X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
EXPERIMENTO MATEMÁTICO NA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS
Rochelande Felipe Rodrigues
Universidade Federal do Tocantins
[email protected]
Josinalva Estacio Menezes
Universidade Federal Rural de Pernambuco
[email protected]
José Vieira da Silva
Faculdade de Formação de Professores de Goiana – PE
[email protected]
Resumo: Esta pesquisa analisa a utilização de um experimento matemático chamado
Soma Cubo, onde é utilizado e aplicado com a finalidade de desenvolver habilidades no
que diz respeito à percepção espacial, raciocínio lógico, planejamento de estratégia,
seqüenciamento de montagem, composição e decomposição de sólidos. A pesquisa foi
desenvolvida com finalidades educacionais, a fim de mostrar que jogos e experimentos
matemáticos podem ser aplicados de forma correta e objetiva auxiliando no processo de
ensino-aprendizagem da matemática na Educação de Jovens e Adultos.
Palavras-chave: Educação Matemática; Experimento matemático; EJA.
INTRODUÇÃO
Os experimentos matemáticos têm um papel importante na produção do
conhecimento matemático, pois os mesmos têm auxiliado o desenvolvimento de teorias em
diversas áreas trazendo contribuições para a humanidade. Poderíamos citar fatos
relacionados aos experimentos matemáticos, que foram utilizados de ponto de partida para
resoluções de problemas, ou no desenvolvimento destas soluções. Porém, não iremos
abordar fatos desta natureza, mas um experimento voltado para área educacional, chamado
de Soma Cubo.
O Ensino da Matemática vêm tentando encontrar formas para representar a
matemática de uma maneira mais clara e agradável, mantendo as características e
propriedades matemáticas encontradas. Segundo Pais (2002), o desafio didático consiste
fazer a contextualização, sem reduzir o significado das idéias matemáticas que deram
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
1
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
origem ao saber ensinado. Estas formas podem ser consideradas experimentos
matemáticos.
O Soma Cubo é um experimento matemático desenvolvido em 1936, pelo poeta,
filosofo, inventor e matemático dinamarquês Piet Hein. Trata-se de um quebra cabeça
formado por sete peças, onde todas unidas formam um cubo maior. As peças podem ser
reunidas de formas variadas, originando outras figuras geométricas tridimensionais. Sendo
um experimento matemático pode apresentar outras variações, como as cores e formas
diferentes, constituindo-se em uma ferramenta que auxilia o processo de ensinoaprendizagem da matemática, principalmente na geometria, não se limitando à mesma.
Com o Soma Cubo, podemos trabalhar conteúdos referentes à: área, volume, formas e
análise combinatória, explorando seus conceitos e propriedades.
Os PCN destacam a importância da utilização dos conceitos geométricos no
currículo da matemática, que por meios deles possa ser desenvolvido um tipo especial de
pensamento permitindo ao aluno compreender, descrever e representar de forma
organizada o mundo que vive (PCN, 1998). Este tipo de pensamento sugerido pelos PCN,
pode ser desenvolvido com a aplicação de atividades como o Soma Cubo na sala de aula,
direcionando o experimento com base nos estágios cognitivos de cada turma de alunos.
Esta pesquisa foi elaborada, com a finalidade de analisar as atividades e
depoimentos realizados pelos participantes. Nela, procuramos identificar a percepção
espacial, raciocínio lógico, planejamento de estratégia, seqüenciamento, composição e
decomposição de sólidos eventualmente mobilizados pelos alunos.
1. METODOLOGIA
A metodologia aplicada foi de uma abordagem qualitativa, com tratamentos de
dados quantitativos, que possibilitou uma melhor compreensão dos fatores pesquisados. Os
dados foram adquiridos por atividades aplicadas e entrevistas semi-estruturadas aos
participantes da pesquisa.
