Regra da palma da mão direita.
2.2.6.b - Força Magnética sobre Correntes
A corrente elétrica em um fio condutor é devida ao movimento dos elétrons. Logo,
um fio conduzindo corrente deve estar sujeito a uma força elétrica. A Fig. 2.14 ilustra este
fato, mostrando três fios condutores colocados em uma região onde há um campo magnético
saindo da página.
Figura 2.14 – Força Magnética sobre um fio.
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Na primeira figura, da esquerda para a direita, a corrente é nula, não havendo,
portanto, qualquer força sobre o fio. A aplicação da regra da mão direita mostra que a força
nos dois casos seguintes deve ter o sentido indicado na Fig. 2.14
2.2.6.c - Força Magnética Sobre Fios de Comprimento Infinitesimal
Como um primeiro passo para uma análise quantitativa mais detalhada, em situações
mais gerais, considera - se a força magnética sobre um fio de comprimento infinitesimal ds .
r
Considerando o vetor d s possuindo módulo ds e orientação dada pela corrente que está
fluindo ao longo do fio, como indicado na Fig. 2.15.
Figura 2.15 - Força magnética sobre um segmento.
A carga dq que passa através do segmento ds durante um intervalo do tempo dt é
dq = I ⋅ dt
(2.16)
onde
é a corrente no fio. O vetor velocidade da carga dq é
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r
r ds
v=
dt
(2.17)
Utilizando as duas equações acima, obtém-se para a força magnética que atua sobre o
segmento infinitesimal
r
r
r r
 ds r 
dF = dqv × B = (Idt ) × B 
 dt

(2.18)
Cancelando os fatores dq , tem-se finalmente:
r
r r
dF = Id s × B
(2.19)
r
Sabe-se que, em geral, o campo magnético B assume diferentes valores em cada
ponto do espaço e a forma do fio é representada por uma curva qualquer. A corrente I tem o
mesmo valor em todos os pontos do espaço, já que a carga é conservada.
2.2.6.d - Força Magnética sobre Fios Possuindo Correntes
Complementando a explicação da secção 2 deste capítulo a força resultante sobre o fio
é obtida fazendo-se a soma vetorial de todas as forças infinitesimais, ou seja, integrando a Eq.
2.19 sobre todos os pontos do fio. Como a corrente I tem o mesmo valor ao longo do fio,
pode-se retirar da integral, obtendo:
r
r r
FB = I ∫ (d s × B )
fio
(2.20)
Dependendo da forma do fio e da configuração de campo magnético, a integral acima
pode ser calculada de maneira bastante simples. A situação mais simples possível consiste de
r
um fio reto imerso em um campo magnético uniforme. Neste caso, B pode ser retirado da
integral na Eq. 2.20, resultando em:
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r
r
r r
r
F = I ∫ (d s )  × B = IL × B
 fio

(2.21)
Na expressão acima, usa-se
r
r
∫ ds = L ,
r
sendo L um vetor orientado no sentido da
fio
corrente e possuindo o comprimento L do fio.
Agora, será considerado um fio possuindo uma curvatura qualquer, imerso em um
campo magnético uniforme, como está ilustrado na Fig. 2.16.
Figura 2.16 - Forca sobre um fio com qualquer curvatura.
Novamente, o campo magnético na Eq. 2.20 pode ser retirado da integral, resultando
em:
r
r
r
FB unif = I ∫ (d s )  × B
 fio

(2.22)
A integral na equação acima é simplesmente uma soma vetorial dos infinitos vetores
r
infinitesimais d s . Geometricamente, o vetor resultante é o que está indicado na Fig. 2.16
orientado de a para b e formando um ângulo θ com a direção do campo magnético. Pode-se
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concluir que a resolução do problema de um fio qualquer imerso num campo magnético
uniforme é equivalente ao problema de um fio reto orientado de uma extremidade à outra do
r
fio original. Denotando a integral na Eq. 2.22 por L (ver Fig. 2.16 ), tem-se:
r
v r
FB unif = IL'×B
(2.23)
Usando a mesma abordagem acima, pode-se concluir facilmente que a
força total sobre um fio formando uma curva fechada (espira), imerso em um campo
r
uniforme, é nula, uma vez que, neste caso, a resultante dos infinitos vetores d s é igual a zero.
2.2.7 – Exemplo de Cálculo da Força Magnética
Um solenóide de geometria cilíndrica é mostrado na Fig. 2.17. (a) Se a bobina de
excitação for percorrida por uma corrente em regime permanente de cc, determine uma
expressão para a força no êmbolo. (b) Para os valores numéricos I = 10A, N = 500espiras, g =
5mm, a = 20mm, b = 2mm e l = 40mm, qual é a magnitude da força? (c) Para uma corrente
alternada de 10 A a 60 Hz, qual é a força instantânea.Admita µnúcleo= ∞.
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µ=
µ=
Figura 2.17 – Solenóide de geometria cilíndrica.
Resolução
Para o cálculo da força é necessário primeiramente calcular a indutância e relutância
•
Indutância (L)
Indutância (símbolo L) medida em "henry" cujo símbolo é H, é definida como o
enlace de fluxo por unidade de corrente. No caso de um solenóide pode ser calculado por:
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N2
L=
ℜ
(2.24)
k1
N 2 2πµ 0 alc 2 N 2
=
L=
≡
2
ℜ
k 2g + k 3
2alg + bc
Onde k 1 ≡ 2πµ 0 alc 2 N 2 , k 2 ≡ 2al , k 3 ≡ bc 2
•
Relutância ( ℜ )
Para o solenóide do problema em questão a relutância pode ser definida pela equação
2.26
ℜT = ℜg + ℜs
(2.25)
Sendo:
ℜ T = Relutância Total
ℜ g = Relutância do Entreferro
ℜ s = Relutância da Luva
ℜ=
g
b
+
2
µ 0 2πal
µ 0 πc
(2.26)
Onde c = a −
b
2
A expressão da força sendo a corrente contínua pode ser então obtida pela equação:
Fe =
1 2 ∂L
I
2 ∂g
(2.27)
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I 2 k 1k 2
Fe = −
2(k 2 g + k 3 ) 2
(2.28)
Onde o sinal de negativo indica que a força tende a diminuir o entreferro.
