P&D em Engenharia de Produção, Itajubá, v. 9, n. 1, p. 48-57, 2011
Análise de experimentos não planejados: estudo
de caso sobre reforço de fibra em estruturas de
concreto
Analysis of experiments not planned: case study of fiber
reinforcement in concrete structures
Bruno Chaves Franco1
Antonio Fernando Branco Costa1
Mariana Ribeiro Cugler1
RESUMO: Quando a pesquisa requer estudos experimentais, muitas das vezes a etapa de
planejamento é menosprezada pelo pesquisador que, em geral, recorre a um especialista apenas na
fase de análise dos dados. Neste contexto, apresenta-se um estudo de caso em que se investiga a
viabilidade da substituição do compósito constituído de fibra de carbono pelo compósito de fibra
de vidro na obtenção de reforços estruturais. As massas dos corpos de prova para a execução dos
ensaios vieram de dois lotes. Cada lote foi utilizado para um compósito diferente e para a confecção
de alguns corpos de prova sem compósitos. Após coletados os dados constatou-se uma não
homogeneidade entre as massas que compunham os lotes, dificultando assim a análise, e
comprometendo o estudo.
Palavras-chave: Planejamento de experimentos, Delineamento Split-Plot, Reforço estrutural,
Compósitos.
ABSTRACT: When the research requires experimental studies, the person in charge of the research, in
general, does not pay the necessary attention to the design of the experiment. It is not rare cases where
the set of data does not allow drawing any conclusion just because the initial study associated with the
design of the experiment was skipped. This article describes a case study that investigates the viability
of changing carbon fiber by glass fiber, which is used to prepare composites for structural
reinforcement. Two mixtures were prepared to run the experiment. Each mixture was used to prepare a
different composite. After running the experiment, it was found differences between the two mixtures
characteristics of the masses that affected the whole study.
Keywords: Design of experiment, Split-Plot Design, structural Reinforcement, Composites.
1. INTRODUÇÃO
Segundo Cugler & Sedrez (2005), Ferreira (2005) e Machado (2002), há uma necessidade de se criar
novas técnicas de recuperação e reforço estrutural, devido a problemas relacionados ao baixo
desempenho dos elementos estruturais, ao aumento imprevisto das cargas e à degradação natural pelo
envelhecimento dos materiais que compõem as estruturas. Para isso estão sendo cada vez mais utilizados
materiais que até então não faziam parte da lista de materiais utilizados na construção civil, tais como os
sistemas compósitos (associações de fibras e polímeros), que proporcionam resistência mecânica à tração.
Por ter um baixo peso próprio, o sistema compósito em muitas circunstâncias, se torna mais adequado
que o aço, apesar do seu custo individual ser elevado.
Segundo Hull (1995), um compósito que se destaca é a grafite/epóxi, pela sua elevada resistência à tração;
que pode superar a do aço, grande durabilidade, facilidade de moldagem e rigidez final. No entanto, seu
custo final é elevado, o que o torna mais viável quando o fator acréscimo de peso é de grande importância.
Outro compósito de largo emprego comercial, mas que na engenharia civil ainda não é utilizado como
elemento de recuperação é o compósito de fibra de vidro/epóxi, que apresenta menor resistência
mecânica, mas custa menos de 20%, se comparado com o compósito grafite/epóxi.
O presente artigo apresenta a análise do estudo da viabilidade da substituição do compósito constituído
de fibra de carbono pelo compósito constituído pela fibra de vidro. Realizado como trabalho de graduação
1 Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (UNESP) – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá (FEG)
[email protected]; [email protected]; [email protected]
Análise de experimentos não planejados: estudo de caso sobre reforço de fibra...
49
da Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá – UNESP. Na fase de análise dos dados, os pesquisadores
solicitaram assessoria do primeiro e do segundo autor deste artigo. O não planejamento do experimento
comprometeu seriamente o estudo. Este fato não é raro, Batista e Costa (2003) relataram um caso
semelhante.
