Guia do Professor
Objeto de aprendizagem: Fluxo e Lei de Gauss
NOA – UFPB
1. Introdução
Apresentamos adiante instruções sobre como utilizar esse objeto de aprendizagem com a intenção de facilitar a construção de significados sobre a Lei de Gauss.
Esse material instrucional foi fundamentado na teoria de David Ausubel, que indica uma
participação ativa do aprendiz na construção de seu conhecimento como um dos ingredientes fundamentais da aprendizagem significativa. Para facilitar essa participação, estruturamos esse objeto
de aprendizagem com vários componentes autônomos e complementares, quais sejam; animações
interativas, mapas conceituais e textos descritivos. Eles são autônomos pois essas partes podem ser
utilizadas de maneira exclusiva, e são complementares na medida que cada elemento apresenta uma
faceta específica do veículo que utiliza e que complementa os demais componentes.
Existem circunstâncias onde o professor pode julgar mais adequado iniciar o contato dos
seus alunos com determinado tema usando textos descritivos, que permitem um detalhamento mais
acurado do assunto, pois utiliza o meio verbal como veículo de transmissão das informações. Em
outras oportunidades, o mestre pode julgar mais oportuno que seus estudantes tenham um primeiro
contato com o tema através de uma animação interativa, que em nosso caso é composta por uma
modelagem do fenômeno físico, com a possibilidade de serem modificados parâmetros que determinam as especificidades de apresentação de um cenário. Por exemplo, o aluno pode escolher diversos valores de cargas e analisar o fluxo produzido por essas distribuições de cargas. E finalmente, o professor pode considerar mais relevante que o estudante tenha um contato inicial com o tema
através de um mapa conceitual sobre esse assunto. O mestre tem inteira liberdade de escolher a sequência de estratégias a ser empregada quando da utilização desse objeto de aprendizagem.
2. Objetivos
A Lei de Gauss se apresenta como uma ferramenta poderosa para o cálculo do campo quando consideramos distribuições de cargas elétricas que exibam simetria espacial.
O objetivo principal desse objeto de aprendizagem é facilitar a construção de modelos mentais como um passo intermediário na construção de significados relacionados com fluxo.
Nos textos que acompanham esse OA são apresentadas analogias entre fluxo de matéria através de uma superfície e o fluxo relacionado com distribuições de cargas. São disponibilizadas
diversas modelagens com a intenção de facilitar a compreensão do conceito de fluxo através de uma
superfície, e sobre como esse fluxo pode variar, seja modificando a disposição da superfície ou
mesmo alterando a distribuição de cargas.
3. Pré-requisitos
É necessário que o estudante já tenha tido contato com o conceito de carga elétrica, e a interação entre cargas elétricas.
4. Tempo previsto para a atividade
Para uma exploração do conteúdo serão suficientes quatro horas de aula, onde na metade
desse tempo o professor irá explorar as relações entre o valor do fluxo e as diversas possibilidades
de escolhas de superfícies, bem como as diferentes distribuições de cargas elétricas.
5. Na sala de aula
Caberá ao mestre escolher o momento de apresentar os conceitos relacionados com fluxo, se
inicia com uma exposição em sala de aulas e depois utiliza esse aplicativo, ou se faz o inverso; ou
ainda se usa parte do tempo em sala de aulas, depois usa o computador e finaliza na sala de aulas.
6. Questões para discussão
Existem algumas situações que seriam convenientes que fossem discutidas em sala de aulas.
Seria a análise mais detalhada matematicamente sobre como calcular o valor do campo elétrico criado por distribuições determinadas de cargas elétricas.
Iremos considerar as seguintes situações:
a. Campo produzido por uma carga elétrica isolada.
b. Campo elétrico produzido por duas cargas elétricas de mesmo sinal.
c. Campo elétrico produzido por duas cargas elétricas de sinais diferentes.
d. Campo produzido por um condutor na forma de um plano delgado infinito.
e. Campo produzido por um condutor na for de um fio infinito.
6.a Carga elétrica isolada
A situação mais simples relacionada ao fluxo de campo elétrico acontece quando analisamos uma carga elétrica Q isolada. A
maneira de representar as linhas de campo relacionadas com essa
carga é traçar retas com origem nessa carga, e que dividam o quadrante em ângulos iguais. Se resolvermos traçar cinco retas, elas
deverão dividir o quadrante em cinco ângulos iguais, com valores
de 3600/5 = 720.
Quando a carga elétrica for positiva, como no caso, as linhas
de campo apontam para fora da carga.
Se a carga Q for positiva, como no caso das figuras 1 e 2,
Figura 1
o vetor campo elétrico aponta no sentido da
carga elétrica até o ponto de observação. E se a
r
carga elétrica for negativa, o campo elétrico
r
apontará no sentido contrário, apontará para a
E
Q
carga elétrica.
Figura 2
Um vetor que se comporta como esse campo elétrico, é dito vetor com orientação radial,
pois está sempre dirigido ao longo do raio que tem como origem um ponto específico (a carga elétrica nesse caso).
