Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering – CILAMCE 2005
Brazilian Assoc. for Comp. Mechanics (ABMEC) & Latin American Assoc. of Comp. Methods in Engineering (AMC),
Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19th – 21st October 2005
Paper CIL 26-0800
SIMULAÇÃO DO LANÇAMENTO E CRAVAÇÃO DE ESTACAS-TORPEDO EM
SOLO MARINHO COM A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS
DISCRETOS
Humberto Carvalho Júnior
Diogo Tenório Cintra
[email protected]
[email protected]
Graduandos do Curso de Engenharia Civil, Universidade Federal de Alagoas
Adeildo Soares Ramos Júnior
Eduardo Setton Sampaio da Silveira
William Wagner Matos Lira
Eduardo Nobre Lages
Viviane Carrilho Leão Ramos
[email protected]
[email protected]
[email protected]
[email protected]
[email protected]
Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil, Departamento de Engenharia Estrutural,
Universidade Federal de Alagoas
Luciana Correia Laurindo Martins Vieira
[email protected]
Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro
Resumo. Com a necessidade constante da busca de petróleo em todo cenário mundial, a
procura por esse combustível fóssil torna-se cada vez mais difícil devido à escassez de
reservas. Tendo em vista que as grandes reservas brasileiras se encontram em alto-mar, é
necessária a construção de estruturas capazes de extrair o petróleo em águas com
profundidades que chegam a milhares de metros da superfície oceânica. Tais estruturas
precisam ser ancoradas em determinadas regiões do campo de produção com a utilização de
sistemas compostos por cabos, correntes e âncoras. O emprego das estacas-torpedo permite
uma maior facilidade na instalação das ancoragens das unidades flutuantes pelo fato de
serem cravadas pelo efeito de queda livre causado pelo seu peso próprio. Este trabalho tem
por objetivo desenvolver ferramentas capazes de simular e visualizar o lançamento e
cravação de estacas-torpedo em solo marinho. Utiliza-se o Método dos Elementos Discretos
para modelagem do solo por meio de um conjunto de partículas discretas, cujo
comportamento é governado por leis físicas. Os contatos entre elas podem ser criados ou
extintos à medida que o conjunto de partículas se deforma como um todo, o que caracteriza a
não linearidade do meio granular.
Palavras-Chave: Método dos Elementos Discretos, Estruturas Offshore, Estacas-Torpedo.
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1. INTRODUÇÃO
O problema em tela trata de um dos sistemas de ancoragens de estruturas flutuantes
empregadas no processo de exploração de petróleo. De uma forma geral, esses sistemas
consistem em um arranjo apropriado de correntes, cabos e âncoras (Fig. 1), que devem resistir
às solicitações oriundas dos movimentos da estrutura flutuante, do peso próprio das diversas
partes constituintes, do empuxo da água, assim como das correntes marinhas.
Este sistema de ancoragem consiste no lançamento de uma estaca torpedo a partir do
nível oceânico, somente pelo efeito de queda-livre a estaca obtém velocidade necessária para
realizar a cravação em solo marinho penetrando-o de maneira tal que venha a funcionar como
ancoragem para as linhas de ancoragem da unidade flutuante oferecendo capacidade resistiva
as solicitações oriundas da mesma.
Linha de
ancoragem
Estrutura
flutuante
Âncora
torpedo
Figura 1 – Esquematização do sistema de ancoragem.
Ramos Jr. et al. (2002) desenvolveu modelos que simulam a cravação de estacas torpedos
em solos marinhos baseados no uso do método dos elementos finitos considerando o solo
como um meio contínuo idealizando a interação entre a linha de ancoragem e o solo marinho
através de uma distribuição de forças nas direções transversal e longitudinal à linha, de acordo
com o modelo analítico de True (1976) desenvolvido para o estudo de cravação em solo
marinho.