2. METODOLOGIA ADOTADA
Para a realização do experimento moldou-se corpos de provas (CP) em dois lotes. No primeiro lote de 22
corpos de prova moldados, selecionaram-se os 12 melhores para o ensaio, desses, seis reforçados com
fibra de carbono e seis sem reforço. No segundo lote de 23 corpos de prova moldados, selecionaram-se os
18 melhores para o ensaio, desses, seis reforçados com uma camada de fibra de vidro, seis com duas
camadas de fibra de vidro e seis sem reforço. Com isso, as técnicas 1 e 3 são iguais, mas utilizando lotes
diferentes.
Com os corpos de prova moldados, ensaios de compressão foram realizados, obtendo a resistência a
compressão das amostras como mostra a Tabela 1, além de uma análise comparativa de médias para
avaliar se há aumento da resistência quando da utilização de fibras para reforço, bem como diferenças
entre reforço com fibra de carbono e com fibra de vidro.
Tabela 1: Valores da resistência à compressão, Yij obtidos no ensaio
i
j
Observação
1
2
3
4
5
6
Técnica 1
42,4
40,0
36,5
37,3
38,1
40,6
39,2
39,1
CP S/Reforço de fibra de carbono
Técnica 2
42,0
44,5
38,0
45,0
41,0
41,0
41,9
41,5
CP C/1 camada de fibra de carbono
Técnica 3
32,0
37,5
35,5
31,5
35,5
33,1
34,2
34,3
CP S/Reforço de fibra de vidro
Técnica 4
39,0
32,5
39,0
36,5
38,0
40,5
37,6
38,5
CP C/1 camada de fibra de vidro
Técnica 5
36,0
38,5
41,0
47,5
39,0
40,5
40,4
39,8
CP C/2 camadas de fibra de vidro
* Média das amostras
** Mediana das amostras
3. ANÁLISE ESTATÍSTICA DOS DADOS
Com os dados da Tabela 1, testou-se a hipótese de que a técnica utilizada afeta a resistência à compressão.
Hipótese:
(1)
Sendo μi a resistência média a compressão do material submetido a técnica i.
Com base na Tabela 2 da Análise de Variância (ANOVA), realizada através da ferramenta de análise de
dados do MS Excel®, julga-se a hipótese H1 verdadeira, isto é, a técnica afeta a resistência média à
compressão. Observa-se que o risco de se tomar a decisão errada é de 0,00095, desprezível.
Tabela 2: ANOVA das técnicas.
Fonte da variação
Técnica
Erro
SQ
210,7867
201,1683
gl
4
25
Total
411,955
29
MQ
52,69667
8,046733
F
6,548827
valor-P
0,00095
F crítico
2,75871
Uma vez estabelecido que há diferença entre as técnicas, uma segunda parte da análise consiste em se
determinar quais são as técnicas que oferecem as melhores resistências à compressão. Para tanto utilizase o método de Tukey (COSTA NETO, 2002).
50
Franco, Costa e Cugler
P&D em Engenharia de Produção, Itajubá, v. 9, n. 1, p. 48-57, 2011
De acordo com o método de Tukey, sempre que a diferença das médias de duas técnicas forem superiores
a Zeta, pode-se afirmar que tais técnicas são diferentes. A expressão de Zeta é:
Zeta = qK ,υ ,α
Sr 2
n
(2)
Sendo: K é número de técnicas
v = K*(n-1)
n é o tamanho da amostra
α é nível de significância
Para:
K = 5; n = 6; v = 25; α = 5%;
q = 4,16 (Valor tabelado – Tabela t-studantizada)
Sr2 = 8,046733 (Variância residual obtida da Tabela 2)
Zeta = 4,817564
Assim, sempre que o módulo da diferença das médias de duas técnicas for maior que Zeta, conclui-se que
há diferença na resistência à compressão em função da técnica utilizada, vide Tabela 3.