Quando consideramos uma superfície envolvendo a carga elétrica (como na figura 1), a Lei
de Gauss diz que existe uma relação entre o fluxo elétrico ΦE através de uma superfície fechada e a
carga elétrica Q envolvida por essa superfície fechada. Essa relação tem a forma:
ΦE = Q/ε0
Onde ε0 = 8,84 x 10-12 C2/N. m2 é uma constante conhecida como permissividade do vácuo, e tem o
valor. Ela é mais utilizada na forma:
k=
1
4πε 0
= 8,99 x10 9 N .m 2 / C 2
Considerando a definição de fluxo elétrico, encontramos nesse caso que
2
ΦE = Σ E ΔA cosθ =Σ E ΔA = Q/ε0
Ou seja:
E Σ ΔA =E 4π r2 = Q/ε0
E finalmente
E=
1
Q
4πε 0 r 2
6.b Cargas elétricas de mesmo sinal
Quando colocamos uma segunda carga elétrica q no espaço
que antes era ocupado por apenas uma carga, essa nova carga irá
r
sentir a presença do campo elétrico E causado pela carga Q orir
ginal. Em outras palavras, através do campo elétrico E criado
pela carga original Q, a segunda carga elétrica q irá sentir a atuar
ção de uma força elétrica F que tem a forma:
r
r
⎡⎛ Q ⎞ ⎤
Qq
F = qE = q ⎢ ⎜ k 2 ⎟ rˆ ⎥ = k 2 rˆ
r
⎣⎝ r ⎠ ⎦
Figura 3
onde o vetor r̂ é um vetor radial unitário, que indica o sentido da
força elétrica. Vetor unitário é aquele que tem modulo igual a um.
Para analisar a situação com duas cargas elétricas devemos considerar o princípio da superposição. Esse princípio é válido em diversos contextos da Física. De acordo com o princípio da superposição, o campo elétrico em um determinado ponto do espaço, relacionado com duas cargas
elétricas (Q1 e Q2) é igual a soma vetorial dos campos isolados associados a cada uma das cargas
r
r
r
elétricas ( E1 e E 2 ), ou seja, o campo elétrico resultante E tem a forma:
r r
r
E = E1 + E 2
Como as cargas elétricas são positivas, as linhas de campo apontam num sentido saindo dessas cargas. Podemos metaforicamente dizer que toda a região do espaço onde se encontram as cargas está inundada por linhas de campo. Quando consideramos uma situação onde as cargas elétricas
iguais a +Q, a situação se apresenta equivalente em relação às cargas elétricas, como mostrada na
figura 3. Essas linhas de campo estão orientadas de modo a acompanhar as setas desenhadas na figura 3, e essas setas representam o sentido do campo elétrico criado por essas cargas na região.
Nessa situação não encontramos uma simetria espacial como no caso da figura 1, ou seja,
não temos uma superfície fechada onde o campo elétrico tenha o mesmo módulo sobre toda essa
superfície, como acontece no caso da figura 1. Essa situação já nos mostra que a grande utilidade da
Lei de Gauss acontece em situação com simetria espacial simples.
3
6.c Cargas elétricas de sinais diferentes
Quando existem apenas duas cargas elétricas de sinais
diferentes numa dada região do espaço, esse espaço fica inundado
por linhas de campo como aquelas que estão mostradas na figura
4 ao lado.
Se colocarmos nessa região duas cargas elétricas de mesmo módulo mas de sinais opostos +Q e -Q, a situação se apresenta simétrica em relação às cargas elétricas, como mostrada na
figura 4.
Ao colocarmos uma terceira carga elétrica na região, essa
carga +q irá sofre a ação de uma força elétrica
r
r
Figura 4
F = qE
Essa força elétrica estará orientada segundo as linhas de campo, que nesse caso poderiam se
chamas linhas de força. Na figura 4 as linhas de força estão direcionadas de uma carga para outra,
saindo da carga elétrica positiva. Sobre essa terceira carga q irá atuar uma força resultante da influência das duas cargas +Q e –Q.
6.d Plano delgado infinito.
Quando estamos considerando uma folha (ou plano delgado
infinito) não condutora carregada eletricamente, a aplicação da Lei
de Gauss tem grande utilidade.
Vamos considerar que não existe movimento de cargas elétricas, e que elas estão distribuídas uniformemente sobre o plano,
com uma certa densidade superficial de cargas σ , onde:
σ=
Q
A
Figura 5
Ou seja, existe uma certa quantidade de carga elétrica Q
para uma dada área A. Se formos analisar uma área que é o dobro
da área mencionada, existirá uma quantidade de carga elétrica que
é o dobro da carga mencionada inicialmente.
Intuitivamente podemos perceber que o campo elétrico criado por essa distribuição de cargas está dirigido perpendicularmente à superfície do plano, como está indicado nas figuras 1 e 2.
Considerando um campo com essa direção, a superfície de
Gauss mais conveniente de ser utilizada é um cilindro reto com a
base paralela ao plano carregado.
Considerando uma superfície gaussiana dessa forma, temos:
Figura 6
ΦE = Σ E ΔA cosθ =Σ E ΔA = Q/ε0
Ou seja:
Σ E ΔA =E A + EA = 2 E A = Q/ε0
Na equação anterior estamos considerando que o campo elétrico é perpendicular à superfície
lateral do cilindro, e desse modo não existe fluxo elétrico através das paredes laterais desse cilindro.
E estamos considerando ainda que são iguais as contribuições do fluxo elétrico através das superfícies paralelas ao plano. Em outras palavras:
4
E=
1 Q
σ
⇒ E=
2ε 0 A
2ε 0
6.e Fio infinito.