Este trabalho propõe para a simulação da cravação da estaca torpedo em solo marinho, o
emprego do método dos elementos discretos inicialmente apresentado por Cundall & Strack
(1979). Trata-se de uma ferramenta numérica adequada para análise de problemas em meios
descontínuos com comportamento estático ou dinâmico. Sua aplicação mostra-se bastante
promissora na simulação de problemas que envolvem fenômenos de fragmentação ou
fraturamento, impacto e colisão, cravação, entre outros.
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2. MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS
O método dos elementos discretos (MED) ganhou grande impulso com a ascensão da
capacidade de processamento de dados oriundos dos avanços da tecnologia da computação.
Isto, em parte, está relacionado com a elevada necessidade de processamento de dados
requerida. Em geral, os resultados oriundos da modelagem de alguns comportamentos, através
do método dos elementos discretos, costumam ser mais precisos que em outros métodos em
que o meio estudado é tratado como um contínuo, como no caso do método dos elementos
finitos.
Tradicionalmente o MED tem sido empregado para simular o movimento de partículas de
materiais granulares e rochosos, mas ele tem se tornado popular como um método para
representar materiais sólidos e para o estudo de problemas de fluxo. Os materiais analisados
apresentam comportamentos especiais. Eles podem fluir e assumir a forma do meio em que
estão contidos, como os líquidos, mas geralmente não podem suportar certos tipos de tensões.
A modelagem de alguns comportamentos complicados para os meios analisados, através deste
método, costuma conduzir a uma menor adoção de parâmetros de análise de que nos método
em que o meio é considerado como um contínuo, como o método dos elementos finitos.
A partir do entendimento das propriedades mecânicas microscópicas das partículas e o
comportamento da interação entre elas, o MED permite avaliar de maneira macroscópica o
comportamento físico e mecânico do modelo estudado.
O meio analisado é discretizado em uma série de partículas com propriedades mecânicas
particulares e com geometrias definidas. Moresi et al. (2001) inclue o método dos elementos
discretos na categoria dos métodos sem malha. A geração das geometrias envolvidas no meio
estudado dá-se, portanto, a nível de elemento. As geometrias das partículas são confrontadas
no instante em que há interação delas entre si e com o meio em que estão contidas. Embora
Cundall & Strack (1979) defina este método como um modelo numérico capaz de descrever o
comportamento mecânico de um conjunto de discos ou esferas, atualmente este o método tem
sido aplicado também para partículas de várias formas geométricas Jensen et al. (1997).
A configuração do meio estudado é investigada para cada intervalo de tempo definido
para a análise. Em função das ações atuantes nas partículas em um determinado instante
determina-se a configuração do instante de tempo seguinte, e assim, uma vez investigada as
peculiaridades de cada intervalo de tempo, determina-se o comportamento dinâmico do meio
estudado. As ações atuantes podem ser implementadas para situações diversas e estas refletem
o fenômeno físico analisado. Este irá impor forças de maneira combatível com o modelo
constitutivo empregado para o contato entre os elementos, bem como de maneira que não
sejam infringidas leis da física. A formulação original proposta por Cundall & Strack (1979)
permite que haja uma sobreposição de partículas, desde que sua ordem de magnitude seja
pequena em relação ao tamanho das mesmas. Outras ações externas podem, ainda, ser
incorporadas ao modelo. Deve-se, no entanto, atentar à sua compatibilidade com todo o
processo do método.
2.1 Algoritmo de solução
O algoritmo de solução do método dos elementos discretos apresenta geralmente uma
rotina de repetição de processos que inclui a checagem de contatos entre partículas, a
determinação das forças atuantes e integração das velocidades e posições a partir das
acelerações previamente determinadas. Observa-se que, uma vez asseguradas as ações
atuantes e as condições iniciais para o problema, o algoritmo acima descreve o movimento de
todas as partículas contidas no meio analisado.
