Matemática e
suas Tecnologias
3
Começamos agora o nosso terceiro fascículo de
“Matemática e suas tecnologias”. Temos certeza que
a cada novo grupo de questões vocês têm se sentido
mais seguros e confiantes. Por isso, este novo fascículo
vai enriquecer ainda mais o seu aprendizado.
0,5
0,4
calculado
0,3
0,2
0,7
0,1
0,6
0
0,5
(I)
-0,1
0,4
-0,2
0,3
(II)
0,2
(III)
0,1
0
Antes, porém, convém lembrá-los que, no
fascículo anterior desta área de conhecimento,
resolvemos as questões-desafio do primeiro fascículo
e nos voltamos mais para questões em que a leitura,
compreensão e interpretação de gráficos e figuras são
essenciais.
Neste novo fascículo, nos voltaremos mais
para a utilização de conhecimentos geométricos para
solução de problemas, construção de argumentação e
intervenções na realidade, sem esquecer a resolução
dos desafios do segundo fascículo e de mais dois outros
que lançaremos para vocês resolverem.
Bom, acreditamos que nossa ajuda tem feito
vocês trilharem o caminho certo rumo a aprovação
no ENEM. Esperamos que aproveitem cada vez mais
e contem sempre com nossos fascículos para o
esclarecimento de possíveis dúvidas.
O autor.
(IV)
-0,1
-0,2
(V)
contribuição efetiva (ºC)
Olá, amigos!
variação total na temperatura (ºC)
INTRODUÇÃO
0,6
-0,3
1900
1930
1960
1990
Legenda: (I) gases estufa (IV) atividade vulcânica
(II) atividade solar (V) aerosóis
(III) ozônio
Internet <solar-center.stanford.edu>
Os dados apresentados revelam que, de 1960 a 1990,
contribuíram de forma efetiva e positiva para aumentar a
temperatura atmosférica:
A) aerossóis, atividade solar e atividade vulcânica.
B) atividade vulcânica, ozônio e gases estufa.
C) aerossóis, atividade solar e gases estufa.
D) aerossóis, atividade vulcânica e ozônio.
E) atividade solar, gases estufa e ozônio.
Comentário: Independente de que disciplina possa-se dizer
a que esta questão pertença, nosso objetivo ao propor que
vocês resolvessem esta questão era fazer com que vocês
fizessem a leitura e interpretação correta de um gráfico.
RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES-DESAFIO
DO FASCÍCULO ANTERIOR
Dica: Nesta questão deveremos analisar as informações
contidas no gráfico para chegarmos à conclusão adequada,
associando esse conhecimento à ideia de dados positivos e
negativos em um gráfico.
01) (ENEM 2007 – QUESTÃO 42)
O gráfico abaixo ilustra o resultado de um estudo sobre
o aquecimento global. A curva mais escura e contínua
representa o resultado de um cálculo em que se considerou
a soma de cinco fatores que influenciaram a temperatura
média global de 1900 a 1990, conforme mostrado na
legenda do gráfico. A contribuição efetiva de cada um
desses cinco fatores isoladamente é mostrada na parte
inferior do gráfico.
Sabemos que, num gráfico, a análise da legenda é
fundamental. No nosso exemplo, a legenda corresponde às
seguintes informações:
2
O número (I) corresponde aos gases estufa.
O número (II) corresponde à atividade solar.
O número (III) corresponde ao ozônio.
O número (IV) corresponde à atividade vulcânica.
O número (V) corresponde aos aerossóis.
