1
)25d$(175(&$5*$6(/e75,&$6(
2&$032(/(75267È7,&2
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
½
½
½
½
½
½
½
½
Entender o comportamento da força de origem eletrostática entre cargas elétricas
pontuais.
Expressar a força eletrostática entre cargas pontuais como uma grandeza vetorial.
Calcular forças sobre uma carga elétrica pontual, devido a outras cargas pontuais.
Demonstrar a existência de campos elétricos em torno de cargas pontuais.
Expressar vetorialmente o campo elétrico devido a cargas pontuais.
Calcular o valor da intensidade de campo elétrico em um ponto do espaço, devido a um
conjunto discreto de cargas elétricas pontuais.
Explicar de forma conceitual o comportamento do campo elétrico devido a uma
distribuição linear de cargas.
Explicar de forma conceitual o comportamento do campo elétrico devido a uma
distribuição superficial de cargas.
Os primeiros fenômenos de origem eletrostática foram observados pelos gregos, 5 séculos
antes de Cristo. Eles descobriram que pedaços de uma resina fóssil chamada âmbar (elektra),
quando atritados com tecidos adquiriam a capacidade de atrair pequenas partículas de outros
materiais (palha, por exemplo). Como a ciência experimental e dedutiva ainda estava muito
longe de ser desenvolvida, o interesse nesse fenômeno sempre permaneceu no campo da lógica
e da filosofia. A interação entre objetos eletricamente carregados (força eletrostática) só foi
quantificada e equacionada no século 18 (1746), por um cientista francês chamado C.
Coulomb.
)25d$(175(&$5*$6(/e75,&$6/(,'(&28/20%
O trabalho de Coulomb consistiu em medir a força de atração (ou repulsão) entre dois corpos
eletricamente carregados, em função da distância entre eles. A conclusão a que ele chegou foi:
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2
$ IRUoD HQWUH GRLV REMHWRV SHTXHQRV VHSDUDGRV SHOR YiFXR RX SHOR
HVSDoR OLYUH VHQGR D GLVWkQFLD HQWUH HOHV PXLWR PDLRU TXH RV VHXV
UDLRV p GLUHWDPHQWH SURSRUFLRQDO DR SURGXWR HQWUH VXDV FDUJDV H
LQYHUVDPHQWHSURSRUFLRQDODRTXDGUDGRGDGLVWkQFLDHQWUHHOHV
Matematicamente :
F= k
Q1 .Q 2
R2
(N)
(1.1)
Onde:
F
(N)
Q1, Q2
R
k
(C)
(m)
Força de origem eletrostática, de repulsão (cargas de mesmo sinal) ou
atração (cargas de sinais opostos)
Cargas elétricas, positivas ou negativas
Distância entre os centros das cargas
Constante de proporcionalidade
)L[DQGRH0HPRUL]DQGR
Antes de prosseguir, tome o seu caderno de estudos e execute sequencialmente as seguintes
atividades:
1.
2.
3.
4.
Descreva a experiência de Coulomb.
Descreva conceitualmente a Lei de Coulomb.
Enuncie matematicamente a Lei de Coulomb (conforme 1.1).
Defina as grandezas F, Q1, Q2, R e k.