1. 1. AS PEÇAS DO SOMA CUBO
As peças do Soma Cubo são formadas por policubos, onde as sete peças estão
representadas abaixo:
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
2
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Fig. 1: As peças do Soma Cubo
O Soma Cubo tem um enigma principal que é montar as sete partes para formar um
cubo. Este é um dos mais fáceis de resolver, porque há 240 maneiras diferentes de formar o
cubo, não incluindo as rotações e reflexões, isto é, girando o cubo ou olhando sua imagem
no espelho. Se acrescentarmos as rotações e reflexões, chegaremos a um número elevado
de 11.520 maneiras de formar o cubo.
Há considerações na construção do cubo utilizando as sete peças do Soma Cubo;
para isto, iremos considerar a numeração das peças citadas anteriormente. De início, um
cubo tem oito vértices, e que o cubo a ser formado tem 3ux3ux3u (unidades de largura,
comprimento e altura) de cubos, obtendo um total de 27 cubos. Iremos utilizar as peças 2 e
3, porque estas partes podem preencher dois vértices do cubo, então a partir daí temos as
seguintes conclusões: 1- Se a parte 3 dá forma a nenhum vértice do cubo, então a parte 2
irá preencher dois vértices. Isto não é possível, pois sobram cinco partes para preencher
seis vértices; 2- Se à parte 3 dá forma a dois cantos, então à parte 2 deve dar forma a um
vértice. Portanto, à parte 3 dá forma a dois vértices, e a parte 2 deve dar forma à pelo
menos um vértice, não podendo encontrar-se no meio.
Uma das formas de memorizar as soluções é através de um método utilizado por
Martin Gardner, onde consiste em marcar em três níveis: inferior, médio e superior,
considerando a numeração das peças.
Podemos observar abaixo, um exemplo de como Martin Gardner fazia suas anotações:
4
5
2
4
1
2
1
1
2
7
5
5
Superior
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
3
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
4
6
5
4
3
2
Médio
Fig. 2: Uma formação do cubo com as suas numerações.
7
7
6
7
6
6
3
3
3
Inferior
1.2. ATIVIDADES PROPOSTAS
As atividades aplicadas foram baseadas no método de Martin Gardner, e em
problemas que necessitassem da percepção espacial, raciocínio lógico, planejamento de
estratégia, seqüenciamento, composição e decomposição de sólidos, para sua resolução.
Primeira Atividade:
Tente montar um cubo, utilizando todas as peças do Soma Cubo, anotando sua solução no
método: nível inferior, médio e superior.
Superior
Médio
Inferior
Segunda Atividade:
1) As estruturas a abaixo são cubos empilhados. Observe atentamente e indique a
quantidade de cubos em cada estrutura.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
4
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
2) Observe a figura abaixo e responda. Quais são as quatro peças numeradas necessárias
para formar a figura A?
3) Para transformar a estrutura A em um cubo 4u x 4u x 4u, você deve acrescentar um
certo número de cubos pequenos. Em que pilha há um número exato de cubos pequenos
necessários? Mais de uma pilha atendem ao propósito?
1.3. SUJEITOS DA PESQUISA E RECURSOS DIDÁTICOS
Foram 6 participantes envolvidos na pesquisa, que iremos caracterizar por P1, P2, P3,
P4, P5, P6. Iremos citar abaixo as características de cada participante:
P1 : Homem de 37 anos, tem a profissão de Radialista e parou de estudar na
conclusão do o 2ª ano do ensino médio;
P2 : Homem de 51 anos, profissão de Pedreiro e parou de estudar na 6ª série ou no
7ª ano do ensino fundamenta;
P3 : Mulher de 31 anos, profissão de Costureira e estuda atualmente no 1ª ano do
ensino médio da EJA;
P4 : Homem de 21 anos, profissão de Operador de Maquinas e estuda atualmente no
1ª ano do ensino médio da EJA;
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
5
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
P5: Mulher de 25 anos, profissão de estudante e atualmente é universitária do curso
de Contabilidade;
P6: Mulher de 40 anos, profissão de Técnica de Enfermagem, com o grau de
instrução até o ensino médio.