Quando consideramos um fio não condutor infinito, a aplicação da Lei de Gauss tem grande utilidade.
Intuitivamente pode se perceber que o campo elétrico produzido por essa distribuição é perpendicular ao fio.
Uma escolha simples de uma superfície de Gauss seria um
cilindro reto, e nesse caso
ΦE = Σ E ΔA cosθ =Σ E ΔA = Q/ε0
Ou seja:
Σ E ΔA =E A= E 2π r L = Q/ε0
Na equação anterior consideramos que o campo elétrico é perpendicular à superfície lateral do cilindro, e esse campo é paralelo à
base do cilindro.
Teremos então que
1 Q/L
E=
2πε 0 r
Figura 7
Se definirmos a densidade linear de carga λ como sendo a quantidade de carga Q existente
num determinado comprimento L do fio, teremos:
E=
1
λ
2πε 0 r
⇒ E = 2k
λ
r
Onde
k=
1
4πε 0
= 8,99 x10 9 N .m 2 / C 2
7. Na sala de computadores
7.a Requisitos técnicos:
O OA foi desenvolvido através da plataforma Macromedia Flash Professional 8.0 e requer
que o usuário disponha de um plug-in Adobe Flash Player 8.0. Este plug-in pode ser encontrado e
rapidamente instalado em sua máquina a partir do site www.adobe.com. O OA foi desenvolvido
para solicitar o menor recurso computacional possível, o que permite aos computadores de menor
desempenho executar perfeitamente este aplicativo educacional.
7.b Preparação:
O ideal seria alocar no máximo dois aprendizes por máquina. Caso contrário deve-se disponibilizar a turma em frente ao computador nos limites de resolução da tela do monitor associado ao
conforto visual dos aprendizes. Em caso de público maior sugerimos o uso do data-show acoplado
ao computador.
7.c Durante a atividade:
Este objeto de aprendizagem foi construído vislumbrando o máximo possível à autoexplicação de forma a possibilitar ao aprendiz a autonomia necessária à construção do conhecimento com algumas variantes no processo, sem equivalência entre elas.
5
Interação: aprendiz (turma) → OA → conceitos da Física
Interação: aprendiz (turma) → OA → conceitos da Física em processo mediado pelo professor.
Interação: grupo de estudos (aprendizes e/ou professor) com participantes distribuídos, mas interligados em rede → OA → conceitos da Física.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
Seria interessante, em atividades mediadas sistematizar algumas lógicas:
Conceber e administrar situações-problema ajustadas ao nível e possibilidades cognitivas do aprendiz.
Negociar um processo avaliativo congruente com o OA.
Observar e avaliar os alunos em aprendizagem de acordo com uma abordagem formativa.
Administrar a heterogeneidade cognitiva no âmbito da turma.
Proporcionar um ambiente favorável ao desenvolvimento da autonomia do aprendiz que
permita articular suas visões.
Articular a solução de problemas com a construção dos conceitos da Física.
6
Questões e Desafios Objeto de aprendizagem: Fluxo e Lei de Gauss NOA – UFPB Questão 1‐ Linhas de campo elétrico são representações pictóricas que fornecem uma descrição qualitativa do vetor campo elétrico. S1 S2
S3
Observando a figura que utiliza uma representação das linhas de campo elétrico de uma configuração de cargas elétricas, através das regiões S1, S2, S3 que são planos paralelos de mesma área. São feitas as afirmações: i‐
ii‐
iii‐
O módulo do vetor campo elétrico que atravessa cada uma das regiões 1, 2 e 3 em ordem decrescente de valores são respectivamente E1> E2> E3. O campo elétrico é quantizado e existe apenas nas regiões do espaço onde foram traçadas as linhas de campo elétrico, e sendo nulo na região entre estas. Embora a configuração das linhas de campo elétrico na figura esteja simplificada (traçada um número finito de linhas) estas constituem uma ajuda valiosa para indicar a direção (tangente à linha de campo elétrico em cada ponto do espaço por onde passam) o módulo (a partir do espaçamento entre elas) e o sentido (indicação da seta) do vetor campo elétrico em cada região do espaço onde foram representadas. Analise cada uma das afirmações acima julgando em verdadeira ou falsa e justifique conceitualmente, a partir das propriedades das linhas de campo elétrico. Questão 2‐ A palavra fluxo deriva do latim (fluxu) que significa fluir, ou seja, algo atravessando uma superfície (real ou imaginária). Considere os conceitos: a) Linhas do campo elétrico – linhas imaginárias traçadas adequadamente em uma região do espaço, de modo a fornecer informações qualitativas do vetor campo elétrico idealizadas por Michael Faraday (Inglaterra‐ 1791‐1867). b) Vetor superfície (ΔS = Sµ) – grandeza caracterizada por possuir módulo igual a área da superfície e direção do vetor unitário normal à superfície. c) Produto escalar de dois vetores – grandeza escalar definida pela operação matemática a.b = abcosβ; β, ângulo tomado entre as direções dos vetores a e b. d) Fluxo elétrico ( φE = E.ΔS) – grandeza escalar definida matematicamente como sendo o produto escalar do vetor campo elétrico pelo vetor de superfície (Karl F. Gauss‐ 1777‐1855). Na posse destes conceitos analise cada uma das situações julgando em verdadeira ou falsa cada uma das afirmações e fundamente sob o ponto de vista da Física. •
•
