PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
EE 903 - MÉTODOS COMPUTACIONAIS – 2012.01
Aula 05 – Atividade 06
Instrutor: Eduardo Fontana
Instruções para elaboração das atividades:
1: Para cada atividade em Mathcad, preencher os dados abaixo
Nome Completo:
Atividade xx (Número da atividade)
2. Salvar o arquivo no formato xyzwAtividadexxEE903.xmcd (xyzw=iniciais do
nome e sobrenomes, xx = ordem da atividade (01, 02, 03, etc.)
3. Desenvolver a atividade da forma mais original e individual possível.
4. Na elaboração dos programas, utilizar comentários para tornar a compreensão do
programa a mais clara possível.
Campo Elétrico
Para um conjunto de N cargas discretas, com a i-ésima carga localizada no ponto
,
o vetor campo elétrico total pode ser obtido pela soma das contribuições individuais,
na forma,
(1)
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Centro de Tecnologia e Geociências, Bloco A, Sala 421
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Tel.:+5581-2126-8968. E-mail: [email protected], http://www.fotonica.ufpe.br
Cada termo da soma varia com o inverso do quadrado da distância, i.e,
(2)
e é dirigido ao longo do vetor unitário (versor)
(3)
Linha de Campo:
A linha de campo representa a trajetória que seria traçada por uma carga de teste
posta inicialmente em repouso na região de campo. O vetor campo elétrico é sempre
tangente à linha de campo e cruza ortogonalmente cada superfície equipotencial.
Da figura seguinte, a equação diferencial que define a linha de campo pode ser posta
na forma
(4)
ou equivalentemente
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(5)
Essa equação pode ser resolvida formalmente por integração, o que fornece
(6)
O único problema do cálculo dessa integral é que ele deve ser realizado ao longo da
linha, que é desconhecida. A alternativa é resolver o problema numericamente.
Seja:
= Coordenadas de um ponto da linha de campo, e;
= Pequeno incremento na variável
;
logo:
(7)
Para essa variação incremental da coordenada x, o incremento na coordenada y pode
ser obtido diretamente de (6) , com o 2º membro sendo calculado no ponto
,
i.e.:
(8)
Portanto a trajetória é obtida iterativamente pelo uso de (7) e (8), a partir de um
ponto inicial
,atribuindo-se valores inteiros ao parâmetro i a partir de i = 0.
Considerações:
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1. Em dobras da linha de campo (mudança no sinal de
o sinal do incremento
), deve-se trocar também
;
2. Linhas de campo serão traçadas a partir de pontos próximos de cada carga
discreta. Para evitar singularidades no cálculo da trajetória, o sinal do incremento
δx é escolhido de forma que a trajetória se afaste da carga.
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Portanto, o incremento δx pode ser expresso na forma:
(9)
Atividade 06:
O objetivo desta atividade é desenvolver uma simulação com a elaboração de alguns
blocos de programa para o traçado de linhas de campo no plano. Definições
específicas dos blocos de programa e seus argumentos será feita adiante.
Para isso, desenvolva um programa em Mathcad, seguindo o roteiro abaixo, para
traçar as linhas de campo elétrico de N cargas puntiformes de magnitude
com
sinais a serem escolhidos. Nesse caso, o vetor campo elétrico é dado por
com
.
Roteiro:
Defina os seguintes blocos de programa
(
)
1. Vetor campo elétrico E X , P
Esse bloco representará uma função que só é executada quando valores específicos são
passados para seus argumentos, onde:
é uma matriz coluna contendo as coordenadas de um ponto no plano xy
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⎛ sign
0
⎜
P = ⎜ x0
⎜
⎜⎝ y0
sign1 … … signN −1 ⎞
⎟
x1 … … x N −1 ⎟
⎟
y1 … …
y N −1 ⎟⎠
é uma matriz de N colunas e três linhas contendo os sinais e as coordenadas (x,y) das
N cargas. Todas as cargas são assuminadas de mesmo módulo.