A constante k vale:
k=
1
4πε0
A constante ε0 é a SHUPLVVLYLGDGH (ou ULJLGH] GLHOpWULFD) do espaço livre, e não é
adimensional. No S. I. seu valor é: ε0 = 8,854 x10−12 (F / m)
A força eletrostática é uma grandeza YHWRULDO: possui LQWHQVLGDGH, GLUHomR e VHQWLGR. Ela age
ao longo da linha que une as duas cargas. Também é uma força mútua. Cada carga sofre a
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3
ação de uma força de mesma magnitude, porém, de sentido contrário. A força será de
repulsão, se as duas cargas forem de mesma natureza (mesmo sinal), ou de atração, se de sinais
contrários. Escrevendo a força sobre a carga 2 vetorialmente, teremos:
r
F2 =
1 Q1.Q2
â r12 (N)
4πε0 R12 2
(1.2)
r
R
â r12 = 12
R12
r
(m)
R 12
(1.3)
Vetor que vai da carga Q1 à carga Q2
Vetor unitário indicando a direção do vetor
âr12
r
R 12
A força sobre a carga 1 terá a mesma magnitude, porém sentido inverso. Vetorialmente é
expressa como:
r
F1 =
1 Q1.Q 2
â r 21 (N)
4πε0 R 21 2
(1.2)
r
R
â r 21 = 21
R 21
r
(m)
R 21
(1.3)
Vetor que vai da carga Q2 à carga Q1
Vetor unitário indicando a direção do vetor
âr21
y
y
(a)
r
r
ar12
Q1
r
F2
F1
r
R 12
(b)
r
F2
F1
r
R 21
ar12
Q1
Q2
x
r
R 12
Q2
x
fig. 1.1- força entre duas cargas (a) -de mesmo sinal - (b) - de sinais contrários
)L[DQGRH0HPRUL]DQGR
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4
Antes de prosseguir, tome o seu caderno de estudos e execute sequencialmente as seguintes
atividades:
1. Descreva a natureza vetorial da força eletrostática.
2. Faça uma figura com duas cargas pontuais de mesmo sinal, representando a força
eletrostática entre elas, o vetor que as une, bem como o vetor unitário.
3. Expresse a força eletrostática vetorialmente.
4. Defina a constante ε0.
5. Defina o que é o vetor unitário.
([HPSOR
Uma carga Q1 = 3x10-4 C está colocada no ponto P1(1,2,3) m. Uma outra carga Q2 = -10-4 C
r
está colocada no ponto P2(2,0,5) m. Encontrar a força F sobre cada carga.
6ROXomR
Vetor que vai da carga 1 à carga 2
r
R 12 = P2 − P1
r
R12 = (2−1).â x + (0−2).â y + (5−3).â z
r
R 12 = â x − 2.â y + 2.â z
r
R 12 = 12 + (−2) 2 + 2 2 = 3
Vetor unitário com a direção de
r
R12
1
â r12 = (â x − 2.â y + 2.â z )
3
Força sobre a carga 2:
r
F2 =
r
F2 =
1 Q1 .Q 2
.â r12
r
2
4πε 0 R
12
1 3x10−4.(−10−4 ) 1
(â x − 2.â y − 2.â z ) ( N )
4πε0
9
3
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5
r
F2 = − 10(â x − 2.â y + 2.â z ) ( N )
Força sobre a carga 1:
r
F1 =10(â x − 2.â y + 2.â z ) ( N)
([HPSOR
Uma carga positiva Q1 de 2 µC encontra-se na posição P1(1,2,1) m, uma carga negativa Q2 de
4 µC encontra-se na posição P2(-1,0,2) m e uma carga negativa Q3 de 3 µC encontra-se na
posição P3(2,1,3) m. Encontre a força sobre a carga Q3.
6ROXomR
Vetor que vai do ponto 1 ao ponto 3:
r
R 13 = P3 − P1
r
R13 = (2 − 1)â x + (1 − 2)â y + (3 − 1)â z
r
R13 = â x − â y + 2â z
r
Vetor unitário de R13 :
r
R 13
â r13 = r =
R 13
â x − â y + 2â z
6
Força sobre a carga 3, devido à carga 1:
1 (2 × 10 −6 )( −3 × 10 −6 ) â x − â y + 2â z
F3,1 =
4πε0
6
6
r
r
F3,1 = − 3,67(â x −â y + 2â z )× 10−3 ( N )
Vetor que vai do ponto 2 ao ponto 3:
r
R 23 = P3 − P2
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6
r
R 23 = (2 − (−1))â x + (1 − 0)â y + (3 − 2)â z
r
R 23 = 3â x + â y + â z
r
Vetor unitário de R 23 :
r
R 23
â r 23 = r
=
R 23
3â x + â y + â z
11
Força sobre a carga 3, devido à carga 2:
r
F3, 2 =
1 (−4 × 10−6 )(−3 × 10 −6 ) 3â x + â y + â z
4πε0
11
11
r
F3, 2 = 2,96(3â x +â y +â z )× 10−3 ( N)
Força total sobre a carga 3:
r
r
r
r
F3 = F3,1 + F3,2 = (5,2a x − 0,71a$ y − 4,4a$ z ) × 10−3 ( N )
Neste exemplo pode ser observado que, em um sistema discreto de cargas pontuais, a força
total sobre uma carga deste sistema é a soma (vetorial) das forças individuais sobre esta carga
devido às demais cargas do sistema.