Se o solenóide for percorrido por uma corrente alternado de 10 A (eficaz) a 60 Hz. A
variação da corrente no tempo pode ser definida pela equação 2.29.
i(t ) = I p cos( 2 ⋅ f r ⋅ π ⋅ t )
(2.29)
i(t ) = I p cos( 2 ⋅ 60 ⋅ π ⋅ t )
I p = I rms ⋅ 2
(2.30)
Sendo:
t = Tempo em segundo;
f r = Freqüência da rede elétrica (60 Hz);
I p = Valor de pico da magnitude de corrente em A;
I rms = Valor rms da magnitude de corrente em A.
Substituindo a equação 2.29 em 2.31 tem-se:
i(t ) = I rms ⋅ 2 ⋅ cos( 2 ⋅ 60 ⋅ π ⋅ t )
(2.31)
i(t ) = 10 ⋅ 2 ⋅ cos( 2 ⋅ 60 ⋅ π ⋅ t )
Dessa forma, a força instantânea pode ser então calculada pela substituição da Eq.
2.31 na Eq. 2.28.
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(i(t )) 2 k 1 k 2
Fe = −
2(k 2 g + k 3 ) 2
(2.32)
(10 2 cos 120πt ) 2 k 1k 2
100k 1 k 2
=−
cos 2 120πt (N)
Fe = −
2
2
2(k 2 g + k 3 )
(k 2 g + k 3 )
Comentários:
A equação da força instatânea pode ser também escrita através da eq. 2.33
 1  100k k 
1  100k 1 k 2 
1 2
 cos( 2 ⋅ π ⋅ 2.60 ⋅ t ) + 

Fe = −  
2 
2  (k 2 g + k 3 ) 2 
 2  (k 2 g + k 3 ) 



(2.33)
 100k 1k 2
100k 1 k 2 
Fe = − 
cos( 2 ⋅ π ⋅ 120 ⋅ t ) +

2
2(k 2 g + k 3 ) 2 
 2(k 2 g + k 3 )
(2.34)
A Eq. 2.36 foi obtida usando as seguintes relações trigonométricas:
cos( A + B ) = cos( A ) ⋅ cos(B ) − sen( A ) ⋅ sen(B )
(2.35)
sen 2 ( A ) + cos 2 ( A ) = 1
(2.36)
Sendo A=B, e substituindo os valores de A em B na Eq.2.38 tem-se:
cos( A + A ) = cos( A ) ⋅ cos(B ) − sen( A ) ⋅ sen( A )
(2.37)
cos( 2A ) = cos 2 ( A ) − sen 2 ( A )
(2.38)
Substituindo a Eq. 2.38 na Eq. 2.40, obtém-se:
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cos( 2A ) 1
cos 2 ( A ) =
+
2
2
(2.39)
cos 2 ( 2 ⋅ π ⋅ 60) =
cos( 2 ⋅ π ⋅ 120) 1
+
2
2
(2.40)
Com isso, a equação para o calculo da força instantânea passa a ter uma freqüência de
120Hz e não mais de 60Hz, além da soma de uma parcela constante, pois quando a função
cosseno é elevada a quadrado, seu valor negativo torna-se positivo, logo seus valores de picos
máximo e mínimo oscilarão sobre a parcela constante mostrada na Eq. 2.40.
Uma outra forma de explicar essa formulação é através de gráficos.
A função da corrente na Eq. 2.32 foi plotada em função do tempo como mostra a Fig.
2.18 (a), através desse gráfico verifica-se que valores de pico máximo e mínimo oscilam sobre
o eixo das Abscissas. A Fig. 2.18 (b), mostra o espectro de freqüência da função na freqüência
de 60Hz. Na Fig. 2.18(c) a função da corrente foi quadrada, nesse gráfico os valores de pico
mínimo tornaram-se positivos, e o valor médio dos picos máximos e mínimos é parcela
constante da Eq. 2.42 multiplicada pela amplitude ao quadrado. A Fig. 2.18(d) mostra o
espectro do sinal, cuja freqüência é de 120Hz.
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Figura 2.18 – Gráfico da corrente elétrica variando no tempo e o espectro de
freqüência.
Fazendo uma análise nas Fig. 2.18(a) e Fig. 2.18(d), verifica-se que no primeiro
gráfico a período T1 = T , e freqüência f 1 = f , no segundo gráfico quando a função foi
quadrada o valor do período passou a ser T1 =
uma valor de f 2 = 2 ⋅ f 1 .
T1 = T
f1 = f =
T2 =
f2 =
1
T
T
2
1
1
1
=
= 2⋅ = 2⋅f
T2 T
T
2
T
, conseqüentemente a freqüência f 2 assume
2
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No exemplo em questão, como a freqüência da corrente é de 60Hz, e em virtude da
força ser proporcional ao quadrado da corrente sua freqüência será de 120Hz (ver Fig.
2.18(d)).
2.3 - Magnetostática
O campo magnético pode ter origem no movimento de cargas elétricas, corrente
elétrica, ou em materiais com propriedades ferromagnéticas (ver Fig 2.19).
A magnetostática estuda os fenômenos magnéticos não variáveis no tempo.
Figura 2.19- Origem do campo magnético: (1) Corrente; (2) Imã permanente.
