MECÂNICA
CEX175
Profa. Aline Duarte Lúcio
[email protected]
Prof.Aline/CEX175/DEX/UFLA
1
Trabalho e Energia
Trabalho e Energia
Nota
Alguns slides, figuras e exercícios pertencem às seguintes referências:
 HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos da Física. V 1. 4a.Edição. Ed. Livro Técnico Científico S.A. 2002;
 TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física. Volume 1, 5a Ed, Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2006;
 da Silva, E. Z, et al., “Curso de Física Geral F-128”;
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2
Trabalho e Energia
Força
Trabalho
Gradiente de Energia
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3
Trabalho e Energia
As leis de Newton permitem analisar vários movimentos.
Essa análise pode ser bastante complexa, necessitando de
detalhes do movimento simplesmente inacessíveis.
Por exemplo, o cálculo da
velocidade final de um
carrinho na chegada da
percurso da montanha russa
da figura ao lado seria
bastante complicado se
utilizarmos as leis de Newton.
Porém, com as definições de
trabalho e energia, este
problema se torna bastante
simples, como veremos neste
capítulo.
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
v0
0

v ?
4
Trabalho e Energia
Trabalho: Forças constantes
Considere deslocamento em x.
W
Fx x
F x cos
onde F e ∆x são módulos (>0) e
θ é o ângulo entre a força e o
deslocamento.
Unidade SI: 1 joule = 1 J = 1 N.m
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5
Trabalho e Energia
Trabalho: Forças constantes
Se N forças atuarem sobre o corpo, o trabalho total é a soma dos
trabalhos realizados por cada força.
Wtotal
F1x x F2 x x ... FNx x
Wtotal
Wtotal
(
Fres , x x
Fx ) x
Fres x cos
Atenção: para ter trabalho é necessário ocorrer um
deslocamento ao longo do qual a resultante de forças é
diferente de zero!
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Trabalho e Energia
Energia Cinética: definição
K
1 2
mv
2
Energia cinética de um corpo
com velocidade v.
Unidade SI: 1 joule = 1 J = 1 N.m = 1 kg.m2.s-2
 A energia cinética não pode
negativos e é uma grandeza escalar.
assumir
valores
 O trabalho também é uma grandeza escalar e pode
assumir valores negativos.
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Trabalho e Energia
Teorema Trabalho - Energia Cinética
Se a força resultante é constante, a aceleração também será, assim,
v2
v02 2ax x
Fx
ax
ma x
Fx x
Wtotal
(v 2 v02 )
2 x
(v 2 v02 )
m
2 x
1 2
mv
2
1 2
mv0
2
K
Apesar desta dedução ser válida apenas para força resultante
constante, o teorema trabalho-energia é válido mesmo
quando a força variar e o movimento não for retilíneo.
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Exemplo
Trabalho e Energia
Um guindaste ergue uma peça de 1t, com velocidade
constante, do chão até o terraço de um prédio, a 10m
do chão. (a) Qual é o trabalho realizado por cada força
que atua sobre a peça? (b) Do resultado do item a,
calcule o trabalho total sobre a peça. (c) Este resultado
poderia ser obtido pelo teorema trabalho-energia
cinética? Justifique.
(a) W
WP
WP
WT
WT
(b) W
total
(c) Wtotal
Fy y F y cos
Py y mg y cos180o
98100J
Ty y mg y cos 0o
98100J
WP WT
K
1 2
mv
2
1000 x 9,81x 10 x( 1)
1000 x 9,81x 10 x 1
Fres , y y 0
1 2
mv0
2
0 (velocidade constante!)
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Trabalho e Energia
Trabalho para uma força variável
Para uma força constante, teremos:
O trabalho é a área sob a curva
da força, no intervalo ∆x.
Inicialmente, podemos aproximar uma
força variável F(x) por uma série de
forças constantes Fi.
O trabalho realizado pela força
variável, no intervalo ∆x, é
aproximadamente a soma das áreas
dos retângulos Fi∆xi, entre x1 e x2.
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Trabalho e Energia
Trabalho para uma força variável
xi
No limite
0
x2
W
lim
x
0
i
Fi xi
x1
x2
W
F ( x)dx
x1
O trabalho é a área sob a curva da
força, no intervalo entre x1 e x2.
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Trabalho e Energia
Exemplo: força varia com a posição
Força elástica:
F
kx
Força restauradora da mola
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Trabalho e Energia
Exemplo: força varia com a posição
Trabalho realizado pela força da mola
F
xf
Wmola
xi
F ( x)dx
xi
xf
xf
x
k xdx
xi
1
2
k(x f
2
Se xi < xf
W<0
2
i
x )
O trabalho sobre a mola pelo corpo
é o valor obtido acima com sinal trocado.
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Trabalho e Energia
Trabalho de força variáveis em 2 e 3D
Considere
uma
partícula
movendo-se ao longo de uma
curva qualquer no espaço, sob a
ação de uma força F.
A força pode ser decomposta em
uma componente tangencial à
curva, Fs, na direção do
deslocamento (responsável pela
variação
do
módulo
da
velocidade), e outra componente
perpendicular ou radial à curva,
F┴,(responsável pela variação da
direção da velocidade).
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Trabalho e Energia
Trabalho de força variáveis em 2 e 3D
O trabalho dW, de uma força F agindo ao longo de um deslocamento
infinitesimal ds será apenas devido à componente na direção do
deslocamento. Ou seja,
dW
Fs ds
F cos ds
Podemos expressar o resultado acima através da definição de produto
escalar. Dado dois vetores A e B, o produto escalar entre eles é
definido como:
onde Ф é o ângulo entre A e B.
Assim, o trabalho dW pode ser escrito da forma:
dW
 