3
Matemática e suas Tecnologias
Além disso, sabemos que em uma reta numérica em sentido
vertical, os valores acima de zero são positivos e os valores
abaixo de zero são negativos. Se a reta for horizontal, os
valores à direita do zero são positivos e à esquerda são
negativos. Observe abaixo:
população de A. aegypti
valores positivos
valores negativos
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
tipos de reservatórios
valores negativos
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
valores positivos
2000
2001
2002
pneu
895
1.658
974
tambor/tanque/depósito de barro
6.855
46.444
32.787
vaso de planta
456
3.191
1.399
material de construção/peça de carro
271
436
276
garrafa/lata/plástico
675
2.100
1.059
poço/cisterna
44
428
275
caixa d’água
248
1.689
1.014
recipiente natural, armadilha, piscina e outros
615
2.658
1.178
total
10.059
58.604
38.962
Caderno Saúde Pública, vol. 20, n.º 5,
Rio de Janeiro, out/2004 (com adaptações).
Se mantido o percentual de redução da população total
de A. aegypti observada de 2001 para 2002, teria sido
encontrado, em 2003, um número total de mosquitos
Resolução: A questão pede que informemos “os dados
apresentados que contribuíram de forma efetiva e positiva
para aumentar a temperatura atmosférica”. Se analisarmos
o gráfico, percebemos que acima da linha do zero ficaram os
números I, II e III.
0,5
0,4
calculado
0,3
0,2
0,7
0,1
0,5
(I)
-0,1
0,4
-0,2
0,3
(II)
0,2
(III)
0,1
0
(IV)
-0,1
-0,3
1900
1930
1960
1990
Legenda: (I) gases estufa (IV) atividade vulcânica
(II) atividade solar (V) aerosóis
(III) ozônio
Negativo
-0,2
(V)
contribuição efetiva (ºC)
0,6
0
Na legenda, estes números correspondem respectivamente
a gases estufa, atividade solar e ozônio.
Portanto, o item correto é o item “E”.
A) menor que 5.000.
B) maior que 5.000 e menor que 10.000.
C) maior que 10.000 e menor que 15.000.
D) maior que 15.000 e menor que 20.000.
E) maior que 20.000.
Comentário: Para resolvermos esta questão, ao analisar a
tabela, precisaremos nos concentrar apenas nos totais de
2001 e 2002, o que não quer dizer que sempre que vocês se
depararem com uma questão que tenha tabela, deixarão de
analisá-la por completo. Esta análise mais restrita depende
muito do que a questão está pedindo.
0,6
Positivo
variação total na temperatura (ºC)
02) (ENEM 2007 – QUESTÃO 24)
O Aedes aegypti é vetor transmissor da dengue. Uma pesquisa
feita em São Luís – MA, de 2000 a 2002, mapeou os tipos de
reservatório onde esse mosquito era encontrado. A tabela
abaixo mostra parte dos dados coletados nessa pesquisa.
Dica: Desta vez, usaremos o conhecimento numérico,
utilizando dados apresentados em tabela, para solução de
situação-problema.
Precisamos saber que, para descobrirmos um percentual de
redução ou aumento, devemos:
i) Calcular a diferença entre o ano de referência e o ano a que
se quer saber.
ii) Estabelecer e calcular a seguinte igualdade: x% do valor do
ano de referência = diferença citada no item anterior. Definido
esse valor de “x”, teremos definido o percentual de redução.
iii) O ano de referência agora passa a ser outro, então
calculamos o percentual encontrado no item anterior do
valor do novo ano de referência.
iv) Calculamos a diferença entre o valor do novo ano de
referência e o valor encontrado no item anterior.
3
Resolução: Usaremos os dados da tabela e os substituiremos
no passo a passo citado acima. Devemos considerar para isso
que o ano de referência inicial é 2001.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria
exatamente o limite determinado pela condição se ele
A) duplicasse a medida do lado do quadrado.
B) triplicasse a medida do lado do quadrado.
C) triplicasse a área do quadrado.
D) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
E) ampliasse a área do quadrado em 4%.
i) 58.604 – 38.962 = 19.642
ii) x% de 58.604 = 19.642
Comentário: Interpretar uma questão que envolve figura
geométrica requer muita atenção. O aconselhável é que
numa segunda leitura já coloquemos na figura os dados que
a questão vem informando.
Logo, o percentual de redução é 33,5%.
iii) Para sabermos o valor de 2003, o ano de referência passa
a ser agora 2002.
