REVISÃO
01
3.
Matemática SSA 2
REVISÃO GERAL 1
Um recipiente com a forma de um cone circular reto de
eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm3 s. A
altura do cone mede
24 cm, e o raio de sua base mede
3 cm.
Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no
recipiente varia em função do tempo t em que a torneira fica
aberta. A medida de h corresponde à distância entre o
vértice do cone e a superfície livre do líquido.
1.
Admitindo
π ≅ 3, a equação que relaciona a altura h, em
Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em
quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta ordem, uma
progressão aritmética.
O vigésimo termo dessa progressão corresponde a:
centímetros, e o tempo t, em segundos, é representada por:
a) −50
b) −40
c) −30
d) −20
e) −10
c)
2.
Uma criança ganhou seis picolés de três sabores
diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados,
respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a
sábado, a criança consome um único picolé por dia,
formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe
estas sequências, que correspondem a diferentes modos de
consumo:
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Uma loja identifica seus produtos com um código que utiliza
16 barras, finas ou grossas. Nesse sistema de codificação, a
barra fina representa o zero e a grossa o 1. A conversão do
código em algarismos do número correspondente a cada
produto deve ser feita de acordo com esta tabela:
(B, B, M, C, M, C)
(C, M, M, B, B, C)
b) h = 23 t
d)
h=2 t
h=4 t
e) h = 5 t
ou
(B, M, M, C, B, C)
ou
O número total de modos distintos de consumir os picolés
equivale a:
a) 6
b) 90
c) 180
d) 720
e) 900
a) h = 43 t
Código
0000
0001
0010
0011
0100
Algarismo
0
1
2
3
4
Observe um exemplo
correspondente:
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Código
0101
0110
0111
1000
1001
de
código
e
de
Algarismo
5
6
7
8
9
seu
número
1
4. Existe um conjunto de todas as sequências de 16 barras
finas ou grossas que podem ser representadas.
Escolhendo-se ao acaso uma dessas sequências, a
probabilidade de ela configurar um código do sistema descrito
é:
a)
b)
c)
d)
5
15
2
25
14
2
125
7. Os números naturais ímpares são dispostos como mostra
o quadro
1ª linha
2ª linha
3ª linha
4ª linha
5ª linha
...
1
3
7
13
21
...
5
9
15
23
...
11
17
25
...
19
27
...
29
...
...
O primeiro elemento da 43ª linha, na horizontal, é:
213
625
a) 807
b) 1007
c) 1307
d) 1507
e) 1807
212
e) 0,5
5.
Nas malhas de pontos da figura abaixo, dois pontos
adjacentes, na horizontal ou vertical, encontram-se a
distância de 1 centímetro.
8. Dois irmãos começaram juntos a guardar dinheiro para
uma viagem. Um deles guardou R$ 50,00 por mês e o outro
R$ 5,00 no primeiro mês, depois R$ 10,00
no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro e assim por diante,
sempre aumentando R$ 5,00 em relação ao mês anterior.
começou com
Ao final de um certo número de meses, os dois tinham
guardado exatamente a mesma quantia. Esse número de
meses corresponde a:
Considerando a sucessão de quadriláteros desenhados em
cada etapa da figura, a área do quadrilátero da vigésima
2
etapa, em cm é
a) 100.
b) 200.
c) 400.
d) 800.
e) 1.600.
a) pouco mais de um ano e meio.
b) pouco menos de um ano e meio.
c) pouco mais de dois anos.
d) pouco menos de um ano.
e) exatamente um ano e dois meses.
9. Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De
acordo com os rótulos, cada frasco contém 200
comprimidos, e cada comprimido tem massa igual a 20mg.
Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada
de comprimidos, mas que cada um destes comprimidos tenha
30mg. Para identificar esse frasco, cujo rótulo está errado,
6. Observe a sequência representada no triângulo abaixo:
são utilizados os seguintes procedimentos:
- numeram-se os frascos de 1 a 15;
- retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos
correspondente à sua numeração;
- verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos
comprimidos retirados é igual a 2540mg.
A numeração do frasco que contém os comprimidos mais
pesados é:
Na sequência, o primeiro elemento da décima linha será
a) 19
b) 28
c) 241
d) 244
e) 247
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 20
10.
Um triângulo UPE é retângulo, as medidas de seus
lados são expressas, em centímetros, por números naturais e
formam uma progressão aritmética de razão 5. Quanto mede
a área do triângulo UPE?