Situação 1 Considere a representação das linhas de campo elétrico de um campo elétrico uniforme atravessando uma superfície imaginária plana de área S e vetor superfície ΔS e as afirmações referentes à mesma. a) O fluxo elétrico é máximo se E é paralelo a ΔS. b) O fluxo elétrico é mínimo se E é perpendicular a ΔS. c) Para um ângulo β entre E e ΔS de 45*temos que φE = φE max/2. d) Para um ângulo β entre E e ΔS de 0* temos que o fluxo elétrico é nulo. Situação 2 Considere a representação das linhas de campo elétrico de um campo elétrico de uma carga puntiforme positiva circundada por uma superfície gaussiana (que consiste de uma casca esférica imaginária de raio r variável centralizada sobre a carga) e as afirmações: a) A escolha da casca esférica centralizada é facilitadora para obtermos o campo elétrico a partir da Lei de Gauss. b) O sentido das linhas de campo elétrico através da casca esférica será sempre do interior para o exterior da mesma. c) Se aumentarmos o raio da casca esférica o fluxo elétrico através da mesma também aumentará. d) Se aumentarmos o raio da casca esférica o fluxo elétrico através da mesma permanecerá o mesmo. Questão 3‐ A Lei de Gauss para a eletricidade afirma que o fluxo elétrico (φE) resultante através de qualquer superfície gaussiana (fechada) é igual à carga líquida no interior da superfície dividida pela permissividade elétrica do meio. φE = Σqinterior/ε Descreva o que acontece com o fluxo elétrico resultante através de uma superfície gaussiana que consiste em uma casca esférica que circunda uma carga puntiforme q em cada uma das situações: a) A carga elétrica no interior da superfície gaussiana for quadruplicada. b) A carga elétrica no interior da superfície gaussiana for reduzida a metade. c) O volume da casca esférica (superfície gaussiana) for dobrado. d) A superfície gaussiana for trocada por uma casca cilíndrica. e) A carga no interior da superfície for trocada de posição, mas ficando ainda no interior da superfície gaussiana. Questão 4‐ Considere a indagação: fluxo elétrico nulo através de uma superfície gaussiana significa campo elétrico através da mesma, nulo? E as proposições referentes à indagação: a) Não há partículas carregadas dentro da superfície, sendo nulo o campo elétrico através da superfície. b) Há partículas carregadas no interior da superfície, entretanto, a carga elétrica líquida no interior da superfície é nula e consequentemente, o campo elétrico de cada contribuição de cargas positivas e negativas é nulo; sendo também o campo elétrico resultante, através da mesma. c) Para qualquer das duas possibilidades, embora possamos afirmar que o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é nulo, não podemos afirmar que o campo elétrico resultante através da mesma seja nulo. d) É possível uma superfície gaussiana ser atravessada por um campo elétrico não‐nulo e mesmo assim, o fluxo elétrico através da mesma ser nulo. e) O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana é proporcional à carga elétrica líquida no interior da mesma e não ao campo elétrico que a atravessa, Fundamente através dos conceitos da Física cada uma das proposições e responda corretamente à indagação. Questão 5‐ Efeitos recentemente descobertos associados a campos elétricos atmosféricos são chamados esperitis vermelhos e jatos azuis (visite: umbra.nascom.nasa.gov/spd/sprites.html eelf.si.alaska.edu/ citado por Serway. R. A., Jewtt, J. W. Jr.; p. 708 v. 3. 3ª edição; Princípios de Física‐eletromagnetismo‐CENGAGE Learning. 2008). Estes campos elétricos podem ser medidos com um instrumento chamado sensor de campo. Para um plano horizontal imediatamente acima da superfície da Terra no ar (desconsiderando as variações para pequenas altitudes) foi mapeado um campo elétrico uniforme vertical e de cima para baixo. Neste momento desloca‐se em uma pequena extensão desta região na superfície da terra um furgão. A sua pequena velocidade permite descrever seu movimento por instantâneos, isto é, segundo um conjunto de pequenos trechos no qual o furgão foi considerado estacionário. Trecho 1 – plano horizontal Trecho 2 – aclive de inclinação 20* Trecho 3 – declive de inclinação 20* Trecho 4 – o mesmo é içado verticalmente por um cabo para o topo de um pequeno barranco Sendo desprezíveis as variações do vetor campo elétrico até a superfície da Terra e tomando como parâmetro a área do teto do furgão como uma superfície plana e imaginária a qual o campo elétrico atravessa construa um diagrama representativo do fluxo elétrico através da superfície para cada trecho. Campo Elétrico e a Lei de Gauss
Objeto de aprendizagem: Fluxo e Lei de Gauss
NOA – UFPB
No texto sobre fluxo de matéria (que consta nesse objeto de aprendizagem) nós analisamos
as possibilidades de variação de fluxo de matéria através de uma superfície quando alteramos a inclinação entre o plano que contém essa superfície e o jato de matéria considerado. E podemos concluir que quando for noventa graus o ângulo entre o jato de matéria e a superfície que será atravessada, o fluxo será máximo. Na medida em que diminui o ângulo mencionado, o fluxo irá diminuindo, até o extremo do fluxo de matéria através da superfície ser nulo quando o ângulo for zero grau.