F ds
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Trabalho e Energia
Trabalho de força variáveis em 2 e 3D
O trabalho, W, realizado sobre a partícula quando ela se move entre
os pontos s1 e s2 será:
s2
 
F ds
W
s1
Se várias forças atuarem sobre a partícula, o trabalho total será
dWtotal
   
 

F1 ds F2 ds ... ( F1 F2 ) ds
s2
ou seja,
Wtotal


Fres ds
(


Fi ) dsi
i
Fres ,i
s1
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Trabalho e Energia
Pergunta: força centrípeta
realiza trabalho?

ds

Fc
dWc

v
 
Fc ds
Fc ds cos 90o
dW
W
0
0
Ou, pelo teorema trabalho – energia cinética:
W
Lembre-se que força
centrípeta não muda o
módulo da velocidade!

v
cte
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K
K
0 W
17
Trabalho e Energia
Potência
Até agora não nos perguntamos sobre quão rápido é realizado um trabalho!
Potência, P, é a razão (taxa) de realização do trabalho por unidade de tempo:
P
dW
dt
Unidades SI:
J/s = W
dW
 ds
F
dt
Dado que o trabalho dW realizado por uma força F é:
Podemos escrever:
P
dW
dt
Ou seja,
P
 
F ds
dt
 
F v
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 
F ds
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Trabalho e Energia
Curiosidades
No sistema de unidades inglesa, a potência é medida em pé-libra por
segundo. A unidade de potência cavalo-valor (hp, do inglês “horse
power”) é um múltiplo da unidade inglesa, criada por Watt para fazer o
marketing de sua máquina a vapor, utilizando algo familiar à sociedade da
época: o trabalho realizado por cavalos.
1 hp = 550 ft.lb/s=746 W
O “horse power” é a potência necessária
para elevar verticalmente, a uma
velocidade de 1 pé/min (≈ 0,3 m/min),
uma massa de 33.000 libras (≈15 t).
Esquema da 1a máquina
a vapor de J. Watt - 1788
A “conta de luz” que pagamos mensalmente, traz a quantidade de energia
gasta na residência, e não a potência. O consumo é medido em quilowatthora de energia, ou seja:
1 kW.h = (103 W)(3600 s) = 3,6 x 106 W.s = 3.6 MJ
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Exemplo
Trabalho e Energia
Exemplo 6-11 – Tipler, 5ª Edição: Mostre que a potência fornecida a
uma partícula por uma força resultante atuante sobre ela é igual à taxa
temporal com a qual a energia cinética da partícula varia.
Pres
Mas,
dv
2
dt
ou seja,

dv 
v
dt

dv 
m
v
dt
 
Fres v
 
ma v
 
d (v v )
dt


dv   dv
v v
dt
dt

dv 
2
v
dt
2
1 dv
2 dt
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Trabalho e Energia
continuação exemplo:
Assim,
Pres

dv 
m
v
dt
2
dv
1
(2
m
)
dt
d
dt
(
mv 2
2
)
K
Pres
dK
dt
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Trabalho e Energia
Trabalho e Energia em 3D
Do exemplo anterior, temos que,
 
Fres v
dK
dt
Pres
Integrando ambos os lados da equação acima em função do tempo,
teremos,
t2
t2
s2
K2
 