33, 5% de 38962 =
Dica: Deveremos utilizar conhecimentos numéricos e
geométricos na seleção de argumentos propostos como
solução de problema do cotidiano.
Para esta questão, precisaremos saber que:
i) Área de um retângulo = (base) x (altura)
ii) Área de um quadrado = (lado)2
iii) x% de um número Y =
iv) Um número inteiro multiplicado por uma fração deve
ser este número multiplicado apenas pelo numerador e o
denominador repetido.
iv) 38.962 – 13052 = 25.910
Portanto, o item correto é o “E”.
v) Para calcular potência de fração, tanto o numerador quanto
o denominador são elevados a esta potência:
QUESTÕES
01) (ENEM 2009 – QUESTÃO 140)
O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem
suas residências com a condição de que no mínimo 94% da
área do terreno fosse mantida como área de preservação
ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que
, Antônio demarcou uma área quadrada no vértice
AB =
A, para a construção de sua residência, de acordo com o
desenho, no qual AE =
B
é lado do quadrado.
C
Resolução: Inicialmente, devemos refazer a figura,
determinando a área total (retângulo) e área pertencente a
Antônio (quadrado menor).
x
B
C
x
2
A x E
10
D
BC = x
AB =
AE =
(repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda)
A E
4
D
=
3
Matemática e suas Tecnologias
Área do retângulo =
Área do quadrado =
Se a condição é que no mínimo 94% da área do terreno seja
mantida como área de preservação ambiental, o limite permitido
é de 6% da área total: 6% de
Com base nisso, vamos analisar cada um dos itens para saber
em qual Antônio atenderia a condição. Para isso, a área a ser
determinada em cada opção deverá ser igual a
A) Se duplicasse a medida do lado do quadrado:
l=2.
, logo a área seria
Comentário: Um dos conhecimentos básicos que precisamos
ter de geometria é a diferença entre geometria plana e
geometria espacial. A saber, a primeira constitui-se apenas
de duas dimensões: base e altura (ou largura). A segunda
constitui-se por três dimensões: base, largura e altura. No
caso dessa questão, como tratamos de um cubo e este possui
três dimensões, o assunto é geometria espacial.
Dica: Para resolver essa situação-problema, deveremos
utilizar nosso conhecimento sobre características de figuras
planas e espaciais, como espaço e forma.
Os conhecimentos necessários para resolvermos essa
questão são os seguintes:
Capacidade é o volume interno de um recipiente. O volume
de um cubo é dado por V = a3, onde “a” representa a aresta
da figura.
(simplificando por 4) =
a
B) Se triplicasse a medida do lado do quadrado:
l=3.
, logo a área seria
C) Se triplicasse a área do quadrado:
3.
D) Se ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%:
4% de
a
a
Precisamos ter também a ideia de que um raio corresponde
à metade de um diâmetro, ou se preferir que o diâmetro é o
dobro do raio: d= 2r
(simplificando por 4) =
Ampliando o lado =
(simplificando por 2) =
r
r
E) Se ampliasse a área do quadrado em 4%:
4% de
(simplificando por 4) =
Portanto, o item correto é o “C” .
02) (ENEM 2009 – QUESTÃO 157)
Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio,
utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para
transportá-las.
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o
número máximo de esferas que podem ser transportadas
em uma caixa é igual a
A) 4
B) 8
C) 16
D) 24
E) 32
r
d
Resolução: Se sabemos o volume da caixa que corresponde
a um cubo, podemos descobrir o valor de sua aresta:
V = a3 → 13824 = a3 → a =
= 24 cm
Também sabemos que se o raio da circunferência é 6 cm e o
diâmetro de uma circunferência é o dobro do raio, teremos
d= 12 cm.
Logo, cada aresta corresponde a duas esferas de 12 cm de
diâmetro. Porém, como a caixa possui o formato de um cubo,
que por sua vez é uma figura tridimensional, devemos elevar
este valor ao cubo. Ou seja, 23 = 8.