2.3.1 - As Equações de Maxwell no Eletreomagnetismo
As quatro equações de Maxwell são as seguintes:
r
r r r
rotH = J + ∂D / ∂t
(2.41)
r
divB = 0
(2.42)
r
r
rotE = −∂B / ∂t
(2.43)
r
divD = ρ
(2.44)
Aqui neste trabalho, serão tratadas essas equações no domínio de baixas freqüência,
r
r
ou seja, para os c asos estáticos onde, ∂D / ∂t = 0 . Além disso, na magnetostática não há
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r
variação temporal da grandeza ∂B / ∂t = 0 . Assim, as quatro equações de Maxwell se
resumem para o caso particular da magnetostática nas Equações mostradas logo a seguir.
2.3.2 - As Equações de Maxwell na Magnetostática
r
r r
2.3.2.a - A Equação r o t H = J
Esta equação indica qualitativamente e quantitativamente a formação de
r
r
H de J ,
sendo sua expressão sob a forma integral igual a:
∫∫
r r
r
r o tH • d s =
S
∫∫
r
r
J • ds
S
(2.45)
Sendo S uma superfície,
r
r
H o campo magnético e J a densidade de corrente.
Utilizando o teorema de Stokes, o lado esquerdo da expressão fica sendo:
∫∫
r r
r
r o tH • d s =
S
∫
r
r
H • dL
L (S )
(2.46)
em que L(S) é a linha que limita a superfície S. O lado direito de Eq. 2.28 representa o fluxo
do vetor
r
J através de S, o que é a corrente de condução I atravessando S. Obtém-se então:
∫
r
r
H • dL = I
L (S )
(2.47)
que indica que a circulação de
r
H ao longo de um caminho L(S), que envolve uma seção S,
r r
r
é igual à corrente atravessando esta seção. A equação de Maxwell r o t H = J escrita sob a
forma acima é conhecida como “Lei de Ampère”. A aplicação desta equação no caso de um
fio infinito percorrido por uma corrente I pode ser visualizada na Fig. 2.29.
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Figura 2.20 - Fio infinito percorrido por uma corrente.
Escolhendo como seção S, o círculo de raio R, a aplicação da Lei de Ampère é
simplesmente:
∫
r
r
H • dL = I
L1
(2.48)
sendo,
r
r
r
r
H e d L vetores colineares e de mesmo sentido, o produto escalar H • d L se
transforma em um produto de módulos
HdL. Como, por uma questão de homogeneidade, H
é idêntico em todos os pontos de L1, H não depende de L1 e a integração fica sendo:
H
∫ dL
= I
L1
(2.49)
e H = I / 2πR
Vale salientar que a lei de Ampère, originando de uma equação de Maxwell, é
sempre válida, porém, sua aplicabilidade nem sempre é factível.
r r
r
Um aspecto também importante da equação r o t H = J, aparece quando aplica - se o
r
divergente de ambos os seus lados. Obtém-se div J = 0 , que é a equação da continuidade
elétrica na qual a corrente que entra em um volume é a mesma que sai deste volume.
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2.3.2.b - A Equação
r
div B = 0
r
Esta equação tem um sentido que é análogo à equação div J = 0, com a diferença
que neste caso, é o fluxo magnético que é conservativo.
r
Nota-se que esta equação não indica propriamente a maneira como B é formado,
r
r r
ao contrário da equação r o t H = J . No entanto, a condição de fluxo conservativo deve ser
conhecida.
r
r r
2.3.2.c - A Equação r o t E = 0
r
r r
Esta equação, no caso particular de r o t E = − δ B / δ t , indica que não há
r
r
formação de campo elétrico E devido à variação temporal de B . Isto não significa que não
haja campo elétrico no domínio do estudo do problema magnetostático em questão.
As três equações acima constituem o bloco principal da magnetostática. Podemos
r r
r
atribuir à lei de Ampère, oriunda de r o t H = J um certo destaque em relação as outras duas
equações, tendo em vista que ela associa o campo
CAPITULO 3: MODELAGEM NUMÉRICA
r
r
H a sua fonte geradora J .
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3.1 - Introdução ao Método de Elementos Finitos e Apresentação do Software Ansys.
O ANSYS é um software comercial que foi desenvolvido para resolver problemas de
engenharia, atuando na área da mecânica, elétrica entra outras. Ele usa um procedimento
numérico para resolver diversos problemas com precisão aceitáveis.
Este software realiza análise através do método de elemento (MEF), o modelo que se
origina da aplicação do MEF apresenta semelhança física com a estrutura real, com isso, o
modelo pode ser facilmente visualizado.
Neste trabalho, será utilizado dentre os vários aplicativos que o ANSYS contém, o
EMAG, que é usado para resolver análise Magnética de baixas freqüências como o calculo da
intensidade de campos magnéticos, densidade de fluxo magnético, forças e torques
magnéticos e densidade de corrente.
São três os tipos de análise magnética que este software realiza, sendo ela:
•
Estática - calcula parâmetros magnéticos devido a corrente contínua (DC) ou
magnetos permanentes.
•
Harmônica - calcula parâmetros magnéticos devido à corrente alternada (AC).
•
Transiente - calcula parâmetros magnéticos devido a campo externo ou corrente
elétrica com variação temporal arbitrária.
3.1.1 - Análise de Elementos Finitos (FEA)
Essa análise é uma simulação de sistemas físicos (geometria e carregamento) por uma
aproximação matemática do sistema real. O sistema real com infinitas incógnitas é
aproximado por um número finito de incógnitas através de simples blocos inter-relacionados
denominados de elementos.
Quando se realiza esse tipo de análise é necessário selecionar de uma biblioteca tipos de
elementos e defini-los apropriadamente para cada análise. O tipo de elemento determina entre
outras coisas o conjunto de graus de liberdade (deslocamentos e/ou rotações, potencial escalar
magnético, temperaturas, etc.) e se o elemento é bi ou tri-dimensional.