5HIDoDHVWHH[HPSOR
Em seu caderno de estudos refaça este exemplo, seguindo os seguintes passos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Expresse o vetor que vai do ponto 1 ao ponto 3.
Expresse o seu vetor unitário.
Calcule a força sobre a carga 3, devido à carga 1.
Expresse o vetor que vai do ponto 2 ao ponto 3.
Expresse o seu vetor unitário.
Calcule a força sobre a carga 3, devido à carga 2.
Calcule a força total sobre a carga 3.
Agora calcule a força sobre as outras duas cargas. As respostas deverão ser:
r
r
F1 = ( − 1,65&a& x − 8,99 a$ y + 10a$ z ) × 10−3 ( N ) e F2 = ( − 3,56a$ x + 2,36a$ y − 5,62a$ z ) × 10−3 ( N )
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7
2&$032(/e75,&2
Q
Qt
Considere duas cargas, uma carga Q em
uma posição fixa, e uma carga de teste Qt.
Movendo-se a carga de teste Qt lentamente
em torno da carga
fixa Q, ela sofrerá a ação
r
de uma força F . Como essa força atuará
sempre ao longo da linha que une as duas
cargas, o seu comportamento será sempre
radial, considerando a posição da carga Q
como origem. Além do mais, essa força
aumentará de intensidade se aproximarmos a
carga de teste da carga Q, e diminuirá se a
afastarmos
r
F
Figura 1.2 - configuração com
carga fixa e carga móvel
A partir dessas considerações pode-se perceber a existência de um FDPSR GH IRUoD em torno
da carga 4, que pode ser visualizado pela figura 1.2.
Expressando a força sobre Qt pela lei de Coulomb:
r
Ft =
1 Q.Q t
r 2 .â rt ( N )
4πε 0 R
t
(1.4)
Dividindo a equação (1.4) por Qt :
r
Ft
1
Q
=
r 2 .â rt ( N / C)
Q t 4πε 0 R
t
(1.5)
Percebe-se facilmente que a quantidade à direita na equação acima é função apenas de Q, e
está dirigida ao longo do segmento de reta que vai de Q até à posição da carga de teste.
r
r
Definindo a relação Ft Q t como sendo E , YHWRU LQWHQVLGDGH GH FDPSR HOpWULFR, e
dispensando o uso de índices, pode-se escrever:
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8
r
E=
1
Q
r 2 .â r ( N / C)
4πε 0 R
(1.6)
)L[DQGRHPHPRUL]DQGR
1. Relembrando a configuração de uma carga elétrica fixa e uma carga de teste móvel,
explique a existência de um campo de força em torno da carga fixa.
2. Faça um esboço, mostrando o comportamento radial para o campo elétrico produzido por
uma carga elétrica
3. Equacione a força eletrostática entre as duas cargas
4. A partir desta equação, Escreva a equação para o vetor intensidade de campo elétrico
devido à carga fixa.
([HPSOR
Uma carga Q -10-8 C está situada na origem de um sistema de coordenadas retangulares.
Escreva uma expressão para o campo elétrico em função das coordenadas x, y e z,
considerando-se que a carga Q estaria na origem desse sistema de coordenadas. Qual é o valor
do campo no ponto P(1,1,2) m ?