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Uma vez que, na modelagem do torpedo utiliza-se também elementos discretos. Faz-se
portanto necessária a implementação de mecanismos que permitam a interligação de
partículas gerando assim uma forma a partir da junção das mesmas. Para a realização desta
tarefa são empregados elementos finitos lineares. Desta forma as extremidades destes
elementos são conectadas aos centros de duas partículas. Desta forma, uma vez que a
configuração das posições das partículas é alterada ao longo da simulação, computam-se as
deformações dos elementos finitos e consequentemente as forças que atuam nas partículas
nesta condição. A análise dos elementos finitos é realizada posteriormente à determinação das
forças de contato. A Fig. 2 ilustra o processo computacional empregado nas análises.
Checagem
de contatos
Determinação das acelerações,
velocidades e posições
ti +1 = ti + Δt
Determinação das forças
de contato
Análise de elementos
finitos
Figura 2 – Processo de análise.
2.2 Leis de força e deslocamento
Alguns modelos disponíveis na literatura permitem a obtenção das forças oriundas do
contato entre partículas. Estes buscam a partir do conhecimento das características micromecânica dos materiais, a análise macroscópica do meio estudado. Cundall & Strack (1979)
propõe para tanto, um modelo visco-elástico de relação força-deformação. Trata-se, portanto,
da combinação entre o modelo linear de Hooke e um amortecimento viscoso, sendo este
último proporcional à velocidade relativa das partículas no instante do contato.
A Fig. 3 esquematiza o instante do contato entre duas partículas circulares. A
determinação das forças de contato realiza-se, portanto, como função desta configuração. Para
o modelo de Cundall & Strack (1979) as forças de contato estão relacionadas ao valor da
interpenetração das partículas e das suas velocidades relativas.
y
d
rb
B
ra
A
ra + rb > d
x
Figura 3 – Critério de contato entre partículas circulares.
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Estes esforços são atuantes em ambas as partículas em contato, nas direções normais e
tangenciais à superfície em que houve a colisão. A Fig. 4 ilustra o contato entre duas
partículas circulares, bem como as forças atuantes neste instante.
y
B
FT
FN
vb
A
va
x
Figura 4 – Contato de partículas.
A intensidade da força normal atuante ( Fn ) em função dos parâmetros de rigidez normal
( k n ) e de amortecimento global ( c n ), além do valor da interpretação ( u n ) e da velocidade
relativa normal ( vn ), é dada por
Fn = k n u n + c n .v n
(1)
Na obtenção do valor da força de contato na direção tangencial considera-se o menor
valor entre a força visco-elástica na direção tangencial e a força de atrito, sendo esta última
determinada pelo coeficiente de atrito entre partículas ( μ ) e pela força de contato na direção
normal ( Fn ). A energia elástica tangencial, armazenada durante o tempo de contato, compõe
juntamente com a parcela de amortecimento na direção tangencial o valor da força viscoelástica. Os valores da velocidade relativa tangencial ( vt ), rigidez tangencial ( k t ) e do
amortecimento tangencial ( ct ) são responsáveis por este feito. Logo, a força tangencial
oriunda do contato entre partículas é expressa por
{
Ft = min k t ∫ vt dT + ct vt , μFn
}
(2)
2.3 Algoritmo de busca de contatos
O método dos elementos discretos, apresentado por Cundall & Strack (1979) para
analisar meios granulares apresenta como principal característica a simulação das interações
entre as partículas. Para tal objetivo, torna-se crucial a determinação dos contatos existentes
em cada instante de tempo de análise.
Utiliza-se neste trabalho, para detecção dos contatos entre as partículas, o algoritmo de
mapeamento direto (Munjiza, 2004), este se baseia em um mapeamento espacial do domínio
estudado, dividindo-o em células de mesmo tamanho (Fig. 5). O tamanho das células
individuais é escolhido de tal forma que o maior elemento discreto seja contido pelas células.
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Assim o lado de uma célula é igual ao diâmetro do círculo que circunscreve o maior elemento
discreto (Fig. 6).
11
…
y
d
2
d
1
1
2
…
x
Figura 5 – Espaço dividido em células de mesmo tamanho.
d/2
d/2
d/2
Centros
coincidentes
d/2
Figura 6 – Tamanho de uma célula.
