Questão 22
Dados os números n e m ∈N,
a) calcule o valor de n de modo a satisfazer
( n + 1)!
= 9.
n!
( m + 1)!
b) Sabendo-se que bm =
( m2 − 4 ),
( m + 2)!
calcule b137 .
Resposta
a)
(n + 1)!
(n + 1) ⋅ n!
= 9 ⇔
= 9 ⇔ n = 8
n!
n!
b) bm =
=
(m + 1)!
⋅ (m 2 − 4) =
(m + 2)!
(m + 1)! ⋅ (m + 2) ⋅ (m − 2)
= m −2
(m + 2) ⋅ (m + 1)!
Logo b137 = 137 − 2 = 135 .
Questão 23
Uma empresa que fabrica o refrigerante Refridagalera fez uma pesquisa para saber a
preferência dos consumidores em relação ao
seu produto e àquele de um de seus concorrentes, o Refridamoçada. Foram ouvidas 1 000
pessoas, das quais 600 consumiam somente o
Refridagalera, 200 consumiam os dois, 500
consumiam somente o Refridamoçada e 100,
nenhum deles. Um dos entrevistados foi escolhido ao acaso. Calcule a probabilidade de
que ele seja consumidor de
a) Refridagalera e Refridamoçada.
b) Refridagalera ou Refridamoçada.
ver comentário
Sejam A e B os conjuntos das pessoas que consumiram Refridagalera e Refridamoçada, respectivamente. Do enunciado, n(A − B) = 600, n(A ∩ B) =
= 200, n(B − A) = 500 e n(A ∪ B ) = 100, como podemos ver no diagrama de Venn a seguir.
Assim, há 600 + 200 + 500 + 100 = 1 400 pessoas,
o que contradiz o enunciado. Logo os dados do
problema são inconsistentes.
Observação: supondo que 600 pessoas consumissem o Refridagalera e 500 pessoas consumissem o Refridamoçada, incluindo as pessoas
que consumiam ambos os refrigerantes, teríamos n(A) = 600, n(B) = 500 e n(A ∩ B) = 200, de
modo que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) =
= 600 + 500 − 200 = 900, que é consistente com
n(A ∪ B ) = 100 e o número de pessoas ser 1 000.
Assim, a probabilidade de que um dos entrevistados seja consumidor de Refridagalera e Refridan(A ∩ B)
200
1
e a probabilimoçada é
=
=
1 000
1 000
5
dade de que um dos entrevistados seja consumidor de Refridagalera ou Refridamoçada é
n(A ∪ B)
900
9
.
=
=
1 000
1 000
10
Questão 24
Dados dois pontos, A e B, com coordenadas
cartesianas (−2, 1) e (1, −2), respectivamente,
conforme a figura,
matemática 2
a) calcule a distância entre A e B.
b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo ABC são
(xG , yG ) = (2/3, 1), calcule as coordenadas
(xC , yC ) do vértice C do triângulo.
a) Dada a equação (z − a) ( z − a ) = r2 , onde r
e a ∈ R, calcule e responda a qual configuração geométrica ela corresponde.
b) Escreva a equação do círculo x2 + y2 = R2 ,
R ∈ R, em variáveis complexas.
Resposta
a) d A,B =
(1 − ( −2)) 2 + ( −2 − 1) 2 = 18 =
= 3 2
x A + xB + xC
3
b)
⇔
y A + yB + yC
yG =
3
−2 + 1 + xC
2
=
xC = 3
3
3
⇔
⇔
1 + ( −2) + y C
yC = 4
1 =
3
xG =
Logo C = (3; 4).
Questão 25
Considere a variável complexa z dada por
z = x + i y, onde i é o número imaginário
−1 , e seja z o complexo conjugado de z.
Resposta
Admitiremos x, y ∈ R.
a) (z − a) ⋅ ( z − a) = r 2 ⇔ (z − a) ⋅ ( z − a) =
= r 2 ⇔ ( |z − a| ) 2 = r 2 ⇔
⇔ ( |x + yi − a|) 2 = r 2 ⇔ (x − a) 2 + y 2 = r 2
Portanto, se r ≠ 0, o lugar geométrico dos pontos
z é a circunferência de centro (a; 0) e raio |r |, localizada no plano de Argand-Gauss.
Já se r = 0, o lugar geométrico é o ponto (a; 0).
b) Sendo z = x + yi,
x 2 + y 2 = R 2 ⇔ |z |2 = R 2 ⇔ z ⋅ z = R 2 .
Assim,
uma
equação
da
circunferência
x 2 + y 2 = R 2 , utilizando a variável complexa z,
é z ⋅ z = R2.