2. ANÁLISE DOS DADOS
Todos os participantes envolvidos montaram o cubo, e os quadros seguintes,
expressam algumas observações anotadas pelo professor e respostas citadas pelos
participantes, no decorrer das duas atividades.
No quadro I, referente à primeira atividade proposta, marcamos o seu tempo de
montagem do cubo, se o participante obteve orientações na sua montagem e suas opiniões
sobre o grau de dificuldade na montagem do cubo e nas anotações de suas soluções.
QUADRO I
PRIMEIRA ATIVIDADE
Participantes
Tempo de
montagem
Orientações na
montagem
Grau de
Dificuldade na
Montagem
Grau de
Dificuldade na
Anotação
P1
20 m
Sim
Médio
Difícil
P2
12 m
Não
Difícil
Fácil
P3
25 m
Sim
Médio
Médio
P4
7m
Não
Fácil
Fácil
P5
28 m
Sim
Difícil
Médio
P6
15 m
Sim
Médio
Médio
No quadro II, é referente à segunda atividade proposta, expressamos os percentuais
de acerto de cada questão. A primeira questão é formada por quatro itens, e cada item
correto correspondeu a 25% de acerto. Na segunda existem oito peças, da qual quatro
montam corretamente uma peça maior, consideramos cada peça marcada corretamente um
acerto. E por último, a terceira questão que têm duas perguntas, onde consideramos o
acerto total a resposta correta das duas. O Quadro II, também expressa a opinião dos
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
6
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
participantes em relação à primeira atividade, isto é, se a primeira atividade facilitava a
resolução da segunda.
QUADRO II
SEGUNDA ATIVIDADE
Participantes
1ª Questão
Percentual de
acerto
2ª Questão
Percentual de
acerto
3ª Questão
Percentual de
acerto
Facilidade em
Responder após a
primeira atividade
P1
25%
75%
50%
Sim
P2
50%
75%
0%
Sim
P3
100%
100%
100%
Sim
P4
100%
100%
100%
Sim
P5
50%
50%
50%
Sim
P6
25%
75%
100%
Sim
As considerações a seguir, estão relacionadas aos quadros anteriores, com
comentários e observações não citadas anteriormente:
P1: Na primeira atividade, o participante montou o cubo em 20 minutos, porém com
10 minutos de tentativa o participante teve orientações na sua montagem. Posteriormente,
anotou sua solução pelo método de Martin Gardner, apresentando dificuldade nas
anotações, decompondo o cubo para fazer as anotações dos números. Na segunda
atividade, também obteve dificuldades, principalmente na segunda questão, porém citou
que a atividade anterior facilitou a sua resolução.
P2: Na primeira atividade, o aluno não montou na primeira tentativa, porém insistiu
em tentar novamente e conseguiu montar em 12 minutos. Recusou-se a receber
orientações, mas desenvolveu uma estratégia em relação à sua montagem. Após, registrou
a sua solução pelo método de Martin Gardner, obtendo dificuldade na sua anotação, tendo
que decompor as peças para registrar a sua solução. Na segunda atividade, o participante
teve dificuldade nas duas ultimas questões, se interessando nas resoluções e citando que a
atividade anterior teria facilitado a sua resolução.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
7
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
P3: Na primeira atividade, a participante montou o cubo em 25 minutos, após 10
minutos de tentativa foi oferecido orientações, recusada pela mesma; porém depois de 20
minutos foi orientada. A participante desenvolveu uma estratégia própria em relação a sua
montagem, facilitando a construção do cubo. Na anotação, a participante anotou sem
decompor as peças, porém citou dificuldades em visualizar os números escondidos e em
imaginar as posições das peças. Na segunda atividade, a mesma não teve muita
dificuldade, só reclamou da não visualização de algumas peças, citando que a primeira
atividade facilitou muito a resolução da segunda.