6ROXomR
r
E=
1
Q
r 2 .â r ( N / C)
4πε 0 R
r
R = x.â x + y.â y + z.â z
r
R = x 2 + y2 + z 2
r
R
â r = r
R
r
E=
x.â x + y.â y + z.â z
1
Q
( N / C)
2
2
2
4πε0 x + y + z
x 2 + y2 + z 2
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9
r
E=
− 10 −8 x.â x + y.â y + z.â z
( N / C)
3
4πε0
2
2
2 2
x + y +z
(
)
Para o ponto (1,1,2):
− 104
E=
(â x + â y + 2.â z ) ( N / C)
4π × 8,85 × 6 6
r
O campo elétrico produzido por uma carga pontualcx é sempre orientado radialmente à carga
que o gera. Portanto, a solução do problema acima pode ser grandemente simplificada se, ao
invés de se utilizar um VLVWHPD GH FRRUGHQDGDV FDUWHVLDQDV, utilizar-se um VLVWHPD GH
FRRUGHQDGDVHVIpULFDV. A expressão para o vetor intensidade de campo elétrico será:
r
E=
1
Q
r 2 .â r ( N / C)
4πε 0 R
O vetor unitário âr terá apenas a componente na direção do raioradial. Para o ponto (1,1,2), o
r
módulo de R é:
r
R = 12 +12 + 2 2 = 6
Portanto:
r
E=
− 10 4
â r ( N / C )
4 π × 8 ,85 × 6
O exemplo que acabamos de resolver mostra que muitas vezes, ao tentarmos resolver um
problema de uma maneira que julgamos ser a "mais fácil" (no caso, o uso de um sistema de
coordenadas mais "conhecido"), estamos fazendo-o da maneira mais complicada. A exploração
de simetrias, e o uso de sistemas de coordenadas adequados à cada caso são fortemente
incentivados em eletromagnetismo.
([HPSOR
Uma carga Q1 = 4x10-9 C está localizada no ponto P1(1,1,3) m. Uma outra carga Q2 =
2x10-9 C está localizada no ponto P2(1,1,5) m. Calcule o valor da intensidade de campo
elétrico no ponto P(4,-1,2) m.
6ROXomR
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Vetor que vai de P1 a P:
r
R1 = (4 − 1)a$ x + ( −1− 1). a$ y + (2 − 3). a$ z
r
R 1 = 3â x − 2â y − â z
Vetor unitário âr1:
)
a r1 =
3â x − 2â y − â z
14
Vetor que vai de P2 a P:
r
R 2 = (4 − 1). a$ x + (−1 − 1). a$ y + (2 − 5). a$ z
r
R 2 = 3â x − 2â y − 3â z
Vetor unitário âr2:
a$ r 2 =
3. a$ x − 2a$ y − 3. a$ z
22
Intensidade de campo elétrico em P:
r
E=
4 x10 −9 1 3.â x − 2â y − â z 2x10 −9 1 3.â x − 2â y −3.â z
+
4πε 0 14
4πε 0 22
14
22
r
E=
10 −9
(0,171. a$ x − 0,191a$ y − 0,134. a$ z )
4 πε 0
( N / C)
A exemplo do que foi feito para se calcular forças em um sistema discreto de cargas, o campo
elétrico devido a uma distribuição de cargas pontuais é calculado somando-se a contribuição
de cada carga individualmente, no ponto onde se deseja conhecer o valor do campo elétrico
5HIDoDHVWHH[HPSOR
Em seu caderno de estudos refaça este exemplo, seguindo os seguintes passos:
1. Encontre o vetor que vai de P1 a P.
2. Encontre o seu vetor unitário.
11
3.
4.
5.
6.
7.
Encontre o vetor que vai de P2 a P.
Encontre o seu vetor unitário.
Encontre a intensidade de campo elétrico em P, devido à carga que está em P1.
Encontre a intensidade de campo elétrico em P, devido à carga que está em P2.
Encontre a intensidade de campo elétrico total em P, somando vetorialmente as duas
expressões.
'LVWULEXLo}HV(VSHFLDLVGH&DUJDV
Vimos até agora o comportamento do campo elétrico produzido por uma carga pontuais
discretas. Além de cargas pontuais, podem existir outras configurações (distribuições) de
carga, a saber: distribuição linear de cargas, distribuição superficial de cargas e distribuição
volumétrica de cargas.
