Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLANA III
1 – PARALELISMO
2 – SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE
UM TRIÂNGULO
Este conceito merece atenção especial, pois
retas paralelas cortadas por transversal costumam
aparecer com uma frequência assustadora e podem
ser a saída de muitas questões complicadas.
Dadas duas retas paralelas, chama-se reta
transversal qualquer reta que intercepte ambas as
retas.
Dadas num plano, duas retas e e uma transversal
, obtemos oito ângulos (normalmente são formados
quatro ângulos agudos e quatro ângulos obtusos):
A soma dos ângulos internos de qualquer
triângulo é
(Muito, muito importante)
90°+45°+45°=180°
30°
60°
45°
90°
90°
45°
60°
90°+30°+60°=180°
60°
60°
60°+60°+60°=180°
Figura 2 – soma dos ângulos internos de um triângulo
Assim, se você conhece dois ângulos de um
triângulo, pode sempre descobrir a medida do terceiro
ângulo. Vejamos como resolver um problema desse
tipo usando essa propriedade.
Figura 1 – retas paralelas cortadas por uma transversal
. As relações abaixo são sempre válidas:
(
?
)
Os 4 ângulos agudos são iguais:
90°
45°
Os 4 ângulos obtusos são iguais:
Os ângulos do mesmo lado da reta transversal
são chamados de ângulos colaterais, enquanto
ângulos de lados diferentes são chamados de ângulos
alternos. Além disso, ângulos dentro da região
delimitada pelas retas paralelas são chamados de
ângulos internos, enquanto ângulos fora da região
delimitada pelas retas paralelas são chamados de
ângulos externos.
Figura 3 – exemplo de problema de soma dos ângulos do triângulo
O ângulo cuja medida é desconhecida mede
(pois
), que é quanto falta à
soma dos outros dois para completar
. O resultado
é encontrado subtraindo-se de
(total da soma) a
soma dos ângulos que você já conhece.
3 – ÂNGULO EXTERNO DO TRIÂNGULO
Propriedades:
Se tivermos duas retas paralelas cortadas por uma
transversal teremos:



Ângulos correspondentes congruentes
Ângulos alternos congruentes
Ângulos colaterais suplementares
Outro conceito importante é o de ângulo externo de um
triângulo. Olhe a figura abaixo. Esse ângulo é obtido
através do prolongamento de um dos lados do
triângulo. Um ângulo externo é igual a soma dos
internos não adjacentes.
Neste ponto não é importante se prender a
definições como ‘colaterais externos’ ou ‘alternos
internos’. O aspecto importante é que, ao se ver
figuras tais quais a representada logo acima, se saiba
reconhecer que ângulos possuem a mesma medida e
quais são suplementares. Tente fazer esse mesmo
desenho em uma folha separada e marcar esses
ângulos até que isso fique natural para você.
Questões que envolvem marcações de ângulos
envolvendo retas paralelas e transversais serão
bastante comuns ao longo do ano.
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Figura 4 – ângulo externo de um triângulo
1
Exercício Resolvido 1:
Determine o valor do ângulo
abaixo:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
marcado na figura
Nível I
1. Calcule o valor de , sabendo que duas retas da
figura são paralelas
2. Calcule
Figura 5 – figura do exercício resolvido 1
e , sabendo que
e
são paralelas
Resolução:
Bem, não temos aqui um triângulo. Mas podemos
arranjar um! Para isso, devemos escolher um dos
segmentos apontados na figura para prolongar, a fim
de encontrarmos dois triângulos:
Escolheremos o da direita (poderia ser o da esquerda)
e então obteremos a seguinte figura:
3. Calcule , sabendo que
e
são paralelas
4. Calcule o valor das incógnitas nos casos:
a)
b)
c)
d)
Colocando os valores dos ângulos que já temos e
calculando os outros pela relação da soma dos
ângulos internos de um triângulo, teremos:
5. Na figura abaixo, as retas e
são paralelas, e a
reta é perpendicular (isto é, forma
) à reta . Se o
menor ângulo entre e mede
, então o ângulo
da figura mede:
E então podemos calcular
de
. Ou seja,
.
2
como sendo o suplemento
a)
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b)
c)
d)
e)
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Nível II
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
6. Duas retas paralelas são cortadas por uma
transversal, de modo que a soma de dois dos ângulos
formados vale
. Então, qualquer dos ângulos
obtusos formado mede:
a)
b)
c)
d)
1. Trace o ângulo correspondente a
são suplementares. Assim:
(
e note que
e
)
e)
7. Considere as retas , , , , todas num mesmo plano,
com e paralelas. O valor em graus de
é:
2. Note que o ângulo correspondente a
é
, logo
. Além disso, note que
e são
colaterais internos, logo
e são suplementares
3. Trace uma paralela a e a passando pelo ângulo
de
e o dividindo em dois outros ângulos. O ângulo
de cima é alterno interno com o ângulo de
, logo o
ângulo de cima é
. Como o ângulo original é
,o
ângulo de baixo é
. Note que o ângulo
d baixo (que vale
) é alterno interno com
a)
b)
c)
8. Na figura abaixo
ângulo ?
d)
e
4. a) A soma dos ângulos internos de um triângulo
sempre é
, logo:
e)
. Quanto vale o
b) A soma dos ângulos internos de um triângulo
sempre é
, logo:
(
)
(
)
c) Um ângulo externo é igual à soma dos ângulos
internos não adjacentes, logo
d) Um ângulo externo é igual à soma dos ângulos
internos não adjacentes, logo:
a)
b)
9. Quanto vale
c)
d)
(
e)
)
(
)
na figura abaixo?
5. Seja o ponto em que corta , o ponto em que
corta e
o ponto em que corta . A figura da
questão é a seguinte:
10. Determine
na figura abaixo
̂ e
Note que
são correspondentes, então
̂
̂ e
. Note que
são opostos pelo
̂
vértice, então
. Além disso, ̂
. Então:
̂
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̂
̂
3
6. Normalmente uma reta transversal determina
ângulos agudos iguais e
ângulos obtusos iguais
quando corta duas retas paralelas (a não ser que a
reta transversal seja perpendicular, caso em que os
oito ângulos são retos). Desses oito ângulos, foi dado
no enunciado que a soma de dois deles é
. Logo os
dois ângulos dessa soma são agudos, e como são
iguais entre si, cada um deles é
. Um ângulo obtuso
é suplementar ao ângulo agudo, logo vale
7. Note que
e
são alternos internos e por
isso são iguais. Então:
.
Além disso, e são opostos pelo vértice, logo
.
8. Primeiro determine os ângulos da base desse
triângulo. Note que o ângulo da esquerda na base é
e que o ângulo da
direita na base é
.
Assim, os ângulos do triângulo são
,
e
GABARITO
1.
2.
e
3.
4. a)
b)
c)
d)
5. E
6. B
7. B
8. A
9.
10.
9. Note que ,
e
são os ângulos internos do
triângulo
, logo
. Note que , e
são os ângulos internos do triângulo
, logo
. Então:
(
)
(
)
10. Note que
,
e
são os
ângulos internos de um triângulo. Então, tem-se:
(
)
(
)
(
4
(
)
)
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