3.1.2 Etapas básicas da Análise.
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Para realizar qualquer análise usando o software ANSYS é necessário seguir três etapas
básicas sendo elas: pré-processamento, solução e pós-processamento as quais serão
detalhadas a seguir.
Etapa 1 - Pré - Processamento
•
Criar ou importar a geometria.
Antes de se realiza uma análise é necessário criar um modelo numérico ou importa-lo,
(mas ainda para essa segunda alternativa é importante que se saiba usar as ferramentas de
modelagem sólida do ANSYS para modificá-lo). O esquema abaixo ilustra os quatro tipos de
entidades de um modelo sólido.
•
Volumes (regiões 3-D) são delimitados por áreas. Representam um objeto sólido.
•
Áreas (superfícies) são delimitadas por linhas. Representam a face de um objeto sólido
ou placas e cascas.
Linhas (partes de curvas 3-D space) delimitadas por pontos. Representam as bordas
•
dos objetos.
Pontos (posições no espaço 3-D) representa os vértices dos objetos.
•
Area
Keypoint
Line
Are
a
Volum
Figura 3. 1 – Entidades de uma modelo sólido usados no ANSYS
•
Definição dos materiais.
Propriedades constitutivas, tais como permeabilidade magnético, módulo de Young,
densidade, etc... são independentes da geometria. Embora elas não sejam necessariamente
amarradas ao tipo de elemento elas são listadas para cada tipo de elemento para sua
conveniência. Dependendo da aplicação a propriedade do material pode ser linear ou nãolinear. Como se pode ter múltiplos conjuntos de propriedades de material, cada um deles é
identificado por um número de referência.
•
Geometria da malha (nós e elementos).
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Quase todos modelos de elementos finitos hoje são construídos usando modelo sólido.
Essa representação matemática, do tipo CAD, da estrutura define a geometria a ser
discretizada com nós e elementos e pode ser também usado para aplicação de cargas ou outros
dados de análise. Contudo o modelo sólido não participa do processo de solução por
elementos finitos. Todas as informações de análise devem ser transferidas para o modelo de
FEA (nós e elementos) para se iniciar a fase de solução. O processo de criação de um modelo
de elementos finitos a partir de um modelo sólido é denominado de malhagem (Meshing). A
Fig 3.2 ilustra o modelo sólido e o modelo malhado
Figura 3.2 – Representação de um modelo sólido e um modelo malhado
Etapa 2. - Solução (PROCESSAMENTO)
Esta é a etapa onde são definidos os carregamentos, as condições de contornos e solução
do problema.
•
Aplicação de Cargas
As cargas podem ser aplicadas tanto para o modelo sólido quanto para o modelo de
FEA diretamente (nos e elementos). Embora se possa aplicar as cargas no modelo sólido, o
solver espera que todas as cargas estejam aplicadas em termos do modelo de elementos
finitos. Então, as cargas são transferidas do modelo sólido automaticamente para os nós e
elementos subjacentes durante a solução.
•
Solução.
É nesse momento que o computador resolve todas as equações baseadas no método
definido para resolver a análise.
Etapa 3 - Pós – processamento
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A etapa de pós-processamento significa rever os resultados de uma análise. Essa é
provavelmente a etapa mais importante, pois é nesse momento que são mostrados os efeitos
das cargas aplicadas no modelo e a eficiência da malha de elementos finitos.
No ANSYS, dois tipos de pós-processamento estão disponíveis para visualização dos
seus resultados:
•
O General Postprocessor (também conhecido como “POST1”) que permite visualizar
os resultados como um conjunto de dados para o modelo inteiro.
•
O Time-History Postprocessor (também conhecido como “POST26”) que permite
visualizar os resultados em pontos isolados de seu modelo. Esse pós-processador é
usado somente em análise transiente e/ou análise dinâmica.
3.2 - Análise Magnetoestática Através do Método de Elementos Finitos.
Na área de engenharia elétrica o interesse reside sobre a magnitude e a distribuição
de densidade de fluxo, B, ambos relacionados com o campo magnético, H, e fluxo Φ. A
solução para B requer considerações de duas componentes vetoriais para problemas
bidimensionais. Deste modo, a maioria dos métodos computacionais resolve em termos de
potenciais. Os potenciais normalmente usados são:
1-
Potencial escalar magnético, Ω – Este potencial é expressado em
amper- voltas e pode ser muito mais familiar para projetos. Ele é um
verdadeiro número escalar exato em três dimensões.
2-
Potencial Vetor Magnético, A – Este potencial é expresso em Wbm-1 o
comprimento na direção do vetor componente considerado e a componente.
Nos interessa estudar aqui apenas o método potencial escalar, pois foi o método
usado para resolver a análise do problema real.
•
Potencial escalar magnético
Embora o potencial possua um significado físico real, matematicamente ele não é
mais que um artifício que permite resolver um problema por diversas etapas menores. A
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intensidade do campo magnético escalar está relacionada com o potencial da seguinte
forma:
H = -grad Ω
3.1
O sinal negativo é para fazer uma analogia mais próxima com o potencial elétrico. A
intensidade de campo magnético é definida como gradiente de um, potencial escalar
magnético, quando a região de interesse tem uma densidade de corrente igual a zero. Dessa
forma temos:
H = -grad Ω
J=0
3.2
Considerando a variação de H e B nas direções X e Y temos:
Hx = −
∂Ω
∂x
Bx = − µ 0 µ r
Hy = −
3.3
∂Ω
∂x
∂Ω
∂y
By = − µ 0 µ r
3.4
3.5
∂Ω
∂y
3.6
Comparando por analogia para o caso onde existe fluxo de corrente, temos:
Jx = −σ
∂V
∂x
3.7
Jy = −σ
∂V
∂y
3.8
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Considerando um caso tridimensional como mostra a Fig 3.1. O fluxo é continuo isto
é não a danos na malha nem ganhos de fluxo sobre o elemento de dimensões δx, δy, δz,:
matematicamente o divergente de B é zero. Portanto:
∂Bx ∂By ∂Bz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
3.9
Substituindo nas equações 3.3 a 3.6 temos:
∂ 2Ω x
∂x 2
•
+
∂ 2Ω y
∂y 2
+
∂ 2Ω z
∂z 2
=0
3.10
Condições de Contornos para o potencial escalar magnético:
A maioria dos problemas de engenharia requerem um solução de campo em uma
região ou regiões interconectadas com condições de campos especificadas nos extremos das
superfície.