'LVWULEXLomR OLQHDU GH FDUJDV Uma distribuição linear de cargas
pode ser considerada como sendo um número infinitamente grande de cargas pontuais,
dispostas ao longo de uma linha, como pode ser visto na figura 1.3. Assim, podemos definir
uma densidade linear de cargas ρl C/m.
ρl C/m
figura 1 .3 - distribuição linear de cargas
Como exemplo de distribuição linear de cargas, podemos citar os elétrons em um condutor
elétrico. Apesar de estarem em movimento uniforme, para efeitos de campo elétrico podem ser
considerados como estáticos.
Vamos agora analisar comportamento do campo elétrico produzido por uma distribuição
linear infinita de cargas (sem ainda equacioná-lo). Vamos tomar duas cargas incrementais ρldl,
que é o produto da densidade linear de cargas por um incremento de comprimento dl, em uma
distribuição linear de cargas, como mostrado na figura 1.4.
ρldl
dEz
r
P
dE
dEr
dE
ρldl
dEz
Fig. 1.4 - arranjo para analizar
o comportamento do campo
elétrico produzido por uma
distribuição linear infinita de
cargas
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12
O campo elétrico em um ponto P situado a uma distância r, perpendicular à linha infinita de
cargas provocado por cada carga incremental é dE, orientado na direção da linha que une o
incremento de carga e o ponto P. Cada um desses campos incrementais pode ser decomposto
em duas componentes: uma paralela à linha r, dEr, e outra perpendicular a ela, dEz. Como as
cargas incrementais são simétricas em relação à linha r, as componentes dEz vão se anular, e o
campo elétrico resultante será a soma das componentes dEr. Como se trata de uma linha
infinita de cargas, para qualquer ponto z (considerando um sistema de coordenadas
cilíndricas), será sempre possível escolher conjuntos de incrementos de cargas simétricos a ele,
e o campo elétrico será sempre perpendicular à linha de cargas. Adicionalmente movendo-se o
ponto P em um círculo em torno da linha de cargas, o campo elétrico se manterá inalterado, e
perpendicular à linha. Movendo-se o ponto P para cima e para baixo, mantendo-se a distância r
inalterada, o campo elétrico não apresentará alterações. Finalmente, se a distância r variar, o
campo elétrico deverá variar também. Resumindo, o campo elétrico produzido por uma
distribuição linear infinita de cargas:
• Possui simetria cilíndrica, e deve ser equacionado utilizando-se um sistema de coordenadas
cilíndricas.
• Só possui a componente radial.
• Só varia com a direção radial.
Embora expressões para distribuições lineares de carga possam ser obtidas por integrações
diretas, não o faremos aqui (Apresentamos como sugestão o exercício 8 capítulo). Voltaremos
a este assunto no capítulo 2, que trata da lei de Gauss.
'LVWULEXLomR VXSHUILFLDO LQILQLWD GH FDUJDV - Uma
distribuição superficial de cargas pode ser considerada como sendo um número infinitamente
grande de cargas pontuais, uniformemente distribuídas em uma superfície. Portanto, podemos
definir uma densidade superficial de cargas ρs C/m2 (fig. 1.5) . Para analisar o comportamento
do campo elétrico produzido por uma distribuição superficial infinita de cargas, vamos utilizar
o arranjo mostrado na figura 1.6. Vamos considerar duas tiras infinitas de espessura dx,
simetricamente escolhidas em relação a uma linha de referência (linha pontilhada).
ρs
figura 1.5 - distribuição superficial de cargas
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13
dEz
dE
r
x
z dEx
fig. 1.6 - campo elétrico produzido por um elemento de cargas em uma distribuição superficial
Cada “fita” de cargas pode ser considerada com sendo uma distribuição linear de cargas.
Portanto, o campo elétrico produzido por ela terá o mesmo comportamento do campo elétrico
produzido por uma distribuição linear de cargas. Assim, o campo elétrico dE, em um ponto
qualquer z m acima da linha pontilhada, produzido por uma das fitas será orientado
radialmente em relação à fita. Esse campo pode ser decomposto em duas componentes: dEx,
paralelo à superfície de cargas, e dEz, perpendicular À mesma. Como as duas fitas estão
simetricamente colocadas em relação ao ponto P, as componentes dEx deverão se anular, e o
campo resultante será a soma das componentes dEz. Assim, podemos por enquanto concluir
que o campo elétrico produzido por uma distribuição superficial infinita de cargas será
orientado perpendicularmente a esta superfície. Embora distribuições superficiais infinitas de
cargas não existam de fato, podemos considerar como um exemplo prático o caso de um
capacitor de placas paralelas.