P4: Na primeira atividade, o participante montou em 7 minutos, não teve qualquer
tipo de orientação, e também descreveu a sua estratégia de montagem. Na anotação da
solução, o participante não teve dificuldades, nem decompôs as peças para anotar sua
solução. Na segunda atividade, ele não expressou dificuldade em resolver, não citando
qualquer queixa na sua resolução, e confirmando que, após a primeira atividade, a
visualização das peças escondidas ficou mais fácil de identificar.
P5: Na primeira atividade, a participante montou o cubo em 28 minutos, apresentou
dificuldades na montagem, mas após 10 minutos teve orientações. Na anotação da sua
solução, obteve um pouco de dificuldade na anotação do nível médio, onde a mesma citou
que foi pelo fato da numeração está escondida, caracterizando a anotação em uma
dificuldade de nível médio. Na segunda atividade, não obteve um bom desempenho,
porém, apesar das queixas, citou que a primeira atividade facilitou a resolução da segunda,
onde utilizou estratégias usadas anteriormente.
P6: No inicio da primeira atividade, a participante apresentou uma falta de noção
espacial, composição e decomposição na montagem do cubo, mas em 10 minutos após foi
orientada, conseguindo montar em 15 minutos, apresentando uma dificuldade nos encaixes
das peças. No caso da anotação da sua solução, não apresentou dificuldades. Na segunda
atividade, obteve um resultado satisfatório, mas não apresentou qualquer tipo de estratégia
de resolução em nenhuma das atividades, porém apresentou uma empolgação nas
resoluções das atividades.
Nota-se que as orientações citadas anteriormente, são referentes às considerações
na montagem do cubo, onde estão localizadas no texto. Não foi montado o cubo com os
participantes, mas citadas as considerações de sua montagem.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
8
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
No decorrer das entrevistas, foram observadas estratégias realizadas por alguns
participantes, referente a montagem do cubo, onde os mesmos citaram suas dificuldades,
que traçaram estratégias para superá-las. Podemos observar isto nos seguintes fragmentos
das entrevistas, abaixo:
E: Na montagem, o que você achou mais difícil? Qual dificuldade que você teve para
montar o cubo?
P3: A dificuldade que tem é você [...] é! é! [ ...] é no meio dela assim...
E: A parte central dele?
P3: É!
P3: Você achando o [...] o centro, que é à parte de baixo, os encaixes...
E: Achando a base o resto da montagem sai mais fácil?
P3: É!
-------------------------------------------------------------E: Quando você estava montando ele, o que você achou mais difícil, [...] quando você
estava montando? O que você achou mais difícil?
P4: mais difícil né...
E: você achou fácil a montagem, [...] alguma dificuldade você teve na montagem?
P4: Achei mais difícil, [...] foi montar a parte superior.
E: A parte superior?
P4: Tudo que vem de baixo é fácil, o médio também fica fácil, mas a parte superior, tem
peça que você pensa que é, mas não é! Tá entendendo?
E: Essa foi a sua maior dificuldade?
P4: Só a superior.
Com esses fragmentos, podemos verificar que os participantes P3 e P4 descreveram
suas dificuldades e formularam suas próprias estratégias de montagem do cubo.
Observamos também que os mesmos tiveram dificuldades diferentes. No caso do P3, a
parte inferior e o meio se tornaram difíceis, principalmente a parte inferior, que podemos
considerar como a base do cubo. No caso do P4, a dificuldade na montagem caracterizou
na parte superior do cubo, isto é, as últimas peças a serem colocadas. Ambos tiveram
dificuldades diferentes na montagem, gerando estratégias de resolução diferentes.
Apresentamos em seguida alguns fragmentos de entrevistas, que representa uma
falta de elaboração de estratégia ou uma falta de explicação, referente à sua solução na
primeira atividade:
E: O que você achou mais difícil em montar o cubo?
P2: No inicio?
E: Você conseguiu montar?
P2: Conseguir!
E: O que você achou mais difícil na montagem?
P2: Foi a montagem! Um pouquinho foi à montagem.
E: O que você acha que dificultou a montagem?
P2: Na minha opinião?
E: Sim!