Tabela 3: Comparação entre técnicas pelo método de Tukey
Técnica
Diferença
Conclusão
1 com 2
2,77
Não há diferença
1 com 3
4,97
Há diferença
1 com 4
1,57
Não há diferença
1 com 5
1,27
Não há diferença
2 com 3
7,73
Há diferença
2 com 4
4,33
Não há diferença
2 com 5
1,50
Não há diferença
3 com 4
3,40
Não há diferença
3 com 5
6,23
Há diferença
4 com 5
2,83
Não há diferença
De acordo com a Tabela 3 há diferença entre as técnicas 1 e 3, porém as mesmas são iguais e aqui
serviram apenas para evidenciar a não homogeneidade das massas dos lotes, ou seja, não é possível
determinar se o aumento da resistência à compressão para o segundo lote em comparação com o primeiro
lote é devido ao reforço, ou ao composto de concreto preparado, comprometendo o estudo. Ainda pelo
teste de Tukey conclui-se que não há diferença entre compósitos de fibra de vidro e compósitos de fibra
de carbono (Técnicas 1 e 4 e Técnicas 1 e 5). Contudo, esta conclusão está comprometida pela não
homogeneidade dos lotes.
Em não sendo homogêneos os lotes, a análise deve ser feita considerando dois experimentos distintos,
cada um envolvendo um dos lotes. Assim, com base apenas no lote 1 testa-se a hipótese de que houve
aumento da resistência à compressão pela utilização de reforço com uma camada de fibra de carbono, ou
seja, compara-se as técnicas 1 e 2. Já esperava-se o resultado segundo a Tabela 4, isto é, há o aumento na
resistência à compressão a um nível de significância de 5% (Stat t. > P(T ≤ t) uni-caudal e Stat t. > P(T ≤ t)
Análise de experimentos não planejados: estudo de caso sobre reforço de fibra...
51
bi-caudal). Observa-se que caso a hipótese H1 fosse do tipo diferente, ou seja, também levando em conta a
possibilidade do reforço reduzir a resistência à compressão, a conclusão seria outra, ou seja, com os dados
disponíveis não é possível afirmar que o reforço com uma camada de fibra de carbono afeta a resistência à
compressão.
Tabela 4: Teste t-student para teste de aumento da resistência a compressão
quanto da utilização de uma camada de fibra de carbono
Média
Variância
Hipótese da diferença de média
Gl
Stat t
P(T<=t) uni-caudal
t crítico uni-caudal
P(T<=t) bi-caudal
Técnica 1
39,15
4,987
0
10
1,99
0,04
1,81
0,08
t crítico bi-caudal
Técnica 2
41,92
6,64
2,23
Com os dados advindos do lote 2 realiza-se uma ANOVA, testando a hipótese de que a técnica utilizada
afeta a resistência à compressão.
Hipótese
(3)
Sendo μi a resistência média a compressão do material submetido à técnica i.
Com base na Tabela 5, julga-se a hipótese H1 verdadeira, isto é, que a utilização do compósito de fibra de
vidro afeta a resistência média à compressão. Pode-se observar também que o risco de se tomar a decisão
errada é de 0,011335, isto é, ao nível de significância de 5% rejeita-se a hipótese H0, mas não ao nível de
1%.
Tabela 5: ANOVA das técnicas para o lote 2.
Fonte da variação
Técnica
Erro
SQ
116,8844
143,025
gl
2
15
Total
259,9094
17
MQ
58,44222
9,535
F
6,129231
valor-P
0,011335
F crítico
3,68232
Uma vez determinado que há diferença entre as técnicas, um Teste de Tukey é realizado ao nível de
significância de 5% (COSTA NETO, 2002).
Na Tabela 6, observa-se que não há diferença significativa entre uma ou duas camadas de fibra de vidro
(Técnicas 4 e 5). Contudo também não há diferença entre as técnicas 3 e 4, ou seja sem reforço estrutural e
com uma camada de vibra de vidro. Assim sendo, a única conclusão certa seria a de que, obtido reforço
com duas camadas de fibra de vidro e que seria necessário um experimento posterior, para se obter um
resultado definitivo.