1. Superfície infinitamente permeável: esta não terá variação de potencial sobre ela e
pode ser definida como um equipotencial magnético escalar.
2. Superfície de fluxo paralelo: se uma superfície é identificada como tendo somente
fluxo paralelo então as equipotenciais intersectam a superfície em um ângulo reto, isto
é
∂Ω
∂n
= 0 sobre a superfície.
3. Periodicidade: em algumas maquinas poderá ser considerada geometria cíclica que
sugere a necessidade de se estudar somente um polo, mas há ausência de simetria de
excitação. Portanto as simples condições 1 e 2 não podem ser usadas nas condições de
superfície radial.
•
Determinação de Força e distribuição de forças
Normalmente para um projeto de engenharia é necessário determinar a força total
eletromagnética em um objeto (Por exemplo: a força na armadura de atuador ou no
estator/rotor de uma máquina). Outra necessidade é a de se determinar a distribuição de forças
atuando em uma bobina ou superfície de modo as componentes de tensões, as vibrações e os
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ruídos induzidos eletromagneticamente possa determinar o comportamento de um dispositivo
elétrico. Usando o método de elementos finitos a força pode-se determinada através de vários
métodos, nesse trabalho serão usados os métodos virtual Work e Maxwell Force.
•
Metodos Maxwell Forces
O tensor tensão Maxwell é usado para determinar as forças em regiões
ferromagnéticas. Este cálculo de força é apresentado em superfície de elementos de material
ar que tenha em uma face o carregamento não nulo. A equação é definida:
3.11
µo = permeabilidade do espaço livre
T12 = Bx By
T21 = Bx By
•
Metodos Virtual Work Forces
A força magnética calculada usando o método de trabalho virtual é obtida com a
derivada da energia versus o deslocamento da parte móvel. Este cálculo é valido para uma
camada do elemento ar ao redor da parte móvel. Para determinar a força total na camada de ar
atuando no corpo pode ser somada A equação básica da força de um elemento de material ar
na direção é:
T ∂H 
∂d
T
Fs = ∫{B}  d(vol) + ∫ (∫{B} {dH}) (vol)
∂s
 ∂s 
vol
vol
Onde :
Fs = Força no elemento na direção s.
vol = volume do elemento
s = deslocamento virtual da coordenada nodal
3.12
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3.3 – Análise Magnética Estática para um Modelo Bi-Dimensional
Embora todo objeto e estrutura sejam em 3-D freqüentemente eles podem ser
representados usando um modelo 2-D, devido a maior facilidade na construção do modelo e o
tempo de solução menor que para os caso em 3-D. Usa –se elementos 2D para representar a
geometria da estrutura desses modelos.
Será mostrado a seguir um problema 2-D, que representa um solenóide atuador, o
objetivo dessa análise é determinar a força que atua na armadura. O modelo será considerado
axisimétrico. A figura 3.3 mostra com detalhes a geometria do modelo destacando seus
componentes.
Esse exemplo foi feito com intuito de se familiarizar com o tipo de modelagem
eletromagnética usada para resolver o problema do reator.
Figura 3.3 – Modelo 2-D do solenóide atuador.
Construção do Modelo Numérico
A Fig 3.4 mostra o modelo numérico do solenóide que é formado por áreas para
representar o modelo geométrico.
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Figura 3.4 – Modelo numérico do solenóide atuador.
Definição dos elementos e das propriedades dos materiais
Em análise magnética estática 2-D são usados elementos do tipo PLANE 13 e
PLANE 53, usaremos nessa análise o PLANE 13 para representar o modelo sólido. Esse
elemento é definido por quatro nós com quarto graus de liberdades cada nó, ele tem a
capacidade magnética linear e não-linear para modelar curva B-H ou magnetos permanentes.
Na Fig 3.5 temos a geometria do elemento PLANE 13
Figura 3.5 – Geometria do elemento PLANE 13.
Quanto às propriedades dos materiais usados podem ser visualizadas na tabela 3.1 e são
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representadas na figura 3.6.
Tabela 3.1 – Propriedades dos materiais
Material
Permeabilidade Magnética µ(H/m)
Área
Ar
1
A1
Entreferro
1000
A2
Bobinas
1
A3
Armadura
2000
A4
Figura 3.6 – Definição das propriedades no modelo numérico.
Malhagem do modelo
O modelo foi malhado de forma estruturada para se obter um melhor resultado, isso foi
possível pela simplicidade do modelo. Foram feitos outros cálculos usando uma malha um
pouco mais refinada, e seus resultados tiveram variações não significativas. O modelo
malhado é mostrado na Fig 3.7.
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Figura 3.7 – Modelo discretizado.
Aplicação do carregamento
A posição da força que será calculada está definida nas figuras 3.8 e 3.9 destacada em
vermelho.