O funcionamento deste algoritmo de busca de contato é divido em duas etapas principais:
o mapeamento dos elementos discretos na células em que estão contidos e a procura dos
possíveis elementos discretos que podem estar em contato com um outro elemento qualquer.
Para encontrar os contatos de um determinado elemento discreto considera-se que só
existe a possibilidade de contato dele com outros elementos que estejam em células vizinhas à
que ele se encontra ou ainda a própria (Fig. 7). Esta consideração é válida desde que seja
respeitada a consideração feita anteriormente de que o tamanho das células seja a dimensão
do quadrado que circunscreve a maior partícula.
Após a constatação da possibilidade de contato de partículas pertencentes às células
vizinhas ou a mesma célula, utiliza-se outro procedimento de checagem entre as duas
partículas. São realizadas verificações de acordo com as geometrias de cada partícula. Para o
caso de teste de contato entre partículas circulares ou esféricas basta apenas a comparação
entre os valores da soma dos raios com as distâncias entre os centros das mesmas.
Esse método se mostra mais adequado para os casos de partículas de tamanhos pouco
variáveis. Munjiza (2004) mostra que os algoritmos de mapeamento direto para busca de
contatos entre partículas encontram-se na classe dos algoritmos lineares, isto é, apresentam
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tempo de processamento diretamente proporcional ao número de elementos discretos. Porém
esses algoritmos podem apresentar uso excessivo de memória computacional caso o tipo de
problema estudado possua elementos discretos muitos dispersos no domínio estudado.
Célula que possui a partícula cujos contatos estão sendo
investigados
Células que possuem a partículas com possibilidade de
haver contatos
Células onde não há possibilidade de haver contatos
Figura 7 – Células com possibilidade de haver contatos.
2.4 Algoritmo de integração no tempo
Após ter formulado as equações diferenciais de equilíbrio e estabelecido as condições
iniciais, é necessário utilizar algum tipo de técnica para solução dessas equações. Existem
vários métodos de solução, os quais podem se agrupar em analíticos e numéricos, sendo os
últimos mais versáteis e, portanto, mais utilizados nos problemas de engenharia.
Neste trabalho utiliza-se um método direto explícito de integração numérica, o Método
das Diferenças Centrais (Krysl & Belytschko, 1998) (Fig. 8). Sua formulação é baseada em
aproximações por diferenças centrais para as velocidades e acelerações. A escolha deste
algoritmo explícito deve-se ao fato do baixo custo computacional por intervalo de tempo, pois
o sistema de equações gerado pelo método dos elementos discretos é desacoplado, não
havendo portanto a necessidade de processos iterativos para obtenção da solução a cada passo
de tempo.
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A. INICIALIZAÇÕES:
1. Define o intervalo de tempo:
Δt < Δt cr
2. Inicializa os vetores
u 0 e u& 0
(condições iniciais)
3. Inicializa a matriz de massa ( M )
4. Calcula o vetor de forças desequilibradas:
r0 = f ext 0 − f int (u 0 , u& 0 )
5. Calcula:
&& 0 = M −1 ⋅ r0
u
B. PARA CADA INCREMENTO DE TEMPO:
1. Calcula um preditor de velocidade:
&& n
u& pn +1 = u& n + Δt u
2. Calcula o vetor deslocamentos:
u n +1 = u n + Δt u& n +
Δt 2
&& n
u
2
3. Calcula o vetor de forças desequilibradas:
r = f ext ( t ) − f int (u n +1 , u& pn +1 )
4. Calcula o vetor de acelerações:
&& n +1 = M −1r
u
5. Calcula o vetor de velocidades:
u& n +1 = u& n +
Δt
(u&& n + u&& n +1 )
2
6. Volta para B.1
C. F IM
Figura 8 – Algoritmo do Método das Diferenças Centrais.