Fres v dt
t1

ds


Fres ds
dK
dt
dt
t1
Wtotal
K2
s1
K1
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dK
K1
K
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Trabalho e Energia
O
Energia Potencial
trabalho realizado sobre um sistema de partículas pode
tanto variar a energia cinética de uma ou mais partículas do
sistema, como também pode ser armazenado em forma de
energia potencial U do sistema.
A
energia potencial é uma energia associada com a
configuração (ou arranjo) de sistemas cujas partículas exercem
forças umas sobre as outras. Se a configuração muda, a energia
potencial também pode mudar.
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Trabalho e Energia
Energia Potencial
Considere um levantamento de peso, conforme figura
ao lado. Vamos considerar que o haltere possui massa
m e é elevado até uma altura h, em relação ao ponto
mais baixo do movimento (esportista agachado).
O trabalho realizado pela força peso, durante o
levantamento do haltere será,
deslocamento e peso
WP Py y mgh cos180o
em sentidos opostos
WP
mgh
O trabalho realizado pelas mãos do esportista será,
Wtotal
K 0
Wtotal WP WNm
WNm
WP
WNm
mgh
vi = vf = 0
0
( mgh)
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Trabalho e Energia
Energia Potencial
Considere agora que o sistema é formado pelo
haltere e pela Terra (incluindo o chão).
O diagrama de forças (externas) para este sistema
será,
onde
Pse é a força
gravitacional que o esportista
faz sobre o sistema (no caso,
a Terra); Nsm é a força de
contato entre a mão do
esportista e o sistema (no
caso, o haltere) e Nsp é a
força de contato entre os pés
do esportista e o sistema (no
caso, a Terra).
Que forças realizam trabalho sobre o sistema?
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Energia Potencial
Trabalho e Energia
O movimento da Terra é desprezível, assim Pse e Nsp não
realizam trabalho.
O trabalho realizado por Nsm é mgh (calculado anteriormente).
Assim o trabalho total realizado sobre o sistema por todas as
forças externas será,
Wtotal,ext
WPse WNsm WNsm
Wtotal,ext
mgh
Mas,
K
0
0 0 mgh
vsist,i = vsist,f = 0
 O trabalho é armazenado no sistema haltere-Terra como energia
potencial, que neste caso é gravitacional.
 Esta energia está associada à configuração do sistema, ou seja, à
posição do haltere em relação à Terra.
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Trabalho e Energia
Forças Conservativas
Uma força é conservativa quando o trabalho total que ela realiza sobre
uma partícula é nulo, quando esta partícula percorre um caminho
fechado (posição final = posição inicial).
Considere então que uma
partícula saia da posição 1 e
percorra um caminho fechado,
voltando à posição 1, conforme
figura ao lado. O trabalho total
pode ser calculado através da
soma,
Wtotal
W12 W21
onde W12 é o trabalho realizado pela força na trajetória 1-2 e W21 é o
trabalho realizado pela força na trajetória 2-1.
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Forças Conservativas
Trabalho e Energia
Se a força aplicada for conservativa, então,
Wtotal
0
Assim,
Wtotal
W12 W21
W12 W21
W12
0
0
W21
Isto significa que, independente da trajetória que a partícula percorrer
para ir de um ponto a outro, se a força aplicada a ela for conservativa, o
trabalho total realizado por esta força será sempre o mesmo.
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Trabalho e Energia
Exemplo: forças conservativas
Caminho fechado: sair de A e voltar a A, passando por B.
1º Caso
2º Caso
B
trajetória
AB
B
trajetória
BA
A
WBA
0
trajetória
BA
trajetória
BA’
A
WAB WBA
WAB
B
trajetória
AB’
trajetória
AB
Wtotal
3º Caso
'
WAB WBA
'
WAB
WBA
Wtotal
A
0
'
WBA WBA
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Wtotal
' W
WAB
BA
'
WAB
WBA
WAB
'
WAB
29
0
Trabalho e Energia
Funções Energia Potencial
Força conservativa → Trabalho não depende
→ Trabalho depende apenas da
inicial e final → Função de estado
da trajetória
posição
→ Associa-se uma função energia potencial
à força.
s2
Wc
 
F ds
U
s1
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Trabalho e Energia
Funções Energia Potencial
s2
Wc
 
F ds
U
s1
Desta definição vemos que o trabalho positivo acarreta a diminuição da
energia potencial, e vice-versa.
Podemos ver o exemplo do haltere da seguinte forma: o trabalho realizado
pela força gravitacional (força interna ao sistema), sobre o haltere,
aumenta a energia potencial do sistema, durante seu levantamento, e
diminui a energia potencial do sistema, quando ele é abaixado.
No exemplo acima já estamos considerando o fato de que a força
gravitacional é uma força conservativa.
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Trabalho e Energia
s2
Wc
Funções Energia Potencial
 
F ds
s
U
Wc
ou
s1
 
F ds
U
s0
s
U
U U0
 
F ds
s0
s
U
U0
 
F ds
s0
onde U0 é a energia potencial em s0.
Nota: Sempre que possível, faremos U0 = 0 em s0 = 0.
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Trabalho e Energia
Energia Potencial Gravitacional
Próximo à superfície da Terra:

F
Eixo vertical (y) positivo para cima:
Como
s
U
U0
w mg
mg
mgĵ
, teremos
 
F ds U 0
s0
s

ˆ
( mgj ) ds U 0
s0
U
U0
y
mgdy
y0
mg y
Considerando U0 = 0 em y0 = 0, teremos
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U
mgy
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Energia Potencial de Uma
Mola ou Elástica
Trabalho e Energia
kxiˆ
Fx
s
U
U0
 
F ds U 0
s
s0
considerando eixo x
positivo para a direita

ˆ
( kxi ) ds U 0
s0
U
U0
(
1 2
kx
2
x
kxdx
x0
1 2
kx0
2
Vamos considerar U0 = 0 em x0 = 0. Veja
que a posição é definida como x0 = 0
quando a mola está relaxada. Assim,
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)
U
1 2
kx
2
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Trabalho e Energia
Exemplo
Exercício 10(a) e (b) – Capítulo 8 – Halliday, 4ª Edição
Um projétil de massa 2,40kg é disparado para cima, do alto
de uma colina de 125m de altura, com uma velocidade de
150m/s e numa direção que faz 410 com a horizontal. (a)
Qual a energia cinética do projétil no momento em que é
disparado? (b) Qual a energia potencial do projétil no
momento em que é disparado? Suponha que a energia
potencial gravitacional é nula na base da colina ( y=0 ).
(a)
(b)
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Trabalho e Energia
Energia Potencial e Equilíbrio
s
U
 
F ds
s0
A variação de energia dU, em um deslocamento infinitesimal ds, será
dU
 
F ds
Uma força conservativa unidimensional genérica pode ser escrita da forma
F = Fxî, desta forma, a equação acima ficará
dU
dU
 
F ds
Fx dx

ˆ
( Fx i ) ds
Fx
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dU
dx
36
Equilíbrio Estático
Trabalho e Energia
Considere o gráfico da energia potencial elástica em função da
posição de uma mola ideal qualquer
U
1 2
kx
2
Fx
dU
dx
A força é o valor negativo da
inclinação da reta tangente à
curva no ponto analisado.
Em x=0, a inclinação da curva é igual a zero e, consequentemente, Fx =0.
Defini-se que uma partícula está em equilíbrio estático quando
a força resultante sobre ela é nula.
No caso acima, a partícula estará em equilíbrio estático quando x=0, ou
seja, quando a mola estiver relaxada.
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37
Trabalho e Energia
Equilíbrio (Estático) Estável
Ainda considerando, como exemplo, o gráfico de U versus x para uma mola.
Como a força é o valor negativo da
inclinação da reta tangente à curva no
ponto analisado, teremos que, para
valores positivos de x, a força será
negativa, e vice-versa. Ou seja, para
qualquer lado que nos afastarmos de x
=0, sempre haverá uma força acelerando
a partícula na direção à menor energia
potencial (à posição de equilíbrio).
Defini-se como equilíbrio estável a condição onde um pequeno
deslocamento ocasiona uma força, conhecida como força
restauradora, que acelera a partícula no sentido de retorno à
posição de equilíbrio estático.
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Trabalho e Energia
Equilíbrio (Estático) Instável
ponto de equilíbrio: x=0
A curva ao lado é um exemplo onde a
energia potencial é um máximo no ponto
de equilíbrio (x = 0). Neste caso, teremos
que, para valores positivos de x, a força
será negativa, e vice-versa. Como
anteriormente, para qualquer lado que nos
afastarmos de x =0, sempre haverá uma
força acelerando a partícula na direção à
menor energia potencial (extremos da
curva). Ou seja, a partícula tenderá a se
afastar do ponto de equilíbrio.
Defini-se como equilíbrio instável a condição onde um pequeno
deslocamento ocasiona uma força que acelera a partícula no
sentido de afastá-la da posição de equilíbrio estático.
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Trabalho e Energia
Equilíbrio (Estático) Neutro ou
Indiferente
No exemplo ao lado, a energia
potencial possui um valor constante na
região em torno de x = 0. A força é
nula tanto em x =0, quanto nos pontos
vizinhos (pequenos deslocamentos).
Defini-se como equilíbrio neutro (ou indiferente) a condição onde a
força permanece nula para um pequeno deslocamento,mantendo a
partícula em equilíbrio estático.
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40
Trabalho e Energia
Exemplo
EQUILÍBRIO INSTÁVEL
EQUILÍBRIO ESTÁVEL
EQUILÍBRIO NEUTRO
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Trabalho e Energia
Exemplos
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42
Trabalho e Energia
Exemplos
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43
Trabalho e Energia
Exemplos
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44
Trabalho e Energia
Exemplos
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45
Exemplos
Trabalho e Energia
r2
W

F
 
F dr

dr
r1
x2
W
y2
2 xdx
x1
2xiˆ 3 ˆj
dxiˆ dyˆj
4
3dy
y1
W
3
2 xdx
2
3dy
3
6J
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