Figura 3.8 – Definição da componente armadura
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Figura 3.9 – Aplicação do Carregamento
Aplicação da Densidade de corrente
A densidade de corrente é definida pelo numero de volta do enrolamento da bobina vezes a
corrente dividida pela área. Nesse exemplo foi assumido um valor de 325 A v/m. O
elemento que define a bobina pode ser visualizado na figura 3.9 identificada pela área em
vermelho.
Obtenção do fluxo paralelo
Toda as linha que delimitam a parte externa do modelo foram definidas para aplicação do
fluxo paralelo. Esta condição não permite vazamento de fluxo através dessas linhas.
Obtenção da Solução
Este problema foi resolvido usando a formulação de vetor potencial magnético.
Nesta formulação os resultados são obtidos por um simples vetor potencial magnético de grau
de liberdade AY. Neste método a bobina é parte integrante do modelo de elementos finitos.
Análises dos Resultados
É possível observar na figura 3.10 e 3.11 um certo vazamento de fluxo indesejável fora da
estrutura de ferro.
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Figura 3.10– Distribuição das linhas de densidade de fluxo
Figura 3.11 – Distribuição dos vetores de densidade de fluxo.
Visualização isométrica do modelo
A figura 3.12 mostra a distribuição da densidade de fluxo através do atuador completo.
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Figura 3.12 – Distribuição da densidade de fluxo no modelo completo do atuador.
Um outro parâmetro analisado é a força que atua na armadura. Na Fig 3.13 a distribuição
de força é mostrada destacando o valor Maximo de 1.593N.
Valor Máximo
Figura 3.13 – Distribuição da força na armadura do atuador.
A força total que atua na armadura foi calculada pelo método do Tensor de Tensão de
Maxwell e pelo método do Trabalho Virtual, como já era de se esperar os resultados deram
próximos. (Ver Fig 3.14).
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Figura 3.14 – Resultado da força total que atua na armadura.
3.4 – Análise Magnética para um Modelo Tri-Dimensional
Este exemplo tem como objetivo calcular a força na armadura. Uma corrente continua
excita a bobina que proporciona a força para mover a armadura. Esta análise trabalha um ¼
do modelo do quadrante positivo X e Y. A Fig 3.15 mostra o modelo do solenóide atuador.
Figura 3.15 – Modelo do solenóide atuador.
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Construção do Modelo Numérico
O modelo numérico é representado por volumes, com exceção da bobina que será vista
mais adiante.
Figura 3.16 – Modelo numérico do solenóide atuador sem a região do ar
Figura 3.17 – Geometria usada na análise considerando a região do ar
Definição dos elementos e das propriedades dos materiais
Usa-se para a região do ar a permeabilidade relativa de 1 H/m e para os outros
componentes é usada a curva B – H, conforme Fig 3.18.
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Figura 3.18 – Curva B-H usada para todos os componentes exceto o ar
Malhagem do modelo
O modelo foi malhado de forma livre, deixando a critério do ANSYS o ajuste da malha.
Figura 3.19– Malhagem do Modelo
Geração da bobina
Diferente do exemplo anterior, a bobina não faz parte da malha de elementos finitos,
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pois ela é um parâmetro pré-definido, tornando necessário apenas as informações mostradas
na tabela 3.1 para sua construção. Para melhor entendimento (Ver secção 3.5 deste capitulo)
Figura 3.20 – Modelo numérico completo e a bobina
Aplicação das cargas
Na Fig 3.21 a cor em vermelho mostra a condição de carregamento, ela representa a
armadura onde a força será calculada.
Condição
de
carregamento
Figura 3.21 – Condição de carregamento na armadura
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Obtenção da Solução
Este problema foi resolvido usando a formulação de potencial escalar magnético,
formulação que também foi aplicada no caso do reator, com isso esse exemplo contribui de
forma significativa no entendimento dessa formulação quando aplicado na análise principal
desse trabalho. Dessa forma a explicação desse método foi feita no início desse capitulo.
Análises dos Resultados
Na Fig 3.22 pode-se visualizar a distribuição dos vetores de fluxo magnético ao redor da
estrutura. Nas duas figuras mostradas a baixos é possível observar que os valores mais
elevados de densidade de fluxo magnético estão situados na região da armadura isso
porque quando o fluxo sai dessa região ele se divide em duas metades na estrutura de
sustentação da bobina.
Figura 3.22 – Vetores do fluxo magnético
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Figura 3.23 – Contorno do fluxo magnético
Figura 3.24 – Resultado da força que atua na armadura do solenóide
Nesses resultados as força nas direções x e y se anulam enquanto que a força na
direção z é multiplicada por quatro. Dessa forma a força que age sobre a armadura e que foi
obtida pelo método do Trabalho Virtual é de 11,19N e a que foi obtida pelo método de
Maxwell corresponde a 10,96 N. Da mesma forma do exemplo anterior, pode-se verificar que
os valores das duas forças, que atuam na armadura na direção z, apresentam valores
próximos.
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CAPÍTULO 4: ANÁLISE MAGNÉTICA PARA O REATOR
Os resultados básicos de uma análise magnética incluem intensidade de campo
magnético, densidade de fluxo magnético, força ou torque magnético e densidade de corrente.
Existem duas formas um tanto quanto diferentes para se calcular esses parâmetros
eletromagnéticos que são as formulações de potencial vetor magnético e o potencial escalar
magnético. Essas duas formulações foram usadas nos exemplos apresentados no capítulo
anterior do trabalho, sendo que a primeira formulação foi aplicada na análise bidimensional e
a segunda na análise tridimensional.
Neste capítulo será mostrada a análise desenvolvida para o Reator Elétrico e
apresentados os resultados obtidos nas duas análises, com o propósito de se fazer uma
comparação entre os resultados.