O bloco de programa deverá ser capaz de inferir o número de cargas a partir do
número de colunas de P
2. Função FieldLine(P,n,φ)
Essa função é um bloco de programa que retorna uma matriz de duas colunas,
contendo todas as coordenadas (x,y) de uma linha de campo, calculada de acordo
com as Eqs.(7) e (8). O argumento P já foi definido anteriormente e os outros
argumentos são:
n = índice que representa a n-ésima carga em torno da qual a linha de campo começa a ser
traçada
φ = representa a coordenada azimutal do ponto inicial da linha de campo em torno da nésima carga , conforme ilustrado na figura seguinte. Defina o ponto inicial pela equação
Mathcad
⎛ P
1,n
X0 ← ⎜
⎜ P2,n
⎝
( )
( )
⎛ cos ϕ
⎞
⎟ + 0.1 ⎜
⎜ sin ϕ
⎟
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
ou outra equivalente com o emprego da função submatrix.
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O número de pontos de iteração é definido externamente, bem como o número de
coordenadas a serem armazenadas em FieldLine. Vamos adotar 1000 iterações e 100
coordenadas, e portanto definir externamente o parâmetro
Nmax = 1000 – número de iterações
Np = 100 – número de coordenadas armazenadas em FieldLine
Ou seja, a cada ratio =
N max
iterações, é armazenado um par de coordenadas.
Np
A seqüência de etapas para o bloco FieldLine é a seguinte:
Passo 1: Estabelece coordenada inicial da linha de campo de
⎛ P
1,n
X0 ← ⎜
⎜ P2,n
⎝
( )
( )
⎛ cos ϕ ⎞
⎞
⎟
⎟ + 0.1⎜
⎜ sin ϕ ⎟
⎟
⎠
⎝
⎠
Passo 2: Faça um loop for e itere i = 0, 1, 2, ...Nmax
Passo 3: No loop for, previna que a linha de campo se aproxime muito de uma carga para
evitar singularidade, ou seja, adicione um comando do tipo
Passo 4: Calcule o incremendo δx, de acordo com a Eq.(9). É necessário chamar a função
(
E X, P
)
Passo 5: Calcule a nova coordenada X0 com base nas Eqs.(8) e (9), ou seja,
Passo 6: Defina um bloco lógico para armazenar pontos (x,y) nas variáveis
a cada ratio iterações.
Sugestão: Utilize a função floor(k) que tem a seguinte propriedade .
floor(k) = maior inteiro não superior a k.
Utilize o parâmetro
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e
,
com
assim, o último cálculo é simplesmente
Passo 7. A última linha do bloco é simplesmente
onde x1 e y1 são matrizes coluna de Np posições.
Com esse procedimento temos uma função FieldLine que ao ser chamada retorna
uma matriz com duas colunas contendo todas as coordenadas xy de uma linha de
campo.
3. Bloco de Programa M(P,n)
Esse bloco de programa chama a função FieldLine e efetivamente calcula 8 linhas de
campo
em
torno
da
n-ésima
carga
partindo
dos
azimutes
. O bloco retorna as oito matrizes
FieldLine empilhadas verticalmente, com o emprego da função stack.
4. Bloco MPlot(P)
Esse bloco chama o bloco M(P,n) para calcular todas as linhas de campo de todas as
cargas e empilha tudo em uma única matriz para representação gráfica. A
representação gráfica das linhas de campo é obtida colocando-se a coluna 1 e a
coluna 0 dessa matriz nos placeholders vertical e horizontal, respectivamente, de um
xy plot.
Uma vez construídos os blocos de programa faça gráficos xy das seguintes
configurações de carga. Ajuste as dimensões vertical e horizontal do gráfico para
terem o mesmo tamanho aproximado. Note que tudo só será calculado quando for
definida a matriz P (3xN) com as respectivas coordenadas.
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Em todos os casos, utilize a instrução de gravação de dados para gravar os dados em
planilha excell para posterior representação gráfica.
a) Linhas de campo para duas cargas localizadas nos pontos (-1,0) e (0,1). Considere
os casos de mesmo sinal e sinais opostos.
b) Linhas de campo de três cargas dispostas sobre um triângulo eqüilátero, com cada
carga a uma distância unitária da origem. Explore as possibilidades de sinais.
c) Adicione ao problema b uma quarta carga no cento do triângulo e calcule
explorando possibilidades distintas de sinais.
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