Quando se utiliza a ANOVA, é importante checar a homogeneidade das variâncias e a normalidade dos
resíduos (MONTGOMERY, 2001).
Para o teste de normalidade, as hipóteses são:
52
Franco, Costa e Cugler
P&D em Engenharia de Produção, Itajubá, v. 9, n. 1, p. 48-57, 2011
(4)
Tabela 6: Comparação entre as técnicas pelo método de Tukey
Técnica
Diferença
Conclusão
3 com 4
3,40
Não há diferença
3 com 5
6,23
Há diferença
4 com 5
2,83
Não há diferença
Sendo,
o resíduo que incorpora a imprecisão dos instrumentos de medidas, a variabilidade
advinda dos fatores incontroláveis, a falta de uma perfeita homogeneidade entre unidades experimentais,
etc. (vide Tabela 7).
(5)
em que :
(6)
Tabela 7: Valores dos Resíduos
Resíduos (Toneladas)
Técnica 1
3,3
0,9
-2,7
-1,9
-1,1
1,5
Técnica 2
0,1
2,6
-3,9
3,1
-0,9
-0,9
Técnica 3
-2,2
3,3
1,3
-2,7
1,3
-1,1
Técnica 4
1,4
-5,1
1,4
-1,1
0,4
2,9
Técnica 5
-4,4
-1,9
0,6
7,1
-1,4
0,1
O teste de normalidade é feito por um procedimento gráfico em que cruzam-se os 30 valores dos resíduos,
correspondendo a divisão da curva normal
dispostos em ordem crescente com os valores de
em pequenas áreas de um trinta avos de probabilidade, vide Tabela 8.
As áreas das caudas são de um sessenta avos de probabilidade. Para uma área caudal a esquerda de
,
vide Figura 1, o valor de
é –2,126 (vide Figura 1). Assim, o menor valor esperado do resíduo
deve corresponder a –2,126. Para uma área a esquerda de
de probabilidade o valor de
é -1,644. Assim, o segundo menor valor esperado do resíduo deve corresponder a –1,644, e
assim por diante.
Figura 1: Área caudal de
de probabilidade
Análise de experimentos não planejados: estudo de caso sobre reforço de fibra...
53
Tabela 8: Resíduos em ordem crescente
Ordem Crescente
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Área de probabilidade
0,017
0,050
0,083
0,117
0,150
0,183
0,217
0,250
0,283
0,317
0,350
0,383
0,417
0,450
0,483
0,517
0,550
0,583
0,617
0,650
0,683
0,717
0,750
0,783
0,817
0,850
0,883
0,917
0,950
0,983
Z
-2,126
-1,644
-1,383
-1,191
-1,036
-0,902
-0,783
-0,674
-0,573
-0,477
-0,385
-0,297
-0,210
-0,125
-0,042
0,042
0,126
0,211
0,297
0,386
0,477
0,573
0,675
0,784
0,903
1,037
1,192
1,383
1,646
2,130
Resíduos
-5,1
-4,4
-3,9
-2,7
-2,7
-2,2
-1,9
-1,9
-1,4
-1,1
-1,1
-1,1
-0,9
-0,9
0,1
0,1
0,4
0,6
0,9
1,3
1,3
1,4
1,4
1,5
2,6
2,9
3,1
3,3
3,3
7,1
Na Figura 2 os pontos estão bastante próximos de uma reta, pode-se assim conjecturar que os resíduos
são normalmente distribuídos.
Figura 2: Análise gráfica dos resíduos
Para se investigar a homogeneidade das variâncias Levene (1960) propôs o teste da ANOVA para as
dispersões de cada observação em relação a sua mediana, vide Tabela 9.
54
Franco, Costa e Cugler
P&D em Engenharia de Produção, Itajubá, v. 9, n. 1, p. 48-57, 2011
Hipótese:
(7)
o desvio padrão da distribuição das resistências à compressão dos compósitos submetidos à
Sendo
técnica i.