Expressões para o campo elétrico produzido para distribuições superficiais de cargas podem
ser obtidas por integração direta, partindo de raciocínios como os mostrados acima, mas não o
faremos aqui (Como sugestão tente fazer o exercício 9, deste capítulo). Também voltaremos a
esse assunto no próximo capítulo..
Distribuições volumétricas de cargas são bastante complicadas de serem analisadas, e
praticamente inexistem. Portanto, não serão aqui analisadas.
)L[DQGRH0HPRUL]DQGR
Em seu caderno de anotações refaça os raciocínios desenvolvidos para explicar o
comportamento da intensidade de campo elétrico produzido por uma distribuição linear de
cargas, e por uma distribuição superficial de cargas
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14
Atenção !!!
O seu aprendizado dos assuntos apresentados neste capítulo só poderá ser
considerado satisfatório se você for (ou foi) capaz de refazer em seu caderno de
anotações todas as atividades solicitadas. Caso ainda permaneçam dúvidas você
deve voltar às seções correspondentes, reestudá-las, e realizar a contento as
atividades solicitadas.
([HUFtFLRV
1) -Três cargas pontuais, Q1 = 300µC, Q2 = 400 µC e Q3 = 500 µC acham-se localizadas nos
pontos (6,0,0) m , (0,0,6) m e (0,6,0), respectivamernte. Encontre a força que age sobre
cada carga.
2) - A lei da gravidade de Newton pode ser escrita F = Gm1m2 / R 2 , onde m1 e m2 são massas,
pontuais, separadas por uma distância R e G é a constante gravitacional; 6,664´10-11
m3/kg.s2. Duas partículas, cada uma tendo uma massa de 15 mg estão separadas de 1,5 cm.
Quantos elétrons são necessários adicionar a cada partícula de modo a equilibrar a força
gravitacional ?
3) - Há quatro cargas pontuais iguais, de 20 µC, localizadas sobre os eixos x e y, em ± 3 m.
Calcule a força que age sobre uma carga de 120 µC, localizada em (0,0,4) m.
4)- Duas pequenas esferas plásticas estão arranjadas de modo que possam se deslocar
livremente ao longo de uma fibra isolante que forma um ângulo de 45º, com a horizontal. Se
cada esfera contiver uma carga de 2×10-8 C, e tiver uma massa de 0,2 g, determine a sua
localização na fibra
5) - Prove que a força de repulsão entre duas cargas positivas separadas por uma distância fixa
é máxima quando a carga total é igualmente distribuída.
6) - Duas cargas pontuais
idênticas de Q C estão separadas por uma distância d m. Calcule o
r
campo elétrico E para pontos pertencentes ao segmento que une as duas cargas.
7) - Imagine que a Terra e a Lua possam receber cargas elétricas, de modo a equilibrar a força
de atração gravitacional entre elas. (a) Encontre a carga requerida para a Terra, se as cargas
estiverem numa razão direta entre as superfícies da Terra e da Lua. (b) Qual é o valor de da
intensidade de campo elétrico na superfície da Lua, devido a essas cargas? Note que, uma
vez que as forças de origem gravitacional e eletrostática estão relacionadas com inverso do
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15
quadrado da distância, não é necessário conhecer a distância Terra-Lua para resolver este
problema.
8)- Utilizando a configuração mostrada na figura 1.4, encontre a expressão para o vetor
intensidade de campo elétrico, devido a uma distribuição linear infinita de cargas.
9) - Utilizando a configuração mostrada figura 1.6, encontre a expressão para o vetor
intensidade de campo elétrico, devido a uma distribuição superficial infinita de cargas.
Notou alguma coisa estranha com essa expressão ?
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