Por outro lado, através de um exemplo simples, iremos concluir
que quando no interior de uma superfície fechada não existir fonte ou
sorvedouro, é nulo o fluxo através dessa superfície.
Considere um cilindro reto, construído com o material equivalente a uma peneira. Se sobre a superfície superior desse cilindro incidir
perpendicularmente um jato de água, essa água irá atravessar o interior
o cilindro sem tocar nas suas paredes laterais, e irá sair integralmente do
cilindro através da sua superfície inferior.
Podemos concluir, de acordo com o texto (que consta nesse
objeto de aprendizagem), que o fluxo de água que atravessa a superfície
superior é a mesma que sai pela superfície inferior. Em outras palavras,
é nulo o fluxo de água que atravessa a superfície desse cilindro.
O fluxo de água através da superfície desse cilindro será diferente de zero apenas quando existir uma fonte de água no seu interior.
Quando existir uma fonte de água dentro do cilindro, existirão
Figura 1
apenas jatos de água se dirigindo para fora do cilindro, e nesse caso
acontecerá um fluxo positivo através da sua superfície.
Definimos fluxo de matéria ΔΦ como sendo o volume de matéria por unidade de tempo que
atravessa determinada superfície ΔA , ou seja:
ΔΦ =
ΔV
= v ΔA
Δt
onde v é a velocidade da matéria ao atravessar a superfície ΔA .
Quando consideramos duas cargas elétricas ponr
tuais de mesmo sinal próximas uma da outra, os vetores
F12
força de interação estarão ao longo da reta que une as
duas cargas, e apontarão em direções opostas indicando
Q1
que as cargas tenderão a se afastar mutuamente, como
conseqüência dessa força repulsiva.
r
F21
r12
Q2
Figura 2
Em qualquer posição que coloquemos a carga elétrica 2, a sua companheira carga 1 exercerá
uma força elétrica proporcional ao produto das cargas Q1 e Q2 e inversamente proporcional ao
quadrado da distância entre essas cargas, na forma da Lei de Coulomb:
F12 = F21 =
1
Q1 Q2
4πε 0 r122
Existe outra forma de representar a interação entre duas cargas em determinada região do
espaço, e para analisar essa forma introduzimos a noção de campo, em especial a noção de campo
elétrico. Quando uma carga é colocada numa região que não existe nenhuma outra carga elétrica,
ela obviamente não sente nenhuma influência elétrica das suas vizinhanças, visto que está isolada
da presença dessas influências. No entanto podemos considerar que essa carga modificou as características do espaço em torno de si. Dizemos que essa carga criou um campo elétrico nas suas vizinhanças, e que qualquer carga colocada nessa região irá sentir a influência desse campo.
Uma maneira de representar o campo elétrico
criado por uma carga elétrica pontual é através da utilização das linhas de campo, como desenhadas em tracer
jado na figura 3. Quando colocarmos uma carga elétrica
E1
Q2 numa situação equivalente a aquela da figura 2, exisQ1
tirá (obviamente) uma força elétrica de mesmo valor
entre as cargas Q1 e Q2 . Estamos consideramos a relação entre campo e força elétricas da forma
r
r
F21 = Q2 E1
Figura 3
r
r
onde E1 é o campo elétrico criado pela carga Q1 , e F21 é a força que a carga Q1 exerce na carga
Q2 .
A Lei de Gauss é uma maneira de calcular o campo elétrico criado por uma carga ou uma
distribuição de cargas elétricas. Essa lei considera o cálculo de um fluxo que atravessa determinada,
e esse fluxo pode ser entendido como o fluxo de linhas de campo elétrico.
Quando consideramos uma região onde existe um campo elétrico,
r
o fluxo ΔΦ que atravessa determinada superfície ∆A é definido como
E
ΔΦ = E ΔA
∆A
Quando o valor da carga elétrica aumentar, aumentará o campo
elétrico produzido por essa carga, e assim aumentarão o número de linhas
de campo, e conseqüentemente aumentará o fluxo correspondente.
Figura 4
r
De maneira equivalente ao cálculo de fluxo de matéria, quando o ângulo θ entre o vetor n
normal a superfície ΔA e o campo elétrico for diferente de zero, o fluxo terá a forma
r r
ΔΦ = E ⋅ n ΔA
Ou seja:
ΔΦ = E ΔA cosθ
r
n θ
r
E
∆A
Figura 5
O fluxo através de uma superfície ΔA depende tanto da intensidade
r
do campo elétrico que atravessa essa superfície quanto do cosseno do ângulo θ entre o vetor n
normal à superfície ΔA e a direção desse campo.
A Lei de Gauss diz que se considerarmos uma superfície fechada em torno de uma carga elétrica Q , existe uma relação entre o fluxo total que atravessa a superfície e que foi produzido por
essa carga, que tem a forma de uma soma,
Φ = Σ E ΔA cosθ = Q/ε0
ou seja: se dividirmos a superfície fechada em pequenas superfícies ΔA , a soma por toda a superfície fechada de todos os produtos E ΔA cosθ é igual ao valor da carga Q dividido pela constante
ε0 .