Tabela 9: Dispersão de cada observação em relação à mediana das amostras
Dispersão
Técnica 1
3,4
1,0
-2,6
-1,8
-0,9
1,6
Técnica 2
0,5
3,0
-3,5
3,5
-0,5
-0,5
Técnica 3
-2,3
3,2
1,2
-2,8
1,2
-1,2
Técnica 4
0,5
-6,0
0,5
-2,0
-0,5
2,0
Técnica 5
-3,8
-1,3
1,3
7,8
-0,8
0,8
De acordo com a ANOVA da Tabela 10 a hipótese
da expressão (6) é a hipótese verdadeira.
Tabela 10: ANOVA da dispersão das observações em relações à mediana das amostras
Fonte da variação
Técnica
Erro
Total
SQ
gl
8,86466667 4
MQ
F
valor-P
F crítico
2,21616667 0,27541197 0,89105355 2,75871047
201,168333 25
8,04673333
259,9094
17
4. PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO
Um experimento corretamente planejado requer o preparo de uma massa específica para a confecção de
cada corpo de prova e um sorteio totalmente aleatório para se definir com qual técnica cada corpo de
prova deverá ser feito. Porém, esse experimento despenderia dos pesquisadores um maior tempo e custo
para a preparação individual da massa para modelagem de cada corpo de prova.
Então uma solução interessante para este caso é utilizar o experimento Split-Plot (MONTGOMERY, 2001),
o qual é utilizado quando não se pode realizar a completa aleatorização do experimento. Assim, pode-se
planejar o experimento da seguinte maneira: permanece a metodologia aplicada pelos pesquisadores
preparando de uma só vez as massas de cada lote, porém a ordem da experimentação deve ser
completamente aleatória dentro do lote e envolvendo todas as técnicas, ou seja, deve-se selecionar
aleatoriamente um tratamento (técnica), conforme ilustrado no Quadro 1.
A técnica 4 seria a primeira a ser aplicada, e considerando a massa preparada para o lote 1 (pois O1 está
no cruzamento da técnica 4 com o lote 1), a técnica 2 seria então a segunda, e considerando a massa
preparada para o lote 2.
Análise de experimentos não planejados: estudo de caso sobre reforço de fibra...
55
Quadro 1: Delineamento Split-Plot
Lotes
Técnicas
1
1
O5
O23
O13
O20
Observações
2
O18
O15
O6
O4
2
3
O21
O24
O11
O26
4
O1
O28
O3
O9
1
O31
O29
O17
O14
2
O22
O7
O2
O8
3
O12
O10
O25
O30
4
O19
O27
O16
O32
De cinco, as técnicas passariam para apenas quatro, ver Quadro 2.
Quadro 2: Descrição das técnicas
Técnica
1
2
3
4
Descrição
Sem reforço estrutural
Uma camada de fibra de carbono
Uma camada de fibra de vidro
Duas camadas de fibra de vidro
A Tabela 11 apresenta uma ilustração da aplicação do experimento Split-Plot, utilizando os resultados
obtidos no experimento. Vale lembrar que não foi realizado outro experimento. Cada lote é dividido em
quatro partes chamadas de Whole plot, que são as técnicas. Cada whole plot é dividido em quatro partes
chamadas de sub-plot, que são as observações.