Portanto, o item correto é o “B”.
5
03) (ENEM 2009 – QUESTÃO 158)
A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave
que será fabricada para utilização por companhias de
transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho
desse avião em escala de 1:150.
28,5 metros
04) (ENEM 2009 – QUESTÃO 164)
Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como
herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém
uma área de extração de ouro delimitada por um quarto
de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo
da propriedade. Dado o maior valor da área de extração
de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade
de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de
extração, conforme mostra a figura.
3 Km
36 metros
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de
papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas
da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros,
que essa folha deverá ter?
A) 2,9 cm × 3,4 cm.
B) 3,9 cm × 4,4 cm.
C) 20 cm × 25 cm.
D) 21 cm × 26 cm.
E) 192 cm × 242 cm.
Dica: Nessa questão, deveremos usar a noção de escala e o
conhecimento sobre transformação de unidades de medida,
para solução da situação-problema.
Para isso, é importante saber que para fazermos um desenho dada
uma escala, multiplicamos o valor real pela escala apresentada
e que, para transformarmos metros em centímetros, devemos
apenas multiplicar por “100”, já que 1m =100cm.
Resolução: Inicialmente, vamos descobrir o tamanho de
cada lado do desenho a partir da escala 1:150.
1 Km
2 Km
José
Em relação à partilha proposta, constata-se que a
porcentagem da área do terreno que coube a João
corresponde, aproximadamente, a (considere
= 0,58)
A) 50%.
B) 43%.
C) 37%.
D) 33%.
E) 19%.
Comentário: Analisar uma figura e perceber quais outras se
formam a partir dela é essencial para um bom desempenho
em questões desse tipo. Além disso, é importante que se
saiba que o cálculo da área de um triângulo retângulo, bem
visível nesta questão, é diferente do cálculo da área de um
triângulo qualquer.
= 0,19 m (multiplicamos por 100, para
i) 28,5 x
ficar em cm) = 19 cm
= 0,24 m (multiplicamos por 100, para ficar
em cm) = 24 cm
Porém, devemos lembrar as margens de 1 cm em cada borda
que a questão cita. Ou seja, para cada lado são duas bordas,
sendo então mais 2 cm para cada lado.
19 cm + 2 cm = 21 cm e 24 cm + 2 cm = 26 cm, originando
assim as dimensões 21cm x 26 cm.
Portanto, o item correto é o “D”.
6
Pedro
1 Km
Comentário: Analisando a figura, percebemos que os dados
estão em metros. Porém, a leitura minuciosa que insistimos
em sugerir que você faça, nos faz perceber que a resposta
pedida na questão é em centímetros.
ii) 36 x
João
Dica: Os conhecimentos geométricos que precisaremos
utilizar para resolver essa situação estarão relacionados à
área do triângulo retângulo, cálculo de catetos e ângulos
notáveis. Além disso, precisaremos utilizar nossos
conhecimentos de regra de três.
A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do
produto dos dois lados menores. Esses dois lados menores
são chamados de catetos e formam o ângulo de 90°. O cateto
oposto é o que fica de frente para o ângulo agudo, enquanto
o adjacente fica junto a esse ângulo. A hipotenusa, por sua
vez, é o lado maior e fica de frente para o ângulo de 90°
(ângulo reto).
3
Matemática e suas Tecnologias
Como a área de um triângulo retângulo é dada pela metade
ângulo
reto
ângulo
agudo
Į
cateto oposto
hipotenusa
do produto dos catetos, teremos:
Porém, como não sabemos o valor deste cateto, mas temos
um ângulo e o outro cateto, podemos descobrir usando a
fórmula: T gĮ =
cateto adjacente
Para descobrirmos o valor de um cateto devemos:
i) Usar o teorema de Pitágoras quando soubermos o valor da
hipotenusa e do outro cateto:
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
cateto =
ii) Se soubermos o valor do outro cateto e um ângulo:
T g 30º =
0,58 =
→ x = 1,16 Km2
Esse valor é o que corresponde ao terreno de João. A pergunta
é: qual o percentual que lhe coube da área total?