O caso mais simples da aplicação da Lei de Gauss acontece quando consideramos o cálculo
r
do campo elétrico E produzido por uma carga pontual Q , e utilizamos como superfície de Gauss
uma casca esférica com centro na mencionada carga.
A soma do fluxo é
proporcional a carga
total envolvida pela
superfície
Φelétrico = Q / ε0
Figura 6
r
O campo elétrico E é um vetor que tem uma direção radial r̂ , ou seja ele tem direções diferentes nas diversas regiões do espaço, mas quando o observador considerada um determinado
ponto, essa direção aponta SEMPRE ao longo de uma reta que une dois pontos: o ponto onde está
localizada a carga e o ponto considerado pelo observador. Em outras palavras, se considerarmos
uma esfera de raio r , como na figura 6, o campo elétrico num ponto sobre a superfície da esfera
r
aponta na direção perpendicular a essa superfície. Por outro lado, o vetor n normal à superfície de
r
Gauss tem exatamente a mesma direção do vetor campo elétrico E , ou seja θ = 00. Desse modo,
usando a Lei de Gauss nessa situação, encontramos que:
Φ = Σ E ΔA cosθ =Σ E ΔA = Q/ε0
Como o campo assume valor constante sobre todos os pontos da superfície da superfície esférica, e como a área dessa superfície é 4π r2 , teremos que
E Σ ΔA =E 4π r2 = Q/ε0
Em outras palavras, o campo elétrico produzido por uma carga elétrica tem a forma:
E=
1
Q
4πε 0 r 2
Podemos recuperar a Lei de Coulomb através da Lei de Gauss quando considerarmos qual
deve ser a força exercida pela carga elétrica Q sobre uma outra carga elétrica q afastada de uma
distância r , e teremos:
r
r
1 qQ
F = qE =
rˆ
4πε 0 r 2
onde r̂ é um vetor unitário na direção radial.
Campo Elétrico e a Lei de Gauss
Objeto de aprendizagem: Fluxo e Lei de Gauss
NOA – UFPB
No texto sobre fluxo de matéria (que consta nesse objeto de aprendizagem) nós analisamos
as possibilidades de variação de fluxo de matéria através de uma superfície quando alteramos a inclinação entre o plano que contém essa superfície e o jato de matéria considerado. E podemos concluir que quando for noventa graus o ângulo entre o jato de matéria e a superfície que será atravessada, o fluxo será máximo. Na medida em que diminui o ângulo mencionado, o fluxo irá diminuindo, até o extremo do fluxo de matéria através da superfície ser nulo quando o ângulo for zero grau.
Por outro lado, através de um exemplo simples, iremos concluir
que quando no interior de uma superfície fechada não existir fonte ou
sorvedouro, é nulo o fluxo através dessa superfície.
Considere um cilindro reto, construído com o material equivalente a uma peneira. Se sobre a superfície superior desse cilindro incidir
perpendicularmente um jato de água, essa água irá atravessar o interior
o cilindro sem tocar nas suas paredes laterais, e irá sair integralmente do
cilindro através da sua superfície inferior.
Podemos concluir, de acordo com o texto (que consta nesse
objeto de aprendizagem), que o fluxo de água que atravessa a superfície
superior é a mesma que sai pela superfície inferior. Em outras palavras,
é nulo o fluxo de água que atravessa a superfície desse cilindro.
O fluxo de água através da superfície desse cilindro será diferente de zero apenas quando existir uma fonte de água no seu interior.
Quando existir uma fonte de água dentro do cilindro, existirão
Figura 1
apenas jatos de água se dirigindo para fora do cilindro, e nesse caso
acontecerá um fluxo positivo através da sua superfície.
Definimos fluxo de matéria ΔΦ como sendo o volume de matéria por unidade de tempo que
atravessa determinada superfície ΔA , ou seja:
ΔΦ =
ΔV
= v ΔA
Δt
onde v é a velocidade da matéria ao atravessar a superfície ΔA .
Quando consideramos duas cargas elétricas ponr
tuais de mesmo sinal próximas uma da outra, os vetores
F12
força de interação estarão ao longo da reta que une as
duas cargas, e apontarão em direções opostas indicando
Q1
que as cargas tenderão a se afastar mutuamente, como
conseqüência dessa força repulsiva.
r
F21
r12
Q2
Figura 2
Em qualquer posição que coloquemos a carga elétrica 2, a sua companheira carga 1 exercerá
uma força elétrica proporcional ao produto das cargas Q1 e Q2 e inversamente proporcional ao
quadrado da distância entre essas cargas, na forma da Lei de Coulomb:
F12 = F21 =
Q1 Q2
4πε 0 r122
1
Existe outra forma de representar a interação entre duas cargas em determinada região do
espaço, e para analisar essa forma introduzimos a noção de campo, em especial a noção de campo
elétrico. Quando uma carga é colocada numa região que não existe nenhuma outra carga elétrica,
ela obviamente não sente nenhuma influência elétrica das suas vizinhanças, visto que está isolada
da presença dessas influências. No entanto podemos considerar que essa carga modificou as características do espaço em torno de si. Dizemos que essa carga criou um campo elétrico nas suas vizinhanças, e que qualquer carga colocada nessa região irá sentir a influência desse campo.