2
a) 15 cm
2
b) 25 cm
2
c) 125 cm
2
d) 150 cm
2
e) 300 cm
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2
11. Para os jogos da primeira fase da Copa do Mundo de
2014 na sede de Porto Alegre, foram sorteados ingressos
entre aqueles que se inscreveram previamente. Esses
ingressos foram divididos em 4 categorias, identificadas pelas
letras A, B, C e D. Cada pessoa podia solicitar, no máximo,
quatro ingressos por jogo. Os ingressos da categoria D foram
vendidos somente para residentes no país sede e custaram,
cada um,
1
do valor unitário do ingresso da categoria C.
3
No quadro abaixo, estão representadas as quantidades de
ingressos, por categoria, solicitados por uma pessoa, para
cada um dos jogos da primeira fase, e o valor total a ser
pago.
Jogo
A
B
C
D
TOTAL (em R$)
1
2
0
2
0
1.060,00
2
3
1
0
3
1
0
3
0
0
1.160,00
810,00
13.
De acordo com o texto, se Cebolinha lançar a sua moeda dez
vezes, a probabilidade de a face voltada para cima sair cara,
em pelo menos oito dos lançamentos, é igual a
a)
b)
c)
Se essa pessoa comprasse um ingresso de cada categoria
para um dos jogos da primeira fase, ela gastaria, em reais,
d)
e)
a) 860.
b) 830.
c) 800.
d) 770.
e) 740.
12.
Em um determinado parque, existe um circuito de
caminhada, como mostra a figura a seguir.
5
128
7
128
15
256
17
256
25
512
14. Sejam r e s duas retas distintas e paralelas.
Se fixarmos 10 pontos em r e 6 pontos em s, todos distintos,
ao unirmos, com segmentos de reta, três quaisquer destes
pontos não colineares, formam-se triângulos. Assinale a
opção correspondente ao número de triângulos que podem
ser formados.
a) 360
b) 380
c) 400
d) 420
e) 450
Um atleta, utilizando um podômetro, percorre em um dia a
pista 1 duas vezes, atravessa a ponte e percorre a pista 2
uma única vez, totalizando 1157 passos. No dia seguinte,
percorre a pista 1 uma única vez, atravessa a ponte e
percorre a pista 2, também uma única vez, totalizando 757
passos. Além disso, percebe que o número de passos
necessários para percorrer sete voltas na pista 1 equivale ao
número de passos para percorrer oito voltas na pista 2.
Diante do exposto, conclui-se que o comprimento da ponte,
em passos, é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 15
15. Um jovem descobriu que o aplicativo de seu celular edita
fotos, possibilitando diversas formas de composição, dentre
elas, aplicar texturas, aplicar molduras e mudar a cor da foto.
Considerando que esse aplicativo dispõe de 5 modelos de
texturas, 6 tipos de molduras e 4 possibilidades de mudar a
cor da foto, o número de maneiras que esse jovem pode
fazer uma composição com 4 fotos distintas, utilizando
apenas os recursos citados, para publicá-las nas redes
sociais, conforme ilustração abaixo, é:
a) 24 × 120 4.
b)
c)
d)
e)
120 4.
24 × 120.
4 × 120.
120.
16. O número de anagramas da palavra BRASIL em que as
vogais ficam lado a lado, e as consoantes também, é
a) 24
b) 48
c) 96
d) 240
e) 720
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3
17. A figura a seguir apresenta uma planificação do cubo
que deverá ser pintada de acordo com as regras abaixo:
Os quadrados que possuem um lado em comum, nessa
planificação, deverão ser pintados com cores diferentes.
Além disso, ao se montar o cubo, as faces opostas deverão
ter cores diferentes. De acordo com essas regras, qual o
MENOR número de cores necessárias para se pintar o cubo,
a partir da planificação apresentada?
19. Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis A,
com 10 lápis, dentre os quais 3 estão apontados, e o portalápis B, com 9 lápis, dentre os quais 4 estão apontados.
Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do portalápis A e o coloca no porta-lápis B. Novamente ao acaso, ele
retira um lápis qualquer do porta-lápis B.
A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha
ponta é igual a:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
18.
Alice não se recorda da senha que definiu no
computador. Sabe apenas que é constituída por quatro letras
seguidas, com pelo menos uma consoante.
a) 0,64
b) 0,57
c) 0,52
d) 0,42
e) 0,46
20.
Dois atiradores, André
simultaneamente sobre um alvo.
e
Bruno,
disparam
- A probabilidade de André acertar no alvo é de 80%.