P2: Colocar os números na regra certa.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
9
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
--------------------------------------------------------------------E: Que dificuldades você sentiu na montagem do cubo? Quais foram às dificuldades?
P5: [...] Tá! Encaixar né...
E: O que você achou mais difícil para encaixar as peças?
P5: Não tava desenhadozinho para saber!
P5; Risos...
E: Se tivesse uma montagem pronta, seria mais fácil?
P5: Era mais fácil!
E: Quando você estava montando, e estava perto de montar e não conseguia, ai tentava
novamente [...] O que você acha que estava lhe impedindo de montar o cubo?
P5: A [...] a peça né [...] que estava encaixando errado, só isso, na certa não era ela.
Lembramos que uma falta de explicação não caracteriza uma falta de compreensão
da atividade, pelo fato da possibilidade do participante ter em sua mente uma estratégia de
resolução, porém não sabe explicar com palavras. Para este tipo de análise, seria necessário
um estudo mais aprofundado e demorado que foge aos objetivos deste trabalho cientifico.
3. CONCLUSÃO
As atividades aplicadas juntamente com as análises realizadas, buscam fazer
algumas identificações de pontos referentes a certas habilidades sugeridas nos PCN. Estas
habilidades são consideradas essenciais, para que qualquer pessoa possa utilizar, identificar
ou resolver problemas matemáticos, no tocante à geometria. Os resultados encontrados
apontam que experimentos ou jogos matemáticos podem auxiliar no processo de ensinoaprendizagem da matemática. Os participantes apresentaram-se muito empolgados na
resolução das atividades, até aqueles que não apresentaram algum tipo de estratégia. O
envolvimento foi grande, trazendo opiniões, sugestões e interesse em montar outras formas
com as peças do Soma Cubo. As discussões durante as atividades trouxeram elementos e
características do cubo, tais como: forma, tamanho, volume, área, vértices, arestas e outros,
não se limitando a forma cubo. Uma atividade matemática aplicada com responsabilidade e
com rigor matemático, conservando as propriedades e definições trazem benefícios ao
processo de ensino-aprendizagem da matemática.
4. REFERÊNCIAS:
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
10
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais.
Brasília: MEC / SEF, 1998. 148p.
CHRISTIAN, Eggermont. The Soma Cube. Disponível em http://web.inter.nl.net/users/C.
Eggermont/Puzzels/Soma/. Acessdo em 15/04/2007.
FIORINO, Marie-Christelle. 101 maneiras de melhorar sua memória. Rio de Janeiro:
Reader’s Digest, 2006.
MATHEMATISCHE
BASTELEIENSoma
Cubes.
Disponível
http://www.mathematische basteleien.de/somacube.htm. Acessado em 15/04/2007.
em
MACHADO, Silva Dias Alcântara. Educação Matemática: uma introdução. São Paulo:
EDUC, 1999, 208p.
NEHEN, Dennis. The Soma Cube Puzzle-1. Disponível em http://www.geocities.
com/dnehen/soma/soma.htm. Acessado em 15/04/2007.
PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: uma análise da influência francesa – 2. ed.
Belo
Horizonte:
Autêntica,
2002.
208p.
PLUZZES.COM. Projects millennium-Soma Cube. Disponível em http://www.puzzles
.com/Projects/MillenniumPuzzles/SomaCube.htm. Acessado em 15/04/2007.
REGÔ, Rogéria Gaudencio do. Matematicativa / Rogéria Gaudencio do Regô, Rômulo
Marinho do Regô. 3ª Ed. João Pessoa: Editora Universitária / UFPB, 2004. 257p.
SOMA. Disponível em http://users.ids.net/~salberg/soma/Soma.html. Acessado em
15/04/2007.
SOMA
CUBE
CENTRAL.
Disponível
em
http://www.highland.madison.k12.il.us/jbasden/ somacube/. Acessado em 15/04/2007.
THORLEIF´S
SOMA.
Disponível
em
bundgaard.dk/SOMA/SOMA.HTM. Acessado em 15/04/2007.
http://www.fam-
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
11