Tabela 11: Delineamento Split-Plot: exemplo prático
Lote 1
Técnicas
Lote 2
1
2
3
4
1
2
3
4
Observação 1
32,0
42,0
32,5
36,0
142,5
37,5
44,5
39,0
38,5
159,5
302,0
Observação 2
35,5
38,0
36,5
41,0
151,0
31,5
45,0
39,0
47,5
163,0
314,0
Observação 3
35,5
41,0
40,5
39,0
156,0
33,1
41,0
38,0
40,5
152,6
308,6
Observação 4
34,3
40,3
36,5
38,7
149,8
34,0
43,5
38,7
42,2
158,4
308,2
137,3
161,3
146,0
154,7
136,1
174,0
154,7
168,7
599,3
1232,8
633,5
A Tabela 12 apresenta a ANOVA. Vale esclarecer que o whole plot não é totalmente aleatório pois é
escolhido o lote e a técnica que será aplicada no corpo de prova. Já o sub-plot é totalmente aleatório. O erro
experimental é estimado pela soma dos quadrados de todas as observações subtraída pela soma dos
quadrados dos lotes, das técnicas, das observações e das interações.
Tabela 12: Delineamento Split-Plot: Exemplo prático
Fonte da variação
Lote (A)
Técnica (B)
AB (Whole plot)
SQ
36,55
279,09
17,75
gl
1
3
3
MQ
36,55
93,03
5,92
Observação (C)
AC
BC
Erro (Sub-plot ABC)
Total
9,03
28,26
60,83
37,52
469,04
3
3
9
9
31
3,01
9,42
6,76
4,17
F
F crítico
15,7224
9,2766
0,3195
9,2766
1,6210
3,1789
56
Franco, Costa e Cugler
P&D em Engenharia de Produção, Itajubá, v. 9, n. 1, p. 48-57, 2011
Com isso pode-se realizar uma análise estatística mais confiável, pois mesmo não havendo
homogeneidade entre os lotes, o efeito seria minimizado graças à aleatorização.
Para se saber se o tamanho da amostra foi suficiente para a realização do experimento, calcula-se o risco β
(aceitar a hipótese H0, em sendo H0 falso) que é função de φ2.
ϕ2 =
nD 2
2 aσ 2
Sendo:
a: número de técnicas
n: tamanho da amostra
σ²: variância
D: diferença mínima de resistência que permite concluir que há diferença nas técnicas
Como o desvio padrão é desconhecido, para uma primeira tentativa podemos utilizar a variância residual
obtida na Tabela 2 (σ2 = 8,046733) como a melhor estimativa disponível (Curvas características de
operação para efeito fixo no modelo de análise de variância, Montgomery, 2001). Se o pesquisador estiver
interessado em descobrir diferenças em técnicas que tem resistências médias à compressão que diferem
entre si de pelo menos 8 toneladas, deve calcular:
ϕ =
nD 2
=
2 aσ 2
6.(8) 2
= 2,44
2.4.(8,046733 )
Para φ = 2,44, o risco β (aceitar a hipótese H0, em sendo H0 falso) está em torno de 2% (Curvas
características de operação para efeito fixo no modelo de análise de variância (MONTGOMERY, 2001)).
Portanto, pode-se reduzir o tamanho das amostras sem comprometer os resultados, pois para n = 4 tem-se
um risco β de 5%.
5. CONCLUSÕES
O objetivo do estudo analisado foi investigar a viabilidade da substituição da fibra de carbono pela fibra de
vidro. Os resultados ficaram comprometidos pela forma como o experimento foi realizado. As técnicas 1 e
3 (que correspondem aos corpos de prova sem reforço estrutural) aplicadas nos lotes 1 e 2
respectivamente foram julgadas estaticamente diferentes evidenciando a falta de homogeneidade entre as
massas dos lotes, empobrecendo assim a análise estatística.
Porém, ainda foi possível observar o ganho de resistência com a utilização do compósito de fibra de
carbono ou compósito de fibra de vidro. Um fato interessante é que não há necessidade de duas camadas
de fibra de vidro.
O procedimento proposto, Split-Plot, mostra a possibilidade de uma análise estatística mais confiável, pois
mesmo não havendo homogeneidade entre os lotes, o efeito seria minimizado graças a aleatorização, além
da possibilidade de redução do tamanho da amostra. A importância da utilização do planejamento do
experimental vem da necessidade de se poder realizar uma melhor análise, bem como uma redução
significativa dos custos e tempo dos experimentos.
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