4.1 - Análise dos Resultados
4.1.1 - Definição do Modelo do Reator
O modelo real do reator é composto por três bobinas, as quais possuem em seus
interiores, chapas de aço silício, que são sustentadas por uma armadura e estão imersas em um
óleo isolante, armazenado dentro da carcaça metálica do reator. Para efeito de análise, o
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modelo numérico foi definido contendo apenas 1/4 da estrutura do reator com: a armadura, as
chapas de aço silícico, as bobinas (a região do óleo isolante foi substituída pelo ar). Na
estrutura externa, as paredes com irregularidades foram simuladas como uma caixa de paredes
planas. Podem ser observados nas Figs. 1.1 e 4.2 as fotos do reator fechado e a separação da
estrutura externa e o núcleo magnético. Na Figs. 4.3 e 4.4 têm-se com detalhes a composição
do núcleo. O modelo numérico construído é uma aproximação do modelo real, que devido a
sua complexidade tornou-se necessárias algumas simplificações. Vale ressaltar que a
definição de um modelo numérico está vinculada aos recursos computacionais disponíveis,
pois quanto mais complexo o modelo, maior será o tempo para obter a solução, além de exigir
computadores mais sofisticados.
Foto 4.1 – Fotos do reator e do núcleo magnético na fábrica.
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Foto 4.2 – Fotos do Núcleo Magnético.
Foto 4.3 – Foto da chapas de aço silício que compõe o núcleo magnético.
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4.1.2 - Construção do Modelo do Reator
Como já mencionado anteriormente, o modelo numérico representa apenas 1/4 da
estrutura do reator, pois o modelo pode ser considerado simétrico no eixo Y. A Fig. 4.4
mostra as chapas de aço silício e a armadura. Já na Fig .4.5, o volume representa a região
de ar.
Figura 4.1 – Modelo numérico da armadura e as chapas de aço silício.
Figura 4.2 – Modelo numérico representando a região do ar.
4.1.3 - Definição dos Elementos E Propriedades do Material
O elemento usado nessa análise foi o SOLID96, o qual tem a capacidade de modelar
campos magnéticos em 3-D, usando a formulação potencial escalar magnético em uma análise
estática. A geometria, a localização do nó e os sistemas de coordenadas para este elemento são
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mostrados na Fig. 4.6.
Figura 4.3 – Geometria do SOLID96.
Para a região do ar foi usado a permeabilidade relativa de 1,0 H/m. A curva B –
mostrada na Fig. 4.7 foi usada para todos os componentes que compõem a geometria, exceto
o ar, pois os materiais são ferromagnéticos.
Figura 4.4 – Curva B-H do aço silício.
4.1.4 - Discretização do Modelo
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O modelo foi discretizado de forma livre, mas levando em consideração a
disponibilidade de recursos computacionais e a convergência dos cálculos. Todo o modelo foi
discretizado com o elemento SOLID96, como já mencionados no item anterior. Nas Figs. 4.8
e 4.9 é possível observar o modelo discretizado, destacando cada região.
Figura 4.5 – Discretização da região do ar.
Figura 4.6 – Discretização da armadura (cor vermelho) e as chapas de aço silício (cor lilás).
4.1.5 - Geração das Bobinas
As três bobinas do reator são geradas no modelo numérico de forma independente da
malha. As bobinas possuem geometrias pré-definidas chamadas de SOURC 36, que são
usados para fornecer dados em problemas de campo magnético. Esse elemento representa a
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distribuição de corrente no modelo trabalhado com a formulação potencial escalar magnético.
As fontes de correntes são usadas para calcular a intensidade de campo magnético (Hs),
usando a técnica de integração numérica envolvendo a lei de Biot-Savart. O termo Hs é usado
na formulação como uma condição magnética no modelo. A Fig 4.10 detalha o elemento
SOURC 36.
Os parâmetros usados na criação das bobinas são listados na Tabela 4.1.
Tabela 4.1 – Parâmetros usados para a construção das bobinas
Parâmetros
Aplicação
Valores
XC
Valor do raio em X
450mm
YC
Valor do raio em Y
450mm
DZ
Dimensão Z
1640mm
DY
Dimensão Y
250mm
CUR
Valor da corrente
75.3A
N
Nº de enrolamentos
1234 V
TCUR
Corrente vezes o nº de voltas
12839 A-V
Figura 4.7 – Geometria do elemento SOURCE 36.
A Fig 4.11 mostra as três bobinas usadas no modelo. Na Fig. 4.12 pode ser observado
que a corrente está no sentido anti-horário e defasadas de 120° uma das outras.
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Figura 4.8 – Bobinas usadas na modelagem numérica.
Figura 4.9 – Bobinas destacando os sentidos das correntes.
4.1.6 - Aplicação das Condições de Carregamento
Um dos objetivos do trabalho é calcular a força na estrutura de sustentação das
bobinas (armadura), dessa forma o destaque em vermelho é a aplicação desse carregamento,
ou seja, o lugar onde as forças devem ser calculadas. Essa condição calcula a força total que
atua no componente selecionado na Fig. 4.13.
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Figura 4.10 – Condição de carregamento na armadura.
4.1.7 - Obtenção da Solução
4.1.7.a - Método de solução
A formulação potencial escalar magnética é recomendada para aplicação de análise
estática 3D. A aproximação escalar permite modelar a fonte de corrente como sendo primitiva
ao invés de elementos, portanto a fonte de corrente não precisa ser parte da malha de
elementos finitos. Para efeito de certificação dos resultados foram realizadas duas análises:
uma bidimensional e outra tridimensional do reator. No primeiro caso, serão mostrados
apenas os resultados.
4.2 - Modelo Bidimensional do Reator
4.2.1 - Vetores de Fluxo Magnético
A Fig. 4.14 destaca os vetores de densidade de fluxo magnético distribuído no modelo
bi-dimensional. As cores representadas em azul simulam os valores mínimos da densidade
enquanto que a cor em vermelho destaca o máximo valor encontrado desse fluxo.