A área total é dada por 3 Km x 2 Km = 6 Km2.
T gĮ =
Outro conhecimento muito importante que se tenha é da
tabela das relações trigonométricas:
30º
45º
Sendo assim, se 6 Km2 corresponde a 100%, 1,16 Km2
corresponde a qual percentual?
6 .................... 100
1,16 .................... x
60º
6x = 116 → x =
Seno
Portanto, o item correto é o “E”.
Cosseno
Tangente
1
Resolução: Primeiro, é necessário que refaçamos a figura
entendo melhor a parte que coube a João.
3 Km
x
2 Km
João
1 Km
= 19,33%
Pedro
30º
2 Km
30º
José
30º
1 Km
Observe que o desenho formado foi de um triângulo retângulo,
portanto devemos calcular a área dessa figura, considerando que
os catetos oposto e adjacente são respectivamente x e 2 km.
05) (ENEM 2009 – QUESTÃO 169)
A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação
constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são
construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma
dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma
de um trapézio isóscele, tem as medidas especificadas
na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s.
O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área
A do setor transversal (por onde passa a água), em m2,
pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av.
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões
especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de
enchentes.
Figura I
Figura II
30 m
49 m
2,5 m
20 m
2,0 m
41 m
Disponível em: http://www.2.uel.br/
7
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará,
qual a vazão esperada para depois da reforma na
canaleta?
A partir desse valor descoberto podemos definir o valor Q da
figura 2, o que responde a questão:
Q=A.v →Q=
A) 90 m3/s
B) 750 m3/s
C) 1.050 m3/s
D) 1.512 m3/s
E) 2.009 m3/s
.v
Figura II
49 m
Q=
. 16,8
2,0 m
Q = 90 . 16,8
41 m
Comentário: Se identificarmos as características da figura
plana em questão e fizermos uma correta interpretação dos
dados informados no enunciado, conseguiremos resolver
sem nenhuma dificuldade essa questão.
Dica: Deveremos utilizar conhecimento geométrico voltado
para características de figuras planas para resolução de
problemas do cotidiano.
Trapézios são quadriláteros com dois lados opostos paralelos,
que no caso são as bases, sendo uma maior e outra menor
e dois lados opostos não paralelos. Se os dois outros lados
que não são paralelos forem iguais, teremos um trapézio
isóscele. A área de um trapézio é dada por:
A=
b
Onde:
B = Medida da base maior
b = Medida da base menor
h = Altura
h
B
Além disso, para essa questão é importante sabermos
interpretar os dados que ela fornece. No caso, ela quer saber
a vazão esperada para depois da reforma na canaleta. Se na
própria questão é dado que Q = Av, devemos saber que “Q”
representa a quantidade de água, “A” representa a área da
figura e “v” a velocidade da água no local.
Resolução: Para iniciar, devemos através dos dados da figura
1, descobrir o valor de “v”.
Q=A.v →Q=
.v
Figura I
1050 =
30 m
2,5 m
.v
1050 = 62,5 v
20 m
v=
Q = 1512 m3/s
Portanto, o item correto é o “D”.
06) (ENEM 2009 – QUESTÃO 173)
Uma fábrica produz velas de
parafina em forma de pirâmide
quadrangular regular com 19
cm de altura e 6 cm de aresta da
base. Essas velas são formadas
por 4 blocos de mesma altura
m
— 3 troncos de pirâmide de bases
6c
6
cm
paralelas e 1 pirâmide na parte
superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que
a base superior de cada bloco é igual à base inferior do
bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo
centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. Se o
dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando
a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na
base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a
gastar com parafina para fabricar uma vela?