- A probabilidade de Bruno acertar no alvo é de 60%.
Se os eventos “André acerta no alvo” e “Bruno acerta no
alvo”, são independentes, qual é a probabilidade de o alvo
não ser atingido?
Se considerarmos o alfabeto como constituído por 23 letras,
bem como que não há diferença para o uso de maiúsculas e
minúsculas, quantos códigos dessa forma é possível
compor?
a) 8%
b) 16%
c) 18%
d) 30%
e) 92%
a) 23 4
b) 233 ⋅ 18
c) 233 ⋅ 72
d) 234 − 54
e) 18 4 + 5 4
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4
Gabarito:
Resposta da questão 5:
[D]
Resposta da questão 1:
[A]
x + 10 + x + x − 10 = 390
3x = 390
x = 130
A P.A. então será determinada por:
(140,130,120,K )
E seu vigésimo termo será dado por:
a20 = 140 + 19 ⋅ (−10) = −50.
x2 = 12 + 12 ⇒ x = 2 cm
Os lados dos quadrados forma uma P.A de razão
Resposta da questão 2:
[B]
20 2 cm.
Sua área então será dada por: A = (20 2)2 = 800 cm2 .
6!
= 90.
2! ⋅ 2! ⋅ 2!
Resposta da questão 6:
[D]
As quantidades dos elementos, em cada linha, também
formam uma P.A. (1, 3, 5, 7, ...)
Resposta da questão 3:
[A]
Total e elementos da linha 9: x = 1 + 8 ⋅ 2 = 17
Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio da base do
Total de elementos até a linha 9: S =
cone semelhante ao cone de altura 24 cm e altura 3 cm.
Logo, temos
r
3
h
=
⇔r = .
h 24
8
A sequência (q, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...) é uma P.A de
razão 3.
a
Até a 42 linha, temos:
1 + 2 + 3 + 4 + K + 40 + 41 + 42 =
V = 1⋅ t = t cm3,
Em consequência, encontramos
a904 = 1+ 903 ⋅ 2 = 1807.
h3
= t ⇔ h = 43 t cm.
64
Resposta da questão 8:
[A]
Seja n o número de meses decorridos até que os dois
irmãos venham a ter o mesmo capital. Tem-se que,
Resposta da questão 4:
[D]
16
Número de sequências formadas com as 16 barras: 2
4
Número de códigos possíveis: 10 .
Portanto, a probabilidade será dada por:
16
2
4
12
2 ⋅2
=
(1 + 42) ⋅ 42
= 903 termos.
2
Portanto, o primeiro elemento da 43ª linha será o 904º
número natural ímpar. Então:
com t em segundos.
24 ⋅ 5 4
= 81
Resposta da questão 7:
[E]
Por outro lado, como a vazão da torneira é igual a 1 cm3 s,
segue-se que
=
2
a82 = 1 + 81⋅ 3 = 244
2
1
h3
⎛ h ⎞
V = ⋅ π ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ h ≅
cm3 .
3
64
⎝ 8 ⎠
104
(1 + 17 ) ⋅ 9
Portanto, o primeiro elemento da linha 10 será o octagésimo
segundo elemento da P.A. acima.
O volume desse cone é dado por
P=
r = 2.
Logo, o lado do vigésimo quadrado é
Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor,
tem-se que o resultado pedido é dado por
P6(2, 2, 2) =
O lado do quadrado da figura 1: x
Portanto:
625
212
.
n − 1 ⎞
n −1
⎛
50 ⋅ n = ⎜ 5 +
⋅ 5 ⎟ ⋅ n ⇒ 10 − 1 −
=0
⎝
2
⎠
2
⇔ n = 19,
ou seja, um ano e sete meses, o que equivale a pouco mais
de um ano e meio.
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5
Resposta da questão 9:
[C]
Resposta da questão 12:
[C]
Supondo que todos os comprimidos tivessem massa igual a
20mg, a massa total retirada dos frascos seria igual a
Comprimento da pista 1: x
Comprimento da ponte: y
Comprimento da pista 2: z
(1 + 15)
⋅ 15
2
= 2400mg.
20 ⋅ (1 + 2 + 3 + K + 15) = 20 ⋅
De acordo com as informações do problema temos o
seguinte sistema linear:
Daí, como a diferença entre a massa dos comprimidos é de
30 − 20 = 10mg, segue que o número do frasco que contém
⎧2x + y + z = 1157 ( I )
⎪
⎨ x + y + z = 757 ( II )
⎪ 7x = 8z
(III)
⎩
os comprimidos mais pesados é
Fazendo ( I ) – ( II ), temos x = 400m
2540 − 2400
= 14.