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Figura 4.11 – Distribuição de vetores de fluxo magnético.
4.2.2 - Contornos de Fluxo Magnético
Figura 4.12 – Contornos de fluxo magnético
4.2.3 - Gráfico do Fluxo de Linha no Modelo
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Figura 4.13 – Fluxo de linha no modelo.
4.2.4 – Distribuição dos Vetores de Força
Figura 4.14 – Distribuição dos vetores de forças.
4.2.5 - Contornos de Força
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Força máxima
Figura 4.15 – Contornos de força no modelo.
4.2.6 -Cálculo da Força Total Atuando na Armadura
Figura 4.16 – Cálculo da força total
4.3 - Modelo Tridimensional do Reator
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4.3.1 - Vetores de Fluxo Magnético
Figura 4.17 – Distribuição dos vetores de densidade de fluxo magnético
4.3.2 - Contornos de Fluxo Magnético
Figura 4.18 – Contornos de densidade de fluxo magnético.
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4.3.3 - Distribuição dos Vetores de Força Atuando na Armadura
Figura 4.19 – Distribuição dos vetores de força.
Figura 4.20 – Cálculo da força total atuando na armadura.
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CAPÍTULO 5: CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
5.1 - Conclusões
Como pôde ser visto nos resultados das figuras (4.15), (4.16), (4.21) e (4.22), a
distribuição de densidade de fluxo magnético tanto para modelo bi - dimensional quanto para
o modelo tri dimensional se comporta de forma semelhante e coerente com a teoria, pois o
fluxo que sai do interior de cada bobina se soma atingindo seu valor máximo na parte lateral
da armadura que são identificados nas figuras com cores que indicam esses valores.
Outro valor que pode ser aqui destacado e que é considerado o objetivo principal do
trabalho é o cálculo da força total atuando na armadura. Primeiramente, para o caso bidimensional, têm-se dois valores de força o qual são calculados pelos dois métodos:
Deslocamento Virtual e Tensor Tensão de Maxwell. Usando a formulação do vetor potencial
escalar, observa-se que os dois valores são relativamente próximos, sendo que para o primeiro
método a força encontrada foi de aproximadamente 40 kN, e para o segundo foi de 50 kN, o
que pode ser considerado aceitável por estarem na mesma ordem de grandeza ( ver Fig. 4.20).
Quanto ao caso tridimensional os métodos de cálculo das forças foram os mesmos mas a
formulação usada foi a potencial escalar magnético que é a formulação mais apropriada para
as análises tridimensionais, pois apresenta um número de equações menor que para a
formulação potencial vetor magnético, implicando, conseqüentemente, na necessidade de
recursos computacionais mais sofisticados. Os valores encontrados nessa situação foram de
aproximadamente 17,7 kN e 18,8 kN (ver Fig. 4.24), que são considerados excelentes quando
comparados com os exemplos mostrados no capítulo 3. Vale ressaltar que as forças
encontradas representam a parcela de apenas1/4 da geometria, ou seja, para encontrar a força
total atuando na geometria completa é necessário multiplicar esse valor por 4. Dessa forma
pode-se dizer que a força total que atua na armadura do modelo tem um valor de 71,2 kN e
75,6 kN.
As diferenças verificadas entre os dois tipos de análises realizadas no modelo do
reator, no que diz respeito aos valores de força magnética, podem ser justificadas por um
conjunto de fatores que somados podem ter gerado tal diferença. Um dos fatores pode ser
atribuído ao critério de convergência que foi assumido de 10-2 devido à dificuldade de se
obterem resultados para critérios de convergência menores pela demora na obtenção dos
mesmos. Por outro lado, outro fator negativo que pode ter contribuído na diferença dos
resultados foi a qualidade da malha que não pôde ser mais refinada, devido ao aumento no
número de elementos, o que acarretaria num aumento dos graus de liberdade do problema e a
necessidade de hardware de maior capacidade para que o problema pudesse ser processado
pelo ANSYS.
Com base nos resultados encontrados nas análises bidimensional e tridimensional a
força total foi diferente sendo que no primeiro caso variou entre 40 a 50 kN e no segundo 71,2
a 75,6 kN. Isso pode ser justificado pela própria aproximação dos modelos, ou seja, um
modelo tridimensional se aproxima bem mais do modelo real que o bidimensional. A primeira
análise foi importante porque forneceu um primeiro resultado com a finalidade de se ter uma
noção do valor que seria encontrado na análise propriamente dita.
De um modo geral, os resultados aqui encontrados possibilitam uma boa compressão
do problema eletromagnético e permite sinalizar para as condições de carregamento que
podem ser estabelecidas em um modelo vibro-acústico para o estudo da vibração e do ruído
gerado pelo carregamento eletromagnético.
5.2 – Recomendações para Trabalhos Futuros
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Após a conclusão deste trabalho é possível sinalizar para atividades futuras que
poderão ser desenvolvidas visando o aperfeiçoamento dos resultados aqui apresentados, bem
como ampliar a abordagem até então desenvolvida. Assim, oferecem-se as seguintes
sugestões para trabalhos futuros:
•
Desenvolver um modelo tridimensional completo do reator, com os mesmos
pressupostos usados nas análises apresentadas neste trabalho, estabelecendo
comparações dos resultados;
•
Estudar o carregamento eletromagnético do modelo desenvolvido para uma
abordagem que considere a corrente alternada e, como conseqüência, a
variabilidade da carga com o tempo;
•
Desenvolvimento de um modelo tridimensional do Reator que permita a
análise de carregamento completa e inclua o chapeamento do costado, tendo
como suporte recursos ampliados de Hardware;
•
Desenvolver uma análise de vibração forçada em máquinas elétricas rotativas
provocadas por forças eletromotrizes.