Uma maneira de representar o campo elétrico
criado por uma carga elétrica pontual é através da utilização das linhas de campo, como desenhadas em tracer
jado na figura 3. Quando colocarmos uma carga elétrica
E1
Q2 numa situação equivalente a aquela da figura 2, exisQ1
tirá (obviamente) uma força elétrica de mesmo valor
entre as cargas Q1 e Q2 . Estamos consideramos a relação entre campo e força elétricas da forma
r
r
F21 = Q2 E1
Figura 3
r
r
onde E1 é o campo elétrico criado pela carga Q1 , e F21 é a força que a carga Q1 exerce na carga
Q2 .
A Lei de Gauss é uma maneira de calcular o campo elétrico criado por uma carga ou uma
distribuição de cargas elétricas. Essa lei considera o cálculo de um fluxo que atravessa determinada,
e esse fluxo pode ser entendido como o fluxo de linhas de campo elétrico.
Quando consideramos uma região onde existe um campo elétrico,
r
o fluxo ΔΦ que atravessa determinada superfície ∆A é definido como
E
ΔΦ = E ΔA
∆A
Quando o valor da carga elétrica aumentar, aumentará o campo
elétrico produzido por essa carga, e assim aumentarão o número de linhas
de campo, e conseqüentemente aumentará o fluxo correspondente.
Figura 4
r
De maneira equivalente ao cálculo de fluxo de matéria, quando o ângulo θ entre o vetor n
normal a superfície ΔA e o campo elétrico for diferente de zero, o fluxo terá a forma
r r
ΔΦ = E ⋅ n ΔA
Ou seja:
ΔΦ = E ΔA cosθ
r
n θ
r
E
∆A
Figura 5
O fluxo através de uma superfície ΔA depende tanto da intensidade
r
do campo elétrico que atravessa essa superfície quanto do cosseno do ângulo θ entre o vetor n
normal à superfície ΔA e a direção desse campo.
A Lei de Gauss diz que se considerarmos uma superfície fechada em torno de uma carga elétrica Q , existe uma relação entre o fluxo total que atravessa a superfície e que foi produzido por
essa carga, que tem a forma de uma soma,
Φ = Σ E ΔA cosθ = Q/ε0
ou seja: se dividirmos a superfície fechada em pequenas superfícies ΔA , a soma por toda a superfície fechada de todos os produtos E ΔA cosθ é igual ao valor da carga Q dividido pela constante
ε0 .
O caso mais simples da aplicação da Lei de Gauss acontece quando consideramos o cálculo
r
do campo elétrico E produzido por uma carga pontual Q , e utilizamos como superfície de Gauss
uma casca esférica com centro na mencionada carga.
Figura 6
r
O campo elétrico E é um vetor que tem uma direção radial r̂ , ou seja ele tem direções diferentes nas diversas regiões do espaço, mas quando o observador considerada um determinado
ponto, essa direção aponta SEMPRE ao longo de uma reta que une dois pontos: o ponto onde está
localizada a carga e o ponto considerado pelo observador. Em outras palavras, se considerarmos
uma esfera de raio r , como na figura 6, o campo elétrico num ponto sobre a superfície da esfera
r
aponta na direção perpendicular a essa superfície. Por outro lado, o vetor n normal à superfície de
r
Gauss tem exatamente a mesma direção do vetor campo elétrico E , ou seja θ = 00. Desse modo,
usando a Lei de Gauss nessa situação, encontramos que:
Φ = Σ E ΔA cosθ =Σ E ΔA = Q/ε0
Como o campo assume valor constante sobre todos os pontos da superfície da superfície esférica, e como a área dessa superfície é 4π r2 , teremos que
E Σ ΔA =E 4π r2 = Q/ε0
Em outras palavras, o campo elétrico produzido por uma carga elétrica tem a forma:
E=
1
Q
4πε 0 r 2
Podemos recuperar a Lei de Coulomb através da Lei de Gauss quando considerarmos qual
deve ser a força exercida pela carga elétrica Q sobre uma outra carga elétrica q afastada de uma
distância r , e teremos:
r
r
1 qQ
F = qE =
rˆ
4πε 0 r 2
onde r̂ é um vetor unitário na direção radial.
Fluxo de matéria e a Lei de Gauss
Objeto de aprendizagem:
Fluxo e Lei de Gauss
NOA – UFPB
Pré-requisitos: Noções de vetores, noções de força elétrica, noções de campo elétrico
A lei de Gauss relaciona grandezas tais como o fluxo elétrico que atravessa uma superfície
fechada e a carga elétrica envolvida por essa superfície. Com a utilização dessa Lei nós podemos
calcular o campo elétrico devido a cargas pontuais, a distribuições de carga, e inclusive resgatar a
lei de Coulomb.
Para entender mais facilmente o que significa fluxo elétrico, vamos considerar uma analogia
entre esse tipo de fluxo e o fluxo do volume de um líquido através de uma região do espaço. Mais
especificamente, vamos considerar o fluxo de água através de uma peneira plana. Considere que um
jato de água se desloca perpendicularmente de cima para baixo. Numa região próxima da peneira, a
situação tem a forma da figura 1, onde o deslocamento da água é descrito por curvas (retas paralelas
no caso) chamadas linhas de corrente.
