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Resistência dos Materiais I
Estruturas II
Capítulo 4
Esforço Axial ou Normal
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4.1 – Princípio de Saint-Venant
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– Barra carregada numa
extremidade e fixa na outra.
– Ocorrem distorções no
ponto de aplicação da carga
e no engaste.
– Na região central da barra as
deformações e tensões
possuem uma distribuição
uniforme.
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• Em uma região suficientemente afastada do ponto de aplicação das
cargas a distribuição de deformações e de tensões será independente da
forma de aplicação do carregamento.
• Este afastamento deve ser maior que a maior dimensão da seção
transversal da peça.
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• Barré de Saint-Venant (1855):
• Dois sistemas de forças estaticamente equivalentes (mesma força
resultante e mesmo momento resultante) produzem os mesmos efeitos
mecânicos (deformação e tensão) em uma região suficientemente
afastada do ponto de aplicação das cargas.
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4.2 – O conceito de esforço normal
Esforço normal é a resultante das forças que atuam na direção normal
ao plano da seção, sobre o eixo centroidal da estrutura.
NP
N
(a)
 Fn
(b)
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Convenção de sinais
O esforço normal será positivo se
estiver saindo do plano da seção.
Neste caso é chamado de esforço de
tração.
O esforço normal será negativo se
estiver entrando no plano da seção.
Neste caso será chamado de esforço
de compressão.
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Estruturas sob esforço normal
Treliças
Colunas
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Cabos (cables)
Tirantes (hangers)
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Estacas de fundação
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Estruturas sob esforço normal
Hipóteses:
• O eixo da barra inicialmente reto, permanece reto
após a deformação.
• A seção transversal inicialmente plana, permanece
plana após a deformação.
• A força normal está aplicada no centróide da
seção.
• O material é elástico, homogêneo e isotrópico.
Consequência: a deformação da seção será uniforme.
Consequência: a tensão normal na seção será uniforme.
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Cálculo da tensão normal máxima em uma barra
sob esforço normal variável:
Procedimento de análise:
1. Desenhar o diagrama de corpo livre da barra com todas as forças
axiais atuantes.
2. Seccionar a barra no ponto onde se deseja calcular o esforço normal,
isolando um dos lados da seção.
3.
Aplicar a condição de equilíbrio:
4.
Calcular a tensão normal nesta seção:
5.
Determinar a máxima tensão normal na barra.
N
 Fn
N

A
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4.3 – Condição de resistência
P
    adm
A
A
P
 adm
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4.4- Deslocamento sob esforço normal
Barra de seção variável sob carregamento variável:
P( x)

A( x)
d

dx
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P( x)

A( x)
  E
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d

dx
P( x)
d
E
A( x)
dx
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P( x)
d
E
A( x)
dx
L
P( x)
d 
dx
EA( x)
P (x )
 
dx
EA( x )
0
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Barra de seção constante e sob carregamento constante:
L
P (x )
 
dx
EA( x )
0
PL

EA
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Barra de seção variável por trechos sob carregamento variável por trechos:
L
P (x )
 
dx
EA( x )
0
PL
 i i
i 1 Ei A i
n
n  número de trechos
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Exemplo 1A barra de aço AD possui diâmetro de 30 mm e módulo de elasticidade E =
200 GPa. Para o carregamento indicado, calcular o deslocamento relativo
entre os pontos A e D.
LAB  200mm
LBC  250mm
LCD  350mm
 AD  ?
PL
 i i
i 1 Ei A i
n
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 AD   AB   BC   CD
 AD
PAB .LAB PBC .LBC PCD .LCD



EA
EA
EA
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 AD 
 5 103 N .200mm
3
200 10
N
2
.707mm
2
mm

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 3103 N .250mm
3
200 10
N
2
.707mm
2
mm

 7 103 N .350mm
200 103
N
2
.
707
mm
mm2
 AD  0,0071mm   0,0053 mm   0,0173 mm  0,0155 mm 
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Exercício de fixação
1)A barra de aço A-36 mostrado na figura é composta por dois segmentos, AB
e BD, com áreas de seção transversal AAB=600mm2 e ABD=1200mm2,
respectivamente. Determine o deslocamento vertical da extremidade A.
E=210GPa
Resposta:  A  0,61mm

n

i 1
Pi Li
Ei Ai
n  número de trechos
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2)Duas barras de 36mm de diâmetro, ABC de aço e CD de bronze, são ligadas
em C e formando a barra ABCD de 7,5m de comprimento. Determinar, para a
carga aplicada e desprezando o peso da barra, os deslocamentos: a) da seção
C; b) da seção D.
Respostas:
C  2,95mm 
 D  5,29mm 
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3)A coluna de aço A-36 é usada para suportar as cargas simétricas dos dois
pisos de um edifício.Determinar o deslocamento vertical de A em relação a C
para P1=40kip e P2=62kip. A coluna tem uma área de seção transversal de
23,4in2. E=29(103)ksi
Respostas:
 0,0603in 
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4)Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos mostrados na
figura. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20mm, e BD é feito de alumínio e
tem diâmetro de 40mm. Determine o deslocamento do ponto F em AB se uma
carga vertical de 90kN for aplicada nesse ponto. Considere Eaço=200GPa,
Eal=70GPa.
Resposta:  F  0,225mm 
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8)O raio do pedestal apresentado na figura é definido pela função
2
(ft), onde y é dado em metros. Se o E=14(103)psi, determine o
r=
1


2
2

y

 deslocamento da parte superior do pedestal quando ele suportar

 uma carga de 500lb .
Resposta:
 
  0,0107in
P(y )
dy
EA( y )