A) 156 cm3
B) 189 cm3
C) 192 cm3
D) 216 cm3
E) 540 cm3
Comentário: O gasto que o dono da fábrica tem com parafina
corresponde ao volume desse material que é utilizado. É
importante que depois da leitura minuciosa, lembremos que
a altura, então de 19 cm, cai para 16 cm já que existe 1 cm de
espaço entre cada bloco.
Dica: Para esta questão, precisaremos utilizar nosso
conhecimento sobre características das figuras espaciais
para solução de problemas.
É importante que saibamos que a figura relaciona-se a uma
pirâmide, cujo volume é dado pela fórmula:
=16,8 m/s
. (área da figura que forma a base) . altura
8
3
Matemática e suas Tecnologias
No caso dessa pirâmide, a base é quadrangular, portanto a
área da base será l x l.
Resolução: Precisaremos fazer o cálculo do volume da vela
originalmente e posteriormente, sem a parte superior.
07) (ENEM 2009 – QUESTÃO 166)
Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados
ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a
localização de algumas capitais identificadas pelos números.
Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu
de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um
segmento de reta com extremidades em DF e em 4.
Mapa do Brasil e algumas Capitais
2
3
4
1
18
6 cm
m
6c
Originalmente, os dados são:
Área da Base = l x l = 6 x 6 = 36 cm
(a aresta corresponde ao lado)
10
11
12
13
14
15
16
17
18
8
17
Rio de Janeiro
São Paulo
Curitiba
Belo Horizonte
Goiânia
Cuiabá
Campo Grande
Porto Velho
Rio Branco
15
DF
14
16
11
12
9
13
10
Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).
. 36 . 16 =
= 192 cm3
1,5 cm
Calculando apenas a área da base superior:
Área da Base = l x l = 1,5 x 1,5 = 2,25 cm
(a aresta corresponde ao lado)
Altura= 16 : 4 (blocos) = 4 cm
V=
Manaus
Boa Vista
Macapá
Belém
São Luís
Teresina
Fortaleza
Natal
Salvador
7
6
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões.
Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br.
Altura = 19 - 3 = 16 cm
V=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
. 2,25 . 4 =
= 3 cm3
O novo gasto será dado pela diferença entre o gasto original
e o gasto sem a parte superior: 192 - 3 = 189 cm3
Portanto, o item correto é o “B”.
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um
avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo
de 135° graus no sentido horário com a rota Brasília –
Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao
desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um
avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto,
no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião
AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção
seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com
origem na cidade de partida e que passa pela cidade
destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos
fez uma conexão em
A) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
B) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
C) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
D) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
E) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
Comentário: Esta é uma questão bastante simples, desde
que você tenha noção de medidas de ângulos. Tenha sempre
em mente um ângulo reto (de 90°) para ser a referência de
medida de outros ângulos.
Dica: Para essa questão deveremos reconhecer, construir
e explorar visualmente uma situação que será construída a
partir do conhecimento geométrico, voltado para medida dos
ângulos.
9
Relembre como podemos identificar visualmente, sem o
uso de compasso e/ou transferidor algumas medidas de
ângulos:
a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que
o nível da água é função do número de bolas de vidro que
são colocadas dentro do copo.
360º
45º
315º
270º
90º
y
225º
135º
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento
realizado.
180º
Convém lembrar ainda que:
Sentido horário – da esquerda para a direita.
Sentido anti-horário - da direita para a esquerda.
Resolução: Analisemos o que foi feito sobre a figura. A partir
da rota Brasília-Belém, formamos oito ângulos de 45° cada.
Formar um ângulo de 135° graus no sentido horário com
a rota Brasília – Belém equivale a três das oito partes que
esboçamos na figura. Neste caso ele partiu para o 13 que
corresponde, segundo a legenda, a Belo Horizonte.
Feita a conexão em 13, ele embarca formando 90°.
Construindo esse segmento, o mesmo partirá para o número
9, que corresponde, segundo a legenda, a Salvador.
número de bolas (x)
nível da água (y)
5
6,35 cm
10
6,70 cm
15
7,05 cm
Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da
água (y) em função do número de bolas (x)?