2.5 Intervalo de tempo crítico
Como descrito anteriormente, algoritmos de integração explícitos apresentam uma alta
eficiência computacional, porém estes algoritmos apresentam a desvantagem de serem
condicionalmente estáveis. Essa característica leva à necessidade de se utilizar incrementos de
tempo iguais ou menores aos incrementos de tempo críticos, ou seja,
Δt ≤ Δt cr
(3)
Esses incrementos de tempo críticos são inversamente proporcionais à máxima
freqüência do sistema na forma
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Δt cr =
2
(4)
ϖ max
No caso de existência de amortecimento, tem-se
Δt cr =
2
ϖ max
( 1 + ξ − ξ)
2
(5)
sendo ξ a fração do amortecimento crítico correspondente à máxima freqüência do sistema
ωmax .
Cundall & Strack (1979) comentam que no seu modelo o intervalo de tempo crítico é
estimado com base em um sistema de um grau de liberdade de massa m conectado a uma
base através de uma mola de rigidez k , para o qual o intervalo de tempo crítico é dado por
Δtcr = 2
m
k
(6)
O intervalo de tempo utilizado no presente trabalho é dado como uma fração
correspondente a 1 / 10 do intervalo crítico estimado conforme a Eq. (6).
3. SIMULAÇÃO DA CRAVAÇÃO DA ESTACA TORPEDO
Neste exemplo simula-se o lançamento e cravação de uma estaca torpedo em solo
marinho, a estaca é lançada de uma altura de 100 m a partir do nível do solo marinho sob
efeito apenas da gravidade. As propriedades mecânicas e geométricas das partículas
empregadas na modelagem do solo e da estaca torpedo são descritas nas tabelas a seguir.
Ressalta-se ainda que esta simulação desconsidera as forças de contato tangenciais entre as
partículas, considerando apenas as forças de contato normais.
Tabela 1. Propriedades mecânicas
Propriedades Estaca Torpedo Solo Marinho
400
2200
k n ( N / m)
c n ( N ⋅ s / m)
120
190
ρ (tn / m 3 )
7.85
1.70
Tabela 2. Propriedades geométricas
Propriedades
Estaca Torpedo Solo Marinho
0.5
0.5
Diâmetro d (m)
Número de partículas N
27
5000
A Tab. 3 demonstram as propriedades geométricas e mecânicas dos elementos finitos
lineares empregados para interligação dos elementos discretos das partículas que formam a
estaca torpedo.
As Figs. 9 a 22 ilustram a simulação realizada com o programa de análise numérica para
elementos discretos DEMOOP e visualizada a partir do software DEMOOP VIEW.
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Tabela 3. Propriedades mecânicas e geométricas dos elementos finitos lineares
Propriedades Geométricas e Mecânicas
400
Lo (m)
k ( N / m)
N
120
60
Figura 9 – Simulação no tempo 0s.
Figura 10 – Simulação no tempo 3s.
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Figura 11 – Simulação no tempo 3.5s.
Figura 12 – Simulação no tempo 4s.
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Figura 13 – Simulação no tempo 4.5s.
Figura 14 – Simulação no tempo 5s.
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Figura 15 – Simulação no tempo 5.5s.
Figura 16 – Simulação no tempo 6s.
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Figura 17 – Simulação no tempo 6.5s.
Figura 18 – Simulação no tempo 7s.
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Figura 19 – Simulação no tempo 7.5s.
Figura 20 – Simulação no tempo 8s.
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Figura 21 – Simulação no tempo 8.5s.
Figura 22 – Simulação no tempo 10s.
4. CONCLUSÕES
Com a simulação exibida pode visualizar os efeitos de lançamento e cravação da estaca
torpedo em solo marinho, dessa maneira destaca-se que o emprego do Método dos Elementos
Discretos surge como uma boa alternativa para o estudo desse problema. Recomenda-se que
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para as futuras análises sejam incorporados os efeitos de interação fluído-partículas e ainda a
complementação das forças de contatos entre as partículas incluindo as parcelas tangenciais.
BIBLIOGRAFIA
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Geotechnique 29, No. 1, 47-65.
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