Quando as linhas de corrente de um jato de água incidem perpendicularmente sobre uma peneira, toda a água incidente irá atravessar a peneira, e entendemos como fluxo do líquido o volume
de água que atravessa essa peneira por unidade de tempo. Nesse caso (figura 1) o plano que contém
a peneira é perpendicular ao jato de água.
Por outro lado, se o plano que contém a peneira estiver inclinado em relação ao jato de água
(ou seja; o ângulo entre as linhas de corrente e ao plano da peneira é diferente de π/2, como na figura 2), o volume de água que irá atravessar a peneira é menor que aquela da situação anterior, como
pode ser percebido em uma comparação entre as figuras 1 e 2.
Podemos resumir as duas situações da maneira desenhada nas figuras 1 e 2.
- Jato de água é perpendicular à peneira – toda a água que sai da
mangueira atravessa a peneira
Quando fazemos o jato de água de uma mangueira incidir sobre
uma peneira em forma de círculo, com as dimensões do calibre da mangueira, toda água que sair da mangueira irá atravessar a peneira.
O volume de água que atravessa a peneira é exatamente o mesmo
volume de água que sai da mangueira.
Figura 1
Consideremos um instante onde a parte frontal de um jato de água
toca na peneira. Depois de um intervalo de tempo Δt essa parte do jato de
água atravessou a peneira e se encontra afastada de sua superfície por uma
distância de v Δt . O volume ΔV de água que atravessou a área A peneira nesse intervalo de tempo Δt é calculado com como:
ΔV = (v Δt) A
Figura 1a
Fluxo
Fluxo de matéria é uma grandeza que considera o volume de determinado elemento que atravessa uma superfície num certo intervalo de tempo.
Estamos considerando especificamente o fluxo de água em uma peneira, ou seja, o volume
de água que atravessa a superfície de uma peneira por unidade de tempo.
Se rotularmos o fluxo pela letra grega ϕ (fi), o volume de água por unidade de tempo que atravessa a peneira na figura 1 pode ser calculada como:
ϕ=
ΔV
=vA
Δt
onde v é a velocidade da água ao atravessar a peneira e A é a área dessa peneira. Ou seja: quanto
maior for a velocidade da água ao atravessar a peneira maior será o fluxo de água através dessa peneira.
- Jato de água é inclinado em relação à peneira – apenas parte da
água que sai da mangueira atravessa a peneira
O volume de água que irá atravessar a peneira depende do ângulo
que ela faz com o jato de água. Podemos perceber que o fluxo é proporcional a três grandezas: da velocidade v com que a água atravessa a
peneira, da área A dessa peneira, e do ângulo θ desenhado na figura
2a.
Figura 2
Quando o jato de água (e as linhas de corrente) não for perpendicular ao plano da peneira, nos deparamos com uma situação diferente
daquela da figura 1. Percebe-se claramente na figura 2a que quando
θ = 00 → caso da figura 1
θ ≠ 00 → caso da figura 2
Figura 2a
Em outras palavras, o fluxo depende também do ângulo entre os
r
vetores n̂ e v . n̂ é um vetor que tem módulo unitário e perpendicular à superfície A (a área da
r
peneira) e v é o vetor velocidade da água que atravessa a superfície considerada. A área da peneira
disponível para o jato de água atravessar é menor que aquela área da figura 1. Na realidade a área
disponível é A cosθ . Desse modo, o volume de água que atravessa a peneira num intervalo de tempo Δt é dado nessa nova situação por
r
ΔV r
ΔV = (v Δt ) A cos θ = v . nˆ A Δt ⇒ ϕ =
= v . nˆ A
Δt
r
r
onde v . nˆ = v cos θ é o produto escalar (ou produto interno) entre os vetores v e n̂ .
Se analisarmos a equação anterior poderemos perceber que quanto maior for o ângulo θ menor será o fluxo, até o limite quando θ = π/2 (o plano da peneira é paralelo ao jato de água), e nesse
caso o fluxo é nulo, ou seja, a água não atravessa a peneira.
Se considerarmos um cilindro reto construído com o mesmo material
das peneiras descritas anteriormente, e com um formato que tenha como base
uma peneira exatamente igual às anteriores, qual será o fluxo de água através
de suas paredes?
Considerando o desenho da figura 3, não existe água atravessando as
paredes laterais. E é fácil concluir que, nessas circunstâncias, a quantidade de
água que entra pela superfície plana superior é exatamente igual a quantidade
de água que sai pela superfície plana inferior.
Considerando que o fluxo de água que entra no cilindro é igual ao
fluxo de água que sai, é nulo o fluxo total de água através das paredes
desse cilindro.
Podemos então inferir, que se não existir fonte de água (uma torneira) nem sorvedouro de água (um ralo) no interior da superfície considerada, é nulo o fluxo de água através dessa superfície.
Figura 3
Se considerarmos uma peneira em forma de bola, ou seja, uma peneira num formato de uma superfície esférica fechada, ela não servirá para fins
práticos numa cozinha. Mas poderemos estender o raciocínio relacionado a
figura 4, e concluir que se não existirem fontes ou sorvedouros de água no
interior da esfera, é nulo o fluxo de água através dessa superfície esférica.
Considerando os dois exemplos, podemos concluir que para qualquer superfície fechada, se não existir fonte nem sorvedouro de água no
interior da superfície considerada, é nulo o fluxo de água através dessa
superfície.
Figura 4