A)
B)
C)
D)
E)
y = 30x.
y = 25x + 20,2.
y = 1,27x.
y = 0,7x.
y = 0,07x + 6.
2
3
4
1
18
5
7
8
6
17
15
DF
14
16
11
12
9
13
10
Portanto, o item correto é o “B”.
08) (ENEM 2009 – QUESTÃO 159)
Um experimento consiste em colocar certa quantidade de
bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo
nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura
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Comentário: Muitas das questões do ENEM nos induzem,
já nas opções de respostas, a deduzir a que assunto se
referem. Nesta, por exemplo, sabemos que se trata de
função de 1º grau. No entanto, não será preciso resolver uma
função do 1º grau, já que pela tabela sabemos o valor de x
e de y. Precisaremos apenas saber com qual das fórmulas
chegaremos a esses valores.
Dica: Para resolver essa situação-problema, precisaremos
utilizar conhecimentos algébricos voltados à função do 1°
grau e a sistema de equações do 1º grau.
Como trata-se de uma função do 1º grau, e o nível de água
(y) é em função da quantidade de bolas (x), deduzimos que a
fórmula geral seria y = ax + b. Sabemos os valores de x e de y,
mas não sabemos o de a e b. É aí que entra o conhecimento
sobre sistema de equações, que é usado para determinar
duas variáveis, estabelecendo uma relação entre pelo menos
duas equações através de um dos métodos. Sugerimos como
mais prático o método da adição.
3
Matemática e suas Tecnologias
No método da adição, devemos eliminar uma das
incógnitas. Para isso elas precisam ser iguais com
sinais diferentes. Se assim não estiverem devemos então
transformá-las.
Resolução: Considerando a fórmula geral y = ax + b,
teremos...
QUESTÕES-DESAFIO
Estas são questões para vocês tentarem resolver. As questões
serão respondidas e comentadas nos próximos fascículos.
01) (ENEM 2006 – QUESTÃO 62)
30 cm
90 cm
Para linha 1 da tabela, x = 5 e y = 6,35, logo a equação seria
6,35 = 5a + b
Para linha 2 da tabela, x = 10 e y = 6,70, logo a equação seria
6,70 = 10a + b
corrimão
30 cm
24 cm
24 cm
Duas equações são suficientes para formarmos o sistema:
90 cm
24 cm
24 cm
24 cm
Neste caso, precisaremos multiplicar todos os elementos
da 1ª equação por (-2) para que possamos fazer um
cancelamento:
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada
com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do
corrimão é igual a
A) 1,8 m.
B) 1,9 m.
C) 2,0 m.
D) 2,1 m.
E) 2,2 m.
Se 6,35 = 5a + b e b = 6, teremos que 6,35 = 5a + 6,
logo 5a = 6,35 – 6, sendo 5a = 0,35
a= 0,07
Substituindo esses valores na fórmula y = ax + b, a expressão
algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função
do número de bolas (x) é y = 0,07x + 6
Portanto, o item correto é o “E”.
02) (ENEM 2003 – QUESTÃO 15)
O tabagismo (vício do fumo) é responsável por uma
grande quantidade de doenças e mortes prematuras na
atualidade. O Instituto Nacional do Câncer divulgou que
90% dos casos diagnosticados de câncer de pulmão e 80%
dos casos diagnosticados de enfisema pulmonar estão
associados ao consumo de tabaco. Paralelamente, foram
mostrados os resultados de uma pesquisa realizada em
um grupo de 2000 pessoas com doenças de pulmão, das
quais 1500 são casos diagnosticados de câncer, e 500
são casos diagnosticados de enfisema. Com base nessas
informações, pode-se estimar que o número de fumantes
desse grupo de 2000 pessoas é, aproximadamente:
A) 740
B) 1100
C) 1310
D) 1620
E) 1750
PROJETO DESAFIO ENEM 2010 I Jornal Diário do Nordeste I COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA: Prof.Francisco Sidney Nogueira
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