10
Utilizando a equação (III) temos:
Resposta da questão 10:
[D]
Sejam
7(400) = 8z ⇒ z = 350
Utilizando agora a equação (II):
400 + y + 350 = 757 ⇒ y = 7m
l , l + 5 e l + 10 as medidas dos lados do triângulo
UPE. Logo, pelo Teorema de Pitágoras, vem
Portanto, o comprimento da ponte é 7m.
Resposta da questão 13:
[B]
10
2
2
2
2
2
2
(l + 10) = l + (l + 5) ⇔ l + 20l + 100 = l + l + 10l + 25
⇔ l 2 − 10l − 75 = 0
⇒ l = 15cm.
Em consequência, o resultado pedido é
15 ⋅ 20
= 150cm2 .
2
Espaço amostral dos 10 lançamentos: 2
= 1024.
Sair cara em pelo menos 8 moedas:
C10,8 + C10,9 + C10,10 = 45 + 10 + 1 = 56.
Logo, a probabilidade pedida será: P =
56
7
=
.
1024 128
Resposta da questão 11:
[A]
Resposta da questão 14:
[D]
De acordo com o problema, temos o seguinte sistema linear:
Número de combinações do total de pontos três a três:
⎧2A + 2C = 1060
⎪
⎨ A + 3B = 1160 ⇔
⎪ B + 3C = 810
⎩
C16,3 =
⎧ A + C = 530
⎪
⎨ A + 3B = 1160
⎪ B + 3C = 810
⎩
Número de combinações dos 10 pontos de uma reta três a
Multiplicando a primeira equação por -1 e somando com a
segunda, temos:
⎧3B − C = 630
⎨
⎩B + 3C = 810
três: C10,3 =
10!
= 120
3!(10 − 3)!
Número de combinações dos 6 pontos da outra reta três a
três: C6,3 =
Resolvendo o sistema, temos: A = 350, B = 270, C = 180 e D
= 60.
Portanto, A + B + C + D = 860.
16!
= 560
3!(16 − 3)!
6!
= 20
3!(6 − 3)!
Portanto, o total de triângulos será dado por:
560 − 120 − 20 = 420.
Resposta da questão 15:
[A]
Supondo que ao modificar a ordem das fotos obtemos
composições distintas, tem-se que o número de maneiras
possíveis de fazer uma composição é dado por
P4 ⋅ (5 ⋅ 6 ⋅ 4)4 = 24 ⋅ 1204.
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6
Resposta da questão 16:
[C]
Resposta da questão 20:
[A]
Considerando dois grupos, o das vogais com dois elementos
e o das consoantes com 4 elementos, temos três
permutações, a permutação dos grupos e as permutações
dos elementos em cada grupo. Portanto, o número de
anagramas da palavra BRASIL em que as vogais ficam lado
a lado e as consoantes também será dado por:
Como os eventos são independentes, a probabilidade pedida
é dada por
(1− 0,8) ⋅ (1− 0,6) = 0,08 = 8%.
2!⋅ 4!⋅ 2! = 96.
Resposta da questão 17:
[B]
De acordo com as condições do problema temos no máximo
três faces para utilizar a primeira cor, duas faces no máximo
para a segunda cor e finalmente 1 face para a terceira cor.
Portanto, o menor número de cores necessárias para pinta o
cubo é 3.
Resposta da questão 18:
[D]
Pelo Princípio Multiplicativo, podemos formar
23 ⋅ 23 ⋅ 23 ⋅ 23 = 234 códigos, sem qualquer restrição,
utilizando as 23 letras do alfabeto. Por outro lado, o número
de códigos em que figuram apenas vogais, também pelo
Princípio Multiplicativo, é dado por 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 54. Em
consequência, o resultado pedido é igual a 234 − 54.
Resposta da questão 19:
[B]
Probabilidade do lápis retirado de A ser apontado e o lápis
retirado de B não ter ponta:
3 5
15
⋅
=
10 10 100
Probabilidade do lápis retirado de A não ter ponta e o lápis
retirado de B não ter ponta:
7 6
42
⋅
=
10 10 100
Portanto, a probabilidade do último lápis retirado não ter
ponta será dada por:
P=
15
42
57
+
=
= 0